Advanced experimental physics 2 - Exam

Aufgabe 1)

Ein Laserstrahl wird durch kohärentes, monochromatisches Licht erzeugt, das durch stimulierte Emission von Strahlung zustande kommt. Ein Laser steht für 'Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation'. Die wesentlichen Prinzipien beinhalten die Energiezufuhr in ein Medium, um eine Besetzungsinversion zu erzeugen, und die Verwendung eines Resonators zur Verstärkung des Lichts. Der Resonator besteht üblicherweise aus zwei Spiegeln, von denen einer teildurchlässig ist. Die stimulierte Emission tritt auf, wenn ein Photon auf ein angeregtes Atom trifft und dabei ein zweites, identisches Photon erzeugt. Eine wichtige Beziehung dabei ist die Besetzungsinversion \[N_2 > N_1\]. Die Energie eines Photons wird durch die Gleichung \[E=hu\] beschrieben, wobei \(h\) das Plancksche Wirkungsquantum und \(u\) die Frequenz des Lichtes ist.

a)

Erkläre den Prozess der Besetzungsinversion und warum sie essentiell für die Erzeugung von Laserlicht ist. Gehe insbesondere darauf ein, wie die Besetzungsinversion erreicht wird und welche Rolle sie bei der stimulierten Emission von Strahlung spielt.

Lösung:

Besetzungsinversion im Lasersystem

Der Prozess der Besetzungsinversion ist entscheidend für die Erzeugung von Laserlicht. Dieser Prozess und seine Wichtigkeit werden im Folgenden detailliert erläutert.

• Definition der Besetzungsinversion:

  Besetzungsinversion beschreibt den Zustand, in dem mehr Teilchen (Atome oder Moleküle) im angeregten Zustand (\(N_2\)) sind als im Grundzustand (\(N_1\)). Normalerweise ist \(N_1 > N_2\), doch wenn \(N_2 > N_1\) erreicht wird, spricht man von Besetzungsinversion.

• Warum ist die Besetzungsinversion essenziell?

  Die Besetzungsinversion ist essenziell, weil sie die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Emission erhöht. Bei der stimulierten Emission trifft ein Photon auf ein angeregtes Atom und veranlasst es, ein weiteres Photon mit denselben Eigenschaften freizusetzen. Dies führt zu einer erheblichen Verstärkung des Lichtsignals. Ohne Besetzungsinversion wäre die Wahrscheinlichkeit der Absorption von Photonen höher, was eine effektive Lichtverstärkung verhindern würde.

• Wie wird die Besetzungsinversion erreicht?
  • Pumpen: Eine externe Energiequelle (z.B. optisches Pumpen mit Licht, elektrisches Pumpen oder chemisches Pumpen) wird genutzt, um das Medium in höhere Energiezustände zu versetzen.
  • Dreistufige oder Vierstufige Systeme:

    In einem dreistufigen Lasersystem wird ein Elektron von seinem Grundzustand (\(N_1\)) auf ein höheres Energieniveau (\(N_3\)) angehoben. Von dort zerfällt es schnell in einen metastabilen Zustand (\(N_2\)). Da der Zustand \(N_3\) schnell zerfällt, kann sich ein Überschuss an Atomen im metastabilen Zustand (\(N_2\)) gegenüber dem Grundzustand (\(N_1\)) bilden, was eine Besetzungsinversion bewirkt. Ein vierstufiges System fügt einen weiteren niederenergetischen Zustand hinzu, um die Besetzungsinversion effizienter zu stabilisieren.

• Rolle bei der stimulierten Emission:

  Wenn Besetzungsinversion vorliegt, dominiert die stimulierte Emission über Absorption und spontane Emission. Ein einfallendes Photon löst dann die Emission eines zweiten Photons aus, wobei beide Photonen die gleiche Frequenz, Phase und Ausrichtung haben. Dies führt zur Lichtverstärkung im Resonator. Mehr Photonen erzeugen mehr stimulierte Emission, was die Intensität des Laserstrahls kontinuierlich erhöht.

b)

Berechne die Energie eines Photons eines Lasers mit einer Wellenlänge von 500 nm. Zeige alle Zwischenschritte Deiner Berechnung und gehe dabei auf die Beziehung zwischen Energie, Frequenz und Wellenlänge Lichtes ein. Verwende dabei die Gleichung \[E=hu\]. Hinweis: \[ h = 6.626 \times 10^{-34} \,J \cdot s \]

Lösung:

Berechnung der Energie eines Photons

Um die Energie eines Photons eines Lasers mit einer Wellenlänge von 500 nm zu berechnen, folgen wir mehreren Schritten unter Verwendung der gegebenen Gleichung \(E = h \cdot u\). Dazu benötigen wir die Beziehung zwischen Energie, Frequenz und Wellenlänge des Lichtes.

• Schritt 1: Bestimmung der Frequenz

  Die Frequenz (\(u\)) eines Photons kann aus seiner Wellenlänge (\(\lambda\)) und der Lichtgeschwindigkeit (\(c\)) berechnet werden. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt ungefährt \(c = 3.00 \times 10^{8} \ m/s\). Die Beziehung zwischen Wellenlänge, Frequenz und Lichtgeschwindigkeit ist gegeben durch:

  \[ \lambda \cdot u = c \]

  Um die Frequenz zu berechnen, lösen wir diese Gleichung nach \(u\) auf:

  \[ u = \frac{c}{\lambda} \]

  Die Wellenlänge \((\lambda)\) muss in Meter umgerechnet werden:

  \[ \lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m \]

  Nun setzen wir die Werte in die Gleichung ein:

  \[ u = \frac{3.00 \times 10^{8} \ m/s}{500 \times 10^{-9} \ m} \]

  Berechnen wir dies:

  \[ u = \frac{3.00 \times 10^{8}}{500 \times 10^{-9}} \]

  \[ u = \frac{3.00 \times 10^{8}}{5 \times 10^{-7}} \]

  \[ u = 0.6 \times 10^{15} \ Hz \]

  \[ u = 6 \times 10^{14} \ Hz \]

• Schritt 2: Berechnung der Energie

  Nun verwenden wir die Gleichung \(E = h \cdot u\), um die Energie zu berechnen. Gegeben ist das Plancksche Wirkungsquantum \((h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)\):

  \[ E = h \cdot u \]

  \[ E = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 6 \times 10^{14} \ Hz \]

  Berechnen wir dies:

  \[ E = 6.626 \times 6 \times 10^{-34} \times 10^{14} \]

  \[ E = 39.756 \times 10^{-20} \ J \]

  \[ E = 3.9756 \times 10^{-19} \ J \]

  \[ E \approx 4 \times 10^{-19} \ J \]

Die Energie eines einzelnen Photons eines Lasers mit einer Wellenlänge von 500 nm beträgt also etwa \(4 \times 10^{-19} \ Joule\).

c)

Beschreibe die Funktion eines Resonators im Laser. Erkläre, warum mindestens einer der Spiegel teildurchlässig ist und wie dies die Verstärkung und Richtung des Laserstrahls beeinflusst. Untersuche die Auswirkungen der Resonatorlänge auf die Moden, die sich im Laser ausbilden können, und gib die Bedingung für die Resonanz an.

Lösung:

Funktion eines Resonators im Laser

Ein Resonator ist eine wesentliche Komponente eines Lasers, da er die Verstärkung und Richtung des Laserstrahls bestimmt. Hier werden die Funktionen und Auswirkungen eines Resonators erklärt.

• Grundstruktur eines Resonators:

  Ein typischer Laseresonator besteht aus zwei Spiegeln, die sich gegenüberstehen. Einer dieser Spiegel ist vollständig reflektierend, während der andere teildurchlässig ist.

• Rolle des teildurchlässigen Spiegels:

  Der teildurchlässige Spiegel spielt eine entscheidende Rolle bei der Erzeugung des Laserstrahls:

  • Er ermöglicht es einem Teil des Lichts, den Resonator zu verlassen, wodurch der Laserstrahl emittiert wird.
  • Ohne den teildurchlässigen Spiegel würde das Licht im Resonator gefangen bleiben und der Laser würde keinen externen Strahl erzeugen.
• Verstärkung und Richtung des Laserstrahls:

  Der Resonator verstärkt das Licht durch mehrfaches Reflektieren zwischen den Spiegeln. Jedem Durchgang durch das Medium führt zu stimulierter Emission, was die Intensität des Lichtes erhöht:

  • Die Kohärenz und Richtung des Laserstrahls werden durch das Resonatorformat bestimmt.
  • Nur Licht, das entlang der Achse des Resonators propagiert, wird verstärkt, wodurch ein hochgerichteter Strahl erzeugt wird.
• Moden und Resonatorlänge:

  Die Resonatorlänge beeinflusst die Moden des Lichts, die sich im Laser ausbilden können. Diese Moden sind durch stehende Wellen im Resonator charakterisiert:

  • Die Resonatorlänge (\(L\)) bestimmt die Resonanzbedingungen, bei denen konstruktive Interferenz stattfindet.
  • Nur bestimmte Wellenlängen passen in den Resonator, wobei die Bedingung für die Resonanz lautet:

    \[ 2L = m \lambda \] für ganze Zahlen \(m\)

• Auswirkungen der Resonatorlänge auf Moden:

  Die Länge des Resonators beeinflusst, welche Moden oder Frequenzen im Laser verstärkt werden:

  • Längere Resonatoren können mehr Moden unterstützen, während kürzere Resonatoren weniger Moden aufweisen.
  • Die verschiedenen Moden stehen in festen, periodischen Abständen zueinander.
  • Die Frequenzabstände zwischen den Moden sind umgekehrt proportional zur Resonatorlänge:

    \[ \Delta u = \frac{c}{2L} \] wo \(c\) die Lichtgeschwindigkeit ist.

Zusammenfassend sorgt der Resonator dafür, dass das Licht im Laser verstärkt und gerichtet wird. Der teildurchlässige Spiegel ermöglicht die Emission des Laserstrahls nach außen, während die Resonatorlänge und die Bedingung für Resonanz die Art und Anzahl der Moden bestimmen, die sich im Laser ausbilden können.

Aufgabe 2)

Maxwell-Bloch-Gleichungen: Anwendungen in der QuantenoptikBeschreibe die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Feldern und Materie auf mikroskopischer Ebene.

• Gekoppelte Differentialgleichungen: Maxwell-Gleichungen für das Feld, Bloch-Gleichungen für die Materie.
• Verwendet zur Beschreibung von Laser-Materie-Wechselwirkungen.
• Dichteoperator \(\rho\) repräsentiert Zustände der Materie.
• Elektrisches Feld \(\vec{E}(t)\) und Polarisation \(\vec{P}(t)\): zentrale Größen.
• Einfache Form: Zweiniveau-Systeme, komplexere: Mehrniveausysteme.
• Rabi-Oszillationen, Populationstransfer, Kohärenzphänomene.
• Rotationswellen-Näherung (RWA) und adiabatische Eliminierung häufig verwendet.

a)

Führe die Maxwell-Bloch-Gleichungen für ein Zweiniveau-System her. Gehe davon aus, dass das System mit einem monochromatischen Feld wechselwirkt und nimm die Rotationswellen-Näherung (RWA) an.

• Schreibe die Differentialgleichungen für die Dichteoperator-Komponenten.
• Berechne die Zeitentwicklung der Besetzungen der beiden Niveaus.

Lösung:

Maxwell-Bloch-Gleichungen für ein Zweiniveau-System

Hier führen wir die Maxwell-Bloch-Gleichungen für ein Zweiniveau-System her, das mit einem monochromatischen Feld wechselwirkt, und nehmen die Rotationswellen-Näherung (RWA) an.

Schritt 1: Differentialgleichungen für die Dichteoperator-Komponenten

Betrachten wir ein Zweiniveau-System mit den Zuständen \(\left|1\right\rangle\) und \(\left|2\right\rangle\). Der Dichteoperator \(\rho\) kann als Matrix in Bezug auf diese Basiszustände geschrieben werden:

• \(\rho = \begin{pmatrix}\rho_{11} & \rho_{12}\ \rho_{21} & \rho_{22}\end{pmatrix} \)
• \(\rho_{11}\) und \(\rho_{22}\) sind die Populationsdichten der Niveaus \(\left|1\right\rangle\) und \(\left|2\right\rangle\).
• \(\rho_{12}\) und \(\rho_{21} = \rho_{12}^*\) beschreiben die Kohärenzen zwischen den Niveaus.

