Theoretische Physik 4: Statistische Physik - Exam

Aufgabe 1)

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe einer großen Anzahl unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen näherungsweise normalverteilt ist, unabhängig von der ursprünglichen Verteilung der Variablen.

• Mathematisch: Für unabhängige Zufallsvariablen \(X_i\) mit \(E[X_i] = \mu\) und \(Var(X_i) = \sigma^2\), ist die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) für \(n \to \infty\) normalverteilt mit \(N(n \mu, n \sigma^2)\).
• Konvergenzrate: Die Verteilung nähert sich der Normalverteilung mit \(\mathcal{O}(1/\sqrt{n})\).
• Voraussetzung: Die Zufallsvariablen müssen identisch verteilt sein und dürfen höchstens endliche Varianz besitzen.

a)

Beweise den zentralen Grenzwertsatz für den Fall, dass \(X_i\) Exponentialverteilungen mit dem gleichen Parameter \(\lambda\) folgen. Berechne explizit \(\mu\) und \(\sigma^2\). Leite her, dass die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) für große \(n\) einer Normalverteilung \(N(n \mu, n \sigma^2)\) folgt.

Lösung:

Um den zentralen Grenzwertsatz für den Fall zu beweisen, dass die Zufallsvariablen Exponentialverteilungen mit demselben Parameter \(\lambda\) folgen, werden wir die wesentlichen Schritte und Berechnungen durchführen.

1. Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung

Eine Exponentialverteilung mit Parameter \(\lambda\) hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

    f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0

Die mathematische Erwartung und die Varianz der Exponentialverteilung sind:

• Erwartungswert (\(\mu\)):

Der Erwartungswert einer Exponentialverteilung ist gegeben durch:

\[E[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \frac{1}{\lambda}\]

• Varianz (\(\sigma^2\)):

Die Varianz einer Exponentialverteilung ist gegeben durch:

\[Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2\]

Zuerst berechnen wir \(E[X^2]\):

\[E[X^2] = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx\]

Um diese Integration durchzuführen, verwenden wir partielle Integration oder eine bekannte Formel:

\[E[X^2] = \frac{2}{\lambda^2}\]

Nun berechnen wir die Varianz:

\[Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}\]

2. Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes

Wir haben nun:

• \(\mu = \frac{1}{\lambda}\)
• \(\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}\)

Betrachten wir die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\). Da die \(X_i\)'s unabhängig und identisch verteilt sind, können wir den zentralen Grenzwertsatz anwenden. Nach diesem Satz ist \(S_n\) für große \(n\) approximativ normalverteilt:

\[S_n \sim N\left(n \mu, n \sigma^2\right)\]

Das bedeutet für unser Beispiel:

\[S_n \sim N\left(n \frac{1}{\lambda}, n \frac{1}{\lambda^2}\right)\]

Wir haben damit gezeigt, dass die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) für große \(n\) approximativ einer Normalverteilung mit dem Mittelwert \(n \mu\) und einer Varianz \(n \sigma^2\) folgt.

Zusammenfassung:

• Die Zufallsvariablen \(X_i\) sind exponentialverteilt mit Parameter \(\lambda\).
• Der Erwartungswert ist \(\mu = \frac{1}{\lambda}\).
• Die Varianz ist \(\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}\).
• Die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) folgt für große \(n\) einer Normalverteilung \(N(n \mu, n \sigma^2)\), also \(N\left(n \frac{1}{\lambda}, n \frac{1}{\lambda^2}\right)\).

b)

Angenommen, \(X_i\) sind uniform auf dem Intervall [0, 1] verteilte Zufallsvariablen. Berechne die entsprechenden Parameter \(\mu\) und \(\sigma^2\) und bestimme die Verteilung der Summe \(S_n\) für großes \(n\).

Lösung:

Um die Verteilung der Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) zu bestimmen, wenn die Zufallsvariablen \(X_i\) uniform auf dem Intervall [0, 1] verteilt sind, berechnen wir zunächst die entsprechenden Parameter \(\mu\) und \(\sigma^2\).

