Rechenmethoden d. Physik, II - Exam

Aufgabe 1)

Die Maxwell-Gleichungen in relativistischen Bezugssystemen beschreiben die Wechselwirkung von elektromagnetischen Feldern und ihren Quellen. Diese Gleichungen können in kovarianter Form unter Verwendung von Vierervektoren und elektromagnetischen Feldtensoren dargestellt werden:

b)

Berechne die Lorentz-Kraft auf ein Teilchen mit Ladung \(q\), das sich mit Geschwindigkeit \(\textbf{v}\) in einem elektromagnetischen Feld \(\textbf{E}\) und \(\textbf{B}\) befindet. Verwende dazu die Lorentz-Kraft in ihrer kovarianten Form \(\textbf{F} = q(\textbf{E} + \textbf{v} \times \textbf{B})\) und zeige, dass das Resultat identisch mit der klassischen Darstellung der Lorentz-Kraft ist.

Lösung:

Übung: Berechnung der Lorentz-Kraft auf ein Teilchen

Wir berechnen die Lorentz-Kraft auf ein Teilchen mit Ladung \(q\), das sich mit der Geschwindigkeit \(\textbf{v}\) in einem elektromagnetischen Feld \(\textbf{E}\) und \(\textbf{B}\) befindet. Wir zeigen, dass die kovariante Form der Lorentz-Kraft mit der klassischen Darstellung übereinstimmt.

Klassische Darstellung der Lorentz-Kraft

Die klassische Darstellung der Lorentz-Kraft lautet:

\( \textbf{F} = q ( \textbf{E} + \textbf{v} \times \textbf{B} ) \)

Kovarianten Form der Lorentz-Kraft

In der relativistischen Formulierung ist die Lorentz-Kraft in Vierervektor-Notation gegeben durch:

\( F^\mu = q \eta^{\mu u} F_{u \alpha} u^\alpha \)

Hierbei sind:

• \( \eta^{\mu u} \) die Minkowski-Metrik,
• \( F_{u \alpha} \) der elektromagnetische Feldtensor,
• \( u^\alpha \) der Vierervektor der Geschwindigkeit des Teilchens.

Elektromagnetischer Feldtensor

Der elektromagnetische Feldtensor \(F_{\mu u}\) wird definiert als:

\( F_{\mu u} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \ E_x & 0 & -B_z & B_y \ E_y & B_z & 0 & -B_x \ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \)

Vierer-Geschwindigkeitsvektor

Der Vierer-Geschwindigkeitsvektor \(u^\alpha\) ist gegeben durch:

\( u^\alpha = \gamma ( 1, \frac{ \textbf{v} }{ c } ) \)

wobei \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\).

Berechnung der Lorentz-Kraft in der klassischen Darstellung

In der klassischen Form haben wir:

\( \textbf{F} = q ( \textbf{E} + \textbf{v} \times \textbf{B} ) \)

Vierer-Darstellung der Lorentz-Kraft

Zerlegen wir die kovariante Form in Raum- und Zeitkomponenten:

Betrachten wir die räumlichen Komponenten (\(i = 1, 2, 3\)):\(F^i = q \left( F^{i0} + \epsilon^{ijk} u_j B_k \right)\)Hierbei ist \( F^{i0} = E^i \).

\( F^i = q ( E^i + (\textbf{v} \times \textbf{B})^i ) \)

Dies ist genau die klassische Form der Lorentz-Kraft:

\(\textbf{F} = q(\textbf{E} + \textbf{v} \times \textbf{B})\)

Schlussfolgerung

Wir haben gezeigt, dass die kovariante Darstellung der Lorentz-Kraft:

\( F^\mu = q \eta^{\mu u} F_{u \alpha} u^\alpha \)

identisch ist mit der klassischen Darstellung der Lorentz-Kraft:

\( \textbf{F} = q ( \textbf{E} + \textbf{v} \times \textbf{B} ) \)

Dies zeigt, dass die klassische Darstellung der Lorentz-Kraft korrekt aus der relativistischen, kovarianten Form folgt.

c)

Diskutiere, wie die Erhaltungssätze des Energie-Impuls-Tensors in der relativistischen Elektrodynamik zur Beschreibung von physikalischen Prozessen wie der Synchrotronstrahlung oder der Elektron-Positron-Schöpfung verwendet werden können. Formuliere die allgemeine Gleichung des Energie-Impuls-Tensors und erörtere die physikalische Bedeutung der einzelnen Terme.