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für das System lautet:

• \(i\hbar \frac{d}{dt} \rho = [H, \rho] \)

Für ein Zweiniveau-System mit Wechselwirkungshamiltonian \(H(t) = H_0 + H'\), wobei \(H_0\) die freie Energie und \(H'\) die Wechselwirkungsenergie beschreibt, sieht die Hamiltonmatrix wie folgt aus:

• \(H_0 = \hbar \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \ 0 & \omega_0 \end{array} \right)\)
• \(H' = \hbar \left( \begin{array}{cc} 0 & \Omega\ e^{-i\omega t} \ \Omega^*\ e^{i\omega t} & 0 \end{array} \right)\)

Dabei ist \(\omega_0\) die Energiedifferenz zwischen den beiden Zuständen, \(\omega\) die Frequenz des elektromagnetischen Feldes, und \(\Omega\) der Rabi-Frequenz der Wechselwirkung. Unter Berücksichtigung der RWA nähern wir uns:

• \(\frac{d\rho_{11}}{dt} = i\Omega \rho_{12} e^{-i\omega t} - i\Omega^* \rho_{21} e^{i\omega t}\)
• \(\frac{d\rho_{22}}{dt} = - i\Omega \rho_{12} e^{-i\omega t} + i\Omega^* \rho_{21} e^{i\omega t}\)
• \(\frac{d\rho_{12}}{dt} = i\Delta\rho_{12} + i\Omega (\rho_{11} - \rho_{22}) e^{i\omega t}\)

Hierbei ist \(\Delta = \omega_0 - \omega\) die Detuning-Frequenz.

Schritt 2: Zeitentwicklung der Besetzungen der beiden Niveaus

Um die Zeitentwicklung der Besetzungen der beiden Niveaus zu berechnen, benötigen wir die zeitlichen Ableitungen der populationsdichten Komponenten \(\rho_{11}\) und \(\rho_{22}\). Unter Vernachlässigung der schnellen Oszillationen, also unter Annahme der RWA, erhalten wir:

• \(\dot{\rho}_{11} = -\dot{\rho}_{22} = i\Omega \rho_{12} e^{-i\omega t} - i\Omega^* \rho_{21} e^{i\omega t}\)

Wenn wir \(\rho_{12} \) und \(\rho_{21} = \rho_{12}^* \) aus der Lösung der Differentialgleichung substituieren, erhalten wir die Zeitentwicklung der Dichteoperator-Komponenten. Im Allgemeinen wird dies zu umfangreichen Berechnungen führen, die durch numerische Simulationen durchgeführt werden.

Zusammenfassend haben wir die Maxwell-Bloch-Gleichungen für ein Zweiniveau-System hergeleitet und die Differentialgleichungen für die Dichteoperator-Komponenten geschrieben. Die Zeitentwicklung der Besetzungen der beiden Niveaus kann durch numerische Lösungen dieser Gleichungen bestimmt werden.

b)

Betrachte das Verhalten der Rabi-Oszillationen in einem Zweiniveau-System. Sei das System initial im Grundzustand.

• Schreibe die Gleichung für die Oszillationen des Besetzungsunterschieds.
• Berechne die Frequenz der Rabi-Oszillationen in Abhängigkeit der Anregungsstärke des elektromagnetischen Feldes \(\vec{E}(t)\).

Lösung:

Rabi-Oszillationen in einem Zweiniveau-System

Hier betrachten wir das Verhalten der Rabi-Oszillationen in einem Zweiniveau-System, wobei das System initial im Grundzustand ist.

Gleichung für die Oszillationen des Besetzungsunterschieds

Für ein Zweiniveau-System mit Zuständen \(\left|1\right\rangle\) (Grundzustand) und \(\left|2\right\rangle\) (angeregter Zustand), ist der Besetzungsunterschied definiert als:

• \(w(t) = \rho_{22}(t) - \rho_{11}(t)\)

Gemäß den Bloch-Gleichungen (unter Vernachlässigung von Dekohärenz und unter Verwendung der Rotationswellen-Näherung) ändern sich die Populationsdichten \(\rho_{11}\) und \(\rho_{22}\) wie folgt:

• \(\dot{\rho}_{11} = -i\Omega \rho_{12} e^{-i\omega t} + i\Omega^* \rho_{21} e^{i\omega t}\)
• \(\dot{\rho}_{22} = i\Omega \rho_{12} e^{-i\omega t} - i\Omega^* \rho_{21} e^{i\omega t}\)

Wir kennen die Beziehung \(\rho_{11} + \rho_{22} = 1\), da die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist. Dann ist der Besetzungsunterschied:

• \(w(t) = 2\rho_{22}(t) - 1\)

Die Dynamik des Besetzungsunterschieds lässt sich durch die Differentialgleichung beschreiben:

• \(\frac{dw}{dt} = 2i\Omega \rho_{12} e^{-i\omega t} - 2i\Omega^* \rho_{21} e^{i\omega t}\)

Unter Verwendung der Rotationswellen-Näherung und des Ansatzes, dass \(\Omega\) real ist, vereinfacht sich dies zu:

• \(\frac{dw}{dt} = -2 |\Omega| \text{Im}(\rho_{12} e^{-i\omega t})\)

Für initiale Besetzungszustände \(\rho_{11}(0) = 1\) und \(\rho_{22}(0) = 0\) (d.h., das System befindet sich im Grundzustand), haben wir Anfangsbedingungen für \(\rho_{12}\) und \(\rho_{21}\).

