Synopsis d. Theoretischen Physik - Cheatsheet

Heisenbergsche Unschärferelation

Definition:

Fundamentales Prinzip in der Quantenmechanik, das besagt, dass bestimmte Paare physikalischer Größen nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind.

Details:

• Mathematisch dargestellt als: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• Beispiele für Paare: Ort und Impuls, Energie und Zeit
• \( \Delta x \): Unschärfe in der Position
• \( \Delta p \): Unschärfe im Impuls
• \( \hbar \): Reduzierte Planck-Konstante \( \frac{h}{2\pi} \)
• Begrenzung der Messgenauigkeit, kein Messfehler

Boltzmann-Verteilung

Definition:

Die Boltzmann-Verteilung beschreibt die Verteilung der Teilchen auf verschiedene Energieniveaus in einem thermodynamischen Gleichgewicht.

Details:

• Gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Teilchen in einem Zustand der Energie E zu finden
• Formel: \[ P(E) = \frac{e^{-\frac{E}{k_B T}}}{Z} \]
• Partitionfunktion: \[ Z = \sum_i e^{-\frac{E_i}{k_B T}} \]
• E: Energie des Zustands
• T: Temperatur in Kelvin
• k_B: Boltzmann-Konstante

Spezielle Relativitätstheorie und Lorentz-Transformationen

Definition:

Spezielle Relativitätstheorie: beschreibt die Physik in Inertialsystemen ohne Gravitation. Zentral: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Lorentz-Transformationen: Koordinatenwechsel zwischen Bezugssystemen, die sich gleichförmig bewegen.

Details:

• SRT basiert auf zwei Postulaten:
  • Gesetze der Physik in allen Inertialsystemen gleich.
  • Lichtgeschwindigkeit im Vakuum konstant.
• Zeitraffer (Zeitdilatation): \( t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \)
• Längenverkürzung (Längenkontraktion): \( L' = L \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \)
• Relativistische Masse: \( m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \)
• Relativistische Energie: \( E = mc^2 \)
• Impulse: \( p = \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \)
• Raum-Zeit-Koordinatentransformation: \( x' = \gamma (x-vt) \,\ t' = \gamma (t-\frac{vx}{c^2}) \) wobei \( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \)

Raumsymmetrien und Noether-Theorem

Definition:

Raumsymmetrien und deren Zusammenhang zur Erhaltungssätzen in der theoretischen Physik.

Details:

• Noether-Theorem: Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen
• Translation: Energieerhaltung
• Rotation: Drehimpulserhaltung
• Symmetrie: Invarianz einer physikalischen Größe unter bestimmten Transformationen
• Mathematische Form: \[ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \]

Elektromagnetische Induktion

Definition:

Wechselstrom wird in einem Leiter erzeugt, wenn sich das Magnetfeld, das den Leiter durchdringt, ändert.

Details:

• Faraday'sches Gesetz: Induzierte Spannung \(\epsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}\)
• Lenz'sches Gesetz: Richtung der induzierten Spannung und des Stroms so, dass sie der Ursache der Induktion entgegenwirken
• Magnetischer Fluss: \(\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A} \)
• Anwendungen: Generatoren, Transformatoren, Induktionskochfelder

Quantenmechanische Operatoren

Definition:

Operatoren in der Quantenmechanik repräsentieren physikalische Observablen und wirken auf Zustandsfunktionen im Hilbertraum.

Details:

• Jeder Operator steht für eine Messgröße (z.B. Ort: \(\hat{x}\), Impuls: \(\hat{p}\)).
• Eigenwerte der Operatoren entsprechen möglichen Messergebnissen.
• Operatoren sind im Allgemeinen nicht-kommutativ: \(\left[\hat{x}, \hat{p}\right] = i\hbar\).
• Hermitesche Operatoren haben reelle Eigenwerte (wichtig für Observablen).
• Wichtige Operatoren: Hamilton-Operator \(\hat{H}\), Drehimpulsoperatoren \(\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z\).
• Operatoren lassen sich durch Matrizen darstellen (Matrixmechanik) oder durch Differentialoperatoren (Wellenmechanik).

Mikrokanonische, kanonische und großkanonische Ensemble

Definition:

Mikrokanonisches Ensemble: abgeschlossenes System, feste Energie. Kanonisches Ensemble: System im Wärmekontakt, feste Temperatur. Großkanonisches Ensemble: System mit Teilchen- und Wärmeaustausch.

Details:

• Mikrokanonisches Ensemble: \( U, V, N \) konstant, Zustandszahl \( \Omega \)
• Kanonisches Ensemble: \( T, V, N \) konstant, Zustandswahrscheinlichkeit \( \exp(-\beta E)\)
• Großkanonisches Ensemble: \( T, V, \mu \) konstant, Partitionsfunktion \( \mathcal{Z} = \sum_{N} \exp(\beta (\mu N - E))\)
• Verteilungsfunktionen: mikrokanonisch \( p_i = \frac{1}{\Omega} \), kanonisch \( p_i = \frac{\exp(-\beta E_i)}{Z} \), großkanonisch \( p_i = \frac{\exp(\beta (\mu N_i - E_i))}{\mathcal{Z}} \)
• Zusammenhang: \( S = k_B \ln(\Omega)\), \( Z = \sum_i \exp(-\beta E_i)\), \( \mathcal{Z} = \sum_{i, N} \exp(\beta (\mu N - E_i)) \)