W Physikalisches Wahlfach gemäß § 36 Abs. 2 - Cheatsheet

Substitutionsmethode und partielle Integration

Definition:

Substitutionsmethode und partielle Integration sind Techniken zur Lösung von Integralen in der Mathematik.

Details:

• Substitutionsmethode: Ändere die Variable durch eine Substitution. Sei u = g(x), dann wird das Integral \[ \int f(g(x)) g'(x) \, dx \] zu \[ \int f(u) \, du \]
• Partielle Integration: Anwendung der Formel \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
• Wähle u und dv entsprechend, um das Integral zu vereinfachen.

Fourier- und Laplace-Transformationen

Definition:

Fourier- und Laplace-Transformationen sind mathematische Methoden zur Analyse und Darstellung von Funktionen im Frequenzbereich.

Details:

• Fourier-Transformation: zerlegt eine Funktion in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen
• Laplace-Transformation: erweitert die Fourier-Transformation durch die Einführung komplexer Argumente
• Fourier-Transformierte: \(F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt\)
• Inverse Fourier-Transformierte: \(f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega t} d\omega\)
• Laplace-Transformierte: \(F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt\)
• Inverse Laplace-Transformierte: \(f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} F(s) e^{st} ds\)
• Häufig eingesetzt in Signalverarbeitung, Elektrotechnik, Regelungstechnik

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwert: Skalar \( \lambda \ \), für den gilt \( A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \). Eigenvektor: Vektor \( \mathbf{v} \), sodass \( A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \).

Details:

• Berechnung der Eigenwerte: Lösung der charakteristischen Gleichung \[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
• Eigenvektoren durch Einsetzen der Eigenwerte in \( (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \) finden.
• Normierung der Eigenvektoren notwendig für physikalische Anwendungen
• Jede Matrix hat mindestens einen Eigenwert (Fundamentalsatz der Algebra)
• Orthogonalisierung mittels Gram-Schmidt-Prozess möglich
• Wichtige Anwendung: Diagonalisierung der Matrix
• Orthogonale Matrizen haben reelle Eigenwerte

Jordan-Normalform

Definition:

Die Jordan-Normalform (JNF) ist eine kanonische Form einer quadratischen Matrix, die in der Linearen Algebra verwendet wird, um Matrizen in eine fast diagonale Form zu transformieren.

Details:

• Eine Matrix ist ähnlich zu ihrer JNF.
• In JNF sind die Hauptdiagonaleinträge die Eigenwerte der Matrix.
• Nichtdiagonale Einträge sind 1 oder 0.
• JNF erleichtert die Analyse von linearen Abbildungen.
• Zerlegung: A = PJP^{-1}
• J ist eine Jordan-Matrix, P ist die Transformationsmatrix

Schrödinger-Gleichung und Wellenfunktion

Definition:

Grundgleichung in der Quantenmechanik, beschreibt zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion \( \psi \)

Details:

• Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: \( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (\mathbf{r}, t) = \hat{H} \psi (\mathbf{r}, t) \)
• Wellenfunktion \( \psi \): beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Systems
• Hamiltonoperator \( \hat{H} \): Gesamtenergieoperator des Systems
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: \( \hat{H} \psi = E \psi \)
• \( |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 \): Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens
• Normierungsbedingung: \( \int |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 d^3 r = 1 \)

Heisenbergsche Unschärferelation

Definition:

Die Heisenbergsche Unschärferelation beschreibt die Grenze der Messgenauigkeit bestimmter Paare von Observablen in der Quantenmechanik.

Details:

• Formel: \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\h}{4\pi}\)
• \(\Delta x\): Ortsunschärfe
• \(\Delta p\): Impulsunschärfe
• \(h\): Plancksches Wirkungsquantum
• Gilt auch für Energie-Zeit-Unschärferelation: \(\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\h}{4\pi}\)

Green'sche Funktionen

Definition:

Methode zur Lösung inhomogener Differentialgleichungen, Darstellung der Lösung durch Faltung mit der Green'schen Funktion

Details:

• Für eine lineare Differentialgleichung der Form \(L[u] = f\) ist die Green'sche Funktion \(G(x, x')\) die Lösung von \(L[G(x, x')] = \delta(x - x')\).
• Die allgemeine Lösung lautet dann: \[u(x) = \int G(x, x') f(x') dx'.\]
• Häufig verwendet in Elektrodynamik, Quantenmechanik und Festkörperphysik.
• Ki ob Randbedingungen sind homogen oder inhomogen.

Topologische Phasenübergänge

Definition:

Übergänge zwischen Phasen, die durch unterschiedliche topologische Invarianzen charakterisiert sind. Weder durch Symmetriebrechung noch durch lokale Parameter beschreibbar.

Details:

• Topologische Invarianten: Quantenzahlen, die Phasen klassifizieren
• Beispiel: Quanten-Hall-Effekt
• Charakterisiert durch Chern-Zahl oder Berry-Phase
• Berechnung: \[ C = \frac{1}{2\pi} \int_{BZ} F_{xy} d^2k \]
• Durchgehen bestimmte Zustände an den Kanten
• Keine Lokalisierung beim topologischen Isolator