Rechenmethoden d. Physik, I - Exam

Aufgabe 1)

In einem Koordinatensystem bewegt sich eine Masse m auf einer horizontalen Ebene. Auf den Körper wirken drei Kräfte: eine konstante horizontale Kraft F_H in positiver x-Richtung, eine konstante vertikale Kraft F_V in negativer y-Richtung und eine Reibungskraft F_R, die der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist. Die Vertikalbewegung wird durch eine plane Oberfläche aufgehoben, so dass nur die horizontalen Komponenten der Bewegung berücksichtigt werden müssen.

a)

Teil (a):

Berechne die Nettokraft, die auf den Körper im horizontalen Bereich, also in x-Richtung wirkt. Nutze das zweite Newtonsche Gesetz, um die resultierende Beschleunigung des Körpers zu bestimmen, wobei die horizontale Reibungskraft durch F_R = \text{μ} \boldsymbol{N} gegeben ist. Berücksichtige, dass μ der Reibungskoeffizient und N die Normalkraft ist.

Lösung:

Um die Nettokraft zu berechnen, die im horizontalen Bereich auf den Körper wirkt, verwenden wir das zweite Newtonsche Gesetz und die Formel für die Reibungskraft.

Schritt 1: Bestimmung der Reibungskraft

• Die Reibungskraft F_R wird durch \( F_R = \mu N \) gegeben.
• Da die Vertikalbewegung durch eine plane Oberfläche aufgehoben wird, entspricht die Normalkraft N genau dem Gewicht der Masse m: \[ N = mg \]
• Somit ergibt sich für die Reibungskraft: \[ F_R = \mu mg \]

Schritt 2: Bestimmung der Nettokraft

• Die horizontale Kraft F_H wirkt in positiver x-Richtung.
• Die Reibungskraft F_R wirkt der Bewegungsrichtung entgegen, also in negativer x-Richtung.
• Die Nettokraft F_net in x-Richtung ergibt sich daher als Differenz zwischen der horizontalen Kraft und der Reibungskraft: \[ F_{net} = F_H - F_R \]
• Einsetzen der Formel für F_R: \[ F_{net} = F_H - \mu mg \]

Schritt 3: Bestimmung der Beschleunigung

• Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Beschleunigung a gegeben durch: \[ F_{net} = ma \]
• Lösen nach der Beschleunigung: \[ a = \frac{F_{net}}{m} \]
• Einsetzen der Formel für F_net: \[ a = \frac{F_H - \mu mg}{m} \]
• Das vereinfacht sich zu: \[ a = \frac{F_H}{m} - \mu g \]

Daher ist die resultierende Beschleunigung des Körpers: \[ a = \frac{F_H}{m} - \mu g \]

b)

Teil (b):

Gegeben sei, dass die Kraft F_H = 20 N, F_V = 50 N, der Reibungskoeffizient \text{μ} = 0,1 und die Masse m = 10 kg beträgt. Berechne die resultierende Beschleunigung des Körpers in horizontaler Richtung. Stelle sicher, dass Du alle Zwischenschritte und zugrunde liegenden Formeln aufzeigst.

Lösung:

Um die resultierende Beschleunigung des Körpers in horizontaler Richtung zu berechnen, gehen wir Schritt für Schritt vor und verwenden die gegebenen Werte. Dazu nutzen wir die bereits hergeleiteten Formeln.

Gegeben:

• Horizontal wirkende Kraft, \( F_H = 20 \) N
• Vertikal wirkende Kraft, \( F_V = 50 \) N
• Reibungskoeffizient, \( \mu = 0,1 \)
• Masse, \( m = 10 \) kg

Schritt 1: Bestimmung der Reibungskraft

• Die Reibungskraft \( F_R \) wird durch \( F_R = \mu N \) gegeben.
• Die Normalkraft \( N \) entspricht der vertikalen Kraft, da der Körper statisch in der Vertikalen gehalten wird: \[ N = F_V = 50 \text{ N} \]
• Somit ergibt sich für die Reibungskraft: \[ F_R = \mu N = 0,1 \times 50 \text{ N} = 5 \text{ N} \]

Schritt 2: Bestimmung der Nettokraft in horizontaler Richtung

• Die horizontale Nettokraft \( F_\mathrm{net} \) ist die Differenz zwischen der horizontalen Kraft und der Reibungskraft: \[ F_{\mathrm{net}} = F_H - F_R \]
• Einsetzen der Werte: \[ F_{\mathrm{net}} = 20 \text{ N} - 5 \text{ N} = 15 \text{ N} \]

Schritt 3: Bestimmung der Beschleunigung

• Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Beschleunigung \( a \) gegeben durch: \[ F_{\mathrm{net}} = m a \]
• Lösen nach der Beschleunigung: \[ a = \frac{F_{\mathrm{net}}}{m} \]
• Einsetzen der Werte: \[ a = \frac{15 \text{ N}}{10 \text{ kg}} = 1,5 \text{ m/s}^2 \]

Daher ist die resultierende Beschleunigung des Körpers in horizontaler Richtung: \[ a = 1,5 \text{ m/s}^2 \]

Aufgabe 2)

Betrachte einen harmonischen Oszillator, der durch eine Masse m und eine Feder mit Federkonstante k beschrieben wird. Die kinetische Energie beträgt T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 und die potentielle Energie V = \frac{1}{2} k x^2. Leite die Lagrange-Funktion für dieses System her und berechne die Lagrange-Gleichungen zweiter Art. Weiterhin leite die Hamilton-Funktion aus der Lagrange-Funktion ab und finde die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen.

a)

Bestimme die Lagrange-Funktion L(x, \dot{x}) für das gegebene System. Dabei ist x die Auslenkung der Masse und \dot{x} die Geschwindigkeit.

Lösung:

Um die Lagrange-Funktion L(x, \dot{x}) für den harmonischen Oszillator zu bestimmen, müssen wir zunächst die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems kennen.

• Kinetische Energie: Die kinetische Energie T wird durch die Formel dargestellt:
\[T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2\]

• Potentielle Energie: Die potentielle Energie V wird durch die Formel dargestellt:
\[V = \frac{1}{2} k x^2\]

Die Lagrange-Funktion L(x, \dot{x}) ist definiert als die Differenz zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie:

\[L(x, \dot{x}) = T - V\]

Indem wir die Ausdrücke für T und V einsetzen, erhalten wir:

• Ergebnis:
\[L(x, \dot{x}) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2\]

Dies ist die Lagrange-Funktion für das gegebene System.

b)

Leite die Lagrange-Gleichungen zweiter Art für dieses System mit der ermittelten Lagrange-Funktion her. Zeige, dass die Lagrange-Gleichungen die bekannte Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators resultieren.

Lösung:

Um die Lagrange-Gleichungen zweiter Art für dieses System herzuleiten, müssen wir die Lagrange-Funktion verwenden, die wir zuvor bestimmt haben:

\[L(x, \dot{x}) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2\]

• Lagrange-Gleichung zweiter Art:

Die Lagrange-Gleichung zweiter Art ist gegeben durch:

\[\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0\]

• Berechnung der partiellen Ableitungen:

Wir berechnen nun die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion:

• 1. \ \[\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial}{\partial \dot{x}} \left(\frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2\right) = m \dot{x}\]
• 2. \ \[\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2\right) = -k x\]

Nun setzen wir diese Ableitungen in die Lagrange-Gleichung ein:

\[\frac{d}{dt} \left( m \dot{x} \right) - (-k x) = 0\]

Die Zeitableitung von \( m \dot{x}\) ist:

• \[\frac{d}{dt} \left( m \dot{x} \right) = m \ddot{x}\]

Setzen wir dies ein, erhalten wir:

\[m \ddot{x} + k x = 0\]

Dies ist die bekannte Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators. Sie lautet:

\[m \ddot{x} + k x = 0\]

Somit haben wir gezeigt, dass die Lagrange-Gleichungen die bekannte Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators liefern.

c)

Wandle die Lagrange-Funktion in die Hamilton-Funktion H(x, p) um, wobei p den kanonischen Impuls darstellt. Bestimme die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen für das System und vergleiche diese mit den bekannten Ergebnissen für den harmonischen Oszillator.

