Theoretische Physik 2: Elektrodynamik - Exam

Aufgabe 1)

Elektromagnetische WellenElektromagnetische Wellen sind sich ausbreitende, zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder, die miteinander gekoppelt sind.

• Maxwell-Gleichungen beschreiben sie vollständig.
• Wellengleichung: \ \[ \Box^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \ \]
• Lichtgeschwindigkeit: \ \[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \ \]
• Transversalwellen: elektrische und magnetische Felder stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
• Energiefluss: Poynting-Vektor \ \ ( \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} \ \ ).
• Spektrum: Radio, Mikrowellen, Infrarot, sichtbar, UV, Röntgen, Gamma.

b)

(b) Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum. Verwende die Werte \ \ ( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{N}/\text{A}^2 \ \ ) und \ \ ( \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,\text{F}/\text{m} \ \ ). Zeige alle Schritte der Berechnung.

Lösung:

Elektromagnetische Wellen

Elektromagnetische Wellen sind sich ausbreitende, zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder, die miteinander gekoppelt sind.

• Maxwell-Gleichungen beschreiben sie vollständig.
• Wellengleichung: \[ \Box^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \]
• Lichtgeschwindigkeit: \[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \]
• Transversalwellen: elektrische und magnetische Felder stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
• Energiefluss: Poynting-Vektor \( \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} \ ).
• Spektrum: Radio, Mikrowellen, Infrarot, sichtbar, UV, Röntgen, Gamma.

Löse die folgende Teilaufgabe:

(b) Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum. Verwende die Werte \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{N}/\text{A}^2 \) und \( \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\text{F}/\text{m} \). Zeige alle Schritte der Berechnung.

Lösung: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum wird durch die Lichtgeschwindigkeit \( c \) gegeben, welche durch die Beziehung

\[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \]

bestimmt wird. Nun setzen wir die gegebenen Werte für \( \mu_0 \) und \( \epsilon_0 \) ein:

\( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{N}/\text{A}^2 \)

\( \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\text{F}/\text{m} \)

Schritte zur Berechnung:

• Berechne das Produkt \( \mu_0 \epsilon_0 \):\[ \mu_0 \epsilon_0 = (4\pi \times 10^{-7}) \times (8.854 \times 10^{-12}) \]

Wir wissen, dass \( 4\pi \approx 12.566 \). Dadurch ergibt sich:

• \[ \mu_0 \epsilon_0 = 12.566 \times 10^{-7} \times 8.854 \times 10^{-12} \]

Multipliziere die Konstanten:

• \[ \mu_0 \epsilon_0 = 1.11265 \times 10^{-18} \]

Berechne den Kehrwert der Quadratwurzel:

• \[ c = \frac{1}{\sqrt{1.11265 \times 10^{-18}}} \]

Da \( \sqrt{1.11265 \times 10^{-18}} = \sqrt{1.11265} \times 10^{-9} \), ergibt sich:

• \[ c = \frac{1}{\sqrt{1.11265} \times 10^{-9}} \approx \frac{1}{1.0541 \times 10^{-9}} \]
• \[ c \approx \frac{1}{1.0541} \times 10^9 \]
• \[ c \approx 0.9495 \times 10^9 \]
• Da Lichtgeschwindigkeit in SI-Einheiten m/s ist, ergibt sich:

\[ c \approx 2.998 \times 10^8 \text{ m/s} \]

Somit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum: \[ c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s} \]

c)

(c) Gegeben sei ein homogenes elektromagnetisches Feld \ \ ( \mathbf{E}(z,t) = E_0 \sin(kz - \omega t) \mathbf{e}_x \ \ ) und \ \ ( \mathbf{H}(z,t) = H_0 \sin(kz - \omega t) \mathbf{e}_y \ \ ). Bestimme den Poynting-Vektor \ \ ( \mathbf{S} \ \ ) und interpretiere seine physikalische Bedeutung.

Lösung:

Elektromagnetische Wellen

Elektromagnetische Wellen sind sich ausbreitende, zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder, die miteinander gekoppelt sind.

• Maxwell-Gleichungen beschreiben sie vollständig.
• Wellengleichung: \[ \Box^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \]
• Lichtgeschwindigkeit: \[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \]
• Transversalwellen: elektrische und magnetische Felder stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
• Energiefluss: Poynting-Vektor \( \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} \ ).
• Spektrum: Radio, Mikrowellen, Infrarot, sichtbar, UV, Röntgen, Gamma.

Löse die folgende Teilaufgabe:

(c) Gegeben sei ein homogenes elektromagnetisches Feld \( \mathbf{E}(z,t) = E_0 \sin(kz - \omega t) \mathbf{e}_x \) und \( \mathbf{H}(z,t) = H_0 \sin(kz - \omega t) \mathbf{e}_y \). Bestimme den Poynting-Vektor \( \mathbf{S} \) und interpretiere seine physikalische Bedeutung.

Lösung:

Um den Poynting-Vektor \( \mathbf{S} \) zu berechnen, verwenden wir die Definition:

\[ \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} \]

Gegeben sind die Felder:

• Elektrisches Feld: \( \mathbf{E}(z,t) = E_0 \sin(kz - \omega t) \mathbf{e}_x \)
• Magnetisches Feld: \( \mathbf{H}(z,t) = H_0 \sin(kz - \omega t) \mathbf{e}_y \)

Schritt-für-Schritt-Lösung:

• Setze die gegebenen Felder in die Definition des Poynting-Vektors ein:

• \[ \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H} = \left(E_0 \sin(kz - \omega t) \mathbf{e}_x\right) \times \left(H_0 \sin(kz - \omega t) \mathbf{e}_y\right) \]

• Berechne das Kreuzprodukt:

  \[ \mathbf{e}_x \times \mathbf{e}_y = \mathbf{e}_z \]

• Also:

  \[ \mathbf{S} = E_0 H_0 \sin^2(kz - \omega t) \mathbf{e}_z \]

Der Poynting-Vektor \( \mathbf{S} \) gibt die Richtung und Stärke des Energieflusses der elektromagnetischen Welle an. Seine Einheit ist Watt pro Quadratmeter (W/m²).

Physikalische Bedeutung:

• Die Richtung von \( \mathbf{S} \) zeigt den Energiefluss der elektromagnetischen Welle an, die in diesem Fall in z-Richtung erfolgt (entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle).
• Die Größe von \( \mathbf{S} \) gibt die Energiedichte an, die durch die Welle transportiert wird, proportional zu \( \sin^2(kz - \omega t) \). Da \( \sin^2 \) immer positiv ist, fließt die Energie stets in die Richtung der Welle.

Daher ist der Poynting-Vektor ein nützliches Werkzeug zur Bestimmung des Energieflusses und der Leistung, die von elektromagnetischen Wellen übertragen wird.

Aufgabe 2)

Wir betrachten die Elektrodynamik in Materie und analysieren die Wechselwirkungen elektromagnetischer Felder mit Materie. Beachte dabei die Polarisation \(\mathbf{P} = \epsilon_0 \chi_e \mathbf{E}\) und die Magnetisierung \(\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}\). Gegeben sind die Materialgleichungen \(\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}\) und \(\mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M})\). Bei Materialübergängen sind die Grenzbedingungen zu beachten.

b)

(b) In einem elektrischen Feld \(\mathbf{E}\) eines dielektrischen Materials wird eine Polarisationsdichte hervorgerufen. Nutze die Polarisation \(\mathbf{P} = \epsilon_0 \chi_e \mathbf{E}\), um die Materialkonstante \(\chi_e\) zu bestimmen, wenn die Polarisationsdichte \(\mathbf{P}\) und das elektrische Feld \(\mathbf{E}\) in einem Rechteck-Hohlraum eines dielektrischen Materials gemessen werden. Gegeben: \(\mathbf{P} = (3 \times 10^{-10} \, \text{C/m}^2)\), \(\mathbf{E} = (5 \times 10^4 \, \text{V/m})\).

Lösung:

Lösung:

Um die Materialkonstante \( \chi_e \) zu bestimmen, verwenden wir die gegebene Polarisation und das elektrische Feld im dielektrischen Material. Die Polarisation \( \mathbf{P} \) ist durch die Formel:

 \( \mathbf{P} = \epsilon_0 \chi_e \mathbf{E} \) 

gegeben, wobei:

• \( \mathbf{P} \) die Polarisationsdichte ist,
• \( \epsilon_0 \) die Permittivität des freien Raums (\( \epsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12} \ \text{F/m} \)),
• \( \chi_e \) die elektrische Suszeptibilität des dielektrischen Materials ist, und
• \( \mathbf{E} \) das elektrische Feld ist.

