Advanced theoretical physics 1 - Exam

Aufgabe 1)

Schrödinger-Gleichung und ihre AnwendungenDie Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors eines quantenmechanischen Systems.

• Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: \( i\frac{\text{d}}{\text{d}t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle \)
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: \( \hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle \)
• Operator \( \hat{H} \) ist der Hamilton-Operator.
• \( |\psi\rangle \) ist der Zustandsvektor.
• Wichtige Anwendungen: Teilchen im Kasten, harmonischer Oszillator, Tunnel-Effekt.

a)

a) Betrachte ein Teilchen im eindimensionalen unendlich tiefen Potentialtopf von Breite \( a \). Bestimme die Eigenzustände und Eigenenergien, indem Du die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung löst. Hinweis: Die Randbedingungen sind \( \psi(0) = \psi(a) = 0 \).

Lösung:

Schrödinger-Gleichung und ihre AnwendungenDie Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors eines quantenmechanischen Systems.

• Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: \( i\frac{\text{d}}{\text{d}t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle \)
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: \( \hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle \)
• Operator \( \hat{H} \) ist der Hamilton-Operator.
• \( |\psi\rangle \) ist der Zustandsvektor.
• Wichtige Anwendungen: Teilchen im Kasten, harmonischer Oszillator, Tunnel-Effekt.

a) Betrachte ein Teilchen im eindimensionalen unendlich tiefen Potentialtopf von Breite \( a \). Bestimme die Eigenzustände und Eigenenergien, indem Du die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung löst. Hinweis: Die Randbedingungen sind \( \psi(0) = \psi(a) = 0 \).Lösung:Um die Eigenzustände und Eigenenergien eines Teilchens im eindimensionalen unendlich tiefen Potentialtopf zu bestimmen, müssen wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung lösen:\[ \hat{H} \psi(x) = E \psi(x) \]Im Potentialtopf der Breite \( a \) ist der Hamilton-Operator \( \hat{H} \) des Teilchens gegeben durch:\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \]Die Schrödinger-Gleichung lautet daher:\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = E \psi(x) \]Diese Gleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Um sie zu lösen, setzen wir \( \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = k^2 \psi(x) \) an. Das liefert:\[ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) + \frac{2mE}{\hbar^2} \psi(x) = 0 \]Definieren wir \( k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} \, \) dann lautet die Gleichung:\[ \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) + k^2 \psi(x) = 0 \]Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist:\[ \psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx) \]Nun müssen wir die Randbedingungen anwenden:1. \( \psi(0) = 0 \):\[ \psi(0) = A \sin(0) + B \cos(0) = B = 0 \]Daraus folgt, dass \( B = 0 \). Somit vereinfacht sich die Lösung zu:\[ \psi(x) = A \sin(kx) \]2. \( \psi(a) = 0 \):\[ \psi(a) = A \sin(ka) = 0 \]Da \( A \) nicht Null ist, muss \( \sin(ka) = 0 \) gelten. Das ist der Fall, wenn \( ka = n\pi \) mit \( n = 1, 2, 3, \ldots \.\Also:\[ k = \frac{n\pi}{a} \]Nun können wir die Eigenenergien berechnen. Aus \( k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} \) und \( k = \frac{n\pi}{a} \) folgt:\[ \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 = \frac{2mE_n}{\hbar^2} \]Somit sind die Eigenenergien gegeben durch:\[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m a^2} \]Die Eigenzustände sind:\[ \psi_n(x) = A \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \]Um \( A \) zu bestimmen, normieren wir die Wellenfunktion. Die Normierungsbedingung lautet:\[ \int_{0}^{a} |\psi_n(x)|^2 dx = 1 \]Setzen wir \( \psi_n(x) = A \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \) ein:\[ \int_{0}^{a} \left| A \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \right|^2 dx = 1 \]\[ |A|^2 \int_{0}^{a} \sin^2\left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx = 1 \]\[ |A|^2 \left[ \frac{a}{2} - \frac{a}{4}\sin\left(\frac{2n\pi x}{a}\right) \right]_0^a = 1 \]\[ |A|^2 \cdot \frac{a}{2} = 1 \]\[ |A| = \sqrt{\frac{2}{a}} \]Schließlich sind die normierten Eigenzustände:\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \]Zusammenfassend:

• Die Eigenenergien sind \( E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m a^2} \)
• Die normierten Eigenzustände sind \( \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \)

b)

b) Betrachte den harmonischen Oszillator. Bestimme die Energieeigenwerte und Eigenzustände mit Hilfe des Hamilton-Operators \( \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2 \). Verwende sowohl die analytische Methode als auch die Operator-Methode, um die Lösungen zu finden.

