Elective course - Exam

Aufgabe 1)

Kontext: Quantenphänomene in der OptikPhänomene in der Optik, die durch die Quantenmechanik beschrieben werden; z.B. Quantisierung von Licht, Welle-Teilchen-Dualismus, Quantenkryptographie.

• Lichtquanten: Photonen, Energie \( E = h \, u \)
• Welle-Teilchen-Dualismus: Licht als Welle und Teilchen; Experimente wie Doppelspalt
• Quantenverschränkung: Korrelation zwischen Photonen paarweise
• Quantenkryptographie: Sichere Kommunikation basierend auf Quantenmechanik
• Laser: Emission von kohärentem Licht durch stimulierte Emission
• Quanteneffekte in Halbleitern und Festkörpern für optische Anwendungen

a)

Ein Photon hat eine Frequenz von 6 x 10¹⁴ Hz. Berechne die Energie des Photons.Benutze die Formel:\[E = h \cdot u\]Hierbei ist \( h = 6.626 \times 10^{-34} