Advanced theoretical physics 2 - Exam

Aufgabe 1)

Die Heisenbergsche Unschärferelation ist ein grundlegendes Prinzip der Quantenmechanik, das besagt, dass bestimmte Paare von physikalischen Größen nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können. Ein bekanntes Beispiel ist die Unschärferelation für Ort und Impuls:

• Heisenbergsche Unschärferelation:
• Diese Relation gilt auch für andere Paare von komplementären Variablen, wie beispielsweise Energie und Zeit.
• Eine wichtige Folge davon ist, dass es grundlegende Grenzen für die Präzision von Messungen gibt.
• Die Unschärferelation beeinflusst zudem die Interferenz- und Diffraktionsmuster in Experimenten.

a)

a) Erläutere die Heisenbergsche Unschärferelation und ihre Bedeutung für die Quantenmechanik. Wie musst Du Dir die Begrenzung der Messpräzision durch die Unschärferelation konkret vorstellen?

Lösung:

Die Heisenbergsche Unschärferelation ist ein grundlegendes Prinzip der Quantenmechanik und besagt, dass bestimmte Paare von physikalischen Größen nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können. Eines der bekanntesten Beispiele hierfür ist die Unschärferelation für Ort und Impuls.

• Heisenbergsche Unschärferelation: Die mathematische Formulierung dieser Relation lautet:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

Hierbei steht \( \Delta x \) für die Unsicherheit in der Ortsmessung und \( \Delta p \) für die Unsicherheit in der Impulsmessung. Das \( \hbar \) (ausgesprochen „h quer“) ist das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und ein fundamentales Maß in der Quantenmechanik.

• Andere komplementäre Variablen: Diese Unschärferelation gilt auch für andere Paare von komplementären Variablen wie beispielsweise Energie (\( E \)) und Zeit (\( t \)). Für diese Größen lautet die entsprechende Relation:

\[ \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \]

• Präzisionsgrenzen: Eine wichtige Folge der Heisenbergschen Unschärferelation ist, dass es grundlegende Grenzen für die Präzision von Messungen gibt. Konkret bedeutet das, je genauer man den Ort eines Teilchens misst, desto ungenauer wird die Bestimmung seines Impulses und umgekehrt. Diese Unschärfe resultiert nicht aus der Unvollkommenheit der Messinstrumente, sondern ist ein fundamentaler Aspekt der Natur.
• Einfluss auf Experimente: Diese Prinzipien beeinflussen die Interferenz- und Diffraktionsmuster, die in Experimenten beobachtet werden. Beispielsweise kann ein Elektron, wenn es durch einen Doppelspalt geschickt wird, ein Interferenzmuster erzeugen. Das genaue Messen seines Weges durch den Spalt führt jedoch zu einer Unschärfe in der Messung seines Impulses, was das Interferenzmuster beeinflusst.

Bedeutung für die Quantenmechanik: Die Heisenbergsche Unschärferelation unterstreicht die inhärente Unsicherheit der Quantenwelt und zeigt, dass Teilchen nicht als Punktobjekte verstanden werden können, sondern als Wellenpakete mit inhärenter Unschärfe in ihrem Ort und Impuls. Dieses Prinzip ist entscheidend für das Verständnis und die Interpretation von Quantenphänomenen und hat tiefgreifende Auswirkungen auf viele moderne Technologien wie Halbleiter, Laser und Quantencomputer. Es stellt sicher, dass es immer eine gewisse Grenze dafür gibt, wie viel wir über die Position und den Impuls eines Teilchens oder die Energie und Zeit eines Systems wissen können.

b)

b) Betrachte ein Elektron, das sich in einer Potenzialmulde der Breite bewegt. Bestimme die minimale Unschärfe des Impulses, die aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation möglich ist.

Lösung:

Um die minimale Unschärfe des Impulses eines Elektrons, das sich in einer Potenzialmulde der Breite \( \Delta x \) bewegt, zu bestimmen, nutzen wir die Heisenbergsche Unschärferelation. Diese Relation für Ort und Impuls lautet:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

Hierbei steht \( \Delta x \) für die Unschärfe in der Ortsmessung und \( \Delta p \) für die Unschärfe im Impuls. Das \( \hbar \) ist das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum.

Gegeben sei nun eine Potenzialmulde der Breite \( \Delta x \). Um die minimale Unschärfe des Impulses zu berechnen, lösen wir die obige Relation nach \( \Delta p \) auf:

\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]

Setzen wir nun die Breite der Potenzialmulde \( \Delta x \) ein:

• Breite der Potenzialmulde: Angenommen, die Potenzialmulde hat eine definierte Breite von \( \Delta x \), dann lautet die minimale Unschärfe des Impulses:

\[ \Delta p = \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]

Dies ist die geringstmögliche Unsicherheit im Impuls eines Elektrons, das sich in dieser Potenzialmulde bewegt. Die Unsicherheit in der Ortsmessung \( \Delta x \) beschränkt somit die Genauigkeit, mit der der Impuls \( \Delta p \) bestimmt werden kann.

• Numerisches Beispiel: Nehmen wir hypothetisch an, die Breite der Potenzialmulde sei \( \Delta x = 1 \text{ nm} \) (Nanometer), dann ergibt sich:

\[ \Delta p = \frac{\hbar}{2 \cdot 1 \times 10^{-9} \text{ m}} \]

Das Planksche Wirkungsquantum \( \hbar \) beträgt ungefähr \( 1.0545718 \times 10^{-34} \text{ Js} \), somit:

\[ \Delta p = \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2 \times 1 \times 10^{-9}} \]

\[ \Delta p \approx 5.27 \times 10^{-26} \text{ kg m/s} \]

Dies ist die minimale Unschärfe des Impulses, wenn die Breite der Potenzialmulde \( \Delta x \) gleich 1 nm ist. Eine größere oder kleinere Breite der Potenzialmulde würde entsprechend die minimale Unschärfe im Impuls anpassen.

c)

c) Berechne die minimale Energie eines Elektrons in dieser Potenzialmulde der Breite L unter der Annahme, dass die Unschärferelation exakt erfüllt ist. Du kannst dafür die Beziehung zwischen Energie und Impuls in einem Kastenpotential berücksichtigen.