Berechnung der Rabi-Frequenz

In der Rotationswellen-Näherung wird die Kohärenzkomponente \(\rho_{12}\) als:

• \(\rho_{12}(t) = \rho_{12}(0) e^{i(\Delta t - \omega t)} + \Omega \int_0^t w(t') e^{-i\omega t'} dt'\)

Bei einem resonanten Antrieb (d.h., \(\omega = \omega_0\), bzw. \(\Delta = 0\)), vereinfacht sich die oszillatorische Lösung zur sogenannten Rabi-Frequenzlösung:

• \(w(t) = 1 - 2 \sin^2 (\Omega t)\)

Hierbei ist \(\Omega\) die Rabi-Frequenz, die proportional zur Stärke des elektromagnetischen Feldes \(\vec{E}(t)\) ist.

Die Rabi-Frequenz \(\Omega\) hängt linear von der Anregungsstärke ab und kann durch die Gleichung ausgedrückt werden:

• \(\Omega = \frac{\mu E}{\hbar}\),

wobei \(\mu\) das Übergangsdipolmoment zwischen den beiden Niveaus ist und \(E\) die Amplitude des elektromagnetischen Feldes ist.

Zusammenfassend haben wir:

• Die Differenzialgleichung für die Oszillationen des Besetzungsunterschieds \(w(t)\)
• Die Frequenz der Rabi-Oszillationen \(\Omega\) abhängt von der Anregungsstärke des elektromagnetischen Feldes \(\vec{E}(t)\).

c)

Beschreibe den Vorgang des Populationstransfers in einem Mehrniveausystem (z.B. in einem Drei-Niveau-System).

• Erkläre, wie adiabatische Eliminierung angewendet wird, um die Dynamik des Systems zu vereinfachen.
• Leite die effektiven Gleichungen für das verbleibende Zweiniveau-System her.

Lösung:

Populationstransfer in einem Mehrniveausystem

Hier beschreiben wir den Vorgang des Populationstransfers in einem Mehrniveausystem, zum Beispiel in einem Drei-Niveau-System. Wir erklären, wie adiabatische Eliminierung angewendet wird, um die Dynamik des Systems zu vereinfachen, und leiten die effektiven Gleichungen für das verbleibende Zweiniveau-System her.

Drei-Niveau-System

Ein Drei-Niveau-System besteht typischerweise aus Zuständen \(\left|1\right\rangle\), \(\left|2\right\rangle\), und \(\left|3\right\rangle\). Die Zustände \(\left|1\right\rangle\) und \(\left|3\right\rangle\) sind die beiden Hauptzustände, zwischen denen ein Populationstransfer stattfinden soll. Der Zustand \(\left|2\right\rangle\) ist ein Zwischenzustand.

Der Hamiltonian für ein solches System kann in der Form geschrieben werden:

• \(H = \hbar \left( \begin{array}{ccc} 0 & \Omega_{12}(t) & 0 \ \Omega_{12}^*(t) & \delta_2 & \Omega_{23}(t) \ 0 & \Omega_{23}^*(t) & \delta_3 \end{array} \right)\)

Hierbei sind \(\Omega_{12}(t)\) und \(\Omega_{23}(t)\) die zeitabhängigen Rabi-Frequenzen der Anregungen \(\left|1\right\rangle\) \(\leftrightarrow\) \(\left|2\right\rangle\) bzw. \(\left|2\right\rangle\) \(\leftrightarrow\) \(\left|3\right\rangle\). Die \(\delta_2\) und \(\delta_3\) sind die Detuning-Frequenzen der Zustände \(\left|2\right\rangle\) und \(\left|3\right\rangle\).

Adiabatische Eliminierung

Adiabatische Eliminierung wird verwendet, um den Zwischenzustand \(\left|2\right\rangle\) zu eliminieren und somit die effektive Dynamik des Systems auf die beiden Hauptzustände zu reduzieren.

