Theoretische Physik 4: Statistische Physik - Cheatsheet

Zentraler Grenzwertsatz

Definition:

Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe einer großen Anzahl unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen näherungsweise normalverteilt ist, unabhängig von der ursprünglichen Verteilung der Variablen.

Details:

• Mathematisch: Für unabhängige Zufallsvariablen \(X_i\) mit \(E[X_i] = \mu\) und \(Var(X_i) = \sigma^2\), ist die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) für \(n \to \infty\) normalverteilt mit \(N(n \mu, n \sigma^2)\).
• Konvergenzrate: Die Verteilung nähert sich der Normalverteilung mit \(\mathcal{O}(1/\sqrt{n})\).
• Voraussetzung: Die Zufallsvariablen müssen identisch verteilt sein und dürfen höchstens endliche Varianz besitzen.

Mikrokanonisches, Kanonisches und Großkanonisches Ensemble

Definition:

Untersuche statistische Ensembles zur Beschreibung von Systemen in verschiedenen Gleichgewichtszuständen: mikrokanonisches, kanonisches und großkanonisches Ensemble.

Details:

• Mikrokanonisches Ensemble:
  • konstante Energie (\textit{E}), Volumen (\textit{V}) und Teilchenzahl (\textit{N})
  • Zustände sind gleich wahrscheinlich
  • Basis für Entropie (\textit{S}) und Temperatur (\textit{T})
• Kanonisches Ensemble:
  • konstante Temperatur (\textit{T}), Volumen (\textit{V}) und Teilchenzahl (\textit{N})
  • System im Wärmekontakt mit Reservoir
  • Zustandswahrscheinlichkeit: \( P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z} \)
  • Zustandssumme (\textit{Z}): \( Z = \sum_i e^{-\beta E_i} \)
• Großkanonisches Ensemble:
  • konstante Temperatur (\textit{T}), Volumen (\textit{V}) und chemisches Potential (\textit{\mu})
  • System im Teilchenaustausch mit Reservoir
  • Zustandswahrscheinlichkeit: \( P_i = \frac{e^{-\beta (E_i - \mu N_i)}}{\Xi} \)
  • Großkanonische Zustandssumme (\textit{\Xi}): \( \Xi = \sum_i e^{-\beta (E_i - \mu N_i)} \)

Dichteoperator und seine Anwendung

Definition:

In der statistischen Physik beschreibt der Dichteoperator den Zustand eines quantenmechanischen Systems in der Dichteoperatorsprache und ermöglicht die Berechnung von Mittelwerten physikalischer Größen.

Details:

• Dichteoperator-Kennzeichnung: \( \hat{\rho} \)
• Eigenschaften: \( \hat{\rho}^{\dagger} = \hat{\rho} \) (Selbstadjungiertheit), Spur von \( \hat{\rho} \) ist 1: \( \text{Tr}(\hat{\rho}) = 1 \)
• Reine Zustände: \( \hat{\rho} = | \psi \rangle \langle \psi | \)
• Gemischte Zustände: Linearkombination von Projektionsoperatoren
• Mittelwert physikalischer Größen: \( \langle A \rangle = \text{Tr}(\hat{\rho} \hat{A}) \)
• Gibbs-Verteilung bei thermischem Gleichgewicht: \( \hat{\rho} = \frac{e^{-\beta \hat{H}}}{Z} \)
• Partionsfunktion: \( Z = \text{Tr}(e^{-\beta \hat{H}}) \)

Erster und Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Definition:

Erster und Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik - fundamentale Prinzipien zur Beschreibung von Energieumwandlungen und Entropie.

Details:

• Erster Hauptsatz: \( \text{d}U = \text{d}Q - \text{d}W \) - Energieerhaltung, innere Energie (U) ändert sich durch Wärme (Q) und Arbeit (W).
• Zweiter Hauptsatz: Gesamtentropie (S) eines abgeschlossenen Systems nimmt nie ab, \( \text{d}S \ge 0 \) - beschreibt die Richtung natürlicher Prozesse und Unumkehrbarkeit.
• Zusammen: Unmöglichkeit eines Perpetuum mobile erster und zweiter Art.

Statistische Mechanik für Bosonen und Fermionen

Definition:

Betrachtet die statistische Verteilung von Teilchen, die Bosonen oder Fermionen sind, unter Berücksichtigung ihrer jeweiligen Symmetrien und dem Pauli-Prinzip.

Details:

• Bosonen: Teilchen mit ganzzahligem Spin. Gehorchen der Bose-Einstein-Statistik.
• Bose-Einstein-Verteilung für mittlere Besetzungszahl pro Zustand mit Energie E: \[ n(E) = \frac{1}{e^{\beta (E - \mu)} - 1} \]
• Fermionen: Teilchen mit halbzahligem Spin. Gehorchen der Fermi-Dirac-Statistik.
• Fermi-Dirac-Verteilung für mittlere Besetzungszahl pro Zustand mit Energie E: \[ n(E) = \frac{1}{e^{\beta (E - \mu)} + 1} \]
• Unterscheidung aufgrund des Spins: Bosonen (integer), Fermionen (halbzahlig).
• Wichtig: Pauli-Prinzip nur für Fermionen (kein Zustand von mehr als einem Fermion besetzt).

Phasenübergänge erster und zweiter Ordnung

Definition:

Unterscheidung basierend auf dem Verhalten thermodynamischer Größen bei Übergang.

Details:

• Erster Ordnung: Diskontinuierlicher Übergang, latente Wärme ([L = T (\frac{\text{d}S}{\text{d}T})]). Beispiele: Schmelzen, Verdampfen.
• Zweiter Ordnung: Kontinuierlicher Übergang, keine latente Wärme, aber Sprung in Ableitungen der freien Energie (z.B. spezifische Wärme). Beispiel: Supraleitung, Ferromagnetismus.

Clausius-Clapeyron-Gleichung

Definition:

Beschreibt den Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur an Phasengrenzlinien.

Details:

• Herleitung aus der Gleichgewichtsbedingung \( dG_1 = dG_2 \)
• Formel: \[ \frac{dP}{dT} = \frac{L}{T \Delta V} \]
• \( L \): latente Wärme
• \( \Delta V \): Volumenänderung
• Näherung für Flüssig-Gas-Grenze: \[ \ln P = -\frac{L}{R} \left(\frac{1}{T}\right) + C \]

Virialentwicklung für reale Gase

Definition:

Reihenentwicklung des Drucks eines realen Gases in Bezug auf die Dichte.

Details:

• Formel: \[ \frac{p}{k_B T} = \rho + B_2(T) \rho^2 + B_3(T) \rho^3 + \cdots \]
• \( \rho = \frac{N}{V} \)
• \( B_n(T) \) sind Virialkoeffizienten, abhängig von Temperatur \( T \)
• Berücksichtigt Wechselwirkungen zwischen Molekülen
• \( B_2(T) \): Zwei-Körper-Wechselwirkungen
• \( B_3(T) \): Drei-Körper-Wechselwirkungen