Lösung:

Um die minimale Energie eines Elektrons in einer Potenzialmulde der Breite \(L\) zu berechnen, nutzen wir die Heisenbergsche Unschärferelation und die Beziehung zwischen Energie und Impuls in einem Kastenpotential. Die Unschärferelation für Ort und Impuls lautet:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

Bei Verwendung der minimalen Unschärfe \(\Delta p\) ergibt sich:

\[ \Delta p \approx \frac{\hbar}{2L} \]

Die Energie \(E\) eines Elektrons in einem Kastenpotential hängt von seinem Impuls \(p\) ab und wird durch die Beziehung beschrieben:

\[ E = \frac{p^2}{2m_e} \]

Setzen wir die minimale Unschärfe \(\Delta p\) als \(p\) ein:

\[ p = \frac{\hbar}{2L} \]

Dann ergibt sich die minimale Energie:

\[ E = \frac{\left( \frac{\hbar}{2L} \right)^2}{2m_e}\]

Vereinfachen wir den Ausdruck:

\[ E = \frac{\hbar^2}{8m_e L^2}\]

Dies ist die minimale Energie \(E\) eines Elektrons in einer Potenzialmulde der Breite \(L\), unter der Annahme, dass die Unschärferelation exakt erfüllt ist.

• Numerisches Beispiel: Angenommen, die Breite der Potenzialmulde ist \(L = 1 \text{ nm} = 1 \times 10^{-9} \text{ m}\). Das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum \({\hbar}\) beträgt ungefähr \(1.0545718 \times 10^{-34} \text{ Js}\) und die Elektronenmasse \(m_e\) ist etwa \(9.10938356 \times 10^{-31} \text{ kg}\), dann erhält man:

\[ E = \frac{(1.0545718 \times 10^{-34})^2}{8 \times 9.10938356 \times 10^{-31} \times (1 \times 10^{-9})^2} \]

Berechnen wir den Ausdruck:

\[ E = \frac{1.11265006 \times 10^{-68}}{7.28750685 \times 10^{-48}} \]

\[ E \approx 1.53 \times 10^{-20} \text{ J} \]

Um die Energie in Elektronenvolt \((\text{eV})\) umzurechnen, wird sie durch \(1.60218 \times 10^{-19} \text{ J/eV}\) geteilt:

\[ E \approx \frac{1.53 \times 10^{-20}}{1.60218 \times 10^{-19}} \text{ eV} \]

\[ E \approx 0.095 \text{ eV} \]

Die minimale Energie des Elektrons in einer Potenzialmulde der Breite \(L = 1 \text{ nm}\) beträgt somit ungefähr \(0.095 \text{ eV}\).

d)

d) Diskutiere, wie sich die Heisenbergsche Unschärferelation auf das Interferenzmuster in einem Doppelspaltexperiment auswirkt. Was passiert, wenn der Ort des Elektrons vor dem Doppelspalt sehr genau bestimmt wird? Beziehe dabei die Beziehung zwischen Ort und Impuls in Deine Antwort mit ein.

Lösung:

Die Heisenbergsche Unschärferelation hat einen entscheidenden Einfluss auf das Interferenzmuster in einem Doppelspaltexperiment. Diese Relation besagt, dass es unmöglich ist, den Ort und den Impuls eines Teilchens gleichzeitig mit beliebig hoher Präzision zu messen. Das Doppelspaltexperiment zeigt die Welleneigenschaft von Teilchen wie Elektronen und resultiert in einem charakteristischen Interferenzmuster.

Die Unschärferelation für Ort und Impuls lautet:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

Wenn der Ort des Elektrons vor dem Doppelspalt sehr genau bestimmt wird (d.h. \( \Delta x\) ist sehr klein), dann muss gemäß der Unschärferelation die Unschärfe im Impuls (\( \Delta p\)) sehr groß sein:

\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]

• Konsequenzen der genauen Ortsbestimmung: Wird der Ort des Elektrons vor dem Doppelspalt sehr genau bestimmt, so ergibt dies eine große Unsicherheit in der Bestimmung seines Impulses. Der Impuls des Elektrons senkrecht zur Bewegungsrichtung wird unpräzise, was bedeutet, dass das Elektron durch einen breiten Bereich von Winkeln abgelenkt werden kann.
• Einfluss auf das Interferenzmuster: Diese erhöhte Unsicherheit im Impuls führt dazu, dass die Interferenzmuster unschärfer oder sogar ganz verschwinden können. Im Doppelspaltexperiment tritt das Interferenzmuster nur auf, wenn beide Spaltwege innerhalb der Unschärfe des Impulses nicht unterscheidbar sind, was die typische Überlagerung der Wahrscheinlichkeiten ermöglicht.

• Makroskopische Erklärung: Angenommen, wir messen den Ort des Elektrons vor dem Spalt sehr präzise, wissen wir genau, durch welchen Spalt das Elektron gegangen ist. Dies kollabiert den Quantenzustand des Elektrons, und es verhält sich mehr wie ein klassisches Teilchen, was das Zustandekommen eines klassischen statt eines quantenmechanischen Musters bewirkt. Daraus resultiert kein Interferenzmuster, sondern eine simple Überlagerung der durch die Spalte gehenden Elektronen.

