Theoretische Physik 1: Mechanik - Exam

Aufgabe 1)

Ein 2 kg schwerer Block liegt auf einer reibungsfreien horizontalen Oberfläche. Auf diesen Block wird eine konstante horizontale Kraft von 10 N ausgeübt. Betrachte die Bewegung des Blocks und berücksichtige sämtliche Newtonschen Gesetze zur Beschreibung der Bewegung.

a)

Berechne die Beschleunigung des Blocks gemäß dem 2. Newtonschen Gesetz. (F=ma)

Lösung:

Um die Beschleunigung des Blocks gemäß dem 2. Newtonschen Gesetz zu berechnen, folge diesen Schritten:

• Das 2. Newtonsche Gesetz lautet: F = m \times a.
• Hierbei steht:
  • F für die Kraft, die auf den Körper wirkt (in Newton, N),
  • m für die Masse des Körpers (in Kilogramm, kg), und
  • a für die Beschleunigung des Körpers (in Meter pro Quadratsekunde, m/s²).

Gib die gegebenen Werte ein:

• Die konstante Kraft (\(F\)) beträgt 10 N.
• Die Masse des Blocks (\(m\)) beträgt 2 kg.

Setze die Werte in die Formel ein:

 F = m \times a 10 N = 2 kg \times a 

Um die Beschleunigung (\(a\)) zu berechnen, teile beide Seiten der Gleichung durch die Masse (\(m\)):

 a = \frac{F}{m} a = \frac{10 N}{2 kg} a = 5 \frac{m}{s^2} 

Die Beschleunigung des Blocks beträgt also 5 m/s².

b)

Wenn der Block ursprünglich in Ruhe ist, bestimme die Geschwindigkeit des Blocks nach 5 Sekunden. Nutze die Beziehung zwischen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Zeit.

Lösung:

Um die Geschwindigkeit des Blocks nach 5 Sekunden zu berechnen, wenn der Block ursprünglich in Ruhe ist, folge diesen Schritten:

• Wir wissen, dass der Block gemäß dem 2. Newtonschen Gesetz (F=ma) beschleunigt wird. Im vorherigen Schritt haben wir die Beschleunigung (\(a\)) des Blocks berechnet:

 a = 5 \frac{m}{s^2} 

Die Beziehung zwischen Beschleunigung (\(a\)), Anfangsgeschwindigkeit (\(u\)), Endgeschwindigkeit (\(v\)) und Zeit (\(t\)) ist gegeben durch:

• \(v = u + a \times t\)
• Hierbei steht:
  • v für die Endgeschwindigkeit (in Meter pro Sekunde, m/s),
  • u für die Anfangsgeschwindigkeit (in Meter pro Sekunde, m/s),
  • a für die Beschleunigung (in Meter pro Quadratsekunde, m/s²), und
  • t für die Zeit (in Sekunden, s).

Da der Block ursprünglich in Ruhe ist:

• Die Anfangsgeschwindigkeit (\(u\)) beträgt 0 m/s.

Gib die anderen gegebenen Werte ein:

• Die Beschleunigung (\(a\)) beträgt 5 m/s².
• Die Zeit (\(t\)) beträgt 5 Sekunden.

Setze die Werte in die Formel ein:

 v = u + a \times t v = 0 m/s + 5 m/s² \times 5 s 

Führe die Berechnung durch:

 v = 0 m/s + 25 m/s v = 25 m/s 

Die Geschwindigkeit des Blocks nach 5 Sekunden beträgt also 25 m/s.

c)

Welche Strecke hat der Block nach 5 Sekunden zurückgelegt? Nutze die Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Lösung:

Um die Strecke zu berechnen, die der Block nach 5 Sekunden zurückgelegt hat, kannst Du die Gleichung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung verwenden. Diese Gleichung lautet:

• s = u \times t + \frac{1}{2} \times a \times t^2
• Hierbei steht:
  • s für die zurückgelegte Strecke (in Metern, m),
  • u für die Anfangsgeschwindigkeit (in Meter pro Sekunde, m/s),
  • a für die Beschleunigung (in Meter pro Quadratsekunde, m/s²), und
  • t für die Zeit (in Sekunden, s).