Lösung:

Schrödinger-Gleichung und ihre AnwendungenDie Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors eines quantenmechanischen Systems.

• Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: \( i\frac{\text{d}}{\text{d}t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle \)
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: \( \hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle \)
• Operator \( \hat{H} \) ist der Hamilton-Operator.
• \( |\psi\rangle \) ist der Zustandsvektor.
• Wichtige Anwendungen: Teilchen im Kasten, harmonischer Oszillator, Tunnel-Effekt.

b) Betrachte den harmonischen Oszillator. Bestimme die Energieeigenwerte und Eigenzustände mit Hilfe des Hamilton-Operators \( \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2 \). Verwende sowohl die analytische Methode als auch die Operator-Methode, um die Lösungen zu finden.Lösung:Zuerst betrachten wir die analytische Methode und anschließend die Operator-Methode:1. Analytische Methode:Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators lautet:\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2 \]Setzen wir den Impulsoperator \( \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} \) ein, erhalten wir die Schrödinger-Gleichung:\[ \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right) \psi(x) = E \psi(x) \]Dies ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Wir suchen Lösungen der Form:\[ \psi(x) = A \cdot H_n(y) \cdot e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} \]wobei \( y = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \) und \( H_n(y) \) Hermitesche Polynome sind.Es stellt sich heraus, dass die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators gegeben sind durch:\[ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \]Die normierten Eigenzustände (Wellenfunktionen) sind:\[ \psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n \left( \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x \right) e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} \]2. Operator-Methode:In der Operator-Methode nutzen wir die Erzeuger-\( \hat{a}^\dagger \) und Vernichter-\( \hat{a} \)-Operatoren.Definiere die Erzeuger- und Vernichter-Operatoren als:\[ \hat{a} = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{x} + \frac{i \hat{p}}{m \omega} \right) \]\[ \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{x} - \frac{i \hat{p}}{m \omega} \right) \]Der Hamilton-Operator lässt sich dann in der Form schreiben:\[ \hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \right) \]Die Eigenzustände \( |n\rangle \) des harmonischen Oszillators sind gegeben durch:\[ \hat{H} |n\rangle = E_n |n\rangle \]wobei die Energieeigenwerte sind:\[ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \]Die Zustände sind die sogenannten Fock-Zustände oder Besetzungszahlenzustände:\[ |n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} |0\rangle \]Hierbei ist \( |0\rangle \) der Grundzustand, der durch \( \hat{a} |0\rangle = 0 \) definiert ist.Zusammenfassend:

• Die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators sind \( E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \)
• Die analytisch ermittelten Eigenzustände sind \( \psi_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n \left( \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x \right) e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} \)
• Die Eigenzustände in der Operator-Methode sind die Fock-Zustände \( |n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} |0\rangle \)

c)

c) Analysiere den Tunnel-Effekt für ein Teilchen mit Masse \( m \), das auf ein rechteckiges Potentialbarriere von Höhe \( V_0 \) und Breite \( L \) trifft. Berechne die Durchlasswahrscheinlichkeit als Funktion der Energie \( E \) des Teilchens unter Verwendung der Zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung.

Lösung:

Schrödinger-Gleichung und ihre AnwendungenDie Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektors eines quantenmechanischen Systems.

• Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: \( i\frac{\text{d}}{\text{d}t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle \)
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: \( \hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle \)
• Operator \( \hat{H} \) ist der Hamilton-Operator.
• \( |\psi\rangle \) ist der Zustandsvektor.
• Wichtige Anwendungen: Teilchen im Kasten, harmonischer Oszillator, Tunnel-Effekt.

