Advanced experimental physics 1 - Exam

Aufgabe 1)

Verwendung komplexer Messapparate in der experimentellen Physik

In der fortgeschrittenen experimentellen Physik spielen komplexe Messapparate eine wesentliche Rolle bei der Untersuchung und Analyse diverser physikalischer Phänomene. Von Hochpräzisionsmessungen über Quantenoptik bis hin zur Teilchenphysik sind diese Instrumente unverzichtbar. Hierbei kommen Geräte wie Spektrometer, Interferometer und Rastersondenmikroskope zum Einsatz, die durch sorgfältige Kalibrierung und Justierung betrieben werden müssen, um Messunsicherheiten zu minimieren. Die nachfolgenden Aufgaben beschäftigen sich mit der praktischen Anwendung und theoretischen Kenntnis solcher Messapparate.

a)

Teilaufgabe (a): Kalibrierung und Justierung

Ein Interferometer wird für eine Hochpräzisionsmessung von Längenänderungen genutzt. Um die Messgenauigkeit sicherzustellen, muss das Gerät regelmäßig kalibriert und justiert werden.

• Beschreibe den Prozess der Kalibrierung eines Interferometers. Gehe dabei auf die notwendigen Schritte und die erforderlichen Referenzstandards ein.
• Warum ist die Justierung des Interferometers wichtig und welche Auswirkungen kann eine fehlerhafte Justierung auf die Messergebnisse haben?

Lösung:

Teilaufgabe (a): Kalibrierung und Justierung

Ein Interferometer wird für eine Hochpräzisionsmessung von Längenänderungen genutzt. Um die Messgenauigkeit sicherzustellen, muss das Gerät regelmäßig kalibriert und justiert werden.

• Beschreibe den Prozess der Kalibrierung eines Interferometers. Gehe dabei auf die notwendigen Schritte und die erforderlichen Referenzstandards ein.

Die Kalibrierung eines Interferometers ist ein kritischer Prozess, um genaue Messergebnisse zu gewährleisten. Folgende Schritte sind typischerweise notwendig:

• Vorbereitung: Stelle sicher, dass das Interferometer sauber und frei von Staub oder anderen Verunreinigungen ist, die die Messungen beeinflussen könnten. Zudem sollte das Gerät in einer stabilen Umgebung ohne Vibrationen oder Temperaturschwankungen aufgestellt sein.
• Auswahl der Referenzstandards: Wähle genaue und verlässliche Referenzstandards. Diese können beispielsweise hochpräzise Messstöcke oder Kristalle mit bekannten Abständen zwischen den Atomlagen sein.
• Initiale Justierung: Justiere das Interferometer grob, um sicherzustellen, dass das Gerät korrekt ausgerichtet ist und die verwendeten optischen Komponenten ordnungsgemäß positioniert sind.
• Messung und Vergleich: Führe eine Messung mit dem Interferometer durch und vergleiche die gemessenen Werte mit den bekannten Referenzwerten.
• Korrektur und Anpassung: Führe notwendige Korrekturen durch, um Abweichungen zu minimieren. Dies kann die Anpassung der Spiegel- oder Laserpositionen umfassen.
• Wiederholung: Wiederhole die Messungen und Justierungen, bis die Unterschiede zwischen den gemessenen und den Referenzwerten minimal sind und innerhalb der akzeptablen Toleranzgrenzen liegen.
• Dokumentation: Dokumentiere alle durchgeführten Schritte und Messergebnisse für zukünftige Referenz und Nachverfolgung.

• Warum ist die Justierung des Interferometers wichtig und welche Auswirkungen kann eine fehlerhafte Justierung auf die Messergebnisse haben?

Die Justierung des Interferometers ist von entscheidender Bedeutung aus folgenden Gründen:

• Genauigkeit: Eine präzise Justierung ist erforderlich, um sicherzustellen, dass die Lichtwege in den Interferenzarmen korrekt ausgerichtet sind. Dies minimiert systematische Fehler in den Messergebnissen.
• Verlässlichkeit: Durch Justierung werden konstante und wiederholbare Messergebnisse gewährleistet, die für wissenschaftliche Experimente und Vergleiche notwendig sind.
• Fehlervermeidung: Eine fehlerhafte Justierung kann zu falschen Messergebnissen führen, was zu falschen Schlussfolgerungen in der Forschung führen kann. Beispielsweise kann eine ungenaue Spiegelposition dazu führen, dass Interferenzmuster nicht korrekt gebildet werden und dadurch Längenmessungen falsch interpretiert werden.
• Kalibrierung: Eine korrekte Justierung erleichtert die Kalibrierung des Interferometers, was wiederum die Genauigkeit der Messungen unterstützt.

Insgesamt verhindert die ordnungsgemäße Justierung potenzielle systematische und zufällige Fehler, die die Zuverlässigkeit und Genauigkeit der Hochpräzisionsmessungen beeinträchtigen könnten.

b)

Teilaufgabe (b): Anwendung eines Spektrometers

Ein Spektrometer wird zur Analyse des Lichtspektrums einer unbekannten Lichtquelle verwendet. Die gemessenen Daten sollen zur Bestimmung der Wellenlängen und Intensitäten der Spektrallinien beitragen.

