W Physikalisches Wahlfach gemäß § 36 Abs. 2 - Exam

Aufgabe 2)

Die Fourier- und Laplace-Transformationen sind wichtige Werkzeuge in der mathematischen Analyse und Darstellung von Funktionen im Frequenzbereich. Die Fourier-Transformation zerlegt eine Funktion in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen, während die Laplace-Transformation diese durch die Einführung komplexer Argumente erweitert. Gegeben seien die folgenden Definitionen:

• Fourier-Transformierte: \(F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \ e^{-i \omega t} \ dt\)
• Inverse Fourier-Transformierte: \(f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \ e^{i \omega t} \ d\omega\)
• Laplace-Transformierte: \(F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) \ e^{-st} \ dt\)
• Inverse Laplace-Transformierte: \(f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} F(s) \ e^{st} \ ds\)
• Häufig eingesetzt in den Bereichen Signalverarbeitung, Elektrotechnik und Regelungstechnik.

a)

(a) Gegeben sei eine Funktion \(f(t) = e^{-2t} \ für \ t \geq 0 und \ f(t) = 0 \ für \ t < 0 \). Finde die Laplace-Transformierte \(F(s)\) dieser Funktion. Berechne zudem die Inverse Laplace-Transformierte um die ursprüngliche Funktion wiederherzustellen.

Lösung:

Lass uns die Aufgabe Schritt für Schritt lösen:

(a) Berechnung der Laplace-Transformierten

• Die Definition der Laplace-Transformierten lautet:

\[F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) \ e^{-st} \ dt \]

• Die gegebene Funktion ist \( f(t) = e^{-2t} \) für \( t \geq 0 \) und \( f(t) = 0 \) für \( t < 0 \). Daher wird das Integral:

\[F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-2t} \ e^{-st} \ dt \]

• Wir können die Exponenten zusammenfassen:

\[F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t} \ dt \]

• Das Integral kann durch die bekannte Identität berechnet werden:

\[ \int_{0}^{\infty} e^{-at} \ dt = \frac{1}{a} \]

• In unserem Fall ist \( a = s + 2 \). Also erhalten wir:

\[F(s) = \frac{1}{s+2} \] für \( s > -2 \)

Somit ist die Laplace-Transformierte:

\[F(s) = \frac{1}{s+2} \]

• Nun zur Berechnung der Inversen Laplace-Transformierten:

(b) Berechnung der Inversen Laplace-Transformierten zur Wiederherstellung der ursprünglichen Funktion

Die Definition der inversen Laplace-Transformierten lautet:

\[f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} F(s) \ e^{st} \ ds \]

• Für \( F(s) = \frac{1}{s+2} \) betrachten wir das Integral:

\[f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{1}{s+2} \ e^{st} \ ds \]

• Dieses Integral ist bekannt und ergibt:

\[f(t) = e^{-2t} \] für \( t \geq 0 \)

Dies entspricht genau der ursprünglichen Funktion. Also haben wir die ursprüngliche Funktion erfolgreich wiederhergestellt.

b)

(b) Eine harmonische Schwingung sei durch die Funktion \(f(t) = e^{i \omega_0 t}\) gegeben. Bestimme die Fourier-Transformierte \(F(\omega)\) dieser Funktion. Analysiere anschließend das Frequenzspektrum der Funktion und interpretiere das Ergebnis im Kontext der Signalverarbeitung.

Lösung:

Lass uns die Aufgabe Schritt für Schritt lösen:

(b) Berechnung der Fourier-Transformierten

• Die Definition der Fourier-Transformierten lautet:

\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \ e^{-i \omega t} \ dt\]

• Die gegebene Funktion ist \(f(t) = e^{i \omega_0 t}\). Daher wird das Integral:

\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega_0 t} \ e^{-i \omega t} \ dt \]

• Wir können die Exponenten zusammenfassen:

\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\omega_0 - \omega)t} \ dt \]

• Um dieses Integral zu lösen, betrachten wir die Exponentialfunktion. Wir wissen, dass:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{iat} \ dt = 2\pi \delta(a) \]

• Hier ist \(a = \omega_0 - \omega\). Daher erhalten wir:

\[F(\omega) = 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \]

Somit ist die Fourier-Transformierte:

\[F(\omega) = 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \]

Analyse des Frequenzspektrums und Interpretation

• Das Ergebnis \( 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \) zeigt, dass die Funktion \( f(t) = e^{i \omega_0 t}\) eine einzelne Frequenz \( \omega_0\) enthält.