Solve the following subexercise:c) Analysiere den Tunnel-Effekt für ein Teilchen mit Masse \( m \), das auf eine rechteckige Potentialbarriere von Höhe \( V_0 \) und Breite \( L \) trifft. Berechne die Durchlasswahrscheinlichkeit als Funktion der Energie \( E \) des Teilchens unter Verwendung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung.Lösung:Beim Tunnel-Effekt trifft ein Teilchen auf ein Potential, das es klassisch nicht durchqueren könnte, da seine Energie niedriger ist als das Potential. Dennoch gibt es eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass es quantenmechanisch „tunnelt“.Für ein Teilchen, das auf eine rechteckige Potentialbarriere von Höhe \( V_0 \) und Breite \( L \) trifft, ist das Potential \( V(x) \) definiert als:

• \( V(x) = 0 \) für \( x < 0 \) (Bereich I)
• \( V(x) = V_0 \) für \( 0 \le x \le L \) (Bereich II)
• \( V(x) = 0 \) für \( x > L \) (Bereich III)

Die Schrödinger-Gleichung in den verschiedenen Bereichen lautet:Bereich I (\( x < 0 \)):\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} = E \psi \]Die Lösung ist eine Superposition von einfallenden und reflektierten Wellen:\[ \psi_I(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \]mit \( k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \).Bereich II (\( 0 \le x \le L \)):\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + V_0 \psi = E \psi \]\[ \frac{d^2 \psi}{dx^2} = \left( \frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2} \right) \psi = \kappa^2 \psi \]Die Lösung ist eine Superposition von exponentiell abfallenden und wachsenden Funktionen:\[ \psi_{II}(x) = C e^{\kappa x} + D e^{-\kappa x} \]mit \( \kappa = \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}} \).Bereich III (\( x > L \)):\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} = E \psi \]Die Lösung ist wieder eine Superposition von fortschreitenden und reflektierten Wellen:\[ \psi_{III}(x) = F e^{ikx} \]Nun wenden wir die Randbedingungen an:1. Die Wellenfunktion und ihre Ableitung müssen bei \( x = 0 \) und \( x = L \) stetig sein.Für \( x = 0 \):\[ \psi_I(0) = \psi_{II}(0) \]\[ A + B = C + D \]\[ \psi_I'(0) = \psi_{II}'(0) \]\[ ikA - ikB = \kappa C - \kappa D \]Verwende diese Gleichungen, um C und D auszudrücken.Für \( x = L \):\[ \psi_{II}(L) = \psi_{III}(L) \]\[ C e^{\kappa L} + D e^{-\kappa L} = F e^{ikL} \]\[ \psi_{II}'(L) = \psi_{III}'(L) \]\[ \kappa C e^{\kappa L} - \kappa D e^{-\kappa L} = ikF e^{ikL} \]Diese vier Gleichungen reichen aus, um die Verhältnisse aller Koeffizienten zu bestimmen. Insbesondere interessiert uns das Verhältnis von F zu A, um die Durchlasswahrscheinlichkeit zu berechnen.Die Durchlasswahrscheinlichkeit T ist gegeben durch:\[ T = \left| \frac{F}{A} \right|^2 \]Lösen wir die Algebragleichungen, erhalten wir:\[ T = \frac{1}{1 + \frac{V_0^2 \sinh^2{(\kappa L)}}{4 E (V_0 - E)}} \]Hierbei ist \( \kappa = \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}} \).Zusammenfassend:

• Die Durchlasswahrscheinlichkeit hängt wesentlich von der Energie \( E \) des Teilchens, der Höhe \( V_0 \) und der Breite \( L \) der Barriere ab.
• Für \( E < V_0 \) hat das Teilchen eine endliche Wahrscheinlichkeit, durch die Barriere zu tunneln.

Aufgabe 2)

Betrachte ein Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen Kastenpotenzial der Länge L. Das Teilchen ist quantenmechanisch beschrieben und unterliegt daher der Heisenbergschen Unschärferelation, die besagt, dass das Produkt der Ortsunschärfe (\( \Delta x \)) und der Impulsunschärfe (\( \Delta p \)) eine untere Grenze hat: \[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \] Die Energieeigenwerte des Teilchens im Kasten sind gegeben durch: \[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \] wobei n eine positive ganze Zahl ist.

a)

Diskutiere die konzeptionellen Implikationen des Ergebnisses der ersten Teilaufgabe. Insbesondere, wie die Heisenbergsche Unschärferelation die physikalische Interpretation des Aufenthaltsorts und Impulses des Teilchens im Kastenpotenzial beeinflusst und was dies für Messungen in der Quantenmechanik bedeutet.