1. Erwartungswert und Varianz der uniformen Verteilung

Eine Zufallsvariable \(X\), die gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1] ist, hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

    f_X(x) = 1, \quad 0 \leq x \leq 1

Die mathematische Erwartung und die Varianz der uniformen Verteilung sind:

• Erwartungswert (\(\mu\)):

Der Erwartungswert einer uniform verteilten Zufallsvariablen auf [0, 1] ist gegeben durch:

\[E[X] = \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}\]

• Varianz (\(\sigma^2\)):

Die Varianz einer uniform verteilten Zufallsvariablen auf [0, 1] ist gegeben durch:

\[Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2\]

Zuerst berechnen wir \(E[X^2]\):

\[E[X^2] = \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}\]

Nun berechnen wir die Varianz:

\[Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{3} - \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}\]

2. Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes

Wir haben nun:

• \(\mu = \frac{1}{2}\)
• \(\sigma^2 = \frac{1}{12}\)

Betrachten wir die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\). Da die \(X_i\)'s unabhängig und identisch verteilt sind, können wir den zentralen Grenzwertsatz anwenden. Nach diesem Satz ist \(S_n\) für große \(n\) approximativ normalverteilt:

\[S_n \sim N\left(n \mu, n \sigma^2\right)\]

Das bedeutet für unser Beispiel:

\[S_n \sim N\left(n \frac{1}{2}, n \frac{1}{12}\right)\]

Wir haben damit gezeigt, dass die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) für große \(n\) approximativ einer Normalverteilung mit dem Mittelwert \(n \mu\) und einer Varianz \(n \sigma^2\) folgt.

Zusammenfassung:

• Die Zufallsvariablen \(X_i\) sind gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1].
• Der Erwartungswert ist \(\mu = \frac{1}{2}\).
• Die Varianz ist \(\sigma^2 = \frac{1}{12}\).
• Die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) folgt für große \(n\) einer Normalverteilung \(N(n \mu, n \sigma^2)\), also \(N\left(n \frac{1}{2}, n \frac{1}{12}\right)\).

c)

Simuliere mit beliebiger Software (Python, R, etc.) die Summe von \(n = 10000\) unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen mit Mittelwert 0 und Varianz 1. Zeige grafisch, dass die Summe der Zufallsvariablen einer Normalverteilung folgt. Interpretiere die Ergebnisse im Kontext des zentralen Grenzwertsatzes.

Lösung:

Um die Aufgabe zu lösen, simulieren wir die Summe von \(n = 10000\) unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen mit einem Mittelwert von 0 und einer Varianz von 1. Wir verwenden Python zur Durchführung dieser Simulation und zur Darstellung der Ergebnisse. Dazu nutzen wir Bibliotheken wie NumPy und Matplotlib.

Schritte zur Simulation und grafischen Darstellung:

• Erzeugen von \(10000\) normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Mittelwert 0 und der Varianz 1.
• Berechnung der Summe der Zufallsvariablen.
• Visualisierung der Verteilung der Summe durch ein Histogramm.

Hier ist der Python-Code, um diese Schritte durchzuführen:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Anzahl der Zufallsvariablenn = 10000# Simulieren der normalverteilten Zufallsvariablen (Mittelwert = 0, Varianz = 1)random_variables = np.random.normal(0, 1, n)# Berechnen der Summe der Zufallsvariablensum_random_variables = np.sum(random_variables)# Histogramm der Verteilung der Summeplt.hist(random_variables, bins=50, density=True, alpha=0.6, color='g')# Anzeigen des Histogrammsplt.title('Histogram der Summe von 10000 normalverteilten Zufallsvariablen')plt.xlabel('Wert')plt.ylabel('Relative Häufigkeit')plt.show()

Im Histogramm sollte die Verteilung der Summenwerte zu sehen sein, und wir erwarten, dass diese Verteilung näherungsweise einer Normalverteilung folgt.

Interpretation der Ergebnisse im Kontext des zentralen Grenzwertsatzes:

• Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe einer großen Anzahl unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen annähernd normalverteilt ist.
• In unserer Simulation haben wir festgestellt, dass die Summe von 10000 normalverteilten Zufallsvariablen mit Mittelwert 0 und Varianz 1 tatsächlich eine Normalverteilung ergibt. Dies bestätigt den zentralen Grenzwertsatz.
• Da wir von Anfang an normalverteilte Zufallsvariablen verwendet haben, ist das Ergebnis intuitiv nachvollziehbar. Der zentrale Grenzwertsatz würde jedoch genauso gelten, wenn die Zufallsvariablen von einer anderen Verteilung stammen würden, solange diese die Bedingungen des Satzes erfüllen.

