Advanced theoretical physics 1 - Cheatsheet

Schrödinger-Gleichung und ihre Anwendungen

Definition:

Die Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors eines quantenmechanischen Systems.

Details:

• Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: \[ i\frac{\text{d}}{\text{d}t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle \]
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: \[ \hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle \]
• Operator \( \hat{H} \) ist der Hamilton-Operator.
• \( |\psi\rangle \) ist der Zustandsvektor.
• Wichtige Anwendungen: Teilchen im Kasten, harmonischer Oszillator, Tunnel-Effekt.

Heisenbergsche Unschärferelation

Definition:

Beziehung zwischen der Ungenauigkeit bei der Messung bestimmter Paare von Observablen in der Quantenmechanik.

Details:

• Formel: \[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• \( \Delta x \): Ortsunschärfe
• \( \Delta p \): Impulsunschärfe
• \( \hbar \): reduzierte Planck-Konstante
• Gilt auch für andere Observablenpaare: \( \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \)
• Prinzipielle Grenze der Messgenauigkeit aufgrund der Wellen-Natur von Teilchen.

Boltzmann-Verteilung und Maxwell-Boltzmann-Statistik

Definition:

Verteilung von Geschwindigkeiten oder Energien in einem Gas; beschreibt die statistische Verteilung von Teilchen über verschiedene Energiezustände bei einer bestimmten Temperatur.

Details:

• Boltzmann-Verteilung: \( P(E) = \frac{1}{Z} e^{-\beta E} \) - \( \beta = \frac{1}{k_B T} \)- \( Z \): Zustandssumme
• Maxwell-Boltzmann-Statistik: Verteilung der Teilchengeschwindigkeiten in einem idealen Gas
• Maxwell-Boltzmann-Verteilung: \[ f(v) = \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} 4\pi v^2 e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}} \]
• Durchschnittsgeschwindigkeit: \( \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8k_B T}{\pi m}} \)
• Typische Geschwindigkeit: \( v_{typ} = \sqrt{\frac{2k_B T}{m}} \)

Kanonisches und mikrokanonisches Ensemble

Definition:

Zustandsverteilung eines Systems in thermodynamischem Gleichgewicht mit unterschiedlicher Energiebetrachtung.

Details:

• Mikrokanonisches Ensemble: Fixierte Energie, Teilchenzahl und Volumen. Beschreibt isolierte Systeme. Zustandssumme: \Omega = \sum_\text{Zustände}.
• Kanonisches Ensemble: Fixierte Temperatur, Teilchenzahl und Volumen. Austausch von Energie mit einem Wärmebad erlaubt. Zustandssumme: \mathcal{Z} = \sum_\text{Zustände} e^{-\beta E_i}, wobei \beta = \frac{1}{k_B T}.

Spezielle Relativitätstheorie und Lorentz-Transformationen

Definition:

Beschreibung der physikalischen Prinzipien, die bei hohen Geschwindigkeiten (nahe der Lichtgeschwindigkeit) gelten, sowie die Transformation, die beschreibt, wie sich Raum und Zeit zwischen verschiedenen Inertialsystemen verändern.

Details:

• Postulate der Speziellen Relativitätstheorie:
  • 1. Die physikalischen Gesetze sind in allen Inertialsystemen gleich.
  • 2. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist in allen Inertialsystemen konstant.
• Lorentz-Transformationen: Umrechnung der Koordinaten (Raum und Zeit) zwischen zwei Inertialsystemen, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.
• Transformationen:
  • Zeitdilatation: \( t' = \gamma (t - \frac{vx}{c^2}) \)
  • Längenkontraktion: \( x' = \gamma (x - vt) \)
  • Relativistischer Faktor: \( \gamma = 1 / \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \)
• Vierervektoren in der speziellen Relativitätstheorie: Vereinheitlichung von Raum- und Zeitkoordinaten (z.B. \( x^\mu = (ct, \vec{x}) \))
• Invarianz der Raumzeitintervalle: \[ ds^2 = - c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \]

Bandstrukturtheorie

Definition:

Analyse der Elektronenenergiezustände in Festkörpern unter Anwendung der Quantenmechanik.

Details:

• Schrödinger-Gleichung im periodischen Potential des Kristallgitters lösen
• Bloch-Wellenfunktion: \(\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \)
• Elektronenbandstruktur beschreiben durch Dispersionsrelation \(E(\mathbf{k})\)
• Unterscheidung von Valenzband und Leitungsband
• Bandlücke \(E_g\): Energetische Differenz zwischen Valenz- und Leitungsband
• Metalle: Teilweise gefülltes Band, keine Bandlücke
• Halbleiter: Kleine Bandlücke
• Isolatoren: Große Bandlücke
• Dirac- und Weyl-Punkte in topologischen Materialien

Supraleitungstheorie

Definition:

Theorie, die erklärt, warum bestimmte Materialien bei tiefen Temperaturen ohne elektrischen Widerstand leiten.

Details:

• Gilt für Temperaturen unterhalb der kritischen Temperatur (T_c).
• Zentrale Konzepte: Cooper-Paare und Energielücke.
• Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS)-Theorie wesentliche theoretische Grundlage.
• London-Gleichungen beschreiben elektromagnetische Eigenschaften.
• Quantisierung des magnetischen Flusses: \(\frac{h}{2e}\)
• Meissner-Ochsenfeld-Effekt: vollständiges Ausstoßen des Magnetfeldes aus dem Inneren eines Supraleiters.
• Unterschiede zwischen konventionellen (s-Wellen-Paarung) und unkonventionellen (d- oder p-Wellen-Paarung) Supraleitern.