Lösung:

• Unschärferelation und Aufenthaltsort: Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass das Produkt der Ortsunschärfe (\(\Delta x\)) und der Impulsunschärfe (\(\Delta p\)) eine untere Grenze hat:\( \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \) Das bedeutet, dass es unmöglich ist, sowohl den genauen Aufenthaltsort als auch den genauen Impuls des Teilchens gleichzeitig mit beliebig hoher Präzision zu bestimmen. In einem Kastenpotenzial ist das Teilchen auf eine bestimmte Strecke (\(L\)) begrenzt, was die Ortsunschärfe einschränkt und somit eine entsprechende Impulsunschärfe zur Folge hat.
• Quantenmechanische Interpretation: Innerhalb des Kastens kann sich das Teilchen frei bewegen, allerdings ist die Wahrscheinlichkeit, es an einem bestimmten Punkt zu finden, durch seine Wellenfunktion gegeben. Die Energieeigenwerte des Teilchens sind quantisiert, d.h., es sind nur bestimmte Energieniveaus (\(E_n\)) erlaubt:\( E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \) Diese quantisierten Energien korrelieren mit der Wellenlänge und dem Impuls des Teilchens. Aufgrund der Unschärferelation ist der Impuls nicht exakt bestimmbar, was bedeutet, dass das Teilchen eine gewisse Energieunschärfe hat.
• Implikationen für Messungen: In der Quantenmechanik bedeutet dies, dass jede Messung des Aufenthaltsorts oder des Impulses des Teilchens immer mit einer gewissen Unschärfe verbunden ist. Du kannst den Aufenthaltsort präzise messen, was jedoch zu einer großen Unschärfe im Impuls führt, und umgekehrt. Diese Einschränkung ist fundamental und ergibt sich direkt aus den Prinzipien der Quantenmechanik.
• Messungen in der Praxis: Bei experimentellen Messungen in der Quantenmechanik wird diese Unschärfe immer berücksichtigt. Messgeräte und Methoden sind darauf ausgelegt, mit der inhärenten Unschärfe umzugehen. Besonders bei sehr kleinen Teilchen, wie Elektronen oder Photonen, wird die Heisenbergsche Unschärferelation bei allen Messungen berücksichtigt und ist ein wesentlicher Bestandteil des Verständnisses und der Interpretation von Ergebnissen. Ein Beispiel hierfür ist die Elektronenmikroskopie, bei der die Effekte der Unschärferelation die Konstruktion der Mikroskope und die Interpretation der Bilder beeinflussen.

Fazit:

Die Heisenbergsche Unschärferelation hat tiefgreifende Auswirkungen auf die physikalische Interpretation des Aufenthaltsorts und des Impulses eines Teilchens im Kastenpotenzial. Sie zeigt, dass es auf einer grundlegenden Ebene immer eine gewisse Unbestimmtheit in den Messungen gibt, was entscheidend für das Verständnis und die Betrachtung von Quantenphänomenen ist.

Aufgabe 3)

Boltzmann-Verteilung und Maxwell-Boltzmann-StatistikIn diesem Aufgabenbereich geht es um die Verteilung von Geschwindigkeiten oder Energien in einem Gas. Diese beschreiben, wie die Teilchen statistisch über verschiedene Energiezustände bei einer bestimmten Temperatur verteilt sind.

• Boltzmann-Verteilung: Die Wahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem bestimmten Energiezustand E zu sein, wird durch die Boltzmann-Verteilung gegeben: \( P(E) = \frac{1}{Z} e^{-\beta E} \) wobei \( \beta = \frac{1}{k_B T} \) ist. Hierin stellt Z die Zustandssumme dar.
• Maxwell-Boltzmann-Statistik: Diese beschreibt die Verteilung der Geschwindigkeiten von Teilchen in einem idealen Gas.
• Maxwell-Boltzmann-Verteilung: Die Verteilung der Geschwindigkeiten wird durch die Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschrieben: \( f(v) = \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} 4\pi v^2 e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}} \)
• Durchschnittsgeschwindigkeit: \( \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8k_B T}{\pi m}} \)
• Typische Geschwindigkeit: \( v_{typ} = \sqrt{\frac{2k_B T}{m}} \)

a)

Betrachte ein idealisiertes einatomiges Gas mit einer Temperatur von 300 K.

• a) Berechne die Zustandssumme Z bei dieser Temperatur, wenn der Energiepegelabstand \( \triangle E \) ist und alle Zustände bis zu einer Energie \( E \) berücksichtigt werden. Nutze dazu die Boltzmann-Verteilung.
• b) Bestimme die durchschnittliche Geschwindigkeit der Teilchen. Nutze dazu die gegebene Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit.
• c) Leite die Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Teilchengeschwindigkeiten in einem idealen Gas ab und erläutere den physikalischen Hintergrund dieser Verteilung.