Adiabatische Eliminierung basiert auf der Annahme, dass der Zwischenzustand \(\left|2\right\rangle\) schnell relaxiert und daher nur kurzzeitig besetzt wird. Dies führt zu einer Umformung der Zustände und der Dynamik unter der Bedingung, dass:

• \(\frac{d\rho_{22}}{dt} \approx 0\)

Dies bedeutet, dass der Zustand \(\left|2\right\rangle\) sich quasi-stationär verhält. Mit dieser Annahme können wir ausdrücken werden :

• \(\rho_{22} \approx \frac{\Omega_{12}(t)\rho_{11} + \Omega_{23}(t)\rho_{33}}{\delta_2}\)

Effektive Gleichungen für das verbleibende Zweiniveau-System

Die Zustandsdynamik für \(\left|1\right\rangle\) und \(\left|3\right\rangle\) kann durch Einsetzen von \(\rho_{22}\) in die ursprünglichen Bloch-Gleichungen angenähert werden:

• 1-Das effektive Hamiltonian für die Zustände \(\left|1\right\rangle\) und \(\left|3\right\rangle\) kann geschrieben werden als:
• \(H_{eff} = \hbar \left( \begin{array}{cc} 0 & \frac{\Omega_{12}(t)\Omega_{23}(t)}{\delta_2}\ \frac{\Omega_{12}^*(t)\Omega_{23}^*(t)}{\delta_2} & \delta_3\end{array} \right)\)

2-Die effektiven Rabi-Frequenzen für das Zweiniveau-System lauten:

• \(\tilde{\Omega}(t) = \frac{\Omega_{12}(t)\Omega_{23}(t)}{\delta_2}\)
• \(\tilde{\Omega}^*(t) = \frac{\Omega_{12}^*(t)\Omega_{23}^*(t)}{\delta_2}\)

3-Die Populationstransfer-Dynamik zwischen \(\left|1\right\rangle\) und \(\left|3\right\rangle\) wird durch folgende Gleichungen beschrieben:

• \(\frac{dw}{dt} = -2i\tilde{\Omega} \rho_{13} + h.c.\)

Hierbei ist \(\tilde{\Omega}\) die effektive Rabi-Frequenz für das Populationstransfers und \(\rho_{13}\) die Kohärenz zwischen dem Grund- und dem angeregten Zustand.

Zusammenfassend haben wir den Vorgang der adiabatischen Eliminierung verwendet, um die Dynamik eines Drei-Niveau-Systems auf ein effektives Zweiniveau-System zu vereinfachen. Dies ermöglicht es, die wesentlichen Merkmale des Populationstransfers in einem vereinfachten Rahmen zu betrachten.

d)

In der Quantenoptik spielt Kohärenz eine wichtige Rolle. Erkläre, wie Kohärenzphänomene in Maxwell-Bloch-Gleichungen modelliert werden.

• Diskutiere den Einfluss von Dephasierung auf Rabi-Oszillationen.
• Wie kann die Dephasierung in die Maxwell-Bloch-Gleichungen eingebaut werden?
• Berechne die Auswirkungen der Dephasierung auf die Oszillationsamplitude der Populationsdifferenz.

Lösung:

Kohärenzphänomene in Maxwell-Bloch-Gleichungen

In der Quantenoptik spielt Kohärenz eine wichtige Rolle, insbesondere in Bezug auf Rabi-Oszillationen und zwischen energetischen Zuständen. Kohärenz bezeichnet dabei die feste Phasenbeziehung zwischen Quantenzuständen.

Einfluss von Dephasierung auf Rabi-Oszillationen

Dephasierung beschreibt den Verlust der festen Phasenbeziehung zwischen den Zuständen eines Zweiniveau-Systems, häufig verursacht durch Wechselwirkungen mit der Umgebung (z.B. durch thermische Effekte, Stöße oder Fluktuationen im elektromagnetischen Feld). Solche Effekte führen zur Verringerung der Kohärenz und damit zur Verbreiterung und Dämpfung der Rabi-Oszillationen.

Ohne Dephasierung zeigt ein System unter Rabi-Oszillationen eine periodische Übertragung der Population zwischen zwei Energieniveaus, wobei die Amplitude der Oszillationen konstant bleibt. Mit Dephasierung führt der Phasenverlust zu einer exponentiellen Dämpfung der Oszillationsamplitude, was bedeutet, dass der Übergang zwischen den Niveaus nicht so effizient ist.