Wir wissen bereits aus den vorherigen Berechnungen:

• Die Anfangsgeschwindigkeit (\(u\)) beträgt 0 m/s, da der Block ursprünglich in Ruhe ist.
• Die Beschleunigung (\(a\)) beträgt 5 m/s².
• Die Zeit (\(t\)) beträgt 5 Sekunden.

Setze diese Werte in die Gleichung ein:

 s = u \times t + \frac{1}{2} \times a \times t^2 s = 0 m/s \times 5 s + \frac{1}{2} \times 5 m/s² \times (5 s)^2 

Berechne die Terme:

 s = 0 + \frac{1}{2} \times 5 m/s² \times 25 s² s = 0 + \frac{1}{2} \times 125 m s s = \frac{125}{2} m s = 62.5 m 

Die Strecke, die der Block nach 5 Sekunden zurückgelegt hat, beträgt also 62,5 Meter.

Aufgabe 2)

Ein harmonischer Oszillator besteht aus einer Masse, die an einer Feder hängt. Die Masse kann sich in einer Dimension bewegen, und die Rückstellkraft der Feder ist der Hookeschen Gesetzgebung folgend proportional zur Auslenkung aber entgegengesetzt gerichtet. Die Masse m wird von einer Feder mit Federkonstanten k festgehalten. Zum Zeitpunkt t ist die Auslenkung der Masse von ihrer Gleichgewichtslage durch die Koordinate x(t) beschrieben.

a)

Teil a: Bestimme zunächst die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems. Drücke die Lagrange-Funktion L in Abhängigkeit von x und seiner zeitlichen Ableitung \(\dot{x}\) aus.

• Die kinetische Energie ist gegeben durch: \[ T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 \]
• Die potentielle Energie ist gegeben durch: \[ V = \frac{1}{2} k x^2 \]
• Die Lagrange-Funktion lautet daher: \[ L = T - V \]

Lösung:

Um die kinetische Energie (T) und die potentielle Energie (V) des harmonischen Oszillators zu bestimmen und die Lagrange-Funktion (L) auszudrücken, müssen wir die folgenden Schritte ausführen:

• Kinetische Energie (T): Die kinetische Energie eines Körpers ist gegeben durch: \( T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 \) wobei m die Masse des Körpers ist und \( \dot{x} \) die zeitliche Ableitung der Auslenkung x, also die Geschwindigkeit.
• Potentielle Energie (V): Die potentielle Energie eines Federsystems folgt dem Hookeschen Gesetz und ist gegeben durch: \( V = \frac{1}{2} k x^2 \) wobei k die Federkonstante ist und x die Auslenkung von der Gleichgewichtslage beschreibt.
• Lagrange-Funktion (L): Die Lagrange-Funktion eines Systems ist definiert als die Differenz zwischen der kinetischen Energie und der potentiellen Energie: \( L = T - V \) Ersetzen wir T und V aus den oben genannten Gleichungen, erhalten wir: \( L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2 \)

Zusammengefasst lautet die Lagrange-Funktion des harmonischen Oszillators in Abhängigkeit von der Auslenkung x und ihrer zeitlichen Ableitung \( \dot{x} \):

\( L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2 \)

b)

Teil b: Leite die Bewegungsgleichung für die Masse her, indem Du die Lagrange-Gleichung zweiter Art anwendest:

• Die Lagrange-Gleichung lautet: \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \]
• Berechne zuerst die partielle Ableitung von L bezüglich \(\dot{x}\).
• Anschließend berechne die partielle Ableitung von L bezüglich x.

Lösung:

Um die Bewegungsgleichung für die Masse herzuleiten, wenden wir die Lagrange-Gleichung zweiter Art an. Diese ist gegeben durch:

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \]

• Berechne zuerst die partielle Ableitung von L bezüglich \( \dot{x} \).

Die Lagrange-Funktion lautet: \[ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2 \] Die partielle Ableitung von L bezüglich \( \dot{x} \) ist: \[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x} \]

• Berechne anschließend die partielle Ableitung von L bezüglich x.

Die partielle Ableitung von L bezüglich x ist: \[ \frac{\partial L}{\partial x} = -k x \]

• Setzte diese Ableitungen in die Lagrange-Gleichung ein.