Lösung:

Boltzmann-Verteilung und Maxwell-Boltzmann-Statistik

In diesem Aufgabenbereich geht es um die Verteilung von Geschwindigkeiten oder Energien in einem Gas. Diese beschreiben, wie die Teilchen statistisch über verschiedene Energiezustände bei einer bestimmten Temperatur verteilt sind.

• Boltzmann-Verteilung: Die Wahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem bestimmten Energiezustand E zu sein, wird durch die Boltzmann-Verteilung gegeben: \(P(E) = \frac{1}{Z} e^{-\beta E}\), wobei \(\beta = \frac{1}{k_B T}\) ist. Hierin stellt Z die Zustandssumme dar.
• Maxwell-Boltzmann-Statistik: Diese beschreibt die Verteilung der Geschwindigkeiten von Teilchen in einem idealen Gas.
• Maxwell-Boltzmann-Verteilung: Die Verteilung der Geschwindigkeiten wird durch die Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschrieben: \(f(v) = \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} 4\pi v^2 e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}\)
• Durchschnittsgeschwindigkeit: \(\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8k_B T}{\pi m}}\)
• Typische Geschwindigkeit: \(v_{typ} = \sqrt{\frac{2k_B T}{m}}\)

Teilaufgaben:

1. a) Berechne die Zustandssumme Z: Die Zustandssumme (auch als Partition-Funktion bezeichnet) bei einer bestimmten Temperatur \(T\) für ein ideales Gas kann mithilfe der Boltzmann-Verteilung berechnet werden. Wenn die Energieniveaus diskret sind und der Energiepegelabstand \(\triangle E \) ist, und alle Zustände bis zu einer Energie \(E_{max}\) berücksichtigt werden:
   • Erzeuge eine Serie von Energieniveaus: \(E_n = n \triangle E\), wobei \(n = 0, 1, 2, \ldots\), solange \(E_n \leq E_{max}\).
   • Berechne die Zustandssumme: \(Z = \sum_{n=0}^{n_{max}} e^{-\beta E_n} = \sum_{n=0}^{n_{max}} e^{-n \beta \triangle E}\)
   • Diese Summe ist eine geometrische Reihe, die so umgeformt werden kann: \(Z = \frac{1 - e^{-\beta (n_{max}+1) \triangle E}}{1 - e^{-\beta \triangle E}}\), wobei \(n_{max} = \left\lfloor \frac{E_{max}}{\triangle E} \right\rfloor\) der größte ganzzahlige Wert ist, bei dem \(E_n \leq E_{max}\)
2. b) Bestimme die durchschnittliche Geschwindigkeit der Teilchen:Die Durchschnittsgeschwindigkeit der Teilchen kann mithilfe der gegebenen Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmt werden:
   • Verwende die Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit: \(\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8k_B T}{\pi m}}\), wobei \(k_B\) die Boltzmann-Konstante (\(\approx 1.38 \times 10^{-23} \, \text {J/K}\)) ist, sowie \(T\) die Temperatur und \(m\) die Masse des Teilchens.
   • Unter der Annahme, dass es sich um ein ideales einatomiges Gas handelt (z.B. Helium) und die Masse eines Heliumatoms \(m = 4 \times 1.66 \times 10^{-27} \, \text{kg}\) beträgt:
     • Ersetze die Werte in die Formel: \(\langle v \rangle \approx \sqrt{\frac{8 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}{\pi \times 4 \times 1.66 \times 10^{-27}}}\)
     • Berechne \(\langle v \rangle\).
3. c) Herleitung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung:Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung sagt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeiten von Teilchen in einem idealen Gas voraus. Die Ableitung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung basiert auf folgenden Annahmen der klassischen statistischen Mechanik:
   • Die Teilchen sind nicht wechselwirkend und bewegen sich zufällig.
   • Die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) eines Teilchens mit einer bestimmten Energie \(E\) wird durch die Boltzmann-Verteilung gegeben:\(P(E) = \frac{1}{Z} e^{-\beta E}\), wobei \(E = \frac{1}{2}mv^2\).
   • Die dreidimensionale Geschwindigkeitsverteilung ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit, eine Geschwindigkeit in jeder der drei Richtungen (x, y und z) zu haben:
   • Wegen der Unabhängigkeit der Bewegungen in jede Richtung ergibt sich die Gesamtverteilung der Geschwindigkeit als Produkt der Einzelverteilungen.
   • Dies führt zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten:\(f(v) dv = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}} dv\), wobei \(\left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2}\) der Vorfaktor ist, \(v^2\) aus dem Volumenelement in Kugelkoordinaten stammt, und das \(e^{-mv^2/2k_BT}\) aus der Boltzmann-Verteilung resultiert.
   Diese Verteilung beschreibt, wie die Geschwindigkeiten der Teilchen in einem idealen Gas bei einer bestimmten Temperatur verteilt sind. Physikalisch zeigt dies, dass die meisten Teilchen Geschwindigkeiten nahe der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit haben, während nur wenige Teilchen sehr hohe oder sehr niedrige Geschwindigkeiten aufweisen.