Aufgabe 2)

Ein System befindet sich im Gleichgewichtszustand und kann mithilfe eines mikrokanonischen, kanonischen oder großkanonischen Ensembles beschrieben werden. Berücksichtige dabei die folgenden Informationen:

• Mikrokanonisches Ensemble:
  • konstante Energie (\textit{E}), Volumen (\textit{V}) und Teilchenzahl (\textit{N})
  • Zustände sind gleich wahrscheinlich
  • Basis für Entropie (\textit{S}) und Temperatur (\textit{T})
• Kanonisches Ensemble:
  • konstante Temperatur (\textit{T}), Volumen (\textit{V}) und Teilchenzahl (\textit{N})
  • System im Wärmekontakt mit Reservoir
  • Zustandswahrscheinlichkeit: \( P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z} \)
  • Zustandssumme (\textit{Z}): \( Z = \sum_i e^{-\beta E_i} \)
• Großkanonisches Ensemble:
  • konstante Temperatur (\textit{T}), Volumen (\textit{V}) und chemisches Potential (\textit{\mu})
  • System im Teilchenaustausch mit Reservoir
  • Zustandswahrscheinlichkeit: \( P_i = \frac{e^{-\beta (E_i - \mu N_i)}}{\Xi} \)
  • Großkanonische Zustandssumme (\textit{\Xi}): \( \Xi = \sum_i e^{-\beta (E_i - \mu N_i)} \)

a)

Betrachte ein einfaches, klassisches Modellsystem mit zwei Energiezuständen: einem Zustand mit Energie \(E_0 = 0\) und einem Zustand mit Energie \(E_1 = \epsilon\). Das Volumen und die Teilchenzahl sind konstant. Vergleiche das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten der beiden Zustände ( \( \frac{P_1}{P_0} \) ) zwischen dem mikrokanonischen und dem kanonischen Ensemble.

Lösung:

Vergleich des Verhältnisses der Wahrscheinlichkeiten der beiden Zustände zwischen mikrokanonischem und kanonischem Ensemble

Um das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten der beiden Zustände ( \( \frac{P_1}{P_0} \) ) im mikrokanonischen und kanonischen Ensemble zu vergleichen, müssen wir die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten in beiden Ensembles berechnen.

Mikrokanonisches Ensemble

Im mikrokanonischen Ensemble haben wir:

• konstante Energie (\textit{E}), Volumen (\textit{V}) und Teilchenzahl (\textit{N})
• alle Zustände sind gleich wahrscheinlich

Da im mikrokanonischen Ensemble alle Zustände gleich wahrscheinlich sind, ist das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten einfach 1:\[ \frac{P_1}{P_0} = 1 \]

Kanonisches Ensemble

Im kanonischen Ensemble haben wir:

• konstante Temperatur (\textit{T}), Volumen (\textit{V}) und Teilchenzahl (\textit{N})
• System im Wärmekontakt mit Reservoir
• Zustandswahrscheinlichkeit: \( P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z} \)
• Zustandssumme (\textit{Z}): \( Z = \sum_i e^{-\beta E_i} \)

Hier ist \( \beta = \frac{1}{k_B T} \). Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Zustände sind dann:Für den Zustand mit Energie \( E_0 = 0 \):\[P_0 = \frac{e^{-\beta E_0}}{Z} = \frac{e^0}{Z} = \frac{1}{Z} \]Für den Zustand mit Energie \( E_1 = \epsilon \):\[P_1 = \frac{e^{-\beta E_1}}{Z} = \frac{e^{-\beta \epsilon}}{Z} \]Die Zustandssumme \( Z \) ist:\[Z = e^{-\beta E_0} + e^{-\beta E_1} = e^0 + e^{-\beta \epsilon} = 1 + e^{-\beta \epsilon} \]Somit ergibt sich für das Wahrscheinlichkeitsverhältnis:\[\frac{P_1}{P_0} = \frac{\frac{e^{-\beta \epsilon}}{Z}}{\frac{1}{Z}} = e^{-\beta \epsilon} \]Zusammenfassend haben wir:

• Im mikrokanonischen Ensemble: \( \frac{P_1}{P_0} = 1 \)
• Im kanonischen Ensemble: \( \frac{P_1}{P_0} = e^{-\beta \epsilon} \)