Lösung:

Übung: Erhaltungssätze des Energie-Impuls-Tensors in der relativistischen Elektrodynamik

Die Erhaltungssätze des Energie-Impuls-Tensors spielen eine zentrale Rolle in der relativistischen Elektrodynamik und ermöglichen die Beschreibung von physikalischen Prozessen wie der Synchrotronstrahlung oder der Elektron-Positron-Schöpfung.

Allgemeine Gleichung des Energie-Impuls-Tensors

Der Energie-Impuls-Tensor in der relativistischen Elektrodynamik ist gegeben durch:

\[ T^{\rho u} = \frac{1}{\text{\textmu}_0} \bigg( F^{\rho \beta} F^{u}_{\text{ } \beta} - \frac{1}{4} \text{\textdelta}^{\rho u} F^{\beta \tau} F_{\tau \beta} \bigg) + T^{\rho u}_{\text{Materie}} \]

Hierbei sind:

• \( F^{\rho \beta} \): Der elektromagnetische Feldtensor.
• \( \text{\textmu}_0 \): Die magnetische Feldkonstante.
• \( \text{\textdelta}^{\rho u} \): Die Minkowski-Metrik.
• \( T^{\rho u}_{\text{Materie}} \): Der Energie-Impuls-Tensor der Materie.

Erhaltungssatz des Energie-Impuls-Tensors

Der Erhaltungssatz des Energie-Impuls-Tensors in differenzieller Form lautet:

\[ \frac{\text{d} T^{\rho u}}{\text{d} x^\rho} = 0 \]

Dieser Erhaltungssatz besagt, dass die Energie und der Impuls in einem abgeschlossenen System erhalten bleiben.

Physikalische Bedeutung der einzelnen Terme

1. Term \( F^{\rho \beta} F^{u}_{\text{ } \beta} \):Dieser Term beschreibt den Beitrag der elektromagnetischen Felder zur Energie- und Impulserhaltung. Dies wird insbesondere bei Phänomenen wie der Synchrotronstrahlung relevant, bei der ein beschleunigtes geladenes Teilchen durch elektromagnetische Felder beeinflusst und damit seine Energie verändert wird.
2. Term \( \frac{1}{4} \text{\textdelta}^{\rho u} F^{\beta \tau} F_{\tau \beta} \):Dieser Term sorgt dafür, dass die Energie- und Impulserhaltung in alle Richtungen berücksichtigt wird. Er repräsentiert die isotrope Verteilung im Raum, die zur Erhaltungsgesetz beiträgt.
3. Term \( T^{\rho u}_{\text{Materie}} \):Dieser Term umfasst die Energie und den Impuls der Materie und deren Wechselwirkung mit elektromagnetischen Feldern. Er beschreibt, wie die Materie im elektromagnetischen Feld Energie aufnimmt oder abgibt.

Anwendung auf physikalische Prozesse

1. Synchrotronstrahlung:Synchrotronstrahlung tritt auf, wenn relativistisch geladene Teilchen durch ein Magnetfeld kreisen. Der Energie-Impuls-Tensor beschreibt, wie elektromagnetische Energie in Form von Strahlung emittiert wird, während das Teilchen seine Bahn durchläuft. Dies ist eine direkte Konsequenz aus dem Term \( F^{\rho \beta} F^{u}_{\text{ } \beta} \).
2. Elektron-Positron-Schöpfung:Dieser Prozess tritt auf, wenn Photonen in der Nähe eines starken elektrischen Feldes oder eines schweren Atomkerns in ein Elektron-Positron-Paar umgewandelt werden. Der Energie-Impuls-Tensor stellt sicher, dass die Gesamtenergie und der Gesamtimpuls während der Schöpfung erhalten bleiben, indem er die Energie- und Impulsbilanz vor und nach dem Prozess beschreibt.

Schlussfolgerung

Der Energie-Impuls-Tensor und seine Erhaltungssätze sind fundamentale Werkzeuge in der relativistischen Elektrodynamik. Sie ermöglichen es, komplexe physikalische Prozesse wie Synchrotronstrahlung und Elektron-Positron-Schöpfung präzise zu beschreiben, indem sie sicherstellen, dass die Naturgesetze der Energie- und Impulserhaltung eingehalten werden.