Lösung:

Um die Hamilton-Funktion H(x, p) aus der Lagrange-Funktion abzuleiten, müssen wir den kanonischen Impuls p berechnen und dann die Hamilton-Funktion definieren.

• Lagrange-Funktion:

Die Lagrange-Funktion für das System ist gegeben durch:

\[L(x, \dot{x}) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2\]

• Kanonischer Impuls:

Der kanonische Impuls p wird durch die Ableitung der Lagrange-Funktion bezüglich der Geschwindigkeit \( \dot{x} \) definiert:

\[p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\]

Durch Einsetzen der Lagrange-Funktion erhalten wir:

\[p = \frac{\partial}{\partial \dot{x}} \left( \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2 \right) = m \dot{x}\]

• Hamilton-Funktion:

Die Hamilton-Funktion H(x, p) wird durch folgende Beziehung definiert:

\[H(x, p) = p \dot{x} - L(x, \dot{x})\]

Hierbei müssen wir \( \dot{x} \) in Abhängigkeit von p ausdrücken:

\[ \dot{x} = \frac{p}{m}\]

Nun setzen wir dies in die Hamilton-Funktion ein:

\[H(x, p) = p \left( \frac{p}{m} \right) - \left( \frac{1}{2} m \left( \frac{p}{m} \right)^2 - \frac{1}{2} k x^2 \right)\]

Dies vereinfacht sich zu:

\[H(x, p) = \frac{p^2}{m} - \left( \frac{1}{2} \frac{p^2}{m} - \frac{1}{2} k x^2 \right)\]

\[H(x, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2\]

• Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:

Die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen sind gegeben durch:

\[ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} \]

und

\[ \dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial x} \]

• Berechnung der Bewegungsgleichungen:

1. Berechnung von \( \dot{x} \):

\[ \dot{x} = \frac{\partial }{\partial p} \left( \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2 \right) = \frac{p}{m} \]

2. Berechnung von \( \dot{p} \):

\[ \dot{p} = - \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2 \right) = - k x \]

Somit erhalten wir die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen:

• 1. \( \dot{x} = \frac{p}{m} \)
• 2. \( \dot{p} = - k x \)

Diese Gleichungen können mit den bekannten Ergebnissen für den harmonischen Oszillator verglichen werden:

• Die erste Gleichung \( \dot{x} = \frac{p}{m} \) zeigt, dass die Geschwindigkeit \( \dot{x} \) proportional zum Impuls p ist.

• Die zweite Gleichung \( \dot{p} = - k x \) zeigt, dass die Rate der Änderung des Impulses proportional zur Auslenkung x ist, was dem Hooke'schen Gesetz entspricht.

Somit stimmen die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen mit den bekannten Ergebnissen für den harmonischen Oszillator überein.

Aufgabe 3)

In einem abgeschlossenen thermodynamischen System gelten die Gesetze der Thermodynamik. Ein ideales Gas befindet sich in einem Zylinder mit beweglichem Kolben und führt einen Kreisprozess durch. Der Kreisprozess besteht aus vier Schritten: Isotherme Expansion, adiabatische Expansion, isotherme Kompression und adiabatische Kompression. Das System nimmt zu Beginn eine Wärme Q1 bei der isothermen Expansion auf und gibt später eine Wärme Q2 bei der isothermen Kompression ab. Die Anfangszustände des Gases sind Temperatur T1, Volumen V1 und Druck P1.

a)

(a) Erkläre unter Verwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik, wie sich die innere Energie ( \text{U} ) des Systems in jedem Schritt des Kreisprozesses verändert.

