Synopsis d. Theoretischen Physik - Exam

Aufgabe 1)

Heisenbergsche UnschärferelationDas Heisenbergsche Unschärfeprinzip ist ein fundamentales Konzept der Quantenmechanik. Es besagt, dass bestimmte Paare von physikalischen Größen, wie Ort und Impuls oder Energie und Zeit, nicht gleichzeitig beliebig genau messbar sind. Diese Beziehung wird mathematisch durch die Formel \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \] dargestellt, wobei \( \Delta x \) die Unschärfe in der Position, \( \Delta p \) die Unschärfe im Impuls und \( \hbar \) die reduzierte Planck-Konstante \( \frac{h}{2\pi} \) ist. Diese Unschärferelation stellt eine fundamentale Begrenzung der Messgenauigkeit in der Quantenmechanik dar und ist kein Resultat von Messfehlern.

a)

Berechne die minimale Unschärfe im Impuls eines Elektrons (masse\( m_e = 9,11 \times 10^{-31} \) kg), das in einer Region eingeschränkt ist, deren räumliche Ausdehnung \( \Delta x = 1 \times 10^{-10} \) m beträgt.

Lösung:

Um die minimale Unschärfe im Impuls \( \Delta p \) eines Elektrons zu berechnen, das in einer Region der räumlichen Ausdehnung \( \Delta x = 1 \times 10^{-10} \) m eingeschränkt ist, verwenden wir die Heisenbergsche Unschärferelation:

• Heisenbergsche Unschärferelation:
\(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\)
• Gegeben:
• Unschärfe in der Position: \( \Delta x = 1 \times 10^{-10} \) m
• Reduzierte Planck-Konstante: \( \hbar = \frac{h}{2 \pi} = 1.0545718 \times 10^{-34} \) Js
• Schritte zur Lösung:
• Setze die gegebene Unschärfe in der Position \( \Delta x \) in die Heisenbergsche Unschärferelation ein, um die Unschärfe im Impuls zu berechnen: \(\Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x}\)
• Ersetze \(\hbar\) und \(\Delta x\) in die Gleichung:
\(\Delta p \geq \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2 \times 1 \times 10^{-10}}\)
• Berechne den Wert: \(\Delta p \geq 5.272859 \times 10^{-25} \) kg m/s

Die minimale Unschärfe im Impuls eines Elektrons, das in einer Region der räumlichen Ausdehnung \( 1 \times 10^{-10} \) m eingeschränkt ist, beträgt somit \( 5.272859 \times 10^{-25} \) kg m/s.

b)

Falls die Unschärfe im Impuls \( \Delta p = 5 \times 10^{-24} \) kg·m/s beträgt, berechne die minimale räumliche Ausdehnung \( \Delta x \). Verwende für die reduzierte Planck-Konstante den Wert \( \hbar = 1,054 \times 10^{-34} \) J·s.

Lösung:

Um die minimale räumliche Ausdehnung \(\Delta x\) zu berechnen, wenn die Unschärfe im Impuls \(\Delta p = 5 \times 10^{-24}\) kg·m/s beträgt, verwenden wir die Heisenbergsche Unschärferelation:

• Heisenbergsche Unschärferelation:
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• Gegeben:
• Unschärfe im Impuls: \(\Delta p = 5 \times 10^{-24}\) kg·m/s
• Reduzierte Planck-Konstante: \(\hbar = 1,054 \times 10^{-34}\) J·s
• Schritte zur Lösung:
• Forme die Heisenbergsche Unschärferelation nach \(\Delta x\) um:
\[ \Delta x \geq \frac{\hbar}{2 \Delta p} \]
• Setze die gegebenen Werte für \(\hbar\) und \(\Delta p\) ein:
\[ \Delta x \geq \frac{1,054 \times 10^{-34}}{2 \times 5 \times 10^{-24}} \]
• Berechne den Wert:
\[ \Delta x \geq \frac{1,054 \times 10^{-34}}{1 \times 10^{-23}} \] \[ \Delta x \geq 1,054 \times 10^{-11}\] m

Die minimale räumliche Ausdehnung \(\Delta x\) beträgt also \(1,054 \times 10^{-11}\) m.

c)

Diskutiere, wie sich die Heisenbergsche Unschärferelation auf die Messung von Energie und Zeit auswirkt. Formuliere die entsprechende mathematische Relation und beschreibe ein physikalisches Szenario, in dem diese Relation eine Rolle spielt.