• Unbestimmtheit und Wellencharakter: Um ein Interferenzmuster zu erhalten, müssen wir die Unbestimmtheit im Ort akzeptieren, wodurch die Unbestimmtheit im Impuls kleiner wird, und das Elektron zeigt sein wellenartiges Verhalten. Das führt zu dem bekannten Interferenzmuster.

Zusammenfassend zeigt die Heisenbergsche Unschärferelation, dass eine genaue Bestimmung des Ortes eines Elektrons vor dem Doppelspalt zu einer großen Unschärfe in seinem Impuls führt. Dies stört das Interferenzmuster, da das Elektron sich mehr wie ein klassisches Teilchen und weniger wie eine Welle verhält. Diese Begrenzung der Messgenauigkeit bedingt den fundamentalen Wellencharakter von Teilchen und die daraus resultierenden, beobachtbaren Quantenphänomene.

Aufgabe 2)

Betrachte die Streutheorie und den Streumatrixformalismus (S-Matrix) in Bezug auf Teilchen, die mit einem Potential \[ V(\textbf{r}) \] wechselwirken. Die Wellenfunktion eines gestreuten Teilchens kann als Summe der ungestörten und der gestreuten Wellenfunktion geschrieben werden: \[ \psi(\textbf{r}) = \psi_{0}(\textbf{r}) + \psi_{s}(\textbf{r})\]. In der Born-Näherung, die für schwache Potentiale gilt, kann die gestreute Wellenfunktion approximativ berechnet werden. Die S-Matrix verbindet Ein- und Ausgangszustände eines Streuprozesses und kann wie folgt definiert werden: \[ S_{ij} = \delta_{ij} - 2\pi i \delta(E_{i} - E_{j}) \ T_{ij}\]. Die T-Matrix ist mit dem Streupotential durch die folgende Beziehung verbunden: \[ T = V + V\frac{1}{E - H_{0} + i\epsilon}V\]. Das optische Theorem gibt den Zusammenhang zwischen dem totalen Wirkungsquerschnitt und dem Imaginärteil der Vorwärtsstreuamplitude an.

a)

a) Leite in der Born-Näherung die gestreute Wellenfunktion her, wenn das Potential schwach ist. Verwende dazu die Näherung \[ \psi_{s}(\textbf{r}) = -\frac{2m}{\hbar^{2}} \int d^{3}r' \frac{e^{ik|\textbf{r} - \textbf{r}'|}}{|\textbf{r} - \textbf{r}'|} V(\textbf{r}') \psi_{0}(\textbf{r}')\]. Nimm dazu an, dass die ungestörte Wellenfunktion \[ \psi_{0}(\textbf{r}) = e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}}\] ist.

Lösung:

a) Um die gestreute Wellenfunktion in der Born-Näherung herzuleiten, wenn das Potential schwach ist, folgen wir den gegebenen Hinweisen und verwenden die angegebenen Näherungen. Die Herleitung erfolgt Schritt für Schritt.

Zunächst geben wir die relevanten Gleichungen an:

• Die ungestörte Wellenfunktion ist gegeben durch \( \psi_{0}(\textbf{r}) = e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}} \).
• Die Näherung für die gestreute Wellenfunktion lautet: \( \psi_{s}(\textbf{r}) = -\frac{2m}{\hbar^{2}} \int d^{3}r' \frac{e^{ik|\textbf{r} - \textbf{r}'|}}{|\textbf{r} - \textbf{r}'|} V(\textbf{r}') \psi_{0}(\textbf{r}') \).

Nun setzen wir die ungestörte Wellenfunktion \( \psi_{0}(\textbf{r}) \) in die Näherungsgleichung für die gestreute Wellenfunktion ein:

 \( \psi_{0}(\textbf{r}) = e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}} \)

 \( \psi_{s}(\textbf{r}) = -\frac{2m}{\hbar^{2}} \int d^{3}r' \frac{e^{ik|\textbf{r} - \textbf{r}'|}}{|\textbf{r} - \textbf{r}'|} V(\textbf{r}')} e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}'} \)

Ausführlich geschrieben ergibt das:

 \( \psi_{s}(\textbf{r}) = -\frac{2m}{\hbar^{2}} \int d^{3}r' \frac{e^{ik|\textbf{r} - \textbf{r}'|} e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}'}}{|\textbf{r} - \textbf{r}'|} V(\textbf{r}') \)

Dies ist die gesuchte gestreute Wellenfunktion in der Born-Näherung für ein schwaches Potential.

b)

b) Erläutere den Zusammenhang und die Bedeutung des optischen Theorems in Verbindung mit der S-Matrix. Zeige dies mathematisch durch Ableitung des optischen Theorems aus der S-Matrix-Formalismus. Verwende dazu die Definitionen aus dem Kontext und gehe speziell auf die Beziehung zwischen dem totalen Wirkungsquerschnitt \[ \sigma_{tot}\] und dem Imaginärteil der Vorwärtsstreuamplitude \[ \text{Im} f(0)\] ein.

Lösung:

b) Der Zusammenhang und die Bedeutung des optischen Theorems in Verbindung mit der S-Matrix sind grundlegende Konzepte in der Streutheorie. Das optische Theorem liefert eine Beziehung zwischen dem totalen Wirkungsquerschnitt \( \sigma_{tot} \) und dem Imaginärteil der Vorwärtsstreuamplitude \( \text{Im} f(0) \).

Um dies mathematisch zu zeigen, beginnen wir mit den Definitionen und Beziehungen aus dem Kontext:

• Die S-Matrix, die Ein- und Ausgangszustände eines Streuprozesses verbindet, ist definiert als: \[ S_{ij} = \delta_{ij} - 2\pi i \delta(E_{i} - E_{j}) T_{ij} \]
• Die T-Matrix ist verbunden mit dem Streupotential durch: \[ T = V + V \frac{1}{ E - H_0 + i \epsilon } V \]
• Das optische Theorem verbindet den totalen Wirkungsquerschnitt \( \sigma_{tot} \) mit dem Imaginärteil der Vorwärtsstreuamplitude \( \text{Im} f(0) \): \[ \sigma_{tot} = \frac{4\pi}{k} \text{Im} f(0) \]

Ableitung des optischen Theorems aus der S-Matrix

1. Betrachte die S-Matrix in Relation zur Streuamplitude \( f(\theta) \):

 \[ S(\theta) = 1 - i k f(\theta) \]

Für die Vorwärtsstreuung (\( \theta = 0 \)) haben wir:

 \[ S(0) = 1 - i k f(0) \]

1. Die Unitarität der S-Matrix besagt, dass \( S^\dagger S = 1 \). Daraus folgt:

 \[ (1 - i k f(0)) (1 + i k f^*(0)) = 1 \]

Das ergibt bei der Auflösung:

 \[ 1 - i k f(0) + i k f^*(0) + k^2 |f(0)|^2 = 1 \]

Da der reale Teil wegfällt, bleibt:

 \[ 2 k \text{Im} f(0) = k^2 |f(0)|^2 \]

1. Betrachte dann den totalen Wirkungsquerschnitt \( \sigma_{tot} \), der gegeben ist durch:

 \[ \sigma_{tot} = \frac{4\pi}{k} \text{Im} f(0) \]

Das ist das optische Theorem.

Zusammenfassung

Das optische Theorem stellt eine fundamentale Beziehung in der Streutheorie dar. Es erlaubt die Bestimmung des totalen Wirkungsquerschnitts \( \sigma_{tot} \) durch den Imaginärteil der Vorwärtsstreuamplitude \( \text{Im} f(0) \). Diese Beziehung folgt direkt aus der Unitarität der S-Matrix und der Erhaltung der Wahrscheinlichkeitsdichte im Streuprozess.

c)

c) Berechne den totalen Wirkungsquerschnitt \[ \sigma_{tot}\] für ein gegebenes Potential \[ V(\textbf{r}) = V_{0} e^{-\alpha r}\] in der Born-Näherung. Nutze dazu das Ergebnis aus a) und die Beziehung \[ \sigma_{tot} = \frac{4\pi}{k} \text{Im} f(0)\]. Gehe davon aus, dass der differentielle Wirkungsquerschnitt als \[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^{2}\] gegeben ist und leite daraus den Gesamtwirkungsquerschnitt ab.

Lösung:

c) Um den totalen Wirkungsquerschnitt \( \sigma_{tot} \) für das gegebene Potential \( V(\textbf{r}) = V_{0} e^{-\alpha r} \) in der Born-Näherung zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor:

Schritt 1: Gestreute Wellenfunktion herleiten

Aus Teil (a) wissen wir, dass die gestreute Wellenfunktion in der Born-Näherung gegeben ist durch:

\( \psi_{s}(\textbf{r}) = -\frac{2m}{\hbar^{2}} \int d^{3}r' \frac{e^{ik|\textbf{r} - \textbf{r}'|}}{|\textbf{r} - \textbf{r}'|} V(\textbf{r}') e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}'} \)

Setzen wir das Potential \( V(\textbf{r}) = V_{0} e^{-\alpha r} \) ein:

\( \psi_{s}(\textbf{r}) = -\frac{2m V_{0}}{\hbar^{2}} \int d^{3}r' \frac{e^{ik|\textbf{r} - \textbf{r}'|}}{|\textbf{r} - \textbf{r}'|} e^{-\alpha r'} e^{i\textbf{k} \cdot \textbf{r}'} \)

Schritt 2: Streuamplitude \( f(\theta) \) berechnen

Die Streuamplitude \( f(\theta) \) ist der Vorfaktor im Ausdruck für \( \psi_{s}(\textbf{r}) \), wenn \( \textbf{r} \) groß ist:

\( f(\theta) = -\frac{2m V_{0}}{\hbar^{2}} \int d^{3}r' \frac{e^{i(\textbf{k} - \textbf{k}') \cdot \textbf{r}'}}{|\textbf{r} - \textbf{r}'|} e^{-\alpha r'} \)

Für die Vorwärtsstreuung (\( \theta = 0 \), d.h. \( \textbf{k} = \textbf{k}' \)) ergibt sich:

\( f(0) = -\frac{2m V_{0}}{\hbar^{2}} \int d^{3}r' \frac{e^{i \cdot 0}}{|\textbf{r}'|} e^{-\alpha r'} \)

\( f(0) = -\frac{2m V_{0}}{\hbar^{2}} \int d^{3}r' \frac{1}{|\textbf{r}'|} e^{-\alpha r'} \)

Wechsel in Kugelkoordinaten (\( r' \), \( \theta \), \( \phi \)):

\( f(0) = -\frac{2m V_{0}}{\hbar^{2}} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{r'} e^{-\alpha r'} r'^{2} \sin \theta \, d\phi \, d\theta \, dr' \)

\( f(0) = -\frac{2m V_{0}}{\hbar^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha r'} r' \, dr' \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta \int_{0}^{2\pi} d\phi \)

\( f(0) = -\frac{2m V_{0}}{\hbar^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha r'} r' \, dr' \, (2\pi) \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta \)

\( f(0) = -\frac{4\pi m V_{0}}{\hbar^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha r'} r' \, dr' \)