Lösung:

Um zu erklären, wie sich die innere Energie (U) des Systems in jedem Schritt des Kreisprozesses verändert, verwenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Dieser lautet:

• Erster Hauptsatz der Thermodynamik: Q = ΔU + W

Hierbei ist:

• Q: Die zugeführte oder abgegebene Wärme
• ΔU: Die Änderung der inneren Energie
• W: Die geleistete oder aufgenommene Arbeit

Wir betrachten jetzt jeden Schritt des Kreisprozesses im Detail:

• 1. Isotherme Expansion: - Da dieser Prozess isotherm (bei konstanter Temperatur) ist, bleibt die Temperatur des Gases konstant. Für ein ideales Gas bedeutet dies, dass die innere Energie (U) ebenfalls konstant bleibt (ΔU = 0). - Die aufgenommene Wärme Q1 wird vollständig in Arbeit (W) umgewandelt.
• 2. Adiabatische Expansion: - In diesem Schritt wird keine Wärme zu- oder abgeführt (Q = 0). - Die innere Energie des Gases nimmt ab (ΔU < 0), da das Gas Arbeit verrichtet und sich ausdehnt. Diese Verringerung der inneren Energie resultiert vollständig aus der geleisteten Arbeit (W).
• 3. Isotherme Kompression: - Bei der isothermen Kompression bleibt die Temperatur erneut konstant, wodurch auch die innere Energie des Gases konstant bleibt (ΔU = 0). - Das System gibt Wärme Q2 ab, während Arbeit am Gas verrichtet wird. Die abgegebene Wärme entspricht der geleisteten Arbeit.
• 4. Adiabatische Kompression: - In diesem Prozess wird keine Wärme zugeführt oder abgeführt (Q = 0). - Die innere Energie des Gases nimmt zu (ΔU > 0), da Arbeit auf das Gas verrichtet wird und es sich zusammenzieht. Diese Zunahme der inneren Energie entspricht der geleisteten Arbeit (W).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich die innere Energie (U) des Systems nur während der adiabatischen Prozesse ändert. Während der isothermen Prozesse bleibt die innere Energie konstant, da die Temperatur konstant bleibt.

b)

(b) Berechne die Entropieänderung ( \text{ΔS} ) des Gases und des umgebenden Universums für die isothermen Prozesse. Verwende dafür die Definition der Entropie und die gegebene Wärme ( \text{Q1} und \text{Q2} ).

Lösung:

Um die Entropieänderung (\(\Delta S\)) des Gases und des umgebenden Universums für die isothermen Prozesse zu berechnen, verwenden wir die Definition der Entropie:

• Definition der Entropieänderung: \(\Delta S = \frac{Q}{T}\)

Da wir zwei isotherme Prozesse haben (isotherme Expansion und isotherme Kompression), betrachten wir beide Schritte separat:

• 1. Isotherme Expansion: - Bei diesem Prozess nimmt das System eine Wärme \(Q_1\) auf. - Die Temperatur bleibt konstant bei \(T_1\). - Die Entropieänderung des Gases ist: \(\Delta S_{1,\text{Gas}} = \frac{Q_1}{T_1}\)
• 2. Isotherme Kompression: - Bei diesem Prozess gibt das System eine Wärme \(Q_2\) ab. - Die Temperatur bleibt ebenfalls konstant bei \(T_1\). - Die Entropieänderung des Gases ist: \(\Delta S_{2,\text{Gas}} = \frac{-Q_2}{T_1}\)

Nun betrachten wir die Entropieänderung des Universums (Umgebung). Da das System die Wärme \(Q_1\) aus der Umgebung aufnimmt und die Wärme \(Q_2\) an die Umgebung abgibt, ist die Entropieänderung der Umgebung:

• 1. Isotherme Expansion: - Die Umgebung verliert eine Wärme \(Q_1\). - Die Entropieänderung der Umgebung ist: \(\Delta S_{1,\text{Umgebung}} = \frac{-Q_1}{T_1}\)
• 2. Isotherme Kompression: - Die Umgebung gewinnt eine Wärme \(Q_2\). - Die Entropieänderung der Umgebung ist: \(\Delta S_{2,\text{Umgebung}} = \frac{Q_2}{T_1}\)