Einbau von Dephasierung in die Maxwell-Bloch-Gleichungen

Dephasierung können wir in die Maxwell-Bloch-Gleichungen durch einen zusätzlichen dekohärenten Term einfügen. Insbesondere erweitern wir die Bloch-Gleichung für die Kohärenzkomponente \(\rho_{12}\) um eine Dephasierungskonstante \(\gamma_{d}\):

• \(\frac{d \rho_{12}}{dt} = -i\Delta \rho_{12} + i\Omega (\rho_{11} - \rho_{22}) - \frac{\gamma_{d}}{2} \rho_{12}\)

Hier ist \(\gamma_{d}\) die Dephasierungsrate, die angibt, wie schnell die Kohärenz zwischen den Zuständen abnimmt. Die anderen Gleichungen bleiben gleich:

• \(\frac{d \rho_{11}}{dt} = -i \Omega \rho_{12} + i \Omega \rho_{12}^* \)
• \(\frac{d \rho_{22}}{dt} = i \Omega \rho_{12} - i \Omega \rho_{12}^* \)

Berechnung der Auswirkungen der Dephasierung auf die Oszillationsamplitude der Populationsdifferenz

Betrachten wir die effektive Populationsdifferenz \(w(t) = \rho_{22}(t) - \rho_{11}(t)\) unter Berücksichtigung der Dephasierung:

• \(\frac{dw}{dt} = -2*\text{Im}(\Omega \rho_{12})\)

Die Lösung der Differentialgleichungen unter Berücksichtigung der Dephasierung führt zu einer Dämpfung der Rabi-Oszillationen. Wenn wir annehmen, dass \(\Omega\) und \(\Delta\) konstant sind, haben wir:

• \(\rho_{12}(t) = \rho_{12}(0)e^{i\Delta t} e^{-\frac{\gamma_{d}}{2}t}\)

Die Oszillationsamplitude der Populationsdifferenz verringert sich exponentiell mit der Zeit:

• \(w(t) = w(0) e^{-t/T_2} \sin (\Omega t)\)

Hierbei ist \(T_2 = \frac{2}{\gamma_{d}}\) die kohärente Zerfallszeit oder Dephasierungszeit. Je größer \(\gamma_{d}\), desto schneller ist die Dämpfung der Oszillationen. Dephasierung führt also dazu, dass die Amplitude der Rabi-Oszillationen mit der Zeit abnimmt, wodurch der Populationsübergang weniger effizient wird.

Zusammenfassend zeigt dies, wie entscheidend die Kohärenz und ihre Dämpfung (Dephasierung) für die Effizienz der Rabi-Oszillationen und damit für die Kontrolle der Populationstransfers in Quantenoptik-Experimenten ist.

Aufgabe 3)

Nichtklassisches Licht und Resonanzfluoreszenz

• Nichtklassisches Licht zeigt Quanteneigenschaften, die sich nicht klassisch erklären lassen, wie Antibündelung und Verschränkung.
• Resonanzfluoreszenz beschreibt die Wechselwirkung von Licht mit einem Zwei-Niveau-System, bei der Photonen emittiert werden.
• Nichtklassisches Licht: Zustände wie Einzelphotonen oder gequetschtes Licht.
• Wigner-Funktion kann negativ sein.
• Antibündelung: \[g^{(2)}(0) < 1\] Hinweis auf Einzelphotonenemission.
• Resonanzfluoreszenz: Streuung von Licht durch ein angeregtes Atom oder Molekül.
• Mollow-Tripel: Seitenbandstruktur im Emissionsspektrum.
• Jaynes-Cummings-Modell: Verschränkung zwischen Atom und Feldmodus.
• Rabi-Oszillationen: \[\Omega_R = \frac{\mu E_0}{\hbar}\] beschreibt periodische Anregung eines Zwei-Niveau-Systems.

a)

Beschreibe den Unterschied zwischen klassischem und nichtklassischem Licht. Gehe dabei insbesondere auf das Konzept der Antibündelung \[g^{(2)}(0) < 1\] ein und erläutere die experimentellen Konsequenzen dieses Phänomens.