• Erkläre die Funktionsweise eines Spektrometers und wie es zur Bestimmung der Wellenlängen des Lichts eingesetzt wird.
• Wie können die gemessenen Daten aufbereitet und analysiert werden, um zu den gesuchten Wellenlängen und Intensitäten zu gelangen? Beschreibe den algorithmischen Ablauf kurz.

Lösung:

Teilaufgabe (b): Anwendung eines Spektrometers

Ein Spektrometer wird zur Analyse des Lichtspektrums einer unbekannten Lichtquelle verwendet. Die gemessenen Daten sollen zur Bestimmung der Wellenlängen und Intensitäten der Spektrallinien beitragen.

• Erkläre die Funktionsweise eines Spektrometers und wie es zur Bestimmung der Wellenlängen des Lichts eingesetzt wird.

Ein Spektrometer ist ein Gerät, das zur Untersuchung der spektralen Zusammensetzung von Licht verwendet wird. Es funktioniert folgendermaßen:

• Lichteintritt: Licht von einer Lichtquelle tritt durch einen schmalen Spalt in das Spektrometer ein.
• Dispersionskomponente: Das Licht trifft auf ein Dispersionsmedium (wie ein Prisma oder ein Gitter), das das Licht in seine verschiedenen Wellenlängen spektral aufspaltet.
• Spektrograph: Die aufgespaltenen Lichtkomponenten werden auf einen Detektor (wie eine CCD-Kamera) projiziert. Jede Wellenlänge wird an einer anderen Position auf dem Detektor registriert.
• Analyse: Der Detektor misst die Intensität des Lichts an den verschiedenen Positionen. Diese Positionen korrespondieren mit bestimmten Wellenlängen des Lichts.
• Spektrum: Das aufgezeichnete Spektrum zeigt die Intensitäten des Lichts in Abhängigkeit von der Wellenlänge. Durch die Kalibrierung des Spektrometers kann das Bild des Detektors in reale Wellenlängen umgerechnet werden.

Durch diese Schritte kann bestimmt werden, welche Wellenlängen im Licht der unbekannten Quelle vorhanden sind und mit welchen Intensitäten sie auftreten.

• Wie können die gemessenen Daten aufbereitet und analysiert werden, um zu den gesuchten Wellenlängen und Intensitäten zu gelangen? Beschreibe den algorithmischen Ablauf kurz.

Die Aufbereitung und Analyse der gemessenen Daten erfolgt in mehreren Schritten:

• Datenerfassung: Sammle die Rohdaten der Intensitäten in Abhängigkeit von den Detektorpositionen.
• Rohdatenverarbeitung: Führe eine Grundverarbeitung durch (z.B. Entfernen von Rauschen, Korrektur von Hintergrundsignalen).
• Kalibrierung: Verwende Kalibrierstandards, um die Detektorpositionen in Wellenlängen umzurechnen. Dies erfolgt meist durch Vergleich von gemessenen Positionen von bekannten Linien mit ihren theoretischen Wellenlängen.
• Spektrumserstellung: Erstelle ein Diagramm der Intensität als Funktion der Wellenlänge.
• Spitzenerkennung: Identifiziere und finde die Maxima im Spektrum, die Spektrallinien repräsentieren.
• Bestimmung der Parameter: Bestimme die exakten Wellenlängen der Linienzentren und die zugehörigen Intensitäten.
• Datenvalidierung: Überprüfe die Ergebnisse durch Vergleich der Spektrallinien mit bekannten Referenzwerten oder durch Berechnung erwarteter Linien (z.B. mit einem Simulationsmodell).

Ein beispielhafter algorithmischer Ablauf könnte folgendermaßen aussehen:

1. Importiere die Rohdaten vom Detektor.
2. Vorverarbeite die Rohdaten (Entfernung von Rauschen).
3. Führe die Kalibrierung durch (Detektorpositionen in Wellenlängen umrechnen).
4. Erstelle das Spektrumdiagramm (Intensität vs. Wellenlänge).
5. Analysiere das Spektrum auf Spitzen.
6. Bestimme die Wellenlängen und Intensitäten der Spitzen.
7. Vergleiche und validiere die Ergebnisse.

Durch diese strukturierten Schritte können die genauen Wellenlängen und Intensitäten der Spektrallinien der unbekannten Lichtquelle bestimmt werden.

c)

Teilaufgabe (c): Minimierung von Messunsicherheiten

In einer experimentellen Untersuchung soll die Unsicherheit der Messungen mittels eines Rastersondenmikroskops (SPM) minimiert werden. Hierfür sind theoretische Kenntnisse über die Funktionsweise des SPM und praktische Maßnahmen erforderlich.

• Diskutiere die wichtigsten theoretischen Grundlagen, die bei der Verwendung eines SPM berücksichtigt werden müssen.
• Welche praktischen Maßnahmen können unternommen werden, um Messunsicherheiten bei der Anwendung eines SPM zu minimieren? Gehe insbesondere auf Umgebungsbedingungen und technische Einstellungen ein.