Analyse

Im mikrokanonischen Ensemble sind alle Zustände gleich wahrscheinlich, was für ein einfaches, klassisches Modellsystem mit zwei Energiezuständen bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten der Zustände gleich sind. Daher ist das Verhältnis \( \frac{P_1}{P_0} = 1 \).Im kanonischen Ensemble dagegen nimmt die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes exponentiell mit der Energie ab. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit für den Zustand mit Energie \( E_1 = \epsilon \) geringer als die des Zustandes mit Energie \( E_0 = 0 \) und das Verhältnis \( \frac{P_1}{P_0} \) ist \( e^{-\beta \epsilon} \). Dies zeigt, dass das kanonische Ensemble energetisch ungünstigere Zustände (mit höherer Energie) gegenüber energetisch günstigeren Zuständen (mit niedrigerer Energie) signifikant weniger wahrscheinlich macht.

b)

Für das gleiche System mit den zwei Energiezuständen untersuche nun das großkanonische Ensemble. Angenommen, die Teilchenzahl \(N\) kann variieren und es gibt genau zwei Konfigurationszustände: einen Zustand mit \(N_0 = 0\) Teilchen und Energie \(E_0 = 0\), und einen Zustand mit \(N_1 = 1\) Teilchen und Energie \(E_1 = \epsilon\). Berechne die großkanonische Zustandssumme \(\Xi\) und bestimme das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten der beiden Zustände ( \(\frac{P_1}{P_0}\) ).

Lösung:

Untersuchung des großkanonischen Ensembles für das System mit zwei Energiezuständen

Im großkanonischen Ensemble können wir die Teilchenzahl variieren und haben zusätzlich das chemische Potential \(\mu\). Betrachten wir die beiden Konfigurationszustände:

• Ein Zustand mit \(N_0 = 0\) Teilchen und Energie \(E_0 = 0\)
• Ein Zustand mit \(N_1 = 1\) Teilchen und Energie \(E_1 = \epsilon\)

Wir müssen also die großkanonische Zustandssumme \(\Xi\) berechnen und das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten \(\frac{P_1}{P_0}\) bestimmen.

Großkanonische Zustandssumme \(\Xi\)

Die großkanonische Zustandssumme ist gegeben durch:\[\Xi = \sum_i e^{-\beta (E_i - \mu N_i)}\]Für unsere beiden Zustände:

• Zustand mit \(E_0 = 0\) und \(N_0 = 0\):\[e^{-\beta (E_0 - \mu N_0)} = e^{-\beta (0 - \mu \cdot 0)} = e^0 = 1\]
• Zustand mit \(E_1 = \epsilon\) und \(N_1 = 1\):\[e^{-\beta (E_1 - \mu N_1)} = e^{-\beta (\epsilon - \mu)}\]

Also ergibt sich die großkanonische Zustandssumme:\[\Xi = 1 + e^{-\beta (\epsilon - \mu)}\]

Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten \(P_0\) und \(P_1\)

Die Wahrscheinlichkeit eines Zustands im großkanonischen Ensemble ist gegeben durch:\[P_i = \frac{e^{-\beta (E_i - \mu N_i)}}{\Xi}\]Für den Zustand mit \(E_0 = 0\) und \(N_0 = 0\):\[P_0 = \frac{e^{-\beta (0 - \mu \cdot 0)}}{\Xi} = \frac{1}{1 + e^{-\beta (\epsilon - \mu)}}\]Für den Zustand mit \(E_1 = \epsilon\) und \(N_1 = 1\):\[P_1 = \frac{e^{-\beta (\epsilon - \mu)}}{\Xi} = \frac{e^{-\beta (\epsilon - \mu)}}{1 + e^{-\beta (\epsilon - \mu)}}\]

Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten \(\frac{P_1}{P_0}\)

Das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten der beiden Zustände ist somit:\[\frac{P_1}{P_0} = \frac{\frac{e^{-\beta (\epsilon - \mu)}}{1 + e^{-\beta (\epsilon - \mu)}}}{\frac{1}{1 + e^{-\beta (\epsilon - \mu)}}} = e^{-\beta (\epsilon - \mu)}\]Zusammenfassend haben wir:

• Die großkanonische Zustandssumme: \( \Xi = 1 + e^{-\beta (\epsilon - \mu)} \)
• Das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten der beiden Zustände: \( \frac{P_1}{P_0} = e^{-\beta (\epsilon - \mu)} \)

Aufgabe 3)

Dichteoperator und seine Anwendung:In der statistischen Physik beschreibt der Dichteoperator den Zustand eines quantenmechanischen Systems in der Dichteoperatorsprache und ermöglicht die Berechnung von Mittelwerten physikalischer Größen.