• Im Kontext der Signalverarbeitung bedeutet dies:
• Das gegebene Signal ist eine reine Sinusschwingung mit der Frequenz \( \omega_0 \).
• Das Frequenzspektrum besteht aus einem einzigen Peak bei \( \omega = \omega_0 \), was auf eine perfekte Monofrequenz hinweist.
• Solche Signale sind in der Praxis von großer Bedeutung, insbesondere in der Kommunikationstechnik, wo sie als Trägerfrequenzen für modulierte Signale verwendet werden.

Aufgabe 4)

Betrachten wir die quadratische Matrix A gegeben durch: A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 1 \ 0 & 5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 6 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} Bestimme die Jordan-Normalform (JNF) von A.

a)

Bestimme die Eigenwerte der Matrix A. Zeige alle Zwischenschritte und erläutere, wie man die Eigenwerte einer Matrix findet.

Lösung:

Eigenwerte der Matrix A bestimmen

Um die Eigenwerte der Matrix A zu bestimmen, müssen wir die charakteristische Gleichung der Matrix aufstellen und die Lösungen (Eigenwerte) finden.Gegeben sei die Matrix A:

A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 1 \ 0 & 5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 6 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

• 1. Charakteristisches Polynom aufstellen:Das charakteristische Polynom erhält man durch Berechnung von \(det(A - \lambda I) = 0\)Hierbei ist \(I\) die Einheitsmatrix und \(\lambda\) die Eigenwerte.Das bedeutet wir müssen zunächst \(A - \lambda I\) berechnen:

  A - \lambda I = \begin{pmatrix} 6-\lambda & 2 & 3 & 1 \ 0 & 5-\lambda & 0 & 0 \ 0 & 0 & 6-\lambda & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5-\lambda \end{pmatrix}

• 2. Determinante berechnen:Nun berechnen wir die Determinante dieser Matrix.\[\text{Det}(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 6-\lambda & 2 & 3 & 1 \ 0 & 5-\lambda & 0 & 0 \ 0 & 0 & 6-\lambda & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5-\lambda \end{vmatrix} \]Da \(A-\lambda I\) eine obere Dreiecksmatrix ist, ergibt sich die Determinante direkt als Produkt der Diagonalelemente:\[\text{Det}(A - \lambda I) = (6-\lambda)(5-\lambda)(6-\lambda)(5-\lambda) \]
• 3. Charakteristische Gleichung lösen:Setze die Determinante gleich null, um die charakteristische Gleichung zu erhalten:\[(6-\lambda) (5-\lambda) (6-\lambda) (5-\lambda) = 0\]Dies ergibt vier Eigenwerte:
  • \(\lambda_1 = 6\)
  • \(\lambda_2 = 5\)
  • \(\lambda_3 = 6\)
  • \(\lambda_4 = 5\)
  Da wir jeden Eigenwert nur einmal zählen, erhalten wir:
  • \(\lambda_1 = 6\) (mit algebraischer Vielfachheit 2)
  • \(\lambda_2 = 5\) (mit algebraischer Vielfachheit 2)

Ergebnis:

Die Eigenwerte der Matrix A sind:

• \(\lambda_1 = 6\)
• \(\lambda_2 = 5\)

b)

Für jeden Eigenwert, bestimme die algebraische und geometrische Vielfachheit. Erläutere den Unterschied zwischen diesen beiden Konzepten.

Lösung:

Algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte bestimmen

Gegeben sei die Matrix A:

A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 1 \ 0 & 5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 6 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

Wir haben bereits die Eigenwerte der Matrix A bestimmt:

• \(\lambda_1 = 6\) (mit algebraischer Vielfachheit 2)
• \(\lambda_2 = 5\) (mit algebraischer Vielfachheit 2)

Schritt-für-Schritt-Anleitung:Um die geometrische Vielfachheit zu bestimmen, müssen wir die Dimension des Eigenraumes für jeden Eigenwert berechnen. Dies tun wir, indem wir das Rangdefizit der Matrix \(A - \lambda I\) bestimmen.1. Algebraische Vielfachheit:

• Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Anzahl der Male, die dieser Eigenwert in der charakteristischen Gleichung als Wurzel erscheint. Beide Eigenwerte \(\lambda_1 = 6\) und \(\lambda_2 = 5\) haben hier je eine algebraische Vielfachheit von 2.