Aufgabe 4)

Betrachte ein System von Teilchen, das sich entweder in einem mikrokanonischen oder in einem kanonischen Ensemble befinden kann. Das System besteht aus einer fixierten Teilchenzahl N und einem fixierten Volumen V, jedoch variieren die Betrachtungen hinsichtlich der Energie.

• Mikrokanonisches Ensemble: Fixierte Energie E, Teilchenzahl N und Volumen V. Dieses Ensemble beschreibt ein isoliertes System. Die Zustandssumme ist gegeben durch: \[ \Omega(E, N, V) = \sum_\text{Zustände} \]
• Kanonisches Ensemble: Fixierte Temperatur T, Teilchenzahl N und Volumen V. Ein Energieaustausch mit einem Wärmebad ist erlaubt. Die Zustandssumme für dieses Ensemble ist gegeben durch: \[ \mathcal{Z}(T, N, V) = \sum_\text{Zustände} e^{-\beta E_i}, \quad \text{wobei} \quad \beta = \frac{1}{k_B T} \]

a)

Leite die Beziehung zwischen der mikrokanonischen und der kanonischen Zustandssumme für ein System ab, das sich im thermodynamischen Gleichgewicht befindet. Verwende hierzu die Definitionen der jeweiligen Zustandssummen.

Hinweis: Beginne mit der kanonischen Zustandssumme und nutze die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Zustand zu finden, proportional zur Mikrokanonischen Zustandssumme dieses Zustands ist.

Lösung:

Um die Beziehung zwischen der mikrokanonischen Zustandssumme \( \Omega(E, N, V) \) und der kanonischen Zustandssumme \( \mathcal{Z}(T, N, V) \) für ein System im thermodynamischen Gleichgewicht herzuleiten, folge diesen Schritten:

• Beginne mit der Definition der kanonischen Zustandssumme:

 \[ \mathcal{Z}(T, N, V) = \sum_{\text{Zustände}} e^{-\beta E_i}, \quad \text{wobei} \quad \beta = \frac{1}{k_B T} \] 

• Um die Wahrscheinlichkeit, einen Zustand mit Energie \( E_i \) zu finden, zu verstehen, verwende die mikrokanonische Zustandssumme. Diese Wahrscheinlichkeit ist proportional zu \( \Omega(E_i, N, V)\):

 \[ \text{Wahrscheinlichkeit} \propto \Omega(E = E_i, N, V) \] 

• In einem kanonischen Ensemble addiert man die Zustände über alle möglichen Energien, wobei jeder Zustand mit dem Boltzmann-Faktor \( e^{-\beta E} \) gewichtet wird:

 \[ \Omega(E, N, V) = \sum_{\text{Zustände}} \delta(E - E_i) \] 

• Die Verteilung der Energiezustände im mikrokanonischen Ensemble erlaubt es uns, die kanonische Zustandssumme durch Integration zu schreiben:

 \[ \mathcal{Z}(T, N, V) = \int_{0}^{\infty} \Omega(E, N, V) e^{-\beta E} \, dE \] 

• Diese Beziehung zeigt, dass die kanonische Zustandssumme als Integral der mikrokanonischen Zustandssumme berechnet werden kann, wobei die Gewichtung durch den Boltzmann-Faktor \( e^{-\beta E} \) erfolgt:

 \[ \mathcal{Z}(T, N, V) = \int_{0}^{\infty} \Omega(E, N, V) e^{-\beta E} \, dE \] 

• Diese Integralform erlaubt es, die kanonische Zustandssumme \( \mathcal{Z}(T, N, V) \) zu berechnen, wenn die mikrokanonische Zustandssumme \( \Omega(E, N, V) \) bekannt ist. Somit ist die kanonische Zustandssumme eine gewichtete Summe (Integral) der mikrokanonischen Zustandssumme über alle möglichen Energien, mit dem Gewicht \( e^{-\beta E} \).

b)

Berechne das Mittel der Energie \[\left\langle E \right\rangle \] eines Systems im kanonischen Ensemble. Zeige, dass dies durch eine Ableitung der kanonischen Zustandssumme nach \beta gegeben ist.