Aufgabe 2)

In einem isolierten System, das durch ein kanonisches Ensemble beschrieben wird, sind die Anzahl der Teilchen (N), das Volumen (V) und die Temperatur (T) fest. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein System im Zustand mit Energie E_i ist, wird durch die Boltzmann-Verteilungsfunktion gegeben: P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z} Hierbei ist \( \beta = \frac{1}{k_B T} \) und die Zustandssumme Z ist definiert als Z = \sum_{i} e^{-\beta E_i} Gegeben sei ein System mit zwei möglichen Energiezuständen E_1 und E_2 mit den Energien E_1 = 0 und E_2 = \epsilon .

a)

Berechne die Zustandssumme Z und die Wahrscheinlichkeiten P_1 und P_2 für die beiden Energiezustände. Nimm an, dass \(\beta \epsilon\) eine beliebige positive Zahl ist.

Lösung:

• Zustandssumme Z:Die Zustandssumme Z wird durch die Summe der Boltzmann-Faktoren für alle möglichen Zustände gegeben. Für unser System mit zwei Energiezuständen E_1 und E_2, wobei E_1 = 0 und E_2 = \epsilon, lautet die Zustandssumme:

Z = \sum_{i} e^{-\beta E_i} 

Z = e^{-\beta E_1} + e^{-\beta E_2}

Z = e^{-\beta \cdot 0} + e^{-\beta \epsilon}

Z = 1 + e^{-\beta \epsilon}

• Berechnung der Wahrscheinlichkeiten P_1 und P_2:Die Wahrscheinlichkeit P_i, dass das System im Zustand mit Energie E_i ist, wird durch die Boltzmann-Verteilungsfunktion gegeben:

P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}

• Wahrscheinlichkeit P_1:Für den Zustand mit Energie E_1 = 0:

P_1 = \frac{e^{-\beta \cdot 0}}{Z}

P_1 = \frac{1}{1 + e^{-\beta \epsilon}}

• Wahrscheinlichkeit P_2:Für den Zustand mit Energie E_2 = \epsilon:

P_2 = \frac{e^{-\beta E_2}}{Z}

P_2 = \frac{e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}}

• Zusammenfassung:Die Zustandssumme und die Wahrscheinlichkeiten sind wie folgt:
• Zustandssumme:

Z = 1 + e^{-\beta \epsilon}

• Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand mit Energie E_1 ist:

P_1 = \frac{1}{1 + e^{-\beta \epsilon}}

• Wahrscheinlichkeit, dass das System im Zustand mit Energie E_2 ist:

P_2 = \frac{e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}}

b)

Bestimme die mittlere Energie \( \langle E \rangle \) des Systems. Drücke die mittlere Energie in Abhängigkeit von \( \beta \epsilon \) aus.

Lösung:

• Mittlere Energie:Die mittlere Energie \( \langle E \rangle \) eines Systems wird durch die gewichtete Summe der Energien aller Zustände unter Berücksichtigung ihrer Wahrscheinlichkeiten berechnet. Es gilt:

\langle E \rangle = \sum_{i} P_i E_i

• Für unser System mit den Energiezuständen E_1 = 0 und E_2 = \epsilon berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten P_1 und P_2 und setzen diese in die Formel ein:

• Wahrscheinlichkeiten:
• Die Zustandssumme ist:

Z = 1 + e^{-\beta \epsilon}

• Die Wahrscheinlichkeit für den Zustand mit Energie E_1 = 0:

P_1 = \frac{1}{1 + e^{-\beta \epsilon}}

• Die Wahrscheinlichkeit für den Zustand mit Energie E_2 = \epsilon:

P_2 = \frac{e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}}

• Mittlere Energie:Nun setzen wir diese Wahrscheinlichkeiten in die Formel für die mittlere Energie ein:

\langle E \rangle = P_1 E_1 + P_2 E_2

\langle E \rangle = \left( \frac{1}{1 + e^{-\beta \epsilon}} \right) \cdot 0 + \left( \frac{e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}} \right) \cdot \epsilon

• Da der erste Term null wird (da E_1 = 0):