Die totale Entropieänderung für die isothermen Prozesse ist daher:

• 1. Gesamtentropieänderung während der isothermen Expansion: \(\Delta S_{\text{gesamt,1}} = \Delta S_{1,\text{Gas}} + \Delta S_{1,\text{Umgebung}}\) \(\Delta S_{\text{gesamt,1}} = \frac{Q_1}{T_1} + \frac{-Q_1}{T_1} = 0\)
• 2. Gesamtentropieänderung während der isothermen Kompression: \(\Delta S_{\text{gesamt,2}} = \Delta S_{2,\text{Gas}} + \Delta S_{2,\text{Umgebung}}\) \(\Delta S_{\text{gesamt,2}} = \frac{-Q_2}{T_1} + \frac{Q_2}{T_1} = 0\)

Zusammenfassend ergibt die Entropieänderung des Gases und der Umgebung während der isothermen Prozesse: \(\Delta S_{\text{gesamt}} = 0\). Das bedeutet, dass die Gesamtentropie des Universums während der isothermen Prozesse konstant bleibt.

c)

(c) Nutze den dritten Hauptsatz, um zu diskutieren, warum die Entropieänderung von näherungsweise 0 in der Realität für die Temperaturen in diesem Experiment nicht erreicht wird. Einbeziehen sollst Du auch die Unmöglichkeit, den absoluten Nullpunkt zu erreichen.

Lösung:

Um zu diskutieren, warum die Entropieänderung von näherungsweise 0 in der Realität für die Temperaturen in diesem Experiment nicht erreicht wird, müssen wir den dritten Hauptsatz der Thermodynamik betrachten:

• Dritter Hauptsatz der Thermodynamik: Je näher ein System dem absoluten Nullpunkt kommt, desto näher kommt die Entropieänderung einem minimalen Wert, meist Null. Allerdings ist es unmöglich, den absoluten Nullpunkt tatsächlich zu erreichen.

Der dritte Hauptsatz, auch als Nernstscher Wärmesatz bekannt, besagt im Wesentlichen:

• Wenn die Temperatur eines perfekten Kristalls sich dem absoluten Nullpunkt (0 Kelvin) nähert, geht seine Entropie gegen einen konstanten Mindestwert, der in einem idealen Fall null ist.

Im Kontext unseres Experiments bedeutet das:

• Obwohl theoretisch die Entropieänderung bei idealen Bedingungen für isotherme Prozesse gleich null sein kann (wie im vorigen Teil erklärt), wird dies in der Realität wegen der folgenden Faktoren nicht exakt erreicht:
• Unmöglichkeit des Erreichens des absoluten Nullpunkts: Es ist physikalisch unmöglich, den absoluten Nullpunkt zu erreichen. In praktischen Experimenten liegt die Temperatur immer über 0 Kelvin, was bedeutet, dass die Entropieänderung nie genau null ist.
• Irreversibilität und reale Prozesse: Reale Prozesse sind nicht vollständig reversibel. Es gibt immer gewisse irreversible Verluste (wie Reibung, unvollständige Wärmeübertragung etc.), die zu einer Entropieerhöhung führen. Selbst bei sehr niedrigen Temperaturen bleibt diese Irreversibilität bestehen.
• Lückenhafte Wechselwirkungen: Bei Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt beginnen quantenmechanische Effekte eine bedeutende Rolle zu spielen, was die Gleichungskomplexität und die Wechselwirkungsdynamik erheblich beeinflusst. Dies verursacht weitere Abweichungen von der Idealität.
• Praktische Messungen: In praktischen Experimenten sind Messfehler und unvollständige Isolierung nie vollständig auszuschließen. Diese führen zu kleinen, aber endlichen Entropieänderungen.