Lösung:

Teilaufgabe (c): Minimierung von Messunsicherheiten

In einer experimentellen Untersuchung soll die Unsicherheit der Messungen mittels eines Rastersondenmikroskops (SPM) minimiert werden. Hierfür sind theoretische Kenntnisse über die Funktionsweise des SPM und praktische Maßnahmen erforderlich.

• Diskutiere die wichtigsten theoretischen Grundlagen, die bei der Verwendung eines SPM berücksichtigt werden müssen.

Die wichtigsten theoretischen Grundlagen bei der Verwendung eines Rastersondenmikroskops (SPM) umfassen folgende Punkte:

• Arbeitsprinzip: Ein SPM wird verwendet, um die Oberfläche von Proben auf atomarer oder molekularer Ebene zu untersuchen. Es tastet die Oberfläche mit einer feinen Sonde ab und misst die Wechselwirkungen zwischen der Sonde und der Probe, um ein Bild der Oberfläche zu erstellen.
• Wechselwirkungsmechanismen: Die häufigsten Betriebsarten des SPM sind die Rasterkraftmikroskopie (AFM) und die Rastertunnelmikroskopie (STM). AFM nutzt die Wechselwirkungen zwischen der Sondenspitze und den atomaren Kräften an der Probenspitze, während STM den Tunnelstrom zwischen der Spitze und der Probe misst.
• Auflösung: Die Auflösung eines SPM hängt von der Größe der Sondenspitze und der Stabilität des Geräts ab. Hochpräzise Mechaniken und elektronische Steuerungen sind notwendig, um atomare Auflösung zu erreichen.
• Kalibrierung: Genauigkeit und Präzision des SPM erfordern regelmäßige Kalibrierung gegen bekannte Standards. Diese Kalibrierung muss sowohl lateral (x,y) als auch vertikal (z) durchgeführt werden.
• Signal-Rausch-Verhältnis (SNR): Ein hohes Signal-Rausch-Verhältnis ist entscheidend für klare und präzise Bilder. Dies erfordert sorgfältiges Tuning der Geräteeinstellungen und eine kontrollierte Umgebung.

• Welche praktischen Maßnahmen können unternommen werden, um Messunsicherheiten bei der Anwendung eines SPM zu minimieren? Gehe insbesondere auf Umgebungsbedingungen und technische Einstellungen ein.

Um Messunsicherheiten bei der Anwendung eines SPM zu minimieren, sollten verschiedene praktische Maßnahmen ergriffen werden:

• Umgebungsbedingungen:- Vibration: Das SPM sollte auf einem vibrationsisolierten Tisch platziert werden, um externe Vibrationen zu minimieren. Andernfalls können Vibrationen das Bild verzerren.- Temperatur: Eine konstante Temperatur ist notwendig, um thermische Ausdehnungen zu vermeiden, die die Messungen beeinflussen könnten. Das Labor sollte klimatisiert werden.- Schall: Akustische Dämpfung kann ebenfalls notwendig sein, um Schallvibrationen zu reduzieren.
• Technische Einstellungen:- Son­denauswahl: Verwende scharfe und saubere Sonden. Abstumpfen oder Verschmutzen kann die Bildqualität erheblich beeinträchtigen.- Abtastmodi: Wähle den geeigneten Abtastmodus (z.B. Kontaktmodus, Nicht-Kontaktmodus), je nach Probe und gewünschter Auflösung.- Scanparameter: Optimiere die Scanparameter, wie die Abtastgeschwindigkeit und Rastergröße, um eine optimale Bildqualität zu erhalten.- Feedbackkons­tante: Justiere die Feedbackkonstanten, um eine stabile Regelung und Minimierung von Rauschen zu erzielen.
• Elektrische Abschirmung: Verwende elektrische Abschirmungen, um elektromagnetische Interferenzen zu minimieren, die die Messergebnisse stören könnten.
• Regelmäßige Wartung und Kalibrierung: Führe regelmäßige Wartungen und Kalibrierungen durch, um die Leistungsfähigkeit des SPM aufrechtzuerhalten und Messunsicherheiten zu minimieren.

Durch diese Maßnahmen können die Einflüsse von externen Faktoren auf die SPM-Messungen minimiert und die Messgenauigkeit maximiert werden.

Aufgabe 2)

In einem Experiment zur Untersuchung von Halbleiteroberflächen wird ein Ultrahochvakuum benötigt. Du hast Zugang zu verschiedenen Vakuumkomponenten, einschließlich einer Drehschieberpumpe, einer Turbomolekularpumpe, und verschiedenen Messgeräten, um den Druck zu bestimmen. Die Untersuchung erfordert eine Analyse bei einem Druck von 10^-9 mbar.

Die Halbleiterproben müssen zuerst bei Atmosphärendruck präpariert werden, dann bis zu einem Grobvakuum und schließlich bis ins Ultrahochvakuum gepumpt werden.

a)

(a) Erkläre die verschiedenen Stufen des Vakuums (Grobvakuum, Feinvakuum, Hochvakuum, Ultrahochvakuum) und ordne sie den korrekten Druckbereichen zu.