\langle E \rangle = \left( \frac{e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}} \right) \cdot \epsilon

• Zusammenfassung:
• Die mittlere Energie des Systems in Abhängigkeit von \( \beta \epsilon \) ist:

\langle E \rangle = \frac{\epsilon e^{-\beta \epsilon}}{1 + e^{-\beta \epsilon}}

Aufgabe 3)

Gegeben ist eine riemannsche Mannigfaltigkeit \

• Betrachte eine riemannsche Mannigfaltigkeit \(M, g\) mit einer metrischen Tensor \(g_{ij}\).
• Die Christoffel-Symbole sind gegeben durch \(\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} (\partial_j g_{li} + \partial_i g_{lj} - \partial_l g_{ij})\).
• Die Geodätengleichung lautet \(\frac{d^2 x^k}{d\lambda^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda} = 0\).
• Der Riemannsche Krümmungstensor ergibt sich aus \({R^l}_{ijk} = \partial_i \Gamma^l_{jk} - \partial_j \Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{im} \Gamma^m_{jk} - \Gamma^l_{jm} \Gamma^m_{ik}\).
• Der Ricci-Tensor ist definiert als \({R}_{ij} = {R^k}_{ikj}\).
• Die Skalarkrümmung berechnet sich über \(R = g^{ij} R_{ij}\).

a)

Leite für eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit mit der Metrik \(ds^2 = (1+y^2)dx^2 + (1+x^2)dy^2\) die Komponenten der Christoffel-Symbole \(\Gamma^k_{ij}\) her. Berechne anschließend die Geodätengleichungen und stelle sie explizit dar.

Lösung:

Aufgabe:

Leite für eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit mit der Metrik \(ds^2 = (1+y^2)dx^2 + (1+x^2)dy^2\) die Komponenten der Christoffel-Symbole \(\Gamma^k_{ij}\) her. Berechne anschließend die Geodätengleichungen und stelle sie explizit dar.

Lösung:

• 1. Schritt: Bestimme die Metrikkomponenten

Für die gegebene Metrik \(ds^2 = (1+y^2)dx^2 + (1+x^2)dy^2\) können wir die Metrikkomponenten ablesen: \(g_{11} = 1 + y^2\), \(g_{22} = 1 + x^2\), und \(g_{12} = g_{21} = 0\).

• 2. Schritt: Inverse der Metrik

Die inverse Metrik \(g^{ij}\) ergibt sich durch: \(g^{11} = \frac{1}{1 + y^2}\), \(g^{22} = \frac{1}{1 + x^2}\), und \(g^{12} = g^{21} = 0\).

• 3. Schritt: Berechne die partiellen Ableitungen der Metrikkomponenten
• \(\partial_1 g_{11} = \partial_x (1 + y^2) = 0\)
• \(\partial_2 g_{11} = \partial_y (1 + y^2) = 2y\)
• \(\partial_1 g_{22} = \partial_x (1 + x^2) = 2x\)
• \(\partial_2 g_{22} = \partial_y (1 + x^2) = 0\)
• \(\partial_1 g_{12} = \partial_1 g_{21} = 0\)
• \(\partial_2 g_{12} = \partial_2 g_{21} = 0\)

• 4. Schritt: Berechne die Christoffel-Symbole

Die Christoffel-Symbole sind definiert durch die Gleichung: \(\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} (\partial_j g_{li} + \partial_i g_{lj} - \partial_l g_{ij})\).