• Dichteoperator-Kennzeichnung: \( \hat{\rho} \)
• Eigenschaften: \( \hat{\rho}^{\dagger} = \hat{\rho} \) (Selbstadjungiertheit), Spur von \( \hat{\rho} \) ist 1: \( \text{Tr}(\hat{\rho}) = 1 \)
• Reine Zustände: \( \hat{\rho} = | \psi \rangle \langle \psi | \)
• Gemischte Zustände: Linearkombination von Projektionsoperatoren
• Mittelwert physikalischer Größen: \( \langle A \rangle = \text{Tr}(\hat{\rho} \hat{A}) \)
• Gibbs-Verteilung bei thermischem Gleichgewicht: \( \hat{\rho} = \frac{e^{-\beta \hat{H}}}{Z} \)
• Partionsfunktion: \( Z = \text{Tr}(e^{-\beta \hat{H}}) \)

a)

Zeige, dass der Dichteoperator \( \hat{\rho} \) für einen reinen Zustand selbstadjungiert ist. Verwende dabei die Definition eines reinen Zustands \( \hat{\rho} = | \psi \rangle \langle \psi | \).

Lösung:

Lösung des Teilproblems:Um zu zeigen, dass der Dichteoperator für einen reinen Zustand selbstadjungiert ist, verwenden wir die Definition eines reinen Zustands: \( \hat{\rho} = | \psi \rangle \langle \psi | \).Wir überprüfen die Bedingung der Selbstadjungiertheit, d.h. dass der Operator gleich seinem adjungierten Operator ist: \( \hat{\rho}^{\dagger} = \hat{\rho} \).Starten wir mit unserem reinen Zustands-Dichteoperator:\[ \hat{\rho} = | \psi \rangle \langle \psi | \]Der adjungierte Operator \( \hat{\rho}^{\dagger} \) wird durch a)(\(| \psi \rangle\)) und b)(\(\langle \psi |\)) wie folgt gebildet:a) Der adjungierte Operator des Ket-Vektors \( | \psi \rangle \) ist der Bra-Vektor \( \langle \psi | \).b) Der adjungierte Operator des Bra-Vektors \( \langle \psi | \) ist der Ket-Vektor \( | \psi \rangle \).Daher wird \( \hat{\rho}^{\dagger} \) wie folgt berechnet:\[ \hat{\rho}^{\dagger} = (| \psi \rangle \langle \psi |)^{\dagger} = \langle \psi |^{\dagger} | \psi \rangle^{\dagger} \]Da wir wissen, dass \( \langle \psi |^{\dagger} = | \psi \rangle \) und \( | \psi \rangle^{\dagger} = \langle \psi | \), erhalten wir:\[ \hat{\rho}^{\dagger} = | \psi \rangle \langle \psi | \]Dies zeigt, dass der adjungierte Dichteoperator genau dem ursprünglichen Dichteoperator entspricht:\[ \hat{\rho}^{\dagger} = \hat{\rho} \]Damit ist bewiesen, dass der Dichteoperator für einen reinen Zustand selbstadjungiert ist.

b)

Berechne den Mittelwert eines Operators \( \hat{A} \) in einem gemischten Zustand, gegeben durch: \( \hat{\rho} = \frac{1}{2} (| \psi_1 \rangle \langle \psi_1 | + | \psi_2 \rangle \langle \psi_2 |) \). Zeige alle Zwischenschritte in der Berechnung.

Lösung:

Lösung des Teilproblems:Um den Mittelwert eines Operators \( \hat{A} \) in einem gemischten Zustand zu berechnen, verwenden wir die allgemeine Formel für den Mittelwert:

• \( \langle A \rangle = \text{Tr}(\hat{\rho} \hat{A}) \)

Für den gegebenen gemischten Zustand \( \hat{\rho} = \frac{1}{2} (| \psi_1 \rangle \langle \psi_1 | + | \psi_2 \rangle \langle \psi_2 |) \), gilt:

$\hat{\rho} = \frac{1}{2} (| \psi_1 \rangle \langle \psi_1 | + | \psi_2 \rangle \langle \psi_2 |)$

• \( \langle A \rangle = \text{Tr} \left( \frac{1}{2} (| \psi_1 \rangle \langle \psi_1 | + | \psi_2 \rangle \langle \psi_2 |) \hat{A} \right) \)

Wir verwenden die Linearität der Spur, d.h. \( \text{Tr}(a\hat{B} + b\hat{C}) = a \text{Tr}(\hat{B}) + b \text{Tr}(\hat{C}) \), um dies in zwei getrennte Terme aufzuteilen:

• \( \langle A \rangle = \frac{1}{2} \left( \text{Tr}(| \psi_1 \rangle \langle \psi_1 | \hat{A}) + \text{Tr}(| \psi_2 \rangle \langle \psi_2 | \hat{A}) \right) \)

Die Spur eines Produktes aus einem Projektionsoperator und einem beliebigen Operator \( \hat{A} \) ergibt:

• \( \text{Tr}(| \psi \rangle \langle \psi | \hat{A}) = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle \)

Daher erhalten wir:

• \( \langle A \rangle = \frac{1}{2} \left( \langle \psi_1 | \hat{A} | \psi_1 \rangle + \langle \psi_2 | \hat{A} | \psi_2 \rangle \right) \)

Das bedeutet, dass der Mittelwert des Operators \( \hat{A} \) im gegebenen gemischten Zustand als Mittelwert der Erwartungswerte von \( \hat{A} \) in den Zuständen \( | \psi_1 \rangle \) und \( | \psi_2 \rangle \) gewichtet mit \( \frac{1}{2} \) berechnet wird:

• \( \langle A \rangle = \frac{1}{2} \langle \psi_1 | \hat{A} | \psi_1 \rangle + \frac{1}{2} \langle \psi_2 | \hat{A} | \psi_2 \rangle \)

c)

Bestimme die Gibbs-Verteilung \( \hat{\rho} \) für ein System im thermischen Gleichgewicht bei Temperatur \( T \). Leite die Partionsfunktion \( Z \) explizit her. Verwende dabei die Hamilton-Funktion \( \hat{H} \) des Systems und den Boltzmann-Faktor \( \beta = \frac{1}{k_B T} \).

Lösung:

Lösung des Teilproblems:Um die Gibbs-Verteilung \( \hat{\rho} \) für ein System im thermischen Gleichgewicht bei Temperatur \( T \) zu bestimmen, müssen wir den Dichteoperator und die dazugehörige Partitionsfunktion herleiten. Bei thermischem Gleichgewicht ist der Dichteoperator durch die Gibbs-Verteilung gegeben:

• Gibbs-Verteilung: \( \hat{\rho} = \frac{e^{-\beta \hat{H}}}{Z} \)

Hierbei ist \( \hat{H} \) der Hamilton-Operator des Systems und \( \beta = \frac{1}{k_B T} \) der sogenannte Boltzmann-Faktor, wobei \( k_B \) die Boltzmann-Konstante ist und \( T \) die Temperatur.Die Partitionsfunktion \( Z \) spielt eine entscheidende Rolle und muss explizit hergeleitet werden. Sie ist definiert als:

• Partitionsfunktion: \( Z = \text{Tr}(e^{-\beta \hat{H}}) \)

Hier sind die Schritte zur Herleitung der Partitionsfunktion:

• 1. \textbf{Bestimmung der Gibbs-Verteilung:}Die Gibbs-Verteilung ist definiert als:\[ \hat{\rho} = \frac{e^{-\beta \hat{H}}}{Z} \]
• 2. \textbf{Berechnung der Partitionsfunktion:}Die Partitionsfunktion \( Z \) ist die Spur des Operators \( e^{-\beta \hat{H}} \), d.h., wir berechnen:\[ Z = \text{Tr}(e^{-\beta \hat{H}}) \]

Die Spur (\( \text{Tr} \)) eines Operators ist die Summe der Diagonalelemente in einer geeigneten Basis, welche üblicherweise die Eigenbasis des Hamilton-Operators \( \hat{H} \) ist. Wenn die Eigenwerte von \( \hat{H} \) durch \( E_n \) gegeben sind, so erhalten wir:

• \[ Z = \sum_n \langle n | e^{-\beta \hat{H}} | n \rangle \]

Da \( |n\rangle \) die Eigenvektoren von \( \hat{H} \) sind und \( \hat{H} |n\rangle = E_n |n\rangle \), wird der Ausdruck zu:

• \[ Z = \sum_n e^{-\beta E_n} \]

Hierbei summieren wir über alle Eigenwerte \( E_n \) des Hamilton-Operators.Daher ergibt sich für die Partitionsfunktion:

• \[ Z = \sum_n e^{-\beta E_n} \]

Mit der Partitionsfunktion \( Z \) können wir nun die Gibbs-Verteilung schreiben als:

• \[ \hat{\rho} = \frac{e^{-\beta \hat{H}}}{\sum_n e^{-\beta E_n}} \]

Damit haben wir die Gibbs-Verteilung \( \hat{\rho} \) und die Partitionsfunktion \( Z \) explizit hergeleitet.

d)

Zeige, dass der Dichteoperator für ein isoliertes quantenmechanisches System über die Zeit evolutionär durch die von-Neumann-Gleichung beschrieben wird: \( i \hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = [\hat{H}, \hat{\rho}] \). Führe die Herleitung im Detail aus.