Gegeben sind:

• \( \mathbf{P} = 3 \times 10^{-10} \ \text{C/m}^2 \)
• \( \mathbf{E} = 5 \times 10^4 \ \text{V/m} \)

Wir müssen \( \chi_e \) berechnen. Wir isolieren \( \chi_e \) in der Gleichung:

 \( \chi_e = \frac{\mathbf{P}}{{\epsilon_0 \mathbf{E}}} \) 

Nun setzen wir die gegebenen Werte ein:

 \( \chi_e = \frac{3 \times 10^{-10} \ \text{C/m}^2}{8{,}85 \times 10^{-12} \ \text{F/m} \times 5 \times 10^4 \ \text{V/m}} \) 

Rechnen wir den Ausdruck innerhalb des Bruchs aus:

• Zähler: \( 3 \times 10^{-10} \ \text{C/m}^2 \)
• Nenner: \( 8{,}85 \times 10^{-12} \ \text{F/m} \times 5 \times 10^4 \ \text{V/m} = 4{,}425 \times 10^{-7} \ \text{C/(Vm^2)} \)

Jetzt teilen wir den Zähler durch den Nenner:

 \( \chi_e = \frac{3 \times 10^{-10}}{4{,}425 \times 10^{-7}} \approx 6{,}78 \times 10^{-4} \) 

Damit ergibt sich die elektrische Suszeptibilität \( \chi_e \):

 \( \chi_e \approx 6{,}78 \times 10^{-4} \) 

Dies ist die Materialkonstante \( \chi_e \) des dielektrischen Materials, basierend auf den gegebenen Messwerten für die Polarisationsdichte und das elektrische Feld.

Aufgabe 4)

Multipolentwicklung von Strahlungsfeldern:Die Multipolentwicklung ist eine Methode zur Darstellung von Strahlungsfeldern in Form der Summe von verschiedenen Beitragstypen (Monopol, Dipol, Quadrupol, etc.). Sie ist besonders nützlich für die Bestimmung der Fernfeldabstrahlung. Die wichtigsten Begriffe umfassen:

• Monopolterm: Führt zu keiner Abstrahlung.
• Dipolterm: Wichtigster Beitrag für elektromagnetische Strahlung.
• Quadrupolterm: Der nächste wichtige Beitrag nach dem Dipol.
• Multipolmomente:
  • Elektrisches Dipolmoment: \(\textbf{p} = \int \textbf{r} \rho(\textbf{r}) dV\)
  • Magnetisches Dipolmoment: \(\textbf{m} = \frac{1}{2} \int (\textbf{r} \times \textbf{J}(\textbf{r})) dV\)
• Strahlungsfelder in großer Entfernung: Entwickeln in Kugelflächenharmonische

a)

Bestimme das elektrische Dipolmoment eines Systems, das aus zwei Punktladungen besteht: Ladung \(+q\) befindet sich am Punkt \((0, a, 0)\), und Ladung \(-q\) am Punkt \((0, -a, 0)\).

Lösung:

Um das elektrische Dipolmoment \(\textbf{p}\) eines Systems zu bestimmen, das aus zwei Punktladungen besteht, verwenden wir die folgende Formel:

• Elektrisches Dipolmoment: \(\textbf{p} = \int \textbf{r} \rho(\textbf{r}) dV\)

Für ein System aus diskreten Ladungen kann das Dipolmoment \(\textbf{p}\) berechnet werden als:

• \(\textbf{p} = \sum_{i} q_{i} \textbf{r}_{i}\)

In unserem Fall haben wir zwei Punktladungen:

• Ladung \(+q\) befindet sich am Punkt \( (0, a, 0) \)
• Ladung \(-q\) befindet sich am Punkt \( (0, -a, 0) \)

Daher ist das elektrische Dipolmoment:

• \(\textbf{p} = q \textbf{r}_{1} + (-q) \textbf{r}_{2}\)
• \(\textbf{p} = q (0, a, 0) + (-q) (0, -a, 0)\)
• \(\textbf{p} = q (0, a, 0) - q (0, -a, 0)\)
• \(\textbf{p} = q (0, a, 0) + q (0, a, 0)\)
• \(\textbf{p} = q (0, 2a, 0)\)

Das elektrische Dipolmoment des Systems ist daher:

• \(\textbf{p} = (0, 2qa, 0)\)

b)

Berechne das magnetische Dipolmoment für ein kreisförmiges Drahtstück mit Radius \(R\), welches einen konstanten Strom \(I\) führt.

Lösung:

Um das magnetische Dipolmoment \(\textbf{m}\) für ein kreisförmiges Drahtstück mit Radius \(R\), welches einen konstanten Strom \(I\) führt, zu berechnen, verwenden wir die Definition des magnetischen Dipolmoments:

• \[\textbf{m} = \frac{1}{2} \int (\textbf{r} \times \textbf{J}(\textbf{r})) dV\]

Für einen Stromkreis mit konstantem Strom können wir diese Formel vereinfachen. Das magnetische Dipolmoment eines kreisförmigen Leiters, durch den ein konstanter Strom \(I\) fließt, ist gegeben durch:

• \[\textbf{m} = I \textbf{A}\]

Hierbei ist \(\textbf{A}\) der Flächenvektor des Kreises, der senkrecht zur Ebene des Kreises steht. Die Größe des Flächenvektors ist der Flächeninhalt des Kreises, und seine Richtung ist durch die Rechtsschraubenregel gegeben.