• \(\Gamma^1_{11} = \frac{1}{2} g^{11} (\partial_1 g_{11} + \partial_1 g_{11} - \partial_1 g_{11})\) = \(\frac{1}{2} \frac{1}{1 + y^2} (0 + 0 - 0) = 0\).
• \(\Gamma^1_{12} = \Gamma^1_{21} = \frac{1}{2} g^{11} (\partial_2 g_{11} + \partial_1 g_{12} - \partial_1 g_{12})\) = \(\frac{1}{2} \frac{1}{1 + y^2} (2y + 0 - 0) = \frac{y}{1 + y^2}\).
• \(\Gamma^1_{22} = \frac{1}{2} g^{11} (\partial_2 g_{21} + \partial_2 g_{12} - \partial_1 g_{22})\) = \(\frac{1}{2} \frac{1}{1 + y^2} (0 + 0 - 2x) = -\frac{x}{1 + y^2}\).
• \(\Gamma^2_{11} = \frac{1}{2} g^{22} (\partial_1 g_{12} + \partial_1 g_{12} - \partial_2 g_{11})\) = \(\frac{1}{2} \frac{1}{1 + x^2} (0 + 0 - 2y) = -\frac{y}{1 + x^2}\).
• \(\Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{21} = \frac{1}{2} g^{22} (\partial_2 g_{12} + \partial_1 g_{22} - \partial_2 g_{12})\) = \(\frac{1}{2} \frac{1}{1 + x^2} (0 + 2x - 0) = \frac{x}{1 + x^2}\).
• \(\Gamma^2_{22} = \frac{1}{2} g^{22} (\partial_2 g_{22} + \partial_2 g_{22} - \partial_2 g_{22})\) = \(\frac{1}{2} \frac{1}{1 + x^2} (0 + 0 - 0) = 0\).
• 5. Schritt: Aufstellen der Geodätengleichungen

Die Geodätengleichungen sind gegeben durch: \(\frac{d^2 x^k}{d\lambda^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda} = 0\).

• Für \(k = 1\): \(\frac{d^2 x^1}{d\lambda^2} + \Gamma^1_{11} \frac{dx^1}{d\lambda} \frac{dx^1}{d\lambda} + \Gamma^1_{12} \frac{dx^1}{d\lambda} \frac{dx^2}{d\lambda} + \Gamma^1_{21} \frac{dx^2}{d\lambda} \frac{dx^1}{d\lambda} + \Gamma^1_{22} \frac{dx^2}{d\lambda} \frac{dx^2}{d\lambda} = 0\) = \(\frac{d^2 x^1}{d\lambda^2} + 0 + 2 \frac{y}{1 + y^2} \frac{dx^1}{d\lambda} \frac{dx^2}{d\lambda} - \frac{x}{1+y^2} \left( \frac{dx^2}{d\lambda} \right)^2 = 0\).
• Für \(k = 2\): \(\frac{d^2 x^2}{d\lambda^2} + \Gamma^2_{11} \frac{dx^1}{d\lambda} \frac{dx^1}{d\lambda} + \Gamma^2_{12} \frac{dx^1}{d\lambda} \frac{dx^2}{d\lambda} + \Gamma^2_{21} \frac{dx^2}{d\lambda} \frac{dx^1}{d\lambda} + \Gamma^2_{22} \frac{dx^2}{d\lambda} \frac{dx^2}{d\lambda} = 0\) = \(\frac{d^2 x^2}{d\lambda^2} - \frac{y}{1 + x^2} \left( \frac{dx^1}{d\lambda} \right)^2 + 2 \frac{x}{1 + x^2} \frac{dx^1}{d\lambda} \frac{dx^2}{d\lambda} = 0\).

Die Geodätengleichungen:

• \(\frac{d^2 x^1}{d\lambda^2} + \frac{2y}{1 + y^2} \frac{dx^1}{d\lambda} \frac{dx^2}{d\lambda} - \frac{x}{1+y^2} \left( \frac{dx^2}{d\lambda} \right)^2 = 0\)
• \(\frac{d^2 x^2}{d\lambda^2} - \frac{y}{1+x^2} \left( \frac{dx^1}{d\lambda} \right)^2 + \frac{2x}{1 + x^2} \frac{dx^1}{d\lambda} \frac{dx^2}{d\lambda} = 0\)

b)

Berechne den Riemannschen Krümmungstensor \({R^l}_{ijk}\) für die oben genannte Mannigfaltigkeit. Finde die Komponenten des Ricci-Tensors \(R_{ij}\) und die Skalarkrümmung \(R\). Interpretiere die Ergebnisse in Bezug auf die Krümmungseigenschaften der Mannigfaltigkeit.

Lösung:

Aufgabe:

Berechne den Riemannschen Krümmungstensor \({R^l}_{ijk}\) für die oben genannte Mannigfaltigkeit. Finde die Komponenten des Ricci-Tensors \({R}_{ij}\) und die Skalarkrümmung \(R\). Interpretiere die Ergebnisse in Bezug auf die Krümmungseigenschaften der Mannigfaltigkeit.