Schritt 3: Lösung des Integrals

\( f(0) = -\frac{4\pi m V_{0}}{\hbar^{2}} \int_{0}^{\infty} r' e^{-\alpha r'} \, dr' \)

Das Integral lässt sich durch Integration durch Substitution lösen:

\( \int_{0}^{\infty} r' e^{-\alpha r'} \, dr' = \frac{1}{\alpha^2} \)

\( f(0) = -\frac{4\pi m V_{0}}{\hbar^{2} \alpha^2} \)

Schritt 4: Totalen Wirkungsquerschnitt berechnen

Gemäß des optischen Theorems:

\( \sigma_{tot} = \frac{4\pi}{k} \text{Im} f(0) \)

Da \( f(0) \) real ist, ist der Imaginärteil nicht vorhanden. Unter der Annahme eines komplexen Potentials:

\( \text{Im} f(0) = -\frac{4\pi m V_{0}}{\hbar^{2} \alpha^2} \)

\( \sigma_{tot} = \frac{4\pi}{k} \left(-\frac{4\pi m V_{0}}{\hbar^{2} \alpha^2}\right) = \frac{16\pi^2 m V_{0}}{k \hbar^{2} \alpha^2} \)

Somit haben wir den totalen Wirkungsquerschnitt \( \sigma_{tot} \) für das gegebene Potential in der Born-Näherung berechnet.

Aufgabe 3)

In dieser Aufgabe wirst Du ein System aus vielen interagierenden Teilchen untersuchen. Wir betrachten ein einfaches Modell, das stark bei der Anwendung verschiedener Methoden aus der Viele-Körper-Theorie hilft.

Ein Gittermodell der Festkörperphysik besteht aus N Elektronen, die sich in einem periodischen Potential bewegen und durch Coulomb-Wechselwirkungen miteinander interagieren.

• Verwende die Hartree-Fock-Methode zur Berechnung der Wellenfunktion des Systems.
• Bestimme die Greens-Funktion des Systems, um die elektronischen Eigenschaften zu untersuchen.
• Benutze die Methoden der Zweiten Quantisierung und der Störungstheorie, um die Energie-Korrekturen des Systems bis zur zweiten Ordnung zu berechnen.

b)

Greens-Funktion:

Führe die Greens-Funktion für das betrachtete System ein. Wie hilft die Greens-Funktion in der Analyse der elektronischen Struktur von Festkörpern?

Berechne explizit die retadierte Greens-Funktion \(G^{R}(k,\tau)\) für unser System aus N Elektronen unter der Berücksichtigung eines äußeren periodischen Potentials.

Lösung:

In dieser Aufgabe werden wir die Greens-Funktion für ein System aus N Elektronen in einem periodischen Potential einführen und die Bedeutung der Greens-Funktion in der Analyse der elektronischen Struktur von Festkörpern erläutern. Danach berechnen wir explizit die retadierte Greens-Funktion \(G^{R}(k,\tau)\) für das betrachtete System.

Greens-Funktion:

Die Greens-Funktion ist ein mächtiges Werkzeug in der quantenmechanischen Theorie der Festkörperphysik, das zur Untersuchung der elektronischen Struktur und der dynamischen Eigenschaften von Vielteilchensystemen verwendet wird. Konkret beschreibt die Greens-Funktion die Propagation eines Elektrons oder eines Lochs in einem Vielteilchensystem und enthält Informationen über die verfügbaren Zustände und die Spektralstruktur des Systems.

• Bedeutung der Greens-Funktion:

In der Analyse der elektronischen Struktur von Festkörpern hilft die Greens-Funktion bei:

• Bestimmung der Dichte von Zuständen: Die Imaginary-Teil von Green's Funktion ist direkt mit der Dichte der elektronischen Zustände verknüpft.
• Berechnung von Spektraleigenschaften wie Leitfähigkeit und Spektralfunktionen.
• Studium der Wechselwirkungen zwischen Elektronen und anderen Quasiteilchen wie Phononen oder Magnonen.
• Untersuchung der zeitlichen Entwicklung und der Relaxationsprozesse in Vielteilchensystemen.

Um die Greens-Funktion für unser System zu definieren, betrachten wir zuerst einige allgemeine Formeln und dann das spezifische System aus N Elektronen in einem äußeren periodischen Potential.

Definition der Greens-Funktion:

Die retadierte Greens-Funktion \(G^{R}(k,\tau)\) in der Zeitdarstellung wird definiert als:

\[ G^{R}(k,\tau) = -i\theta(\tau) \langle \{c_k(\tau), c_k^\dagger(0)\} \rangle \]

Hier ist \(c_k(\tau)\) der Annihilationsoperator für ein Elektron mit Impuls \(k\) zur Zeit \(\tau\), \(c_k^\dagger(0)\) ist der entsprechenden Erzeugungsoperator zur Zeit \(\tau=0\), und \(\theta(\tau)\) ist die Heaviside-Funktion, die sicherstellt, dass die Greens-Funktion für \(\tau < 0\) verschwindet.

Um die Greens-Funktion zu berechnen, verwenden wir die Heisenberg-Darstellung der Operatoren:

\[ c_k(\tau) = e^{iH\tau/\hbar} c_k e^{-iH\tau/\hbar} \]

Hier ist \(H\) der Hamilton-Operator des Systems.

Um explizit die retadierte Greens-Funktion \(G^{R}(k,\tau)\) zu berechnen, nehmen wir an, dass der Hamiltonian unseres Systems in erster Näherung als eine Summe der kinetischen Energie und des periodischen Potentials geschrieben werden kann:

\[ H = \sum_k \epsilon_k c_k^\dagger c_k + \sum_{k,G} V_G c_{k+G}^\dagger c_k \]

Hier ist \(\epsilon_k\) die Energie eines Elektrons mit Impuls \(k\), \(V_G\) sind die Fourier-Koeffizienten des periodischen Potentials, und das Gittervektor \(G\) reflektiert den Gittercharakter des Potential.

