Rechenmethoden d. Physik, II - Cheatsheet

Relativistische Elektrodynamik

Definition:

Beschreibt die Wechselwirkung von elektromagnetischen Feldern und ihren Quellen in relativistischen Bezugssystemen.

Details:

• Grundgleichungen: Lorentz-transformationen und Maxwell-Gleichungen in kovarianter Form
• Vierervektoren: \[ \text{Vierervektor } x^u = (ct, \textbf{x}) \]
• Maxwell-Gleichungen in Form von Vierervektoren: \[ \frac{\text{d} F^{u \rho}}{\text{d} x^u} = \frac{4\text{π}}{c} j^\rho\]
• Elektromagnetischer Feldtensor: \[ F^{u \rho} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \ E_x/c & 0 & B_z & -B_y \ E_y/c & -B_z & 0 & B_x \ E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix} \]
• Lorentz-Kraft in echter Darstellung und kovarianter Form: \[ \textbf{F} = q(\textbf{E} + \textbf{v} \times \textbf{B}) \]
• Erhaltungssätze: Energie-Impuls-Tensor
• Beispiele: Synchrotronstrahlung, Elektron-Positron-Schöpfung

Statistische Ensembles und Verteilungsfunktionen

Definition:

Statistische Ensembles gruppieren Systeme basierend auf identischen makroskopischen Bedingungen, Verteilungsfunktionen bestimmen die Wahrscheinlichkeit von Mikro-Zuständen.

Details:

• Kanonisches Ensemble: Festes N, V, T.
• Ensemble Gleichgewicht: \rho = \frac{1}{Z}e^{-\beta H}
• Gibbsche Zustandssumme: Z = \sum_{i} e^{-\beta E_i}
• Großkanonisches Ensemble: Festes \(\mu\), V, T.
• Makroskopische Variablen: Energie (E), Teilchenzahl (N), Volumen (V), Temperatur (T), chemisches Potential (\(\mu\)).
• Boltzmann Verteilungsfunktion: \(P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}\).

Tensorrechnung und Differentialgeometrie

Definition:

Tensorrechnung: Umgang mit Tensoren, multilineare Abbildungen Differentialgeometrie: Untersuchung von Kurven, Flächen und Mannigfaltigkeiten mittels Differentiation und Integration

Details:

• Tensor: Multilineare Abbildung, Transformationsverhalten unter Koordinatenwechsel
• Tensor-Typ: (n,m)-Typ, n kontravariante, m kovariante Indizes
• Wichtige Operationen: Tensorprodukt, Kontraktion, Symmetrisierung
• Christoffel-Symbole: \(\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} (\partial_j g_{li} + \partial_i g_{lj} - \partial_l g_{ij})\)
• Geodätengleichung: \(\frac{d^2 x^k}{d\lambda^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda} = 0\)
• Riemannscher Krümmungstensor: \({R^l}_{ijk} = \partial_i \Gamma^l_{jk} - \partial_j \Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{im} \Gamma^m_{jk} - \Gamma^l_{jm} \Gamma^m_{ik}\)
• Ricci-Tensor: \({R}_{ij} = {R^k}_{ikj}\)
• Skalarkrümmung: \(R = g^{ij} R_{ij}\)

Partielle Differentialgleichungen und Fourier-Transformation

Definition:

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) beschreiben physikalische Phänomene wie Wärmeleitung oder Wellenausbreitung. Fourier-Transformation (FT) im Kontext von PDEs dient der Lösung dieser Gleichungen in den entsprechenden Frequenzbereichen.

Details:

• Anwenden der FT auf PDEs vereinfacht die Lösung durch Umwandlung in Algebraische Gleichungen.
• Grundformel der FT: \( \tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx} \, dx \)
• Umkehrtransformation: \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(k) e^{ikx} \, dk \)
• Beispiel - Wärmeleitungsgleichung in 1D: \( \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \)
• Fourier-Transformierte der Wärmeleitungsgleichung: \( \frac{d \tilde{u}}{dt} + \alpha k^2 \tilde{u} = 0 \)

Variationsrechnung und ihre Anwendung

Definition:

Berechnung von Extrema von Funktionalen, wichtig für viele Probleme in der Physik.

Details:

• Funktional definiert als: \( J[y] = \int_{a}^{b} L(x, y, y') \, dx \)
• Euler-Lagrange-Gleichung: \( \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial L}{\partial y'} \right) = 0 \)
• Anwendungen: z.B. in der klassischen Mechanik (Lagrange-Mechanik), Optik (Fermat's Prinzip), Quantenmechanik (Pfadintegrale)

Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierung

Definition:

Eigenschaften linearer Transformationen, wichtig für die Lösung von Differentialgleichungen.

Details:

• Eigenwert-Gleichung: \(A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\)
• \(A\): quadratische Matrix
• \(\mathbf{v}\): Eigenvektor,\(\lambda\): Eigenwert
• Diagonalisierung: Matrix \(A\) zerlegen in \(A = PDP^{-1}\)
• \(D\): Diagonalmatrix der Eigenwerte
• \(P\): Matrix der Eigenvektoren
• Anwendung: Erleichterung der Potenzierung von Matrizen und Lösung von linearen Gleichungssystemen.