Lösung:

Für die zuvor beschriebene 2-dimensionale Mannigfaltigkeit mit der Metrik \(ds^2 = (1+y^2)dx^2 + (1+x^2)dy^2\) benutzen wir die bereits berechneten Christoffel-Symbole:

• \(\Gamma^1_{11} = 0\)
• \(\Gamma^1_{12} = \Gamma^1_{21} = \frac{y}{1 + y^2}\)
• \(\Gamma^1_{22} = -\frac{x}{1 + y^2}\)
• \(\Gamma^2_{11} = -\frac{y}{1 + x^2}\)
• \(\Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{21} = \frac{x}{1 + x^2}\)
• \(\Gamma^2_{22} = 0\)
• 1. Schritt: Berechne den Riemannschen Krümmungstensor

Die Definition des Riemannschen Krümmungstensors lautet:

\({R^l}_{ijk} = \partial_i \Gamma^l_{jk} - \partial_j \Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{im} \Gamma^m_{jk} - \Gamma^l_{jm} \Gamma^m_{ik}\)

Wir betrachten die nichttrivialen Komponenten:

• \({R^1}_{212}\):

\({R^1}_{212} = \partial_2 \Gamma^1_{12} - \partial_1 \Gamma^1_{22} + \Gamma^1_{2m} \Gamma^m_{12} - \Gamma^1_{1m} \Gamma^m_{22}\)

= \(\partial_y \left( \frac{y}{1 + y^2} \right) - \partial_x \left( -\frac{x}{1 + y^2} \right) + \Gamma^1_{21} \Gamma^1_{12} + \Gamma^1_{22} \Gamma^2_{12} - \Gamma^1_{11} \Gamma^1_{22} - \Gamma^1_{12} \Gamma^2_{22}\)

= \(\frac{1 - y^2}{(1 + y^2)^2} + 0 + \frac{y}{1 + y^2} \frac{y}{1 + y^2} + \left(-\frac{x}{1 + y^2}\right) \frac{x}{1 + x^2}\)

= \(\frac{1 - y^2 + y^2}{(1 + y^2)^2} - \frac{x^2}{(1 + y^2)(1 + x^2)}\)

= \(\frac{1}{(1 + y^2)^2} - \frac{x^2}{(1 + y^2)(1 + x^2)}\)

= \(\frac{1}{(1 + y^2)(1 + x^2)}\)

• \({R^2}_{121}\):

\({R^2}_{121} = \partial_1 \Gamma^2_{21} - \partial_2 \Gamma^2_{11} + \Gamma^2_{1m} \Gamma^m_{21} - \Gamma^2_{2m} \Gamma^m_{11}\)

= \(\partial_x \left( \frac{x}{1 + x^2} \right) - \partial_y \left( -\frac{y}{1 + x^2} \right) + \Gamma^2_{12} \Gamma^1_{21} + \Gamma^2_{11} \Gamma^2_{21} - \Gamma^2_{12} \Gamma^1_{11} - \Gamma^2_{22} \Gamma^2_{11}\)

= \(\frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} + 0 + \frac{x}{1 + x^2} \frac{x}{1 + x^2} + \left(-\frac{y}{1 + x^2}\right) \frac{y}{1 + x^2}\)

= \(\frac{1 - x^2 + x^2}{(1 + x^2)^2} - \frac{y^2}{(1 + x^2)^2}\)

= \(\frac{1}{(1 + x^2)^2} - \frac{y^2}{(1 + x^2)(1 + x^2)}\)

= \(\frac{1}{(1 + x^2)(1 + y^2)}\)

• 2. Schritt: Berechne den Ricci-Tensor

Der Ricci-Tensor ergibt sich durch: \({R}_{ij} = {R^k}_{ikj}\).

Für eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit können wir die nichttrivialen Komponenten berechnen:

• \({R}_{11} = {R^2}_{121} = \frac{1}{(1 + x^2)(1 + y^2)}\).
• \({R}_{22} = {R^1}_{212} = \frac{1}{(1 + x^2)(1 + y^2)}\).
• 3. Schritt: Berechne die Skalarkrümmung

Die Skalarkrümmung ergibt sich durch: \(R = g^{ij} R_{ij}\).