Zusammenfassend ist die Entropieänderung in der Realität aufgrund der Unmöglichkeit, den absoluten Nullpunkt zu erreichen, und der irreversiblen Natur realer Prozesse nie genau null.

Aufgabe 4)

Untersuche die Lichtausbreitung in einem optischen System, bestehend aus einer planparallelen Glasplatte und einer konvexen Linse. Die Glasplatte (Brechungsindex n_1 = 1.5) hat eine Dicke von 2 cm. Ein Lichtstrahl trifft auf die Glasplatte unter einem Winkel von \theta_1 = 30^\text{°}. Nach dem Durchqueren der Glasplatte trifft der Lichtstrahl auf eine konvexe Linse (Brechungsindex n_2 = 1.6, Brennweite f = 10 cm). Bestimme die Position und die Art des Bildes, das durch die Linse erzeugt wird.

a)

• Berechne den Brechungswinkel \theta_2 an der Eintrittsfläche der Glasplatte.
• Prüfe, ob der Lichtstrahl an der Austrittsfläche der Glasplatte vollständig reflektiert wird. Bestimme dann den Austrittswinkel in die Luft.

Lösung:

Um diese Aufgabe zu lösen, gehst Du schrittweise vor:

• Berechne den Brechungswinkel \(\theta_2\) an der Eintrittsfläche der Glasplatte: Verwende das Snell'sche Gesetz:

• Das Snell'sche Gesetz lautet: \[n_0 \sin(\theta_1) = n_1 \sin(\theta_2)\]
• Gegeben: \(n_0 = 1\) (Luft), \(n_1 = 1.5\) (Glas), \(\theta_1 = 30^\text{°}\)
• \[\sin(30^\text{°}) = 0.5\]
• Setze in das Snell'sche Gesetz ein:\[1 \cdot \sin(30^\text{°}) = 1.5 \cdot \sin(\theta_2)\]\[1 \cdot 0.5 = 1.5 \cdot \sin(\theta_2)\]\[0.5 = 1.5 \cdot \sin(\theta_2)\]
• \[\sin(\theta_2) = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\]
• Der Winkel \(\theta_2\) ergibt sich durch:
• \[\theta_2 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19.47^\text{°}\]

• Prüfe, ob der Lichtstrahl an der Austrittsfläche der Glasplatte vollständig reflektiert wird:Bestimme dazu den kritischen Winkel \(\theta_c\) mithilfe der Formel:

• Für den kritischen Winkel (Totalreflexion) gilt:
• Das Snell'sche Gesetz für den Grenzwinkel lautet: \[\sin(\theta_c) = \frac{n_2}{n_1}\]
• Hier ist der Wechsel der Brechungsindizes an der Grenzfläche: \( n_1 = 1.5 \) (Glas) und \( n_0 = 1 \) (Luft):
• \[\sin(\theta_c) = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}\]
• Der kritische Winkel \(\theta_c\) ergibt sich durch:
• \[\theta_c = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 41.81^\text{°}\]
• Da \(\theta_2 \approx 19.47^\text{°}\) kleiner ist als \(\theta_c\), wird der Lichtstrahl nicht total reflektiert.

• Bestimme den Austrittswinkel in die Luft:Verwende erneut das Snell'sche Gesetz:

• Das Snell'sche Gesetz lautet: \[n_1 \sin(\theta_2) = n_0 \sin(\theta_3)\]
• Gegeben: \(n_1 = 1.5\) (Glas), \(n_0 = 1\) (Luft), \(\theta_2 = 19.47^\text{°}\)
• \[\sin(19.47^\text{°}) = 0.333\]
• Setze in das Snell'sche Gesetz ein:\[1.5 \cdot \sin(19.47^\text{°}) = 1 \cdot \sin(\theta_3)\]\[1.5 \cdot 0.333 = 1 \cdot \sin(\theta_3)\]\[0.5 = \sin(\theta_3)\]
• \[\theta_3 = \arcsin(0.5) = 30^\text{°}\]
• Der Austrittswinkel beträgt somit \(\theta_3 = 30^\text{°}\).

b)

• Zeichne die Strahlengänge sowohl bei Eintritt als auch beim Austritt des Lichtstrahls aus der Glasplatte.
• Berechne den Weg des Lichtstrahls innerhalb der Glasplatte.
• Bestimme die Position des Bildes, das durch die konvexe Linse erzeugt wird, wenn der Abstand zwischen der Glasplatte und der Linse 15 cm beträgt.
• Gib an, ob das Bild reell oder virtuell, aufrecht oder invertiert ist, und bestimme seine Vergrößerung.