Lösung:

Lösung des Teilproblems:Um zu zeigen, dass der Dichteoperator für ein isoliertes quantenmechanisches System über die Zeit evolutionär durch die von-Neumann-Gleichung beschrieben wird:\[ i \hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = [\hat{H}, \hat{\rho}] \]müssen wir die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators analysieren. Wir verwenden dabei die Schrödinger-Gleichung und das Konzept der Zeitentwicklung in der Quantenmechanik.1. **Zeitentwicklung des quantenmechanischen Zustands:**Die Schrödinger-Gleichung für den Zeitentwicklungsoperator \( \hat{U}(t) \) eines reinen Zustands lautet:\[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle \]Der Zeitentwicklungsoperator \( \hat{U}(t) \) lässt sich als:\[ |\psi(t)\rangle = \hat{U}(t) |\psi(0)\rangle \]mit dem Hamilton-Operator \( \hat{H} \) des Systems.2. **Zeitentwicklung des Dichteoperators:**Wir betrachten nun die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators \( \hat{\rho} \). Für einen reinen Zustand ist er gegeben durch:\[ \hat{\rho}(t) = | \psi(t) \rangle \langle \psi(t) | \]Die zeitliche Ableitung des Dichteoperators ist:\[ \frac{\partial \hat{\rho}(t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|) \]Dazu verwenden wir die Produktregel der Differentiation:\[ \frac{\partial \hat{\rho}(t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle \langle \psi(t)| + |\psi(t)\rangle \frac{\partial}{\partial t} \langle \psi(t)| \]Wir setzen nun die Schrödinger-Gleichung und deren adjungierte Form ein:\[ \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = -\frac{i}{\hbar} \hat{H} |\psi(t)\rangle \]und\[ \frac{\partial}{\partial t} \langle \psi(t)| = \frac{i}{\hbar} \langle \psi(t)| \hat{H} \]Damit erhalten wir:\[ \frac{\partial \hat{\rho}(t)}{\partial t} = \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} |\psi(t)\rangle \langle \psi(t)| \right) + |\psi(t)\rangle \left( \frac{i}{\hbar} \langle \psi(t)| \hat{H} \right) \]Dies vereinfacht sich zu:\[ \frac{\partial \hat{\rho}(t)}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar} \hat{H} \hat{\rho}(t) + \frac{i}{\hbar} \hat{\rho}(t) \hat{H} \]Schreiben wir dies in die Form eines Kommutators:\[ \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{\rho}] \]Daraus folgt:\[ i \hbar \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = [\hat{H}, \hat{\rho}] \]Dies ist die von-Neumann-Gleichung, die die Zeitentwicklung des Dichteoperators \( \hat{\rho} \) für ein isoliertes quantenmechanisches System beschreibt.Damit haben wir gezeigt, dass der Dichteoperator die von-Neumann-Gleichung erfüllt, und die Herleitung im Detail ausgeführt.

Aufgabe 4)

Betrachte ein abgeschlossenen thermodynamisches System, das sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in einem Gleichgewichtszustand befindet. Zu diesem Zeitpunkt sind die innere Energie U, Wärme Q und Arbeit W des Systems unter dem Gesichtspunkt des ersten und zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik von Interesse. Beim Betrachten der Prozesse, die in diesem System ablaufen, können wir die Energieerhaltung und die Unumkehrbarkeit natürlicher Prozesse untersuchen. Angenommen, das System erfährt eine reversible Expansion, bei der die Temperatur konstant gehalten wird und eine bestimmte Wärmemenge dem System zugeführt wird.

a)

(a) Berechne die Änderung der inneren Energie ΔU des Systems und die geleistete Arbeit W während des Expansionsprozesses unter der Annahme, dass die zugeführte Wärmemenge Q 500 J beträgt und die Temperatur konstant bei 300 K gehalten wird. Gehe davon aus, dass es sich um ein ideales Gas handelt und die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen C_v Null ist.