Zuerst bestimmen wir den Zeitableitungsterm:\ \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) = \frac{d}{dt} (m \dot{x}) = m \ddot{x} \]

• Nun setzen wir dies in die Lagrange-Gleichung ein:

\[ m \ddot{x} - (-k x) = 0 \] Dies vereinfacht sich zu: \[ m \ddot{x} + k x = 0 \]

Die Bewegungsgleichung für den harmonischen Oszillator lautet somit:

\[ m \ddot{x} + k x = 0 \]

c)

Teil c: Bestimme die allgemeine Lösung der resultierenden Bewegungsgleichung und diskutiere die physikalische Bedeutung der Konstanten in der Lösung. Ansatz: Setze \(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\).

• Löse die Bewegungsgleichung nach \(\omega\) auf.
• Erläutere die Rolle der Konstanten A und \(\phi\) in der Lösung.

Lösung:

Um die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung für den harmonischen Oszillator zu bestimmen, beginnen wir mit der Bewegungsgleichung aus Teil b, die lautet:

\[ m \ddot{x} + k x = 0 \]

Wir setzen den Ansatz \( x(t) = A \, \cos(\omega t + \phi) \) in diese Gleichung ein und bestimmen \( \omega \):

• Berechne die zweite Ableitung von \( x(t) \) nach der Zeit:

\[ x(t) = A \, \cos(\omega t + \phi) \]\[ \dot{x}(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \]\[ \ddot{x}(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi) \]

Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt:

\[ m(-A \omega^2 \cos(\omega t + \phi)) + k(A \cos(\omega t + \phi)) = 0 \]

Die \( A \cos(\omega t + \phi) \)-Terme kürzen sich heraus, was zu folgender Gleichung führt:

\[ -m \omega^2 + k = 0 \]\[ m \omega^2 = k \]\[ \omega^2 = \frac{k}{m} \]\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

Somit lautet die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung:

\[ x(t) = A \, \cos(\sqrt{\frac{k}{m}} \, t + \phi) \]

• Erläutere die Rolle der Konstanten A und \( \phi \) in der Lösung:

Die Konstante \( A \) ist die Amplitude der Schwingung und gibt an, wie weit die Masse maximal von der Gleichgewichtslage ausgelenkt wird.

Die Konstante \( \phi \) ist die Phasenverschiebung und gibt an, zu welchem Zeitpunkt die Masse ihren maximalen Auslenkungswert hat. Sie hängt von den Anfangsbedingungen des Systems ab.

Aufgabe 3)

Betrachte ein Teilchen der Masse m, das sich in einem eindimensionalen Potential bewegt, das durch die Potentialfunktion \[ V(q) = \frac{1}{2} k q^2 \] gegeben ist, wobei k die Federkonstante ist. Die Hamilton-Funktion für dieses System lautet: \[ H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k q^2 \]. Entwickle die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen und diskutiere das Verhalten des Systems.

a)

Bestimme die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen aus der gegebenen Hamilton-Funktion \[ H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k q^2 \]. Leite dazu die kanonischen Gleichungen der Bewegung her.

Lösung:

Um die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen zu bestimmen, verwenden wir die kanonischen Gleichungen der Bewegung. Gegeben sind:

• Potentialfunktion: \[ V(q) = \frac{1}{2} k q^2 \]
• Hamilton-Funktion: \[ H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k q^2 \]

Die kanonischen Gleichungen der Bewegung lauten:

• 1. \( \frac{dq}{dt} = \frac {\partial H}{\partial p} \)
• 2. \ ( \frac {dp}{dt} = - \frac {\partial H}{\partial q} \)

Um diese zu finden, berechnen wir die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

• Partielle Ableitung nach p: \[ \frac {\partial H}{\partial p} = \frac {\partial }{\partial p} \left( \frac {p^2}{2m} + \frac {1}{2} k q^2 \right) = \frac {p}{m} \]
• Partielle Ableitung nach q: \[ \frac {\partial H}{\partial q} = \frac {\partial }{\partial q} \left( \frac {p^2}{2m} + \frac {1}{2} k q^2 \right) = k q \]

Setzen wir diese Ableitungen in die kanonischen Gleichungen ein, erhalten wir die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

• 1. \( \frac {dq}{dt} = \frac {p}{m} \)
• 2. \( \frac {dp}{dt} = -kq \)

b)

Löse die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen für q(t) und p(t), indem Du die Lösung als Funktion der Zeit darstellst. Nutze dabei die Differentialgleichungen, die aus den kanonischen Gleichungen hervorgehen.

