Theoretische Physik 3: Quantenmechanik - Cheatsheet

Grundlegende Postulate und Prinzipien der Quantenmechanik

Definition:

Grundlegende Annahmen und Regeln zur Beschreibung quantenmechanischer Systeme.

Details:

• Zustand durch Wellenfunktion \( \psi(\mathbf{r},t) \) beschrieben
• Wahrscheinlichkeitsdichte: \[ \rho(\mathbf{r},t) = |\psi(\mathbf{r},t)|^2 \]
• Operatoren entsprechen beobachtbaren Größen (Observablen)
• Eigenwertgleichung: \[ \hat{A} \psi = a \psi \]
• Heisenbergsche Unschärferelation: \[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• Schrödinger-Gleichung bestimmt Zeitentwicklung: \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r},t) = \hat{H} \psi(\mathbf{r},t) \]

Zeitabhängige und Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

Definition:

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Details:

• Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung eines Quantensystems: \[ i\frac{\text{d}}{\text{d}t} |\text{Ψ}(t)⟩ = \text{Ĥ} |\text{Ψ}(t)⟩ \]
• Die Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung liefert die Eigenwerte und Eigenzustände eines stationären Systems: \[ \text{Ĥ} |\text{ψ}_n⟩ = E_n |\text{ψ}_n⟩ \]
• Trennung der Variablen für Zeit und Raum: \[ |\text{Ψ}(t)⟩ = e^{-iE_nt/\text{ħ}} |\text{ψ}_n⟩ \]
• Hamiltonoperator \[ \text{Ĥ} = \frac{\text{p}^2}{2m} + \text{V}(\text{r}) \]
• Wichtige Formeln und Größen: Plancksches Wirkungsquantum (\text{ħ}), Wellenfunktion (\text{Ψ})

Quantisierung des Drehimpulses

Definition:

Quantisierung des Drehimpulses beschreibt, dass der Drehimpuls in der Quantenmechanik nur diskrete Werte annehmen kann.

Details:

• Drehimpulsoperatoren: \( \hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z \)
• Kommutation: \([\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} \hat{L}_k \)
• Eingenwerte von \( \hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 \): \( \hbar^2 l(l+1) \) mit \( l = 0, 1, 2, ... \)
• Eingenwerte von \( \hat{L}_z \): \( m \hbar \) mit \( m = -l, -l+1, ..., l \)
• Quantenzahlen: \( l \) und \( m \) (Bahndrehimpulsquantenzahlen)

Hermitesche Operatoren und ihre Bedeutung

Definition:

Hermitesche Operatoren spielen in der Quantenmechanik eine zentrale Rolle, da sie beobachtbare Größen repräsentieren.

Details:

• Definition: Ein Operator \( \hat{A} \) ist hermitesch, wenn \( \hat{A} = \hat{A}^\dagger \).
• Eigenwerte: Die Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell.
• Eigenzustände: Die Eigenzustände zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
• Beispiele: Impulsoperator, Hamiltonoperator, und Drehimpulsoperator.

Heisenbergsche Unschärferelation und ihre Implikationen

Definition:

Heisenbergsche Unschärferelation: fundamentale Grenze für die gleichzeitige Bestimmung von Ort und Impuls eines Teilchens. Kernaussage:

Details:

• Mathematische Formulierung:
• λ von Δx} und Unschärfe
• Konsequenzen: keine perfekten Messungen von Ort und Impuls
• Anwendung: Quantenmechanik, Präzisionsgeräte.

Eigenschaften von Spin und Spinoperatoren

Definition:

Eigenschaften von Spin und Spinoperatoren sind grundlegende Konzepte der Quantenmechanik, die den intrinsischen Drehimpuls (Spin) von Teilchen und deren mathematische Beschreibung durch Operatoren behandeln.

Details:

• Spin ist ein intrinsischer Drehimpuls charakterisiert durch die Quantenanzahl s.
• Für Elektronen: Spinquantenzahl s = \frac{1}{2}.
• Spinoperatoren: \( S_x, S_y, S_z \)
• Kommutationsrelationen: \[ [S_i, S_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} S_k \]
• Quadratischer Spinoperator: \[ S^2 = S_x^2 + S_y^2 + S_z^2 \]
• Eigenwerte von \( S^2 \): \[ s(s+1)\hbar^2 \]
• Eigenwerte von \( S_z \): \[ m_s \hbar, m_s = -s, -s+1, ..., s \]
• Spinor: Zustandsdarstellung von Spin bei \( s = \frac{1}{2} \) durch zweikomponentige Vektoren

Pauli-Prinzip und seine Bedeutung

Definition:

Das Pauli-Prinzip besagt, dass in einem Quantensystem zwei identische Fermionen nicht denselben Quantenzustand einnehmen können.

Details:

• Beschränkt auf Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin, z.B. Elektronen).
• Mathematisch: Die Wellenfunktion eines Systems von Fermionen ändert ihr Vorzeichen bei Vertauschung zweier Teilchen: \[ \text{ψ}(x_1, x_2) = -\text{ψ}(x_2, x_1) \]
• Folge: Elektronen in einem Atom haben durch unterschiedliche Quantenzahlen (n, l, m_l, m_s) definierte Zustände.
• Erklärt Elektronenkonfiguration und Struktur des Periodensystems.
• Grundlage für viele physikalische Phänomene, wie z.B. die Stabilität der Materie und die Struktur von Atomen und Molekülen.

Kommutationsrelationen

Definition:

Kommutationsrelationen beschreiben die Nichtvertauschbarkeit von Operatoren in der Quantenmechanik.

Details:

• Wichtig für das Verständnis der Unschärferelation.
• Basisformel: \[ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \]
• Kommutiert, wenn \[ [\hat{A}, \hat{B}] = 0 \]
• Wichtige Operatoren: Ort \( \hat{x} \) und Impuls \( \hat{p} \)
• Beispiel: \[ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \]
• Häufige Beziehungen: \[ [\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{L}_k \] (Drehimpulsoperatoren)
• Nützlich für das Finden von Eigenwerten und Eigenfunktionen.
• Implicationen in der Darstellungstheorie und Symmetrien in der Quantenmechanik.