(b) Beschreibe den Übergang von Atmosphärendruck zu Ultrahochvakuum in praktischen Schritten inklusive der Reihenfolge der benutzten Vakuumpumpen. Beginne mit der Drehschieberpumpe und erläutere die Funktion und Notwendigkeit jeder Pumpenstufe nacheinander.

(c) Angenommen, Du hast eine geschlossene Kammer mit einem Volumen von 0,1 m³. Die Kammer wird von Atmosphärendruck (1013 hPa) auf einen Druck von 10 mbar gepumpt. Berechne das verbleibende Gasvolumen in der Kammer unter Verwendung des Boyle-Mariotte-Gesetzes.

(d) In deinem Experiment misst Du den Druck zunächst mit einem Pirani-Messgerät und anschließend mit einem Ionisationsvakuummeter. Erkläre die Funktionsweise jedes dieser Messgeräte und warum ein Wechsel bei unterschiedlichen Druckregimen notwendig ist.

Lösung:

Um die verschiedenen Aspekte des Vakuumpumpens und der Druckmessung in einem Ultrahochvakuum-Experiment zu verstehen, schauen wir uns die einzelnen Teilübungen an.

• (a) Verschiedene Stufen des Vakuums und ihre Druckbereiche
• Grobvakuum: Druckbereich von 1 bis 10^-3 mbar.
• Feinvakuum: Druckbereich von 10^-3 bis 10^-6 mbar.
• Hochvakuum: Druckbereich von 10^-6 bis 10^-9 mbar.
• Ultrahochvakuum: Druckbereich unter 10^-9 mbar.
• (b) Übergang von Atmosphärendruck zu Ultrahochvakuum

Der Übergang von Atmosphärendruck zu Ultrahochvakuum erfolgt in mehreren Schritten:

1. Erste Stufe: Drehschieberpumpe Diese Pumpe wird verwendet, um den Druck von Atmosphärendruck (ca. 1013 hPa) auf etwa 10^-3 mbar zu senken. Drehschieberpumpen sind mechanische Vakuumpumpen, die durch eine Drehbewegung und Schieber in einer Zylinderkammer einen Unterdruck erzeugen.
2. Zweite Stufe: Turbomolekularpumpe Nach Erreichen eines Grobvakuums wird eine Turbomolekularpumpe eingesetzt, um den Druck weiter bis ins Hochvakuum (10^-6 bis 10^-9 mbar) zu reduzieren. Diese Pumpe beschleunigt Gasmoleküle mittels rotierender Schaufeln, wodurch sie aus der Kammer evakuiert werden.
3. Optionale Stufen Eventuell werden zusätzlich noch weitere Pumpen wie Kryopumpen oder Ionengetterpumpen genutzt, um schließlich das Ultrahochvakuum zu erreichen. Diese Pumpen arbeiten auf verschiedenen physikalischen Prinzipien, wie zum Beispiel Adsorption und Ionisation.

(c) Berechnung des verbleibenden Gasvolumens

Unter Verwendung des Boyle-Mariotte-Gesetzes (P1 * V1 = P2 * V2) berechnen wir das verbleibende Gasvolumen.

• Gegeben:
• Initialer Druck (P1) = 1013 hPa
• Enddruck (P2) = 10 mbar
• Volumen der Kammer (V1) = 0.1 m³
• Gesucht:
• Endvolumen (V2)

P1 * V1 = P2 * V2 V2 = (P1 * V1) / P2 V2 = (1013 hPa * 0.1 m³) / 10 mbar V2 = 10.13 m³ (unter Standardbedingungen geringfügig angepasst, da hPa und mbar oft gleichgesetzt werden)

(d) Funktionsweise von Pirani-Messgerät und Ionisationsvakuummeter

Pirani-Messgerät: Dieses Messgerät misst Druck im Grob- und Feinvakuumbereich (10^-3 bis 10 mbar) durch die Veränderung des elektrischen Widerstands eines Drahtes, der in einem versiegelten Gehäuse erhitzt wird. Der Widerstand verändert sich mit der Wärmeleitfähigkeit des umgebenden Gases, die wiederum vom Druck abhängt.

Ionisationsvakuummeter: Dieses Messgerät wird im Hoch- und Ultrahochvakuumbereich verwendet. Es ionisiert die Gasatome in der Kammer durch ein Elektronenstrom und misst dabei den erzeugten Ionenstrom. Der Ionenstrom ist proportional zur Anzahl der Gasmoleküle, und damit zum Druck in der Kammer.

Der Wechsel zwischen diesen Messgeräten ist notwendig, da jedes für spezifische Druckbereiche optimiert ist und genaue Messungen nur innerhalb dieser Bereiche liefern kann.

Aufgabe 3)

Kryogene Systeme nutzen extrem tiefe Temperaturen zur Reduktion thermischer Rauscheffekte und Erhöhung der Messgenauigkeit. Diese Systeme arbeiten oft bei Temperaturen unterhalb von 4,2 K, meist unter Verwendung von flüssigem Helium. Solche Bedingungen sind besonders wichtig für Präzisionsmessungen in der Quantenoptik und bei supraleitenden Materialien, da thermisches Rauschen und Vibrationen erheblich reduziert werden.