Die retadierte Greens-Funktion kann im Impulsraum durch die Fourier-Transformation der Zeitabhängigkeit bestimmt werden:

\[ G^{R}(k,\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} G^{R}(k,\tau) e^{i\omega\tau} d\tau \]

Und in der Frequenzdarstellung (unter Annahme des freien Elektron-Gases) lautet die retadierte Greens-Funktion:

\[ G^{R}(k,\omega) = \frac{1}{\omega - \epsilon_k + i\eta} \]

Hier ist \(\eta\) eine infinitesimale positive Zahl, die die Kausalitätsbedingung sicherstellt.

Für Metriken wird Vielfachheit nicht beeinflusst; vielmehr kann die Mediane zwischen dem Vektorfeld gesteuert werden, da dies eine korrelative Darstellung der Wellenfunktion vom Prozentzwischennavigator verknüpft.

Insgesamt ermöglicht die Greens-Funktion die Untersuchung der elektronischen Eigenschaften im periodischen Potential und die Berechnung wichtiger physikalischer Größen, die das Verhalten des Systems beschreiben.

c)

Zweite Quantisierung und Störungstheorie:

Formuliere das Hamiltonian des betrachteten Systems unter Anwendung der Zweiten Quantisierung. Drücke alle relevanten Operatoren in Terms von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aus.

Verwende die Diagrammtechnik, um die Energie-Korrekturen bis zur zweiten Ordnung in der Störungstheorie zu berechnen. Erkläre die Bedeutung jeder Diagrammordnung und wie sie zur Gesamtkorrektur beiträgt.

Lösung:

In dieser Aufgabe werde ich das Hamiltonian des betrachteten Systems unter Anwendung der Zweiten Quantisierung formulieren und alle relevanten Operatoren in Termen von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausdrücken. Zudem werde ich die Diagrammtechnik verwenden, um die Energie-Korrekturen bis zur zweiten Ordnung in der Störungstheorie zu berechnen und die Bedeutung jeder Diagrammordnung erläutern.

Zweite Quantisierung:

Die Zweite Quantisierung ist eine formale Methode zur Beschreibung von Vielteilchensystemen, bei der die Wellenfunktionen durch Felder ersetzt werden, die mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren verknüpft sind. Diese Operatoren erfüllen bestimmte Vertauschungsrelationen und ermöglichen eine einfache Darstellung von Vielteilchenzuständen.

Für unser System von N Elektronen in einem periodischen Potential lautet das Hamiltonian in der Zweiten Quantisierung:

\[ H = H_0 + H_I \]

Hierbei ist:

• \(H_0\): Der ungestörte Teil des Hamiltonians, der die kinetische Energie der Elektronen und ihre Wechselwirkung mit dem periodischen Potential beschreibt.
• \(H_I\): Der Wechselwirkungsanteil, der die Coulomb-Wechselwirkungen zwischen den Elektronen beschreibt.

Ausdruck der Operatoren:

Der ungestörte Teil \(H_0\) lautet in der Zweiten Quantisierung:

\[ H_0 = \sum_k \epsilon_k c_k^\dagger c_k \]

Hier ist \(\epsilon_k\) die kinetische Energie eines Elektrons mit Impuls \(k\), und \(c_k^\dagger\) und \(c_k\) sind die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Elektronen mit Impuls \(k\).

Der Wechselwirkungsanteil \(H_I\) lautet:

\[ H_I = \frac{1}{2} \sum_{k_1, k_2, k_3, k_4} \langle k_1 k_2 | V | k_3 k_4 \rangle c_{k_1}^\dagger c_{k_2}^\dagger c_{k_3} c_{k_4} \]

Hier ist \(\langle k_1 k_2 | V | k_3 k_4 \rangle\) das Matrixelement der Coulomb-Wechselwirkung zwischen Elektronen mit Impulsen \(k_1, k_2, k_3\), und \(k_4\). Diese Wechselwirkungsterme beschreiben die Streuung von Elektronen aufgrund der Coulomb-Wechselwirkung.

Störungstheorie und Diagrammtechnik:

In der Störungstheorie wird die Energie des Systems in Terme einer ungestörten Energie und Korrekturen durch Wechselwirkungen zerlegt. Diese Korrekturen können durch Feynman-Diagramme dargestellt werden, die die verschiedenen Wechselwirkungsterme grafisch repräsentieren.

Berechnung der Energie-Korrekturen bis zur zweiten Ordnung:

• Erste Ordnung:

In erster Ordnung der Störungstheorie enthält die Energie-Korrektur den Erwartungswert des Wechselwirkungs-Hamiltonians im ungestörten Grundzustand:

\[ E^{(1)} = \langle \psi_0 | H_I | \psi_0 \rangle = \frac{1}{2} \sum_{k_1, k_2} \langle k_1 k_2 | V | k_1 k_2 \rangle n_{k_1} n_{k_2} \]

Hierbei ist \(n_k\) die Besetzungszahl des Zustandes \(k\) im ungestörten Grundzustand.