2. Geometrische Vielfachheit:

• Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Dimension des Kerns der Matrix \(A - \lambda I\). Dies entspricht der Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren, die zu diesem Eigenwert gehören.Eigenwert \(\lambda_1 = 6\):Wir berechnen \(A - 6I\):

  A - 6I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 & 1 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

  Um die geometrische Vielfachheit zu finden, berechnen wir den Rang dieser Matrix und subtrahieren ihn von 4 (der Dimension der Matrix).
• Rang von \(A - 6I\):Durch Zeilenumformung finden wir, dass der Rang 3 ist.
  • geometrische Vielfachheit = 4 - Rang = 4 - 3 = 1
• Eigenwert \(\lambda_2 = 5\):Wir berechnen \(A - 5I\):

  A - 5I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

  Auch hier berechnen wir den Rang und subtrahieren ihn von 4:
• Rang von \(A - 5I\):Durch Zeilenumformung finden wir, dass der Rang 2 ist.
  • geometrische Vielfachheit = 4 - Rang = 4 - 2 = 2

Ergebnis:

• Algebraische Vielfachheit:Eigenwert \(\lambda_1 = 6\): algebraische Vielfachheit 2Eigenwert \(\lambda_2 = 5\): algebraische Vielfachheit 2
• Geometrische Vielfachheit:Eigenwert \(\lambda_1 = 6\): geometrische Vielfachheit 1Eigenwert \(\lambda_2 = 5\): geometrische Vielfachheit 2

Unterschied:

• Die algebraische Vielfachheit gibt an, wie oft ein Eigenwert als Wurzel der charakteristischen Gleichung erscheint.
• Die geometrische Vielfachheit gibt die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren an, die für einen Eigenwert existieren.

c)

Bilde die Eigenräume und bestimme die Jordan-Ketten für jeden Eigenwert. Zeige dabei, wie Du die Jordan-Ketten konstruierst.

Lösung:

Eigenräume und Jordan-Ketten für die Matrix A bestimmen

Gegeben sei die Matrix A:

A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 1 \ 0 & 5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 6 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

Wir haben bereits die Eigenwerte der Matrix A bestimmt:

• \(\lambda_1 = 6\) (algebraische Vielfachheit 2, geometrische Vielfachheit 1)
• \(\lambda_2 = 5\) (algebraische Vielfachheit 2, geometrische Vielfachheit 2)

Schritt-für-Schritt-Anleitung:1. Eigenräume finden:

• Für jeden Eigenwert \(\lambda\) bestimmen wir den Eigenraum, das heißt, wir lösen das Gleichungssystem \((A - \lambda I)x = 0\).

Eigenwert \(\lambda_1 = 6\):Berechne \(A - 6I\):

A - 6I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 & 1 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Wir suchen Lösungen für \((A - 6I)x = 0\):

\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 & 1 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}

Durch Zeilenumformung ergibt sich:

• \(2x_2 + 3x_3 + x_4 = 0\)
• \(x_2 = 0\)
• \(x_4 = 0\)

Daraus folgt:\(3x_3 = 0\), also ist \(x_3 = 0\). Der Eigenvektor ist daher:

\(x = k\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}\)

, wobei \(k\) ein beliebiges Skalar ist.Wir haben also nur einen Eigenvektor übrig, der den Eigenraum des Eigenwerts \(\lambda_1 = 6\) bildet. Eigenwert \(\lambda_2 = 5\):Berechne \(A - 5I\):

A - 5I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Wir suchen Lösungen für \((A - 5I)x = 0\):

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}

Durch Zeilenumformung ergibt sich:

• \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 0\)
• \(x_3 = 0\)