Kryogene Systeme benötigen jedoch spezielle Techniken und Materialien zur Isolierung und effektiven Kühlung. Gebräuchliche Techniken sind dabei der Dilution Refrigerator und der Pulse Tube Cryocooler. Messinstrumente wie SQUIDs (superconducing quantum interference devices) und Bolometer werden häufig verwendet, um hochpräzise Messungen durchzuführen.

a)

a) Erläutere, wie flüssiges Helium zur Kühlung in kryogenen Systemen verwendet wird und warum Temperaturen unter 4,2 K für Präzisionsmessungen vorteilhaft sind. Diskutiere die Herausforderungen, die dabei auftreten.

Lösung:

a) Verwendung von flüssigem Helium und die Vorteile von Temperaturen unter 4,2 K für Präzisionsmessungen

• Verwendung von flüssigem Helium zur Kühlung:
  • Flüssiges Helium hat einen Siedepunkt von etwa 4,2 K bei atmosphärischem Druck.
  • Es wird häufig als Kältemittel in kryogenen Systemen verwendet, da es eine der niedrigsten Temperaturen bietet, die mit konventionellen Kühlmethoden erreichbar ist.
  • Die Kühlung erfolgt durch die Verdampfung von flüssigem Helium, wobei es Wärme aus den umgebenden Materialien aufnimmt und so deren Temperatur senkt.
  • Flüssiges Helium wird in speziellen Behältern, sogenannten Dewargefäßen, gelagert und ist stark isoliert, um den Wärmeverlust zu minimieren.
• Vorteile von Temperaturen unter 4,2 K für Präzisionsmessungen:
  • Reduktion des thermischen Rauschens: Bei niedrigen Temperaturen verringert sich die thermische Bewegung der Teilchen. Dies führt zu einer signifikanten Reduktion des thermischen Rauschens, das die Präzision von Messungen beeinträchtigen kann.
  • Verringerung von mechanischen Vibrationen: Niedrige Temperaturen können dazu beitragen, mechanische Vibrationen zu reduzieren, die durch thermische Ausdehnung und Kontraktion verursacht werden.
  • Ermöglichung von Supraleitung: Viele Materialien zeigen bei Temperaturen nahe 0 K supraleitende Eigenschaften. Supraleitung ermöglicht den Widerstandsfreien Fluss von Elektrizität und ist entscheidend für die Funktion von Geräten wie SQUIDs.
  • Lange Lebensdauer angeregter Zustände: Bei sehr niedrigen Temperaturen können angeregte Zustände in Quantenoptiksystemen eine längere Lebensdauer haben, was genauere und stabilere Messungen ermöglicht.
• Herausforderungen bei der Verwendung von flüssigem Helium:
  • Kosten: Helium ist ein teures und begrenztes Ressource, was die Betriebskosten von kryogenen Systemen erhöht.
  • Lagerung und Handling: Flüssiges Helium muss in speziellen Dewargefäßen gelagert werden, die eine effiziente Isolierung besitzen um Verdampfungsverluste zu minimieren.
  • Nachhaltigkeit: Da Helium eine nicht erneuerbare Ressource ist, ist der verantwortungsvolle und effiziente Einsatz entscheidend.
  • Komplexe Technik: Die Systeme zur Handhabung flüssigen Helium erfordern spezialisiertes Wissen und Wartung, um reibungslos zu funktionieren.

b)

b) Beschreibe den Funktionsmechanismus eines Dilution Refrigerators. In Deiner Erklärung solltest Du auf die thermodynamischen Prinzipien eingehen, die hier eine Rolle spielen.

Lösung:

b) Funktionsmechanismus eines Dilution Refrigerators

Ein Dilution Refrigerator ist ein Gerät, das sehr tiefe Temperaturen, bis hinunter zu einigen Millikelvin (mK), erreicht. Es basiert auf dem thermodynamischen Prinzip der Verdünnung von Helium-3 (³He) in Helium-4 (⁴He). Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Erklärung des Funktionsmechanismus:

• Mischkammereffekt:
  • Im Kern des Dilution Refrigerators befindet sich die Mischkammer, wo die ³He in das ⁴He verdünnt wird.
  • Bei Temperaturen unterhalb von 0,87 K können ³He und ⁴He nicht vollständig miteinander vermischt werden und bilden stattdessen zwei Phasen: eine konzentrierte ³He-reiche Phase (Konzentratphase) und eine ³He-verdünnte Phase (Verdünnungsphase).
• Phasengrenze:
  • Die Phasengrenze zwischen diesen beiden Phasen liegt bei sehr tiefen Temperaturen, ungefähr 0,1 K.
  • An dieser Grenze diffundiert ³He aus der Konzentratphase in die Verdünnungsphase.
  • Dieser Diffusionsprozess führt zu einer bedeutenden Abkühlung, da Verdampfung von ³He Energie (Wärme) verbraucht.
• Thermodynamische Prinzipien:
  • Nach dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik erfordert die Verdampfung von ³He eine bestimmte Energiemenge, welche der Umgebung entzogen wird, was zu einer Abkühlung führt.
  • Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass Wärmeenergie immer von einem wärmeren zu einem kälteren Ort fließen muss. Im Dilution Refrigerator fließt Wärme kontinuierlich zur ³He-verdünnten Phase, wodurch Temperaturen im Millikelvinbereich erreicht werden.
• Kühlzyklus:
  • Die verdünnte Phase mit ³He wird kontinuierlich abgepumpt und erneut in den Kühlkreislauf zurückgeführt.
  • Einige Systeme beinhalten zusätzliche Wärmetauscher, um die Effizienz des Kühlprozesses zu erhöhen. Die ³He wird vor dem erneuten Eintritt in die Mischkammer mehrmals abgekühlt.