Hinweis: Nutze die Beziehung \[\left\langle E \right\rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln \mathcal{Z} \].

Lösung:

Um das Mittel der Energie \( \left\langle E \right\rangle \) eines Systems im kanonischen Ensemble zu berechnen, folge bitte diesen Schritten:

• Beginne mit der Definition des Mittelwertes der Energie \( \left\langle E \right\rangle \) im kanonischen Ensemble. Dies ist gegeben durch:

 \[ \left\langle E \right\rangle = \sum_{\text{Zustände}} E_i P(E_i) \] 

• Hierbei ist \( P(E_i) \) die Wahrscheinlichkeit, den Zustand mit Energie \( E_i \) zu finden. Im kanonischen Ensemble ist dies gegeben durch:

 \[ P(E_i) = \frac{e^{-\beta E_i}}{\mathcal{Z}(T, N, V)} \] 

• Setze dies in die Gleichung für den Mittelwert der Energie ein:

 \[ \left\langle E \right\rangle = \sum_{\text{Zustände}} E_i \frac{e^{-\beta E_i}}{\mathcal{Z}(T, N, V)} \] 

• Die Zustandssumme \( \mathcal{Z}(T, N, V) \) kann aus der Definition der kanonischen Zustandssumme geschrieben werden:

 \[ \mathcal{Z}(T, N, V) = \sum_{\text{Zustände}} e^{-\beta E_i} \] 

• Drücke den Mittelwert der Energie in einer Form aus, die nach \( \mathcal{Z} \) abgeleitet werden kann:

 \[ \left\langle E \right\rangle = \frac{1}{\mathcal{Z}(T, N, V)} \sum_{\text{Zustände}} E_i e^{-\beta E_i} \] 

• Betrachte das logarithmische Ableiten der Zustandssumme, um die Mittelung zu vereinfachen. Wir wissen, dass:

 \[ \left\langle E \right\rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln \mathcal{Z}(T, N, V) \] 

• Dies kann über die Ableitung der gesamten Zustandssumme gezeigt werden:

 \[ \ln \mathcal{Z}(T, N, V) = \ln \left( \sum_{\text{Zust\xe4nde}} e^{-\beta E_i} \right) \] 

• Die Ableitung nach \( \beta \) ergibt:

 \[ \frac{\partial \ln \mathcal{Z}(T, N, V)}{\partial \beta} = \frac{1}{\mathcal{Z}(T, N, V)} \cdot \frac{\partial \mathcal{Z}(T, N, V)}{\partial \beta} = -\frac{1}{\mathcal{Z}(T, N, V)} \sum_{\text{Zust\xe4nde}} E_i e^{-\beta E_i} \] 

• Setze dies zusammen und wir erhalten:

 \[ \left\langle E \right\rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln \mathcal{Z}(T, N, V) \] 

Damit haben wir gezeigt, dass das Mittel der Energie durch eine Ableitung der kanonischen Zustandssumme nach \( \beta \) gegeben ist.

c)

Vergleiche die Fluktuation der Energie \[\left\langle (\Delta E)^2 \right\rangle \] im kanonischen Ensemble mit dem Mittelwert der Energie \[\left\langle E \right\rangle \]. Zeige, dass die relative Fluktuation der Energie im thermodynamischen Limes gegen null geht.

Hinweis: Nutze die Beziehung \[\left\langle (\Delta E)^2 \right\rangle = \left\langle E^2 \right\rangle - \left\langle E \right\rangle^2 = \frac{\partial^2 (\ln \mathcal{Z})}{\partial \beta^2} \].