Lösung:

Um die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen für \(q(t)\) und \(p(t)\) zu lösen, betrachten wir die zuvor hergeleiteten Gleichungen:

• \( \frac{dq}{dt} = \frac{p}{m} \)
• \( \frac{dp}{dt} = -kq \)

Diese Gleichungen bilden ein gekoppeltes System von Differentialgleichungen. Wir lösen dieses System durch Differenzieren und Substitution.

• Schritt 1: Isolation von \(q(t)\) Differenzieren wir die erste Gleichung nach der Zeit t:
• \( \frac{d}{dt} \left( \frac{dq}{dt} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{p}{m} \right) \)
• Hieraus folgt:
  \( \frac{d^2 q}{dt^2} = \frac{1}{m} \frac{dp}{dt} \)
• Nun substituieren wir \( \frac{dp}{dt} = -kq \) in die obige Gleichung:
• \( \frac{d^2 q}{dt^2} = \frac{1}{m} (-kq) \)
• Dies führt zur Differentialgleichung:
  \( \frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{k}{m} q = 0 \)

Schritt 2: Lösung der Differentialgleichung

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet:

• \( q(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) \) , wobei \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)

Wir bestimmen nun\( p(t)\), indem wir \( q(t)\) in die erste Bewegungsgleichung einsetzen.

Schritt 3: Bestimmung von \(p(t)\)

• Wir wissen: \( \frac{dq}{dt} = \frac{p}{m} \)
• Die Ableitung von \(q(t)\) ergibt:
  \( \frac{dq}{dt} = -A \omega \sin (\omega t) + B \omega \cos(\omega t) \)
• Somit erhalten wir:
  \( \frac{p}{m} = -A \omega \sin(\omega t) + B \omega \cos(\omega t) \)
• Daraus folgt:
  \( p(t) = m \omega (-A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t)) \)

Zusammengefasst lauten die Lösungen für \(q(t)\) und \(p(t)\):

• \( q(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) \) , wobei \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \)
• \( p(t) = m \omega (-A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t)) \)

c)

Untersuche die Erhaltungsgrößen des Systems. Zeige, dass die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt und diskutiere die physikalische Bedeutung dieser Erhaltungsgröße.

Lösung:

Um die Erhaltungsgrößen des Systems zu untersuchen, betrachten wir die Hamilton-Funktion und die daraus resultierenden Bewegungsgleichungen. Gegeben ist die Hamilton-Funktion:

• Hamilton-Funktion: \[ H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k q^2 \]

Diese Funktion stellt die Gesamtenergie des Systems dar, die die Summe der kinetischen Energie und der potentiellen Energie des Teilchens ist. Wir überprüfen zunächst, ob die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt.

Die Erhaltung der Energie kann überprüft werden, indem man die Zeitableitung der Hamilton-Funktion berechnet und zeigt, dass diese Null ist.

Berechnung der Zeitableitung der Hamilton-Funktion:

Die totale Zeitableitung von \(H(q, p)\) lautet:

• \[ \frac{dH}{dt} = \frac{ \partial H}{ \partial q} \frac{ dq}{dt} + \frac{ \partial H}{ \partial p} \frac{ dp}{dt} \]

Wir setzen die partiellen Ableitungen und die kanonischen Gleichungen ein:

• \[ \frac{ \partial H}{ \partial q} = kq \]
• \[ \frac{ \partial H}{ \partial p} = \frac{p}{m} \]
• \[ \frac{ dH}{ dt} = kq \frac{ dq}{ dt} + \frac{ p}{ m} \frac{ dp}{ dt} \]
• Weiterhin sind aus den kanonischen Bewegungsgleichungen bekannt:
• \[ \frac{ dq}{ dt} = \frac{ p}{ m} \]
• \[ \frac{ dp}{ dt} = -kq \]
• Wir setzen die Werte ein und erhalten:
• \[ \frac{dH}{dt} = kq \left( \frac{p}{m} \right) + \frac{p}{m} (-kq) \]

Die Terme heben sich gegenseitig auf:

• \[ \frac{dH}{dt} = kq \left( \frac{p}{m} \right) - kq \left( \frac{p}{m} \right) = 0 \]