Für einen Kreis mit Radius \(R\) ist der Flächeninhalt \(A\):

• \[A = \pi R^2\]

Der Flächenvektor \(\textbf{A}\) zeigt entlang der Achse, die senkrecht zur Ebene des Stromkreises ist, wobei die Richtung durch die Rechtsschraubenregel bestimmt wird (wenn der Strom im Uhrzeigersinn fließt, zeigt \(\textbf{A}\) nach unten, und wenn der Strom gegen den Uhrzeigersinn fließt, zeigt \(\textbf{A}\) nach oben).

Also ist der Betrag des magnetischen Dipolmoments:

• \[m = I \pi R^2\]

Das magnetische Dipolmoment \(\textbf{m}\) in Vektorform ist daher:

• \[\textbf{m} = I \pi R^2 \hat{\textbf{n}}\]

Hierbei ist \(\hat{\textbf{n}}\) der Einheitsvektor, der senkrecht zur Ebene des Kreises steht und dessen Richtung durch die Rechtsschraubenregel bestimmt wird.

d)

Das quadrupolare Moment eines Systems wird durch \(Q_{ij} = \int[3x_i x_j - r^2 \delta_{ij}] \rho(\textbf{r}) dV\) definiert. Bestimme das quadrupolare Moment des oben genannten Systems von zwei Punktladungen.

Lösung:

Um das quadrupolare Moment \(Q_{ij}\) eines Systems von zwei Punktladungen zu bestimmen, verwenden wir die gegebene Formel:

• Quadrupolmoment:\(Q_{ij} = \int [3x_i x_j - r^2 \delta_{ij}] \rho(\textbf{r}) dV\)

Das System besteht aus zwei Punktladungen:

• Ladung \(+q\) am Punkt \((0, a, 0)\)
• Ladung \(-q\) am Punkt \((0, -a, 0)\)

Für Punktladungen können wir die Integration durch eine Summe ersetzen:

• Quadrupolmoment für diskrete Ladungen:\(Q_{ij} = \sum_k q_k [3x_{ki}x_{kj} - r_k^2 \delta_{ij}]\)

Wir berechnen nun das quadrupolare Moment für jede der beiden Punktladungen separat und summieren die Ergebnisse.

Für die positive Ladung \(+q\) am Punkt \((0, a, 0)\):

• Koordinaten: \((x_1, y_1, z_1) = (0, a, 0)\)
• \(r_1^2 = x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 0^2 + a^2 + 0^2 = a^2\)
• \(Q_{ij}^{(+q)} = q [3x_{1i} x_{1j} - r_1^2 \delta_{ij}]\)
• \(Q_{ij}^{(+q)} = q [3 (0) (0) + 3 (a) (a) - a^2 \delta_{ij}]\)
• \(Q_{ij}^{(+q)} = q [3a^2 \delta_{2j} - a^2 \delta_{ij}]\)

Für die negative Ladung \(-q\) am Punkt \((0, -a, 0)\):

• Koordinaten: \((x_2, y_2, z_2) = (0, -a, 0)\)
• \(r_2^2 = x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = 0^2 + (-a)^2 + 0^2 = a^2\)
• \(Q_{ij}^{(-q)} = -q [3x_{2i} x_{2j} - r_2^2 \delta_{ij}]\)
• \(Q_{ij}^{(-q)} = -q [3 (0) (0) + 3 (-a) (-a) - a^2 \delta_{ij}]\)
• \(Q_{ij}^{(-q)} = -q [3a^2 \delta_{2j} - a^2 \delta_{ij}]\)

Nun summieren wir die beiden Ergebnisse:

• \(Q_{ij} = Q_{ij}^{(+q)} + Q_{ij}^{(-q)}\)
• \(Q_{ij} = q [3a^2 \delta_{2j} - a^2 \delta_{ij}] + (-q) [3a^2 \delta_{2j} - a^2 \delta_{ij}]\)
• \(Q_{ij} = q [3a^2 \delta_{2j} - a^2 \delta_{ij}] - q [3a^2 \delta_{2j} - a^2 \delta_{ij}]\)
• \(Q_{ij} = q [3a^2 \delta_{2j} - 3a^2 \delta_{2j}] - a^2 \delta_{ij} + a^2 \delta_{ij}\)
• \(Q_{ij} = 0\)

Das quadrupolare Moment des Systems von zwei Punktladungen ist daher null: \(Q_{ij} = 0\).