Insgesamt basiert die Funktion eines Dilution Refrigerators auf der effizienten Nutzung der Verdünnung von Helium-3 in Helium-4, um extrem niedrige Temperaturen zu erreichen, die für hochpräzise wissenschaftliche Messungen erforderlich sind.

c)

c) Betrachte ein Experiment, das ein SQUID zum Nachweis von supraleitenden Übergängen einsetzt. Erläutere, wie ein SQUID arbeitet und welche physikalischen Eigenschaften von Supraleitern es nachweisen kann. Lege dar, warum die kryogene Umgebung für das SQUID-Experiment entscheidend ist.

Lösung:

c) Verwendung eines SQUIDs zum Nachweis von supraleitenden Übergängen

Ein SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) ist ein hochempfindliches Messgerät, das zur Erfassung extrem schwacher magnetischer Felder verwendet wird. Es wird häufig in Experimenten eingesetzt, um supraleitende Übergänge und andere quantenmechanische Phänomene nachzuweisen. Hier ist eine detaillierte Erklärung:

• Funktionsweise eines SQUIDs:
  • Ein SQUID besteht aus einem ringförmigen Supraleiter, der eine oder mehrere Josephson-Kontakte enthält. Diese Kontakte sind schwache Verbindungen zwischen zwei supraleitenden Materialien.
  • Wenn ein Magnetfeld durch den SQUID-Ring fließt, ändert sich die Phase der supraleitenden Wellenfunktion, was Interferenzeffekte zwischen den Josephson-Kontakten erzeugt.
  • Diese Interferenzeffekte führen zu quantisierten Spannungs- und Stromänderungen, die äußerst empfindlich auf Veränderungen des Magnetfeldes reagieren.
  • Ein SQUID kann auf zwei Arten betrieben werden: in der sogenannten DC-Modus (für Gleichstrom) oder RF-Modus (für Hochfrequenz).
• Nachweis von physikalischen Eigenschaften von Supraleitern:
  • Magnetische Suszeptibilität: Ein SQUID kann die magnetische Suszeptibilität eines Materials als Funktion der Temperatur messen, was Hinweise auf den supraleitenden Übergang liefert.
  • Flussquantisierung: Supraleiter können nur ganzzahlige Vielfache eines fundamentalen Flussquantums \(\frac{h}{2e}\) zulassen. SQUIDs können diese Quantisierung direkt nachweisen.
  • Josephson-Effekt: Der tunneling-basierte Stromfluss in Josephson-Kontakten zeigt charakteristische Signaturen, die zur Identifikation supraleitender Eigenschaften verwendet werden können.
  • Vortices: In Supraleitern existieren magnetische Flussteilchen- oder Vortices, die Bewegung dieser Vortices kann von einem SQUID detektiert werden.
• Warum die kryogene Umgebung entscheidend ist:
  • Supraleitung tritt nur bei sehr niedrigen Temperaturen auf. Typische supraleitende Materialien müssen unterhalb ihrer kritischen Temperatur (oft einige Kelvin) gebracht werden, um supraleitende Eigenschaften zu zeigen. Die kryogene Umgebung gewährleistet diese niedrigen Temperaturen.
  • Ein SQUID selbst muss in einer supraleitenden Umgebung operieren, weshalb es auf extrem niedrige Temperaturen gekühlt werden muss.
  • Niedrige Temperaturen reduzieren thermisches Rauschen erheblich. SQUIDs sind extrem empfindlich und müssen in einer Rauscharmen Umgebung arbeiten, um genaue Messungen durchzuführen.
  • Vibrationen und thermische Effekte, die durch hohe Temperaturen verursacht werden, können das Messergebnis verfälschen. Eine kryogene Umgebung minimiert diese Störungen.

Zusammenfassend ist ein SQUID ein äußerst sensibles Instrument, das zur Erfassung von supraleitenden Übergängen und anderen quantenmechanischen Effekten verwendet wird. Seine Funktionsweise hängt stark von einer kryogenen Umgebung ab, um supraleitende Zustände zu ermöglichen und thermisches Rauschen sowie äußere Einflüsse zu minimieren.

Aufgabe 4)

Fehlerfortpflanzung bei MessungenGegeben sind die Theorien und Formeln zur Berechnung und Betrachtung von Messfehlern und deren Auswirkungen auf die abgeleiteten Größen.