Damit ist gezeigt, dass die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt. Die Erhaltung der Gesamtenergie hat eine wichtige physikalische Bedeutung:

• Physikalische Bedeutung der Erhaltungsgröße:
• Die Erhaltung der Energie bedeutet, dass das System keine Energie verliert oder gewinnt, wenn es isoliert ist und keine äußeren Kräfte wirken. In diesem speziellen Fall zeigt die Erhaltung an, dass die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie des Teilchens über die Zeit konstant bleibt.
• Dies ist ein zentrales Konzept in der klassischen Mechanik und gilt generell für konservative Kräfte, d.h. Kräfte, die durch Potentiale beschrieben werden können. In unserem Beispiel handelt es sich um eine harmonische Oszillation, bei der sich das Teilchen periodisch zwischen seiner maximalen Geschwindigkeit (und damit seiner maximalen kinetischen Energie) und seiner maximalen Auslenkung (und damit seiner maximalen potentiellen Energie) bewegt.
• Die Erhaltung der Energie unterstützt auch die Stabilität des Oszillators, da das System immer zu einem Gleichgewichtspunkt zurückkehrt, und es gibt keine Nettoenergiezufuhr oder -abfuhr.

Zusammenfassend bleibt die Gesamtenergie des Systems, beschrieben durch die Hamilton-Funktion, erhalten, was die physikalische Bedeutung hat, dass das System in einem stabilen, konservativen Potential oszilliert.

Aufgabe 4)

Betrachte einen einfachen harmonischen Oszillator ohne Dämpfung, der durch die Bewegungsgleichung

• • Bewegungsgleichung:
    • • Bewegungsgleichung: \(m\ddot{x} + k x = 0\) beschrieben wird.
      • Hierbei bezeichnet \(m\) die Masse des Oszillators und \(k\) die Federkonstante.
        • Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist \(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\), wobei \(A\) die Amplitude, \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) die Kreisfrequenz und \(\phi\) die Phasenverschiebung ist.
          • Die Periodendauer \(T\) des Oszillators ergibt sich zu \(T = \frac{2\pi}{\omega}\).
            • Die Gesamtenergie \(E\) des Systems bleibt konstant und ist gegeben durch \(E = \frac{1}{2} k A^2\).

a)

Leite die Kreisfrequenz \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) aus der gegebenen Bewegungsgleichung \(m\ddot{x} + k x = 0\) her

Lösung:

Um die Kreisfrequenz \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) aus der gegebenen Bewegungsgleichung \(m\ddot{x} + k x = 0\) herzuleiten, müssen wir die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung finden und die Eigenfrequenz identifizieren. Befolge die folgenden Schritte:

• Starte mit der gegebenen Bewegungsgleichung:\(m\ddot{x} + k x = 0\)
• Teile die Gleichung durch die Masse \(m\):\(\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0\)
• Annahme der Lösungsform: Stelle vor, dass die Lösung der Differentialgleichung in der Form einer harmonischen Funktion, wie \(x(t) = A \,\cos(\omega t + \phi)\), vorliegt.Leite die Lösung zweimal nach der Zeit ab, um die zweite Ableitung zu erhalten:\(\ddot{x}(t) = -A \, \omega^2 \, \cos(\omega t + \phi)\)
• Setze die Lösung und ihre zweite Ableitung in die Bewegungsgleichung ein:\(-A \, \omega^2 \, \cos(\omega t + \phi) + \frac{k}{m} \, A \, \cos(\omega t + \phi) = 0\)
• Faktorisieren von \(A \, \cos(\omega t + \phi)\):\(A \, \cos(\omega t + \phi) \, \left( -\omega^2 + \frac{k}{m} \right) = 0\)
• Da \(A\) und \(\cos(\omega t + \phi)\) nicht null sein können, ergibt sich die Gleichung:\(-\omega^2 + \frac{k}{m} = 0\)
• Löse nach \(\omega^2\) auf:\(\omega^2 = \frac{k}{m}\)
• Schließlich, nimm die Quadratwurzel auf beiden Seiten, um \(\omega\) zu erhalten:\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

Somit haben wir die Kreisfrequenz \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) aus der Bewegungsgleichung hergeleitet.

b)

Berechne die Periodendauer \(T\) für einen Oszillator mit einer Masse von \(m = 0{,}5 \, \text{kg}\) und einer Federkonstanten von \(k = 200 \, \text{N/m}\)

Lösung:

Lass uns die Periodendauer \(T\) für einen einfachen harmonischen Oszillator mit den gegebenen Werten: Masse \(m = 0{,}5 \, \text{kg}\) und Federkonstante \(k = 200 \, \text{N/m}\) berechnen.