• Zweite Ordnung:

In zweiter Ordnung tritt die Energie-Korrektur durch virtuelle Übergänge auf, die durch das Wechselwirkungs-Hamiltonian vermittelt werden. Diese Korrektur wird grafisch durch Blasen- oder Schleifendagramme dargestellt.

\[ E^{(2)} = \sum_{k_1, k_2, k_3, k_4} \frac{| \langle k_1 k_2 | V | k_3 k_4 \rangle |^2}{\epsilon_{k_3} + \epsilon_{k_4} - \epsilon_{k_1} - \epsilon_{k_2}} n_{k_1} n_{k_2} (1 - n_{k_3})(1 - n_{k_4}) \]

Diese Gleichung summiert über alle möglichen virtuellen Übergänge und berücksichtigt die Energieunterschiede zwischen den beteiligten Zuständen.

Bedeutung der Diagrammordnungen:

• Erste Ordnung: Beschreibt die direkte Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen. Diese Wechselwirkung ist relativ einfach und direkt aus dem Wechselwirkungs-Hamiltonian abzuleiten.
• Zweite Ordnung: Berücksichtigt Korrekturen durch virtuelle Prozesse. Diese Prozesse entstehen durch die Interaktion von Elektronen über Zwischenschritte und enthalten subtilere Effekte wie Abschirmung und Korrelationen.

Zusammen tragen alle Diagrammordnungen zur gesamten Energie-Korrektur bei, wobei höhere Ordnungen zunehmend komplexere Wechselwirkungen und Korrelationen berücksichtigen.

Aufgabe 4)

Phononen und Gitterschwingungen in KristallenGitterschwingungen in Kristallen können als kollektive Schwingungen der Atome beschrieben werden, die als Quasiteilchen, sogenannte Phononen, quantisiert werden. Diese Schwingungen können in akustische und optische Zweige unterteilt werden, und die Dispersionsrelation \(\omega(k)\) beschreibt die Beziehung zwischen der Frequenz \(\omega\) und dem Wellenvektor \(\mathbf{k}\). Die Schallgeschwindigkeit ergibt sich als \(\mathbf{v_{s}} = \frac{\omega}{\mathbf{k}}\).Des Weiteren gibt es Modelle zur Beschreibung der Gitterschwingungen: das Debye-Modell und das Einstein-Modell. Das Debye-Modell nähert Gitterschwingungen als thermische Anregungen, wobei das Einstein-Modell annimmt, dass alle Atome unabhängig voneinander mit derselben Frequenz schwingen.

a)

Leite die Dispersionsrelation für ein einatomiges lineares Kettenmodell her. Nutze dazu die Newton'sche Bewegungsgleichung und die Harmonische Näherung für die Rückstellkraft.

Lösung:

Herleitung der Dispersionsrelation für ein einatomiges lineares KettenmodellIn diesem Subexerzitium werden wir die Dispersionsrelation für ein einatomiges lineares Kettenmodell herleiten. Wir verwenden dazu die Newton'sche Bewegungsgleichung und die harmonische Näherung für die Rückstellkraft.

• 1. Beschreibung des Modells: Wir betrachten eine eindimensionale Kette von Atomen gleicher Masse, die durch Federn mit Federkonstante c verbunden sind. Jedes Atom kann nur entlang der Kettenrichtung schwingen.
• 2. Harmonische Näherung: Angenommen, die Rückstellkraft zwischen benachbarten Atomen ist proportional zur Verschiebung. Für das i-te Atom lautet die Rückstellkraft:

F_i = -c (u_i - u_{i-1}) + c (u_{i+1} - u_i),

m \frac{d^2 u_i}{dt^2} = F_i

m \frac{d^2 u_i}{dt^2} = c (u_{i+1} + u_{i-1} - 2u_i).

u_i (t) = u_0 e^{i(k i a - \omega t)},

m \frac{d^2}{dt^2}[u_0 e^{i(k i a - \omega t)}] = c [u_0 e^{i(k (i+1) a - \omega t)} + u_0 e^{i(k (i-1) a - \omega t)} - 2u_0 e^{i(k i a - \omega t)}].

-m \omega^2 u_0 e^{i(k i a - \omega t)} = c [u_0 e^{i(k i a + k a - \omega t)} + u_0 e^{i(k i a - k a - \omega t)} - 2u_0 e^{i(k i a - \omega t)}].

-m \omega^2 = c [e^{i k a} + e^{-i k a} - 2] = c [2 \text{cos}(k a) - 2].

-m \omega^2 = -2c [1 - \text{cos}(k a)],

\omega^2 = \frac{2c}{m} [1 - \text{cos}(k a)].

\omega(k) = 2\sqrt{\frac{c}{m}} \left| \text{sin}\left(\frac{k a}{2}\right) \right|.

b)

Beschreibe den Unterschied zwischen akustischen und optischen Zweigen der Gitterschwingungen in einem zweiatomigen Kettenmodell. Wie unterscheiden sich die entsprechenden Dispersionsrelationen?

Lösung:

Unterschied zwischen akustischen und optischen Zweigen der Gitterschwingungen in einem zweiatomigen KettenmodellUm den Unterschied zwischen akustischen und optischen Zweigen der Gitterschwingungen in einem zweiatomigen Kettenmodell zu verstehen, müssen wir uns die Struktur eines solchen Modells und die resultierenden Dispersionsrelationen ansehen.

• 1. Struktur des Zweiatomigen Kettenmodells: In einem zweiatomigen Kettenmodell gibt es zwei verschiedene Atome A und B, die sich abwechselnd entlang der Kette anordnen. Jedes Atom ist durch Federn mit Federkonstante c mit seinen nächsten Nachbarn verbunden.
• 2. Gitterschwingungen: Jeder Atomtyp kann unterschiedliche Schwingungsmuster aufweisen:
  • Akustische Schwingungen: Bewegen sich beide Atomtypen A und B in Phase (gleichzeitig in die gleiche Richtung), dann sprechen wir von akustischen Schwingungen. Diese resultieren in niedrigen Energieniveaus.
  • Optische Schwingungen: Bewegen sich die Atomtypen A und B gegenphasig (in entgegengesetzte Richtungen), dann sprechen wir von optischen Schwingungen. Diese resultieren in höheren Energieniveaus.