Lösung:

Um diese Aufgaben zu lösen, gehen wir schrittweise vor:

• Zeichne die Strahlengänge sowohl bei Eintritt als auch beim Austritt des Lichtstrahls aus der Glasplatte:
• Um die Strahlenwege zu visualisieren, betrachte die Planparallele Glasplatte mit einem Einfallswinkel \(\theta_1 = 30^\text{°}\).
• Beim Eintritt in die Glasplatte wird der Strahl gemäß dem Brechungswinkel \(\theta_2\) gebrochen.
• Im Inneren der Glasplatte verläuft der Strahl gerade.
• Beim Austritt aus der Glasplatte wird der Strahl zurück in die Luft mit dem Austrittswinkel \(\theta_3\) gebrochen. Die Austrittswinkel sollten aufgrund der Strukturbalance im gleichen Einfallswinkel schneiden.
• Berechne den Weg des Lichtstrahls innerhalb der Glasplatte: Betrachte die Glasplatte mit Dicke \(d = 2\) cm und die beiden Einfalls-, bzw. Austrittswinkel. Da der Lichtstrahl teilweise abgelehnt wird, kann der Weg in der Glasplatte durch Trigonometrie berechnet werden:
• Im Dreieck aus der Dicke der Glasplatte und Winkelbeziehungen bilden sich die Längenbeziehungen, und wir haben:
• \(d = 2\) cm und \(\theta_2 = 19.47^\text{°}\), daher:
• \[L = \frac{d}{\cos(\theta_2)}\]
• \[L = \frac{2\ \text{cm}}{\cos(19.47^°)}\]
• \[L \approx 2.12 \ \text{cm}\]
• Der Lichtweg innerhalb der Glasplatte beträgt daher etwa 2.12 cm.
• Bestimme die Position des Bildes, das durch die konvexe Linse erzeugt wird, wenn der Abstand zwischen der Glasplatte und der Linse 15 cm beträgt:
• Verwende die Linsengleichung:
• \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]
• Gegeben: \(f = 10\ \text{cm}\), \(d_o = 15 + 2.12 = 17.12\ \text{cm}\):
• \[\frac{1}{10} = \frac{1}{17.12} + \frac{1}{d_i}\]
• \[\frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{17.12}\]
• \[d_i = \frac{1}{\left(\frac{1}{10} - \frac{1}{17.12}\right)}\]
• \[d_i \approx 23.51 \ \text{cm}\]
• Das Bild wird also in einer Entfernung von 23.51 cm von der Linse erzeugt.
• Gib an, ob das Bild reell oder virtuell, aufrecht oder invertiert ist, und bestimme seine Vergrößerung: Für eine konvexe Linse:
• Das Bild, das durch die konvexe Linse erzeugt wird, ist immer reell, wenn das Objekt außerhalb der Brennweite platziert wird. Da \(d_o > f\), handelt es sich um ein reelles Bild.
• Da durch eine konvexe Linse ein reelles Bild erzeugt wird, ist das Bild invertiert.
• Die Vergrößerung \(M\) wird durch Verhältnis von Bilddistanz (\(d_i\)) zu Objektdistanz (\(d_o\)): \[M = \frac{d_i}{d_o}\]
• \[M = \frac{23.51}{17.12} \approx 1.37\]
• Die Vergrößerung ist also etwa 1.37; somit ist das Bild 1.37-mal größer als das Objekt.