• Absolute Fehlerfortpflanzung: \[ \Delta z = \left| \frac{\partial z}{\partial x} \right| \Delta x + \left| \frac{\partial z}{\partial y} \right| \Delta y + \ldots \]
• Relative Fehlerfortpflanzung: \[ \left( \frac{\Delta z}{z} \right )^2 = \left( \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{x}{z} \cdot \frac{\Delta x}{x} \right )^2 + \left ( \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{\Delta y}{y} \right )^2 + \ldots \]
• Varianz der Fehler: Verwendung der Varianz für präzisere Abschätzung.
• Korrelierte Fehler: Berücksichtigung von Korrelationen zwischen Variablen.

a)

Eine physikalische Größe z wird durch die Multiplikation zweier gemessener Größen x und y berechnet, also z = x \cdot y. Die Messungen liefern folgende Ergebnisse: x = 4 \pm 0.1 und y = 2 \pm 0.05. Bestimme den absoluten Fehler von z.

Lösung:

Um den absoluten Fehler von z zu bestimmen, verwenden wir die Formel für die absolute Fehlerfortpflanzung:

• Absolute Fehlerfortpflanzung: \[ \Delta z = \left| \frac{\partial z}{\partial x} \right| \Delta x + \left| \frac{\partial z}{\partial y} \right| \Delta y + \ldots \]

Angenommen, die physikalische Größe z wird durch die Multiplikation zweier gemessener Größen x und y berechnet:

z = x \cdot y

Die Messungen liefern folgende Ergebnisse: x = 4 \pm 0.1 y = 2 \pm 0.05

Bestimmung des absoluten Fehlers von z

1. Zuerst berechnen wir die partiellen Ableitungen von z nach x und y:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y \quad \text{und} \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x \]

2. Setzen wir die Werte für x und y sowie deren Fehler ein:

• x = 4
• \Delta x = 0.1
• y = 2
• \Delta y = 0.05

3. Berechnen wir die absoluten Werte der partiellen Ableitungen:

\[ \left| \frac{\partial z}{\partial x} \right| = \left| y \right| = 2 \quad \text{und} \quad \left| \frac{\partial z}{\partial y} \right| = \left| x \right| = 4 \]

4. Nun setzen wir die Werte in die Formel für die absolute Fehlerfortpflanzung ein:

\[ \Delta z = \left| \frac{\partial z}{\partial x} \right| \Delta x + \left| \frac{\partial z}{\partial y} \right| \Delta y \] \[ \Delta z = \left| 2 \right| \times 0.1 + \left| 4 \right| \times 0.05 \] \[ \Delta z = 2 \times 0.1 + 4 \times 0.05 \] \[ \Delta z = 0.2 + 0.2 = 0.4 \]

Der absolute Fehler von z ist daher:

\Delta z = 0.4

b)

Berechne den relativen Fehler für die Größe z aus der vorherigen Subaufgabe. Benutze dafür die gegebene Formel für die relative Fehlerfortpflanzung.

Lösung:

Um den relativen Fehler für die physikalische Größe z zu berechnen, verwenden wir die Formel für die relative Fehlerfortpflanzung:

• Relative Fehlerfortpflanzung: \[ \left( \frac{\Delta z}{z} \right )^2 = \left( \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{x}{z} \cdot \frac{\Delta x}{x} \right )^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{\Delta y}{y} \right )^2 + \ldots \]

Aus der vorherigen Subaufgabe wissen wir, dass:

• z = x \cdot y
• x = 4 \pm 0.1
• y = 2 \pm 0.05
• z ist also: z = 4 \cdot 2 = 8

Bestimmung des relativen Fehlers von z

1. Zuerst berechnen wir die partiellen Ableitungen von z nach x und y:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y \quad \text{und} \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x \]

2. Setzen wir die Werte für x und y sowie deren Fehler ein:

• x = 4
• \Delta x = 0.1
• y = 2
• \Delta y = 0.05
• z = 8

3. Setzen wir die Werte in die Formel für die relative Fehlerfortpflanzung ein:

\[ \left( \frac{\Delta z}{z} \right )^2 = \left( \frac{y}{z} \cdot \frac{\Delta x}{x} \right )^2 + \left( \frac{x}{z} \cdot \frac{\Delta y}{y} \right )^2 \]

Da \( z = x \cdot y = 8 \):

\[ \left( \frac{\Delta z}{8} \right )^2 = \left( \frac{2}{8} \cdot \frac{0.1}{4} \right )^2 + \left( \frac{4}{8} \cdot \frac{0.05}{2} \right )^2 \]

4. Berechnen wir die beiden Terme der Summe:

\[ \left( \frac{2}{8} \cdot \frac{0.1}{4} \right )^2 = \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{40} \right )^2 = \left( \frac{1}{160} \right )^2 = 3.90625 \times 10^{-6} \] \[ \left( \frac{4}{8} \cdot \frac{0.05}{2} \right )^2 = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{40} \right )^2 = \left( \frac{1}{80} \right )^2 = 1.5625 \times 10^{-4} \]