• Formuliere zunächst den ersten Hauptsatz der Thermodynamik für diesen Prozess.
• Berechne die Arbeit W unter Berücksichtigung der gegebenen Bedingungen.
• Bestimme daraus die Änderung der inneren Energie ΔU.

Lösung:

• Formuliere zunächst den ersten Hauptsatz der Thermodynamik für diesen Prozess.
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Änderung der inneren Energie (\(\triangle U\)) eines Systems gleich der zugeführten Wärme (\(Q\)) minus der verrichteten Arbeit (\(W\)) ist. Für den gegebenen Prozess lautet die Gleichung: \( \triangle U = Q - W \)
• Berechne die Arbeit W unter Berücksichtigung der gegebenen Bedingungen.
Da es sich um eine isotherme Expansion eines idealen Gases handelt, bei der die Temperatur konstant gehalten wird, kann die verrichtete Arbeit (\(W\)) durch die folgende Gleichung berechnet werden: \( W = Q \) Bei einer konstanten Temperatur wird die zugeführte Wärme (\(Q\)) direkt in Arbeit (\(W\)) umgewandelt, da die innere Energie konstant bleibt. Somit gilt: \( W = 500 \text{ J}\)
• Bestimme daraus die Änderung der inneren Energie ΔU.
Da die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen (\(C_v\)) null ist, führt dies dazu, dass die Änderung der inneren Energie (\(\triangle U\)) bei isothermen Prozessen null ist. Dies bedeutet: \( \triangle U = 0 \)

Zusammenfassung: Bei einer zugeführten Wärmemenge von \(Q\) = 500 J und einer konstanten Temperatur von 300 K ist die verrichtete Arbeit \(W\) ebenfalls 500 J und die Änderung der inneren Energie \(\triangle U\) beträgt null.

b)

(b) Diskutiere die Änderung der Entropie ΔS des Systems und seines Umgebung gemäß dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Bestimme die Änderung der Gesamtentropie für das System und seine Umgebung, wenn die gleiche Menge von 500 J Wärme reversibel übertragen wird.

• Verwende die Formel zur Berechnung der Entropieänderung ΔS bei konstantem Volumen und Temperatur.
• Erkläre, warum die Änderung der Gesamtentropie des Universums für einen reversiblen Prozess Null ist.
• Beziehe Dich auf den zweiten Hauptsatz zur Bestätigung dieser Beobachtung.

Lösung:

• Verwende die Formel zur Berechnung der Entropieänderung ΔS bei konstantem Volumen und Temperatur.
Wenn Wärme \(Q\) reversibel bei konstanter Temperatur \(T\) übertragen wird, kann die Entropieänderung \(ΔS\) des Systems mit der folgenden Formel berechnet werden: \( ΔS = \frac{Q}{T} \) Gegeben: \( Q = 500 \text{ J} \) und \( T = 300 \text{ K} \), somit: \( ΔS_{System} = \frac{500 \text{ J}}{300 \text{ K}} = \frac{5}{3} \text{ J/K} \approx 1.67 \text{ J/K} \)
• Erkläre, warum die Änderung der Gesamtentropie des Universums für einen reversiblen Prozess Null ist.
Bei einem reversiblen Prozess wird die Entropieänderung des Systems durch eine gleichwertige, aber entgegengesetzte Entropieänderung der Umgebung ausgeglichen. Dies bedeutet: \( ΔS_{Umgebung} = - \frac{Q}{T} = - ΔS_{System} \) Wenn \(ΔS_{System}\) und \(ΔS_{Umgebung}\) gegensätzliche Werte haben, ist die Gesamtentropieänderung \(ΔS_{Gesamt}\) gleich Null: \( ΔS_{Gesamt} = ΔS_{System} + ΔS_{Umgebung} = \frac{500 \text{ J}}{300 \text{ K}} - \frac{500 \text{ J}}{300 \text{ K}} = 0 \)
• Beziehe Dich auf den zweiten Hauptsatz zur Bestätigung dieser Beobachtung.
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Gesamtentropie eines isolierten Systems in einem spontanen Prozess immer zunimmt; sie bleibt bei einem reversiblen Prozess jedoch konstant. Dies bestätigt, dass bei einem reversiblen Prozess die Änderung der Gesamtentropie des Universums gleich Null ist.

Zusammenfassung: Wenn 500 J Wärme reversibel bei konstanter Temperatur von 300 K übertragen wird, beträgt die Entropieänderung des Systems etwa 1.67 J/K, die Entropieänderung der Umgebung -1.67 J/K, und die Gesamtentropieänderung ist Null.