Lösung:

Die Heisenbergsche Unschärferelation lässt sich nicht nur auf Ort und Impuls anwenden, sondern auch auf die Messung von Energie \((E)\) und Zeit \((t)\). Die entsprechende mathematische Relation lautet:

• Unschärferelation für Energie und Zeit:
\[ \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \]

Diese Formel besagt, dass es eine fundamentale Grenze gibt, wie genau die Energie und die Zeitdauer, über die diese Energie gemessen wird, bestimmt werden können. Eine geringe Unschärfe in der Energie messung \(\Delta E\) führt zu einer hohen Unschärfe in der Zeit \(\Delta t\) und umgekehrt.

• Physikalisches Szenario:

Ein typisches Beispiel für die Anwendung dieser Unschärferelation findet sich in der Lebensdauer und Energiebereite von instabilen Teilchen:

• Zerfallsprozesse instabiler Teilchen:

Betrachtet man ein instabiles Teilchen mit einer kurzen Lebensdauer, also kleiner \(\Delta t\), dann kann die Energie \(\Delta E\) des Teilchens nur mit einer großen Unsicherheit bestimmt werden. Dies ist besonders relevant in der Kern- und Teilchenphysik:

• Ein instabiles Elementarteilchen, das sehr schnell zerfällt, hat eine stark unscharf definierte Energie. Das bedeutet, dass die gemessene Energiedifferenz \(\Delta E\) groß ist.
• Ein weiteres prominentes Beispiel ist die Kernspintomographie (MRI), die darauf angewiesen ist, dass es eine Unschärfe in der Position und dem Impuls der Protonen im Körper gibt, um hochauflösende Bilder zu erstellen.

Diese Szenarien zeigen, dass die Heisenbergsche Unschärferelation für Energie und Zeit ein fundamentales Konzept ist, das tiefgreifende Auswirkungen auf die Art und Weise hat, wie wir viele physikalische Phänomene verstehen und messen können.

d)

Erkläre den Unterschied zwischen einer Begrenzung der Messgenauigkeit durch die Heisenbergsche Unschärferelation und einem Messfehler. Welche Konsequenzen hat dies für die Interpretation von Messergebnissen in der Quantenmechanik?

Lösung:

Die Heisenbergsche Unschärferelation stellt eine fundamentale Begrenzung der Messgenauigkeit dar, die sich grundlegend von klassischen Messfehlern unterscheidet. Um diesen Unterschied und die Konsequenzen für die Interpretation von Messergebnissen in der Quantenmechanik zu erklären, betrachten wir folgende Punkte:

• Heisenbergsche Unschärferelation:

Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass es physikalische Grenzen gibt, wie genau bestimmte Paare von Messgrößen (z.B. Ort und Impuls) bestimmt werden können. Die mathematische Form ist:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

Dies bedeutet, dass die Unsicherheit in der Position (\(\Delta x\)) und die Unsicherheit im Impuls (\(\Delta p\)) zueinander invers proportional sind. Je genauer der Ort eines Teilchens bestimmt wird, desto ungenauer kann der Impuls bestimmt werden und umgekehrt. Diese Unbestimmtheit ist kein Resultat von Fehlern oder Unzulänglichkeiten des Messgeräts, sondern eine grundlegende Eigenschaft der Natur auf der Quantenebene.

• Messfehler:

Messfehler sind Ungenauigkeiten, die durch das Messgerät, äußere Einflüsse oder die Methode der Messung verursacht werden. Diese Fehler können durch bessere Kalibrierung, verbesserte Methode oder durch technische Verbesserungen reduziert oder eliminiert werden. Sie stellen keine fundamentale Grenze dar, sondern eine praktische Begrenzung.