5. Addiere die beiden Terme:

\[ \left( \frac{\Delta z}{z} \right)^2 = 3.90625 \times 10^{-6} + 1.5625 \times 10^{-4} = 1.6015625 \times 10^{-4} \]

6. Wurzel ziehen, um den relativen Fehler \( \frac{\Delta z}{z} \) zu erhalten:

\[ \frac{\Delta z}{z} = \sqrt{1.6015625 \times 10^{-4}} \approx 0.01265 \]

Der relative Fehler \( \frac{\Delta z}{z} \) beträgt daher etwa:

\( \frac{\Delta z}{z} \approx 0.01265 \) oder 1.265%

c)

Betrachte, dass die Messungen von x und y korrelierte Fehler aufweisen. Die Kovarianz zwischen x und y ist gegeben als Cov(x,y) = 0.002. Berechne den Einfluss der Korrelation auf den absoluten Fehler von z.

Lösung:

Um den Einfluss der Korrelation auf den absoluten Fehler von z zu berechnen, müssen wir die Kovarianz in die Formel zur absoluten Fehlerfortpflanzung einbeziehen. Die korrigierte Formel für die absolute Fehlerfortpflanzung, die Korrelationen berücksichtigt, lautet:

• Absolute Fehlerfortpflanzung mit Korrelation: \[ \Delta z = \sqrt{ \left( \frac{\partial z}{\partial x} \Delta x \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y \right)^2 + 2 \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \text{Cov}(x, y) } \]

Aus den vorherigen Subaufgaben wissen wir:

• z = x \cdot y
• x = 4 \pm 0.1
• y = 2 \pm 0.05
• \( \frac{\partial z}{\partial x} = y = 2 \)
• \( \frac{\partial z}{\partial y} = x = 4 \)

Die Kovarianz ist gegeben als:

\[ \text{Cov}(x, y) = 0.002 \]

Nun setzen wir diese Werte in die korrigierte Formel ein:

\[ \Delta z = \sqrt{ \left( 2 \cdot 0.1 \right)^2 + \left( 4 \cdot 0.05 \right)^2 + 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 0.002 } \]

Berechnen wir die quadratischen Terme und die Kovarianz:

• \( (2 \cdot 0.1)^2 = (0.2)^2 = 0.04 \)
• \( (4 \cdot 0.05)^2 = (0.2)^2 = 0.04 \)
• \( 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 0.002 = 0.032 \)

Setzen wir diese Werte zusammen:

\[ \Delta z = \sqrt{ 0.04 + 0.04 + 0.032 } = \sqrt{ 0.112 } \]

Berechnen wir die Wurzel:

\[ \Delta z = \sqrt{ 0.112 } \approx 0.335 \]

Der Einfluss der Korrelation auf den absoluten Fehler von z beträgt daher:

\( \Delta z \approx 0.335 \)

d)

Erweitere die Rechnung aus Subaufgabe 3 um die Varianz der Fehler, um eine präzisere Abschätzung des absoluten Fehlers von z zu erhalten.

Lösung:

Um die Varianz der Fehler in die Berechnung des absoluten Fehlers von z aufzunehmen, erweitern wir die vorherige Gleichung zur Fehlerfortpflanzung inklusive der Kovarianz:

• Absolute Fehlerfortpflanzung mit Varianz: \[ \Delta z = \sqrt{ (\frac{\partial z}{\partial x})^2 \sigma_x^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2 \sigma_y^2 + 2 \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} \text{Cov}(x, y) } \]

Aus den vorherigen Subaufgaben wissen wir:

• z = x \cdot y
• x = 4 \pm 0.1
• y = 2 \pm 0.05
• \( \frac{\partial z}{\partial x} = y \)
• \( \frac{\partial z}{\partial y} = x \)
• \( \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \)
• \( \frac{\partial z}{\partial y} = 4 \)
• \( \text{Cov}(x, y) = 0.002 \)

Die Standardabweichungen sind:

• \( \sigma_x = 0.1 \)
• \( \sigma_y = 0.05 \)

Nun setzen wir diese Werte in die erweiterte Formel ein:

\[ \Delta z = \sqrt{ 2^2 \sigma_x^2 + 4^2 \sigma_y^2 + 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \text{Cov}(x, y) } \] \[ \Delta z = \sqrt{ 4 \cdot 0.1^2 + 16 \cdot 0.05^2 + 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 0.002 } \]

Berechnen wir die quadratischen Terme und die Kovarianz:

• \( 4 \cdot 0.1^2 = 4 \cdot 0.01 = 0.04 \)
• \( 16 \cdot 0.05^2 = 16 \cdot 0.0025 = 0.04 \)
• \( 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 0.002 = 0.032 \)

Setzen wir diese Werte zusammen:

\[ \Delta z = \sqrt{ 0.04 + 0.04 + 0.032 } = \sqrt{ 0.112 } \]

Berechnen wir die Wurzel:

\[ \Delta z = \sqrt{ 0.112 } \approx 0.335 \]

Der absolute Fehler von z unter Berücksichtigung der Varianz und der Kovarianz beträgt daher:

\( \Delta z \approx 0.335 \)