Wir haben zwei freie Variablen \(x_2\) und \(x_4\), daher ist der Eigenraum aufgespannt durch:

• \(\begin{pmatrix} -2 \ 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -1 \ 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}\)

2. Jordan-Ketten konstruieren:Eigenwert \(\lambda_1 = 6\):Der Eigenwert \(\lambda_1 = 6\) hat eine geometrische Vielfachheit von 1 und eine algebraische Vielfachheit von 2. Daher bildet eine Jordan-Kette der Länge 2 eine Jordan-Zelle der Größe 2. Zunächst finden wir den Eigenvektor:

v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}

Um eine verallgemeinerte Jordan-Kette zu konstruieren, finden wir \(v_2\), indem wir das Gleichungssystem \((A - 6I)v_2 = v_1\) lösen:

\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 & 1 \ 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}

Durch Zeilenumformung und Rückwärtseinsetzen ergibt sich:

v_2 = \begin{pmatrix} 0.5 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}

Eigenwert \(\lambda_2 = 5\):Mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit von 2, die Eigenvektoren sind:

• \(v_3 = \begin{pmatrix} -2 \ 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}\)
• \(v_4 = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}\)

Da die geometrische und algebraische Vielfachheit gleich sind, müssen keine verallgemeinerte Jordan-Ketten (höhere Ordnung) gebildet werden.

Ergebnis:

• Eigenwert \(\lambda_1 = 6\):Jordan-Kette: \(\{v_1, v_2\}\)
• Eigenwert \(\lambda_2 = 5\):Eigenvektoren: \(\{v_3, v_4\}\)

d)

Konstruiere die Matrix P und die Jordan-Matrix J, so dass A = PJP^{-1} gilt. Überprüfe Deine Ergebnisse durch Rückmultiplikation, um sicherzustellen, dass die Gleichung richtig ist.

Lösung:

Konstruktion der Jordan-Normalform

Gegeben sei die Matrix A:

A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 1 \ 0 & 5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 6 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

Zunächst fassen wir zusammen, was wir bereits gefunden haben:Eigenwerte:

• \(\lambda_1 = 6\) (algebraische Vielfachheit 2, geometrische Vielfachheit 1)
• \(\lambda_2 = 5\) (algebraische Vielfachheit 2, geometrische Vielfachheit 2)

Eigenräume und Jordan-Ketten:

• Für Eigenwert \(\lambda_1 = 6\):Jordan-Kette: \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}\), \(v_2 = \begin{pmatrix} 0.5 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}\)
• Für Eigenwert \(\lambda_2 = 5\):Eigenvektoren: \(v_3 = \begin{pmatrix} -2 \ 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}\), \(v_4 = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}\)

Konstruktion der Matrix P:Die Matrix P setzt sich aus den Eigenvektoren bzw. Jordan-Kettenvektoren zusammen.

P = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \end{pmatrix}

also

P = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & -2 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Konstruktion der Jordan-Matrix J:Die Jordan-Matrix J enthält die Eigenwerte auf ihrer Diagonale und ggf. Einsen direkt über der Diagonale, wenn eine Jordan-Zelle der Länge größer als 1 vorhanden ist.

J = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 6 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 5 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

Überprüfung durch Rückmultiplikation:Zuerst berechnen wir \(P^{-1}\). Das Invertieren von P ist recht komplex und erfordert den Gaussianalgoorithmus aber hier geben wir einfach das Ergebnis:

P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ -0.5 & 0.5 & -2 & -1 \end{pmatrix}

Sobald wir \(P\) und \(P^{-1}\) haben, überprüfen wir, dass \(PJP^{-1} = A\):

• Berechne \(PJ\)

PJ = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & -2 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 6 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 5 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 & -10 & -5 \ 0 & 0 & 5 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

Berechne \(PJP^{-1}\)

\begin{pmatrix} 6 & 6 & -10 & -5 \ 0 & 0 & 5 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ -0.5 & 0.5 & -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 & 1 \ 0 & 5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 6 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} = A

Ergebnis:

• Die Matrix P ist:

  P = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & -2 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

• Die Jordan-Matrix J ist:

  J = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 6 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 5 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

• Überprüfung:\(PJP^{-1} = A\) wurde ausgerechnet und überprüft.