Lösung:

Um die Fluktuation der Energie \(\left\langle (\Delta E)^2 \right\rangle\) im kanonischen Ensemble zu vergleichen und zu zeigen, dass die relative Fluktuation im thermodynamischen Limes gegen null geht, folge bitte diesen Schritten:

• Beginne mit der Definition der Referenzfluktuation der Energie im kanonischen Ensemble:

 \[\left\langle (\Delta E)^2 \right\rangle = \left\langle E^2 \right\rangle - \left\langle E \right\rangle^2 \] 

• Verwende die Ableitung der kanonischen Zustandssumme \(\mathcal{Z}(T, N, V)\):

 \[ \left\langle E \right\rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln \mathcal{Z}(T, N, V) \] 

• Die zweite Ableitung der Zustandssumme ergibt:

 \[\left\langle E^2 \right\rangle = \frac{\partial^2}{\partial \beta^2} (-\ln \mathcal{Z}(T, N, V)) \] 

• Das heißt:

 \[\left\langle (\Delta E)^2 \right\rangle = \frac{\partial^2}{\partial \beta^2} \ln \mathcal{Z}(T, N, V) \] 

• Für die relative Fluktuation \(\left\frac{\left\langle (\Delta E)^2 \right\rangle }{\left\langle E \right\rangle^2} \) gilt:

 \[\frac{\left\langle (\Delta E)^2 \right\rangle }{\left\langle E \right\rangle^2} = \frac{\left\langle E^2 \right\rangle - \left\langle E \right\rangle^2}{\left\langle E \right\rangle^2} \] 

• Im thermodynamischen Limes \(N \to \infty\) gehen die Temperaturfluktuationen gegen Null, und dreht sich \(\frac{1}{N} \), das Verhältnis also:

 \[\frac{\left\langle (\Delta E)^2 \right\rangle }{\left\langle E \right\rangle^2} \sim \frac{1}{N}\] 

• Für N gegen Unendlich:

 \[ \lim_{N \to \infty} \frac{\left\langle (\Delta E)^2 \right\rangle }{\left\langle E \right\rangle^2} = 0 \] 

Dies bedeutet, dass die relativen Energiefluktuation im thermodynamischen Limes gegen null geht.

d)

Gegeben sei ein ideales Gas im kanonischen Ensemble. Bestimme den Zusammenhang zwischen der kanonischen Zustandssumme und der Zustandssumme eines einzigen Teilchens. Es wird angenommen, dass das System nicht wechselwirkende Teilchen enthält.

Hinweis: Die Zustandssumme eines einzigen Teilchens ist \[ z_1 = \sum_\text{Zustände} e^{-\beta \epsilon_i} \]. Zeige, dass die kanonische Zustandssumme des gesamten Systems durch \mathcal{Z} = \frac{z_1^N}{N!}\ gegeben ist.

Lösung:

Für ein ideales Gas im kanonischen Ensemble wird angenommen, dass das System aus nicht wechselwirkenden Teilchen besteht. Um den Zusammenhang zwischen der kanonischen Zustandssumme des Gesamtsystems und der Zustandssumme eines einzigen Teilchens zu bestimmen, folge diesen Schritten:

• Beginne mit der Zustandssumme eines einzelnen Teilchens:

 \[ z_1 = \sum_{\text{Zustände}} e^{-\beta \epsilon_i} \] 

• Da die Teilchen nicht wechselwirken, ist die Zustandssumme des gesamten Systems mit \(N\) Teilchen die \(N\)-fache produktform der Zustandssumme eines einzelnen Teilchens:

 \[ \mathcal{Z}(T, N, V) = \sum_{\text{Zustände}} e^{-\beta E_i} \quad \text{wobei} \quad E_i = \sum_{j=1}^N \epsilon_{ij} \] 

• Da die Teilchen identisch und unterscheidbar sind und keine Wechselwirkungen bestehen, können alle Energien der einzelnen Teilchen summiert werden:

 \[ \mathcal{Z}(T, N, V) = \left( \sum_{\text{Zust\xe4nde}} e^{-\beta \epsilon_i} \right)^N \] 

• Dies multipliziert die Zustandssummen der einzelnen Teilchen direkt:

 \[ \mathcal{Z}(T, N, V) = z_1^N \] 

• Um Überzählungen aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen zu vermeiden, muss man durch die Anzahl der Permutationen \(N!\) teilen.

 \[ \mathcal{Z}(T, N, V) = \frac{z_1^N}{N!} \] 

Dies zeigt den Zusammenhang zwischen der Zustandssumme eines einzelnen Teilchens und der kanonischen Zustandssumme des gesamten Systems:

 \[ \mathcal{Z}(T, N, V) = \frac{z_1^N}{N!} \] 

Diese Beziehung ergibt sich aus der Tatsache, dass das System nicht wechselwirkende Teilchen enthält und die Zustandssumme sich als das Produkt der jeweiligen Zustandssummen eines einzelnen Teilchens ergibt, mit Berücksichtigung der Ununterscheidbarkeit der Teilchen.