Theoretische Physik 1: Mechanik - Cheatsheet

Newtons Gesetze der Bewegung

Definition:

Newtons Gesetze beschreiben den Zusammenhang zwischen der Bewegung eines Körpers und den auf ihn wirkenden Kräften.

Details:

• 1. Newtonsches Gesetz (Trägheitsgesetz): Ein Körper bleibt in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung, solange keine resultierende Kraft auf ihn wirkt.
• F=ma
• 2. Newtonsches Gesetz (Aktionsprinzip): Die Beschleunigung eines Körpers ist proportional zur resultierenden Kraft und umgekehrt proportional zur Masse des Körpers.
• F=-F
• 3. Newtonsches Gesetz (Reaktionsprinzip): Jede Aktion hat eine gleich große, aber entgegengesetzte Reaktion.

Lagrange-Funktion und ihre Ableitung

Definition:

Lagrange-Funktion ist definiert als die Differenz zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie eines Systems.

Details:

• Die Lagrange-Funktion: \[ L = T - V \]
• Bewegungsgleichungen: Lagrange-Gleichungen erster Art \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]
• \(q_i\) sind die generalisierten Koordinaten, \(\dot{q}_i\) die generalisierten Geschwindigkeiten.

Hamiltonsche Bewegungsgleichungen

Definition:

Hamiltonsche Bewegungsgleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung eines dynamischen Systems in der klassischen Mechanik mittels Hamilton-Funktion (Hamiltonian).

Details:

• Hamilton-Funktion: \( H(q_i, p_i, t) \)
• Kanonsiche Gleichungen:
  • \( \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \)
  • \( \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \)
• Erhaltungssätze: Energie bleibt in abgeschlossenen Systemen erhalten

Grundlagen einfacher harmonischer Oszillatoren

Definition:

Grundlegende Beschreibung von Oszillatoren, die harmonische Bewegung ohne Dämpfung oder externe Einflüsse zeigen.

Details:

• Bewegungsgleichung: \( m\ddot{x} + kx = 0 \)
• Allgemeine Lösung: \( x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \)
• Kreisfrequenz: \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
• Periodendauer: \( T = \frac{2\pi}{\omega} \)
• Energie: Gesamtenergie bleibt konstant; \( E = \frac{1}{2}kA^2 \)

Dämpfung und erzwungene Schwingungen

Definition:

Dämpfung reduziert die Amplitude einer Schwingung; erzwungene Schwingungen treten auf, wenn ein System von einer äußeren Kraft angetrieben wird.

Details:

• Dämpfungskraft: \( F_d = -b \, v \)
• Bewegungsgleichung gedämpfter Schwinger: \[ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx = 0 \]
• Erzwungene Schwingungen: \[ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx = F_0 \cos(\omega t) \]
• Resonanzfrequenz: \[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
• Amplitude bei Resonanz: \[ A(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (b\omega)^2}} \]

Konzept der generalisierten Koordinaten

Definition:

Verallgemeinerung der klassischen Koordinaten zur Beschreibung eines Systems mithilfe minimaler Freiheitsgrade.

Details:

• Generalisiert: Koordinaten beschreiben System mit weniger Variablen.
• Beispiel: Pendel - anstatt Kartesische Koordinaten ( x, y ), Winkel ( \theta ).
• Lagrange-Funktion ( L = T - V ) oft einfacher in generalisierten Koordinaten.
• Verwendung: Zwangsbedingungen einführen und Bewegungsgleichungen elegant aufstellen.

Erhaltungssätze in der Hamilton-Mechanik

Definition:

Erhaltungssätze in der Hamilton-Mechanik beschreiben die Erhaltung bestimmter physikalischer Größen während der Bewegung eines Systems.

Details:

• Wenn die Hamilton-Funktion keine explizite Abhängigkeit von der Zeit hat, ist die Gesamtenergie des Systems erhalten: \[ \frac{dH}{dt} = 0 \]
• Für jede Symmetrie der Hamilton-Funktion gibt es eine entsprechende Erhaltungsgröße (Noether-Theorem).
• Beispiele für Erhaltungsgrößen: Energie (zeitliche Invarianz), Impuls (translatorische Invarianz), Drehimpuls (rotationssymmetrische Invarianz).
• Mathematisch ausgedrückt durch: \[ \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} = 0 \], wobei \( \{f, H\} \) die Poisson-Klammer ist.

Poisson-Klammern und ihre Eigenschaften

Definition:

Ein Operator zur Untersuchung der Dynamik von Systemen in der Hamilton'schen Mechanik.

Details:

• Definition: \( \{f, g\} = \sum_{i} \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right) \)
• Lineare Operation bezüglich Addition und Skalarmultiplikation
• Antisymmetrie: \( \{f, g\} = -\{g, f\} \)
• Jacobi-Identität: \( \{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} + \{h, \{f, g\}\} = 0 \)
• Leibniz-Regel: \( \{f, gh\} = g\{f, h\} + h\{f, g\} \)