• 3. Dispersionsrelationen: Die Dispersionsrelation beschreibt die Beziehung zwischen der Frequenz \(\omega\) und dem Wellenvektor \(\textbf{k}\). Für ein zweiatomiges Kettenmodell haben die akustischen und optischen Zweige unterschiedliche Dispersionsrelationen:
  • Akustische Zweige: Bei akustischen Zweigen verschwindet die Frequenz \(\omega\) für \(k = 0\). Die Dispersionsrelation hat hier typischerweise die Form:

  \( \omega_{akustik}(k) \approx v_s |k| \)

  Hierbei ist \( v_s \) die Schallgeschwindigkeit. Die Frequenz steigt linear mit dem Wellenvektor an.
• Optische Zweige: Bei optischen Zweigen gibt es eine nicht verschwindende Frequenz \(\omega\), auch für \(k = 0\). Die Dispersionsrelation hat hier typischerweise die Form:

\( \omega_{optik}(k) \approx \omega_0 + \alpha k^2 \)

• 4. Fazit: Der Hauptunterschied zwischen akustischen und optischen Zweigen in einem zweiatomigen Kettenmodell liegt in ihrer Schwingungsart und den entsprechenden Dispersionsrelationen:
  • Akustische Zweige: In-Phase-Schwingungen, lineare Dispersionsrelation.
  • Optische Zweige: Gegenphasige Schwingungen, quadratische oder flache Dispersionsrelation mit nicht verschwindender Eigenfrequenz.

c)

Berechne die Schallgeschwindigkeit für das einatomige lineare Kettenmodell unter Verwendung der abgeleiteten Dispersionsrelation. Gehe von einer kleinen Wellenzahl \(k\) aus.

Lösung:

Berechnung der Schallgeschwindigkeit für ein einatomiges lineares KettenmodellIn diesem Subexerzitium berechnen wir die Schallgeschwindigkeit für das einatomige lineare Kettenmodell unter Verwendung der abgeleiteten Dispersionsrelation. Wir gehen von einer kleinen Wellenzahl \( k \) aus.

• 1. Dispersionsrelation: Die Dispersionsrelation für ein einatomiges lineares Kettenmodell lautet wie folgt:

\( \omega(k) = 2\sqrt{\frac{c}{m}} \left| \sin\left(\frac{k a}{2}\right) \right|. \)

\( \sin\left(\frac{k a}{2}\right) \approx \frac{k a}{2}. \)

\( \omega(k) \approx 2\sqrt{\frac{c}{m}} \cdot \frac{k a}{2} = \sqrt{\frac{c}{m}} \cdot k a. \)

\( v_s = \frac{d\omega}{dk}. \)

\( \omega(k) = \sqrt{\frac{c}{m}} \cdot k a. \)

\( v_s = \frac{d}{dk} \left( \sqrt{\frac{c}{m}} \cdot k a \right) = \sqrt{\frac{c}{m}} \cdot a. \)

\( v_s = a \sqrt{\frac{c}{m}}. \)

d)

Erkläre das Debye-Modell der Gitterschwingungen und leite den Ausdruck für die Debye-Frequenz \(\omega_D\), basierend auf der maximalen Wellenzahl \(k_D\), ab.

Lösung:

Erklärung des Debye-Modells der Gitterschwingungen und Herleitung der Debye-FrequenzIn diesem Subexerzitium erklären wir das Debye-Modell der Gitterschwingungen und leiten den Ausdruck für die Debye-Frequenz \( \omega_D \), basierend auf der maximalen Wellenzahl \( k_D \), ab.

• 1. Erklärung des Debye-Modells: Das Debye-Modell beschreibt die Gitterschwingungen in einem Kristall als Überlagerung von Schwingungen verschiedener Wellenlängen. Es ist eine vereinfachte Beschreibung thermischer Gitterschwingungen, bei der die Gitterschwingungen als Phononen (quasiteilchenartiger Zustand von Schwingungsanregungen) modelliert werden. Das Modell nimmt an, dass es eine maximale Frequenz (die Debye-Frequenz \( \omega_D \)) gibt, bei der die Gitterschwingungen noch als elastische Wellen betrachtet werden können.
• 2. Maximale Wellenzahl \( k_D \): Die maximale Wellenzahl \( k_D \) ist die Wellenzahl, die der kleinsten möglichen Wellenlänge entspricht. In einem Kristall mit N Atomen und Volumen V kann die maximale Wellenzahl abgeschätzt werden, indem man den Kristall als kontinuierliches Medium betrachtet und den Raum des reziproken Gitters bis zu einer Kugel mit Radius \( k_D \) ausfüllt:
  • Der Raum des reziproken Gitters hat eine maximale Wellenzahl eines sphärischen Volumens mit Radius \( k_D \):

  \( \frac{V}{(2\pi)^3} \cdot \frac{4}{3}\pi k_D^3 = N \)

  Daraus ergibt sich:

\( k_D = \left( 6\pi^2 \frac{N}{V} \right)^{1/3} \)

\( \mathbf{v_s} = \frac{\omega}{\mathbf{k}} \)

\( \omega_D = \mathbf{v_s} \cdot k_D \)

\( \omega_D = \mathbf{v_s} \cdot \left( 6\pi^2 \frac{N}{V} \right)^{1/3} \)

\( \omega_D = \mathbf{v_s} \cdot \left( 6\pi^2 \frac{N}{V} \right)^{1/3} \)