Mit den inversen Metrikkomponenten:

• \(g^{11} = \frac{1}{1 + y^2}\)
• \(g^{22} = \frac{1}{1 + x^2}\)
• \(R = g^{11} R_{11} + g^{22} R_{22} = \frac{1}{1 + y^2} \frac{1}{(1 + x^2)(1 + y^2)} + \frac{1}{1 + x^2} \frac{1}{(1 + x^2)(1 + y^2)}\)
• = \(\frac{1}{(1 + y^2)^2(1 + x^2)} + \frac{1}{(1 + x^2)^2(1 + y^2)}\)
• = \(\frac{(1 + x^2) + (1 + y^2)}{(1 + x^2)(1 + y^2)^2}\)
• = \(\frac{1}{(1 + x^2)(1 + y^2)}\)
• Schlussfolgerung:

Die Mannigfaltigkeit hat konstante positive Krümmung, wie sich aus den berechneten Komponenten des Riemannschen Krümmungstensors, des Ricci-Tensors und der Skalarkrümmung ergibt. Dies deutet auf eine sphärische Geometrie hin, die einer positiv gekrümmten Fläche entspricht.

Aufgabe 4)

Kontext: Gegeben ist die Wärmeleitungsgleichung in einer Dimension: \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] Es ist bekannt, dass die Fourier-Transformation verwendet werden kann, um diese partielle Differentialgleichung (PDE) zu lösen. Die Fourier-Transformierte einer Funktion \( f(x) \) ist gegeben durch: \[ \tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx} \, dx \] und die Umkehrtransformation lautet: \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(k) e^{ikx} \, dk \] Durch Anwenden der Fourier-Transformation auf die Wärmeleitungsgleichung erhält man: \[ \frac{d \tilde{u}}{dt} + \alpha k^2 \tilde{u} = 0 \]

• Die Fourier-Transformation vereinfacht die PDE in eine gewöhnliche Differentialgleichung.

a)

Teilaufgabe a: Löse die durch die Fourier-Transformation entstandene gewöhnliche Differentialgleichung \[ \frac{d \tilde{u}}{dt} + \alpha k^2 \tilde{u} = 0 \] für \( \tilde{u}(k,t) \) unter der Annahme, dass \( \tilde{u}(k,0) = \tilde{u}_0(k) \) ist.

Lösung:

• Schritt 1: Formuliere die Differentialgleichung neu
Die gewöhnliche Differentialgleichung lautet: \[ \frac{d \tilde{u}}{dt} + \alpha k^2 \tilde{u} = 0 \]
• Schreibe sie in der Form \[ \frac{d \tilde{u}}{dt} = - \alpha k^2 \tilde{u} \]
• Schritt 2: Verwende die Methode der Trennung der Variablen
Der nächste Schritt besteht darin, die Variablen zu trennen: \[ \frac{1}{\tilde{u}} \frac{d \tilde{u}}{dt} = - \alpha k^2 \]
• Schritt 3: Integriere beide Seiten der Gleichung
Integriere die linke Seite in Bezug auf \( t \) und die rechte Seite in Bezug auf \( t \): \[ \int \frac{1}{\tilde{u}} \frac{d \tilde{u}}{dt} \ dt = - \alpha k^2 \int dt \] Dies führt zu: \[ \ln|\tilde{u}| = - \alpha k^2 t + C \] wobei \( C \) eine Integrationskonstante ist. Nehmen wir die Exponentialfunktion beider Seiten, um \( \tilde{u} \) zu isolieren: \[ \tilde{u} = e^{-\alpha k^2 t + C} = e^{C} e^{-\alpha k^2 t} \]
• Schritt 4: Bestimme die Konstante
Bestimme die Integrationskonstante \( e^{C} \), indem die Anfangsbedingungen verwendet werden: \[ \tilde{u}(k,0) = \tilde{u}_0(k) \] Wende diese Bedingung an: \[ \tilde{u}_0(k) = e^{C} e^{0} = e^{C} \] Daher ist \( e^{C} = \tilde{u}_0(k) \).
• Schritt 5: Erhalte die Lösung
Setze \( e^{C} \) in die Gleichung ein, um die vollständige Lösung zu erhalten: \[ \tilde{u}(k,t) = \tilde{u}_0(k) e^{-\alpha k^2 t} \]
• Zusammenfassung: Die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung \( \tilde{u}(k,0) = \tilde{u}_0(k) \) ist: \[ \tilde{u}(k,t) = \tilde{u}_0(k) e^{-\alpha k^2 t} \]

b)

Teilaufgabe b: Kehre die Fourier-Transformation der Lösung \( \tilde{u}(k,t) \) aus Teilaufgabe a um, um die Lösung \( u(x,t) \) im Ortsraum zu finden. Erkläre jeden Schritt detailliert.

