Advanced theoretical physics 2 - Cheatsheet

Unschärferelation und ihre Konsequenzen

Definition:

Unschärferelation: Prinzip in der Quantenmechanik, das besagt, dass bestimmte Paare von physikalischen Größen nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können.

Details:

• Heisenbergsche Unschärferelation: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• Gilt auch für andere Paare von komplementären Variablen (z.B. Energie und Zeit).
• Folge: Grundlegende Grenzen für die Präzision von Messungen.
• Einfluss auf die Interferenz- und Diffraktionsmuster in Experimenten.

Streuungstheorie und Streumatrixformalismus

Definition:

Streuungstheorie beschreibt Wechselwirkungen zwischen Teilchen (z.B. Elektronen, Protonen). Streumatrixformalismus (S-Matrix) vereinfacht Berechnungen von Streuprozessen, indem Ein- und Ausgangszustände verbunden werden.

Details:

• Streuung in Bezug auf das Potential: \[ V(\textbf{r}) \]
• Wellenfunktion: \[ \psi(\textbf{r}) = \psi_{0}(\textbf{r}) + \psi_{s}(\textbf{r}) \]
• Born-Näherung zur Berechnung der gestreuten Wellenfunktion bei schwachem Potential
• Definition S-Matrix: \[ S_{ij} = \delta_{ij} - 2\pi i \delta(E_{i} - E_{j}) T_{ij} \]
• T-Matrix verbunden mit dem Streupotential: \[ T = V + V\frac{1}{E - H_{0} + i\epsilon}V \]
• Optisches Theorem: Zusammenhang zwischen totalem Wirkungsquerschnitt und dem Imaginärteil der Vorwärtsstreuamplitude

Viele-Körper-Theorie

Definition:

Theorie zur Beschreibung komplexer Systeme mit vielen interagierenden Teilchen

Details:

• Verwendet zur Behandlung von Problemen in Festkörperphysik, Kernphysik und Quantenfeldtheorie
• Beinhaltet Methoden wie Hartree-Fock, Dichte-Matrix-Ansatz, Greens-Funktion
• Grundlegende Gleichungen: Schrödinger-Gleichung, Dyson-Gleichung
• Anwendung von Zweite Quantisierung
• Störungstheorie und Diagrammtechnik zur Berechnung von Korrekturen
• Effektive Feldtheorien und Renormierungsgruppenansätze für großskalige Wechselwirkungen

Phononen und Gitterschwingungen

Definition:

Gitterschwingungen in Kristallen können als kollektive Schwingungen der Atome beschrieben werden, die als Quasiteilchen, sogenannte Phononen, quantisiert werden.

Details:

• Gitterschwingungen: periodische Verschiebungen von Atomen im Kristallgitter
• Phononen: Quanten dieser Schwingungen
• Dispersionsrelation: \(\omega(k) \) beschreibt die Beziehung zwischen Frequenz \(\omega\) und Wellenvektor \(k\)
• Akustische und optische Zweige
• Schallgeschwindigkeit: \(v_{s} = \frac{\partial \omega}{\partial k} \)
• Debye-Modell: Nähert Gitterschwingungen als thermische Anregungen
• Einstein-Modell: Alle Atome schwingen unabhängig mit derselben Frequenz

Supraleitung und Quanten-Hall-Effekt

Definition:

Supraleitung verbindet verlustfreien elektrischen Stromfluss (keine Widerstandsverluste), Quanten-Hall-Effekt quantisierte Hall-Widerstände bei niedrigen Temperaturen und starken Magnetfeldern.

Details:

• Supraleitung tritt bei kritischer Temperatur (\(T_c\)) auf.
• London-Gleichungen beschreiben elektromagnetische Eigenschaften der Supraleiter.
• Meißner-Ochsenfeld-Effekt: Vollständiges Ausstoßen von Magnetfeldern.
• BCS-Theorie: Cooper-Paare bilden sich durch Phonon-Vermittlung.
• Quanten-Hall-Effekt: Hall-Leitwert \(u\) quantisiert in Einheiten von \(\frac{e^2}{h}\).
• Fractional Quantum Hall Effect (FQHE): Elektronen-Flüssigkeit bildet Quasiteilchen mit gebrochenzahliger Ladung.
• Landau-Niveaus: Diskrete Energieniveaus bei Elektronen im Magnetfeld.
• Longitudinalwiderstand \(\rho_{xx}\) verschwindet, Hallwiderstand \(\rho_{xy}\) konstant bei Plateaus.

Lagrange- und Hamilton-Formalismus

Definition:

Beschreibt die Bewegung von Systemen in der klassischen Mechanik anhand von Variationsprinzipien.

Details:

• Lagrange-Funktion: \[ L = T - V \]
• Euler-Lagrange-Gleichungen: \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]
• Hamilton-Funktion (Hamiltonian): \[ H = \sum_{i} p_i \dot{q_i} - L \]
• Kanonsiche Gleichungen: \[ \dot{q_i} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p_i} = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]

Noether-Theorem und Erhaltungssätze

Definition:

Noether-Theorem: Verbindung zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen in der theoretischen Physik. Jede kontinuierliche Symmetrie eines physikalischen Systems entspricht einem Erhaltungssatz.

Details:

• Symmetrie: Transformationen, die die Wirkungsfunktion unverändert lassen.
• Erhaltungssatz: Physikalische Größen, die sich zeitlich nicht ändern.
• Translationssymmetrie: Impulserhaltung
• Rotationssymmetrie: Drehimpulserhaltung
• Zeittranslationssymmetrie: Energieerhaltung
• Noether'scher Satz: \( \frac{d}{dt}Q = 0 \) für einen Erhaltungswert \( Q \) verbunden mit einer kontinuierlichen Symmetrie.

Gruppentheorie und Anwendungen in der Physik

Definition:

Gruppentheorie befasst sich mit der Untersuchung von Symmetrien und findet breite Anwendung in der Physik, z.B. in Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie.

Details:

• Eine Gruppe ist ein Satz von Elementen mit einer Verknüpfung, die Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und Existenz eines inversen Elements erfüllt.
• Beispiele für Gruppen: \textbf{Symmetriegruppen, Drehgruppen (SO(3))}, Permutationsgruppen.
• Symmetrieoperationen erhalten physikalische Größen, können verwendet werden zur Klassifikation von Zuständen und Teilchen.
• Für quantenmechanische Systeme: \textbf{Darstellungen von Gruppen}, Eigenwerte und Eigenzustände werden als Basisfunktionen benutzt.
• Explizite Anwendung: \textbf{Erhaltungssätze ergeben sich aus Symmetrien} (Noether-Theorem).
• In der Quantenfeldtheorie: interne Symmetrien wie in \textbf{SU(2) und SU(3)} für Elektroschwache Wechselwirkung und Quantenchromodynamik (QCD) wichtig.
• Lie-Gruppen: kontinuierliche Symmetrien, differentiell untersucht durch Lie-Algebren.
• Wichtige mathematische Konzepte: \textbf{Gruppenhomomorphismus, Isomorphismus, Untergruppen, Normalteiler}.
• Gruppen in der Festkörperphysik: \textbf{Kristallsymmetrien}, Einfluss auf Bandstruktur und elektronische Zustände.