• Konsequenzen für die Interpretation von Messergebnissen:

Die grundlegende Begrenzung der Messgenauigkeit durch die Heisenbergsche Unschärferelation hat tiefgreifende Konsequenzen für die Interpretation von Messergebnissen in der Quantenmechanik:

• Unbestimmtheit und Wahrscheinlichkeiten: In der Quantenmechanik können physikalische Zustände nicht mit unendlicher Präzision beschrieben werden. Stattdessen verwenden Wissenschaftler Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um Vorhersagen über Ergebnisse von Messungen zu machen. Dies führt zu einem fundamentalen Verständnis, dass die Natur probabilistisch ist und nicht deterministisch.
• Komplementarität: Verschiedene Messgrößen (wie Ort und Impuls) ergänzen sich. Ein präzises Wissen über eine Größe führt notwendigerweise zu einer Unbestimmtheit in der komplementären Größe. Dies muss bei der Planung und Interpretation von Experimenten berücksichtigt werden.
• Limitierungen wissenschaftlicher Erkenntnis: Die Heisenbergsche Unschärferelation setzt eine Grenze dafür, wie genau wir die Natur jemals verstehen können. Unabhängig von technologischem Fortschritt gibt es fundamentale Grenzen, die uns daran hindern, absolute Präzision zu erreichen.

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die Heisenbergsche Unschärferelation keine technische Einschränkung darstellt, sondern eine grundlegende Eigenschaft der Quantenwelt. Dies verändert unser Grundverständnis der Physik und hat weitreichende Auswirkungen auf die Art und Weise, wie wir die Welt um uns herum messen und interpretieren.

Aufgabe 2)

• Die Boltzmann-Verteilung beschreibt die Verteilung der Teilchen auf verschiedene Energieniveaus in einem thermodynamischen Gleichgewicht.
• Gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Teilchen in einem Zustand der Energie E zu finden.
• Formel: \[ P(E) = \frac{e^{-\frac{E}{k_B T}}}{Z} \]
• Partitionfunktion: \[ Z = \sum_i e^{-\frac{E_i}{k_B T}} \]
• E: Energie des Zustands
• T: Temperatur in Kelvin
• k_B: Boltzmann-Konstante

a)

Betrachte ein System aus zwei Energieniveaus mit den Energien \[ E_1 = 0 \text{ und } E_2 = \text{2 eV}\]. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in Energieniveau \[ E_2 \] ist bei einer Temperatur von \[300 \text{ K}\]. Verwende \[ k_B = 8.6173 \times 10^{-5} \text{ eV/K} \].

Lösung:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen im Energieniveau E₂

• Gegebene Energieniveaus:
  • E₁ = 0 eV
  • E₂ = 2 eV
• Temperatur: T = 300 K
• Boltzmann-Konstante: k_B = 8.6173 × 10^-5 eV/K

Schritte zur Berechnung:

1. Berechne die Boltzmann-Faktoren für beide Energieniveaus.
2. Berechne die Partitionfunktion Z.
3. Berechne die Wahrscheinlichkeit P(E₂) mit der gegebenen Formel.

1. Berechnung der Boltzmann-Faktoren:

• Für E₁:

      e^{-\frac{E_1}{k_B T}} = e^{-\frac{0}{8.6173 \times 10^{-5} \text{ eV/K} \times 300 \text{ K}}} = e^0 = 1    

• Für E₂:

      e^{-\frac{E_2}{k_B T}} = e^{-\frac{2 \text{ eV}}{8.6173 \times 10^{-5} \text{ eV/K} \times 300 \text{ K}}} = e^{-\frac{2}{0.0258519}}     

  Berechne den Exponenten:

      -\frac{2}{0.0258519} \thickapprox -77.36    

  Dann:

      e^{-77.36} \thickapprox 4.87 \times 10^{-34}    

2. Berechnung der Partitionfunktion Z:

•     Z = e^{-\frac{E_1}{k_B T}} + e^{-\frac{E_2}{k_B T}} = 1 + 4.87 \times 10^{-34}    

  Da der zweite Term sehr klein ist, können wir ihn vernachlässigen:

      Z \thickapprox 1    

3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E₂):

•     P(E_2) = \frac{e^{-\frac{E_2}{k_B T}}}{Z} = \frac{4.87 \times 10^{-34}}{1} = 4.87 \times 10^{-34}    

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen bei 300 K im Energieniveau E₂ (2 eV) befindet, ist ungefähr 4.87 × 10^-34.

b)

Für ein System mit den Energien \[ E_1 = 0 \text{ und } E_2 = \text{2 eV}\] und einer Temperatur von \[300\text{ K}\] wurde die Wahrscheinlichkeit gefunden, dass ein Teilchen sich im Zustand \[ E_2 \] befindet. Beschreibe, wie sich diese Wahrscheinlichkeit ändert, wenn die Temperatur auf \[600\text{ K}\] erhöht wird. Vergleiche die beiden Ergebnisse und erkläre den physikalischen Hintergrund der beobachteten Änderung.

Lösung:

Änderung der Wahrscheinlichkeit bei einer Temperaturerhöhung

• Gegebene Energieniveaus:
  • E₁ = 0 eV
  • E₂ = 2 eV
• Boltzmann-Konstante: k_B = 8.6173 × 10^-5 eV/K
• Temperaturen: T₁ = 300 K, T₂ = 600 K

1. Berechnung der Boltzmann-Faktoren:

• Für T = 300 K:

      Für E_1: e^{-\frac{E_1}{k_B T}} = e^{-\frac{0}{8.6173 \times 10^{-5} \text{ eV/K} \times 300 \text{ K}}} = e^0 = 1    Für E_2: e^{-\frac{E_2}{k_B T}} = e^{-\frac{2}{8.6173 \times 10^{-5} \text{ eV/K} \times 300 \text{ K}}}≈ e^{-77.36} ≈ 4.87 \times 10^{-34}    

• Für T = 600 K:

      Für E_1: e^{-\frac{E_1}{k_B T}} = e^{-\frac{0}{8.6173 \times 10^{-5} \text{ eV/K} \times 600 \text{ K}}} = e^0 = 1    Für E_2: e^{-\frac{E_2}{k_B T}} = e^{-\frac{2}{8.6173 \times 10^{-5} \text{ eV/K} \times 600 \text{ K}}} ≈ e^{-38.68} ≈ 1.66 \times 10^{-17}    

2. Berechnung der Partitionfunktion Z:

• Für T = 300 K:

      Z_{300} = e^{-\frac{E_1}{k_B T}} + e^{-\frac{E_2}{k_B T}} ≈ 1 + 4.87 \times 10^{-34} ≈ 1    

• Für T = 600 K:

      Z_{600} = e^{-\frac{E_1}{k_B T}} + e^{-\frac{E_2}{k_B T}} ≈ 1 + 1.66 \times 10^{-17} ≈ 1    

3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E₂):

• Für T = 300 K:

      P(E_2) = \frac{e^{-\frac{E_2}{k_B T}}}{Z_{300}} ≈ \frac{4.87 \times 10^{-34}}{1} ≈ 4.87 \times 10^{-34}    

• Für T = 600 K:

      P(E_2) = \frac{e^{-\frac{E_2}{k_B T}}}{Z_{600}} ≈ \frac{1.66 \times 10^{-17}}{1} ≈ 1.66 \times 10^{-17}    

Vergleich und physikalischer Hintergrund:

Wenn die Temperatur des Systems erhöht wird, verschiebt sich die Verteilung der Teilchen auf höhere Energieniveaus. Dies liegt daran, dass bei höheren Temperaturen die thermische Energie der Teilchen zunimmt. Dies erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen genug Energie hat, um höhere Energieniveaus zu besetzen. In diesem Beispiel zeigt sich diese Verschiebung deutlich in den berechneten Wahrscheinlichkeiten. Bei 300 K ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen im Zustand E₂ (2 eV) ist, mit 4.87 × 10^-34 extrem gering. Bei 600 K ist diese Wahrscheinlichkeit jedoch mit 1.66 × 10^-17 deutlich höher, bleibt aber immer noch sehr klein. Zusammengefasst: Durch die Erhöhung der Temperatur nehmen die Wahrscheinlichkeiten für die Besetzung höherer Energieniveaus zu, während die Besetzung niedrigerer Energieniveaus abnimmt.

Aufgabe 3)

Betrachte zwei Inertialsysteme S und S'. Das System S' bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit v entlang der x-Achse relativ zu S. Im System S wird ein Lichtstrahl betrachtet, der eine Strecke L entlang der x-Achse durchläuft.

a)

(a) Bestimme die Zeitdauer, die der Lichtstrahl benötigt, um die Strecke L im System S zurückzulegen. Gehe davon aus, dass die Lichtgeschwindigkeit c ist.

(b) Verwende die Lorentz-Transformation, um die Zeitdauer zu bestimmen, die der Lichtstrahl im System S' benötigt, um die Strecke L zurückzulegen. Vergleiche dies mit dem Ergebnis aus Teil (a) und erläutere die Unterschiede unter Berücksichtigung der Zeitdilatation in der speziellen Relativitätstheorie.

Lösung:

Um die Aufgaben zu lösen, gehen wir Schritt für Schritt vor.

(a) Bestimme die Zeitdauer, die der Lichtstrahl benötigt, um die Strecke L im System S zurückzulegen.

Lösung:

Die Lichtgeschwindigkeit ist definiert als c. Die Zeit t, die der Lichtstrahl benötigt, um die Strecke L zurückzulegen, kann wie folgt berechnet werden:

Da t die Strecke L durch die Geschwindigkeit c ist, ergibt sich:

\[ t = \frac{L}{c} \]

• L: Die Distanz, die der Lichtstrahl zurücklegt.
• c: Die Lichtgeschwindigkeit.

Somit ergibt sich die Zeitdauer im System S zu:

\[ t = \frac{L}{c} \]

• (b) Verwende die Lorentz-Transformation, um die Zeitdauer zu bestimmen, die der Lichtstrahl im System S' benötigt, um die Strecke L zurückzulegen.
• Vergleiche dies mit dem Ergebnis aus Teil (a) und erläutere die Unterschiede unter Berücksichtigung der Zeitdilatation in der speziellen Relativitätstheorie.

Lösung:

Die Lorentz-Transformation gibt an, wie Größen zwischen zwei Inertialsystemen in konstanter Relativgeschwindigkeit ineinander umgerechnet werden. Dabei spielt der Lorentzfaktor \(\gamma\) eine zentrale Rolle, definiert als:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \]

Hierbei ist:

• v: Geschwindigkeit des Systems S' relativ zu S.
• c: Lichtgeschwindigkeit.

Im System S' wird die Zeitdilatation berücksichtigt, deshalb ergibt sich die Zeitdauer \(t'\) wie folgt:

\[ t' = \frac{t}{\gamma} = \frac{t}{\sqrt{1 – \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \]

Setzen wir nun \(t\) aus Teil (a) ein:

\[ t = \frac{L}{c} \]

Erhalten wir:

\[ t' = \frac{\frac{L}{c}}{\sqrt{1 – \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{L}{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{L}{c \sqrt{1 – \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \]

Der Unterschied zwischen den beiden Ergebnissen ist die Berücksichtigung der Zeitdilatation im System S'. Dadurch, dass System S' relativ zu System S mit einer Geschwindigkeit \(v\) bewegt, wird die im System S' gemessene Zeitdauer \( t' \) größer sein als die im System S gemessene Zeitdauer \( t \). Dies illustriert den Effekt der Zeitdilatation in der speziellen Relativitätstheorie, dass bewegte Uhren langsamer gehen.

Aufgabe 4)

Betrachte ein physikalisches System, das durch eine Lagrangefunktion L(q, \dot{q}) beschrieben wird. Dieses System weist Symmetrien auf, aus denen sich gemäß dem Noether-Theorem Erhaltungsgrößen ableiten lassen. Hierbei sind die Koordinaten q die Generalisierten Koordinaten und \dot{q} deren Zeitableitungen. Die grundlegende Gleichung für die Bewegung des Systems lautet:

\[ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \]

Der Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen kann durch das Noether-Theorem dargestellt werden:

• Noether-Theorem: Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen
• Translation: Energieerhaltung
• Rotation: Drehimpulserhaltung
• Symmetrie: Invarianz einer physikalischen Größe unter bestimmten Transformationen

a)

1. Zeige, dass die Lagrangefunktion L eines freien Teilchens der Masse m in einem eindimensionalen Raum unter Translationen invariant ist. Welche Erhaltungsgröße resultiert aus dieser Translation im Rahmen des Noether-Theorems?

Hinweis: Gehe von einer Translation der Form q -> q + a aus und berücksichtige, dass die Lagrangefunktion keine explizite Abhängigkeit von q hat.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Lagrangefunktion L eines freien Teilchens der Masse m in einem eindimensionalen Raum unter Translationen invariant ist, und um die resultierende Erhaltungsgröße gemäß dem Noether-Theorem zu bestimmen, folge diesen Schritten:

• Schritt 1: Bestimmung der LagrangefunktionDie Lagrangefunktion L für ein freies Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen Raum ist gegeben durch:

  L = \frac{1}{2} m \dot{q}^2

  wobei \dot{q} die Geschwindigkeit ist (\dot{q} = \frac{dq}{dt}).
• Schritt 2: Translation betrachtenBetrachten wir jetzt eine Translation der Form q -> q + a, wobei a eine konstante Verschiebung ist.
• Schritt 3: Invarianz der Lagrangefunktion prüfenDa die Lagrangefunktion keine explizite Abhängigkeit von q hat und nur von \dot{q} abhängt, bleibt sie unter der Translation q -> q + a unverändert:

  L(q + a, \dot{q}) = L(q, \dot{q})

• Schritt 4: Anwendung des Noether-TheoremsDas Noether-Theorem besagt, dass aus der Invarianz der Lagrangefunktion unter einer kontinuierlichen Symmetrietransformation (wie der Translation) eine Erhaltungsgröße resultiert. Bei der Translation ist diese Erhaltungsgröße der Impuls des Systems.
• SchlussfolgerungDie Lagrangefunktion L eines freien Teilchens der Masse m in einem eindimensionalen Raum ist unter Translationen invariant. Die Erhaltungsgröße, die sich aus dieser Symmetrie ergibt, ist der Impuls des Systems.

Zusammenfassend:

• Die Lagrangefunktion eines freien Teilchens ist unter Translationen invariant.
• Aus der Translation resultiert durch Noether-Theorem die Erhaltungsgröße Impuls.

b)

2. Betrachte ein System mit einer Lagrangefunktion L(q, \dot{q}, t), das unter Rotationen invariant ist. Leite unter Verwendung des Noether-Theorems die Erhaltung des Drehimpulses her. Beginne deine Herleitung mit der Annahme, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen wie folgt dargestellt werden können:

\[ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q} \]

und dass eine Rotation sich als Transformation der Generalisierten Koordinaten q auf q' = R q äußert, wobei R eine Rotationsmatrix ist.

Lösung:

Um die Erhaltung des Drehimpulses mittels des Noether-Theorems herzuleiten, befolge die folgenden Schritte:

• Schritt 1: Lagrangefunktion und Euler-Lagrange-GleichungBetrachtet wird ein System mit einer Lagrangefunktion L(q, \dot{q}, t). Die modifizierte Euler-Lagrange-Gleichung lautet:

  \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}

• Schritt 2: Transformation unter RotationEine Rotation kann als Transformation der Generalisierten Koordinaten q auf q' = Rq beschrieben werden, wobei R eine Rotationsmatrix ist.
• Schritt 3: Invarianz der Lagrangefunktion unter RotationAngenommen, die Lagrangefunktion L ist unter der Rotation invariant, das bedeutet L(q, \dot{q}, t) = L(Rq, R\dot{q}, t). Daraus folgt:

  L(q', \dot{q}', t) = L(q, \dot{q}, t)

• Schritt 4: Ableitung der Erhaltungsgröße durch Noether-TheoremGemäß dem Noether-Theorem entspricht der Noether-Strom in diesem Fall dem Drehimpuls. Der Erhaltungsstrom kann durch die Erhaltungsgröße des Systems beschrieben werden. Der Noether-Strom J kann im Fall der Rotation als:

  J = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot \frac{dR}{dt}q

• Schritt 5: Anwendung auf DrehimpulsDa R eine Rotationsmatrix ist, die von der Zeit unabhängig ist, ergibt sich der Drehimpuls als:

  J = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \cdot Rq

  Da die Lagrangefunktion unter Rotation invariant ist, muss der Drehimpuls erhalten bleiben.

Zusammenfassend:

• Die Lagrangefunktion eines Systems, das unter Rotation invariant ist, bleibt unverändert durch die Transformation der Rotationsmatrix.
• Die Anwendung des Noether-Theorems auf solche Systeme führt zur Erhaltung des Drehimpulses.

c)

3. Gegeben sei die Lagrangefunktion L(q, \dot{q}) = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q). Nutze das Noether-Theorem, um die Energieerhaltung für dieses System herzuleiten. Zeige, dass die resultierende Erhaltungsgröße die Gesamtenergie des Systems darstellt und bestimme sie explizit.

Lösung:

Um die Energieerhaltung für das gegebene System mittels des Noether-Theorems herzuleiten und die resultierende Erhaltungsgröße explizit zu bestimmen, folge diesen Schritten:

• Schritt 1: LagrangefunktionDie Lagrangefunktion des Systems ist gegeben durch:

  L(q, \dot{q}) = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)

• Schritt 2: Euler-Lagrange-GleichungenDie Euler-Lagrange-Gleichung für dieses System lautet:

  \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0

• Schritt 3: Anwendung des Noether-TheoremsGemäß dem Noether-Theorem korrespondiert die Invarianz der Lagrangefunktion unter zeitlichen Verschiebungen mit der Energieerhaltung.
• Schritt 4: Berechnung der partiellen AbleitungenBerechnen wir die partielle Ableitung von L bezüglich \dot{q} und q:

  \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\dot{q}

  \frac{\partial L}{\partial q} = -\frac{dV}{dq}

• Schritt 5: Einsetzen in die Euler-Lagrange-GleichungSetzen wir diese Ableitungen in die Euler-Lagrange-Gleichung ein:

  \frac{d}{dt}(m\dot{q}) = -\frac{dV}{dq}

  Dies ergibt die Bewegungsgleichung:

  m\ddot{q} = -\frac{dV}{dq}

  was auch als Newtonsche Bewegungsgleichung bekannt ist.
• Schritt 6: Bestimmung der ErhaltungsgrößeDie Energieerhaltung folgt aus der Zeitinvarianz der Lagrangefunktion. Die Erhaltungsgröße ist die Hamiltonfunktion H, die wie folgt definiert ist:

  H = \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - L

  Setzen wir die früher berechneten Werte ein,kommt heraus:

  H = \dot{q} (m\dot{q}) - \left( \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q) \right)

  Vereinfachen wir dies:

  H = m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + V(q)

  H = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + V(q)

• SchlussfolgerungDie resultierende Erhaltungsgröße für das gegebene System ist die Gesamtenergie E des Systems, die sich aus der kinetischen Energie und der potenziellen Energie zusammensetzt:

  E = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + V(q)

  Diese Erhaltungsgröße bleibt aufgrund der Zeitinvarianz der Lagrangefunktion konstant.

Zusammenfassend:

• Die Lagrangefunktion des Systems ist zeitunabhängig, was gemäß dem Noether-Theorem zur Energieerhaltung führt.
• Die Erhaltungsgröße ist die Gesamtenergie des Systems, gegeben durch:

  E = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + V(q)