Lösung:

• Schritt 1: Betrachte die Lösung aus Teilaufgabe a
In Teilaufgabe a haben wir festgestellt, dass die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung lautet: \[ \tilde{u}(k,t) = \tilde{u}_0(k) e^{-\alpha k^2 t} \]
• Schritt 2: Verwende die Umkehr-Fourier-Transformation
Um die Lösung \( u(x,t) \) im Ortsraum zu finden, müssen wir die Umkehr-Fourier-Transformation der Funktion \( \tilde{u}(k,t) \) anwenden: \[ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{u}(k,t) e^{ikx} \, dk \]
• Schritt 3: Setze \( \tilde{u}(k,t) \) in die Umkehr-Fourier-Transformation ein
Setze die Lösung \( \tilde{u}(k,t) = \tilde{u}_0(k) e^{-\alpha k^2 t} \) in die Umkehr-Fourier-Transformation ein: \[ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{u}_0(k) e^{-\alpha k^2 t} e^{ikx} \, dk \]
• Schritt 4: Berücksichtige die Anfangsbedingungen und die Eigenschaften der Fourier-Transformation
Betrachten wir die spezielle Form der Anfangsbedingung \( \tilde{u}_0(k) \). Für die allgemeine Form nehmen wir an, dass \( \tilde{u}_0(k) \) eine bekannte Funktion ist, die die Anfangsbedingungen beschreibt. Die Anfangsbedingung \( u(x,0) = u_0(x) \) impliziert: \[ \tilde{u}_0(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u_0(x) e^{-ikx} \, dx \] Dazu verwenden wir diese Anfangsbedingung in der Umkehr-Fourier-Transformation.
• Schritt 5: Substituiere die Anfangsbedingung und vereinfache den Ausdruck
Setze \( \tilde{u}_0(k) \) in die Umkehr-Fourier-Transformation ein: \[ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u_0(\tilde{x}) e^{-ik\tilde{x}} \, d\tilde{x}\right) e^{-\alpha k^2 t} e^{ikx} \, dk \]
• Schritt 6: Führe die Integration über \( k \) durch
Um die Integration über \( k \) durchzuführen, kombinieren wir die Terme und reorganisieren: \[ u(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} u_0(\tilde{x}) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha k^2 t} e^{ik(x - \tilde{x})} \, dk \right) d\tilde{x} \] Der innere Integral hat die Form einer bekannten Fourier-Transformation von \( e^{-\alpha k^2 t} \), welche eine Gaußfunktion ist: \[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha k^2 t} e^{ik(x - \tilde{x})} \, dk = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha t}} e^{-\frac{(x - \tilde{x})^2}{4\alpha t}} \]
• Schritt 7: Setze das Ergebnis des inneren Integrals ein
Ersetzen wir das Ergebnis des inneren Integrals, erhalten wir: \[ u(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} u_0(\tilde{x}) \sqrt{\frac{\pi}{\alpha t}} e^{-\frac{(x - \tilde{x})^2}{4\alpha t}} d\tilde{x} \]
• Schritt 8: Vereinfachung der Konstanten
Die Konstante kann außerhalb des Integrals vereinfacht werden: \[ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi\alpha t}} \int_{-\infty}^{\infty} u_0(\tilde{x}) e^{-\frac{(x - \tilde{x})^2}{4\alpha t}} d\tilde{x} \]
• Zusammenfassung: Die Lösung \( u(x,t) \) im Ortsraum ist:
\[ u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi\alpha t}} \int_{-\infty}^{\infty} u_0(\tilde{x}) e^{-\frac{(x - \tilde{x})^2}{4\alpha t}} d\tilde{x} \]
• Dies zeigt, dass die Temperaturverteilung \( u(x,t) \) im Laufe der Zeit durch eine Faltung der Anfangsverteilung \( u_0(x) \) mit einer Gaußfunktion beschrieben wird.