Lösung:

Unterschied zwischen klassischem und nichtklassischem Licht

• Klassisches Licht: Klassisches Licht umfasst elektromagnetische Wellen, die durch klassische Physik beschrieben werden können, wie das Licht einer herkömmlichen Glühlampe. Solche Lichtquellen zeigen eine Poisson-Verteilung der Photonenzahl und keine besonderen Quantenphänomene.
• Nichtklassisches Licht: Nichtklassisches Licht zeigt Eigenschaften, die nicht durch klassische Physik beschrieben werden können. Beispiele sind Einzelphotonen, gequetschtes Licht und verschränkte Zustände. Diese Zustände zeigen charakteristische Quanteneffekte.

• Antibündelung ist ein quantenmechanisches Phänomen, das bei nichtklassischen Lichtquellen, insbesondere bei Einzelphotonenquellen, auftaucht.
• Die Bedingung \[g^{(2)}(0) < 1\] bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, zwei Photonen gleichzeitig zu detektieren, geringer ist als die Wahrscheinlichkeit, sie in einem klassischen Zufallsprozess zu detektieren. Dies ist ein Hinweis auf Einzelphotonenemission.
• Ein praktisches Beispiel: In einem Experiment zur Messung der Antibündelung wird das Licht eines Emitters (z.B. eines angeregten Atoms) auf zwei Detektoren aufgeteilt. Die Korrelation zwischen den Detektoren wird gemessen. Wenn \[g^{(2)}(0) < 1\] ist, zeigt sich, dass die Photonen nicht gleichzeitig ankommen, was auf Einzelphotonenemission hinweist.

• Einzelphotonenemission kann verwendet werden, um sichere Kommunikationskanäle in der Quantenkryptographie zu etablieren, da jeder Photonenzustand nur einmal verwendet wird.
• Antibündelungsexperimente sind entscheidend für das Verständnis der Licht-Materie-Wechselwirkungen und die Charakterisierung von Quantenlichtquellen.
• In Quantensystemen, wie bei Quantencomputern, ist das Verständnis von Antibündelung notwendig, um präzise Kontrolle und Manipulation von Photonen zu erreichen.

b)

Die Resonanzfluoreszenz ist ein grundlegendes Phänomen in der Quantenoptik. Erkläre, was man unter dem Mollow-Tripel versteht und wie es im Emissionsspektrum eines angeregten Atoms sichtbar wird.

Lösung:

Das Mollow-Tripel in der Resonanzfluoreszenz

• Das Mollow-Tripel ist ein charakteristisches Merkmal des Emissionsspektrums eines angeregten Atoms, das sich ergibt, wenn dieses Atom mit einem starken Laserfeld wechselwirkt.
• Es wurde nach dem Physiker Benjamin Mollow benannt, der dieses Phänomen theoretisch beschrieb.

• Wenn ein Atom mit einem starken, resonanten Laserfeld angeregt wird, kommt es zu Rabi-Oszillationen, die durch die periodische Wechselwirkung des Atoms mit dem elektromagnetischen Feld verursacht werden.
• Diese Wechselwirkung führt dazu, dass das Emissionsspektrum des Atoms nicht nur eine einzige Linie zeigt, sondern in drei diskrete Linien aufgespalten wird. Diese drei Linien bilden das Mollow-Tripel.
• Die zentrale Linie entspricht der ursprünglichen Resonanzfrequenz des Atoms. Sie wird von zwei Nebenbändern flankiert, die symmetrisch um die zentrale Linie herum angeordnet sind.
• Die Frequenzen der Nebenbänder sind durch den Rabi-Frequenz \(\frac{\mu E_0}{\hbar}\) verschoben, wobei \(\mu\) der Übergangsdipolmoment des Atoms und \(\!E_0\) die Amplitude des elektromagnetischen Felds sind.

• Um das Mollow-Tripel zu beobachten, wird ein Atom in ein starkes, monochromatisches Laserfeld eingebracht. Die emittierten Photonen werden dann spektral analysiert.
• Das resultierende Emissionsspektrum zeigt die zentrale Linie bei der resonanten Frequenz sowie zwei zusätzliche Linien, die durch die Rabi-Frequenz vom Zentrum verschoben sind.
• Die Intensität und die genaue Position der Nebenbänder hängen von der Stärke des Laserfeldes und den spezifischen Eigenschaften des Atoms ab.

• Das Mollow-Tripel ist von großer Bedeutung in der Quantenoptik, da es detaillierte Informationen über die Wechselwirkung eines Atoms mit einem elektromagnetischen Feld liefert.
• Es wird unter anderem verwendet, um die Eigenschaften von Quantenlichtquellen zu charakterisieren und die Dynamik von Licht-Materie-Wechselwirkungen zu untersuchen.