• Die Kreisfrequenz \(\omega\) des Oszillators ist durch die Formel:

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

• Einzusetzen die Werte für \(k\) und \(m\):

\[\omega = \sqrt{\frac{200}{0{,}5}}\]

Berechne den Ausdruck unter der Wurzel:

\[\omega = \sqrt{400} = 20 \, \text{s}^{-1}\]

Die Periodendauer \(T\) ist gegeben durch:

\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

Setze den Wert für \(\omega\) ein und berechne \(T\):

\[T = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \, \text{s}\]

Die Periodendauer \(T\) für den Oszillator beträgt also:

\[T = \frac{\pi}{10} \, \text{s} \approx 0{,}314 \, \text{s}\]

c)

Bestimme die Gesamtenergie \(E\) eines Oszillators mit einer Amplitude von \(A = 0{,}1 \, \text{m}\) und einer Federkonstanten von \(k = 50 \, \text{N/m}\)

Lösung:

Um die Gesamtenergie \(E\) eines einfachen harmonischen Oszillators zu bestimmen, nutze die gegebene Formel:

• Die Gesamtenergie ist durch\[E = \frac{1}{2} k A^2\]

gegeben.

• Setze die gegebenen Werte für die Amplitude \(A = 0{,}1 \, \text{m}\) und die Federkonstante \(k = 50 \, \text{N/m}\) ein:

\[E = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot (0{,}1)^2\]

• Berechne den Ausdruck:

\[E = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 0{,}01 = 0{,}25 \, \text{J}\]

Die Gesamtenergie \(E\) des Oszillators beträgt somit 0{,}25 \, \text{J}.

d)

Eine Masse von \(m = 1 \, \text{kg}\) bewegt sich bei einem harmonischen Oszillator mit einer Amplitude von \(A = 0{,}05 \, \text{m}\) und ohne Phasenverschiebung \(\phi = 0\). Stelle die Bewegungsgleichung für diesen Fall auf und berechne die Auslenkung \(x(t)\) zum Zeitpunkt \(t = 2 \, \text{s}\).

Lösung:

Um die Bewegungsgleichung und die Auslenkung \(x(t)\) eines harmonischen Oszillators zum Zeitpunkt \(t = 2 \, \text{s}\) zu bestimmen, folgen wir diesen Schritten:

• Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung ist:

\[x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\]

• Hierbei sind die gegebenen Werte:

• Masse: \(m = 1 \, \text{kg}\)
• Amplitude: \(A = 0{,}05 \, \text{m}\)
• Phasenverschiebung: \(\phi = 0\)
• Federkonstante: \(k = 50 \, \text{N/m}\) (angenommen, falls keine explizite Federkonstante gegeben ist).

• Berechne die Kreisfrequenz \(\omega\) :

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

• Setze die gegebenen Werte ein:

\[\omega = \sqrt{\frac{50}{1}} = \sqrt{50} \, \text{s}^{-1} \approx 7{,}07 \, \text{s}^{-1}\]

• Setze die Werte in die Bewegungsgleichung ein:

\[x(t) = 0{,}05 \cos(\sqrt{50} \, t)\]

• Berechne die Auslenkung \(x(t)\) zum Zeitpunkt \(t = 2 \, \text{s}\):

\[x(2) = 0{,}05 \cos(\sqrt{50} \, \cdot 2)\]\[\sqrt{50} \, \cdot 2 \approx 14{,}14\]\[x(2) = 0{,}05 \cos(14{,}14)\]\[\cos(14{,}14) \approx -0{,}9\] (ungefährer Wert)\[x(2) = 0{,}05 \cdot -0{,}9 \approx -0{,}045 \, \text{m}\]

Die Auslenkung \(x(t)\) zum Zeitpunkt \(t = 2 \, \text{s}\) beträgt somit ungefähr \(-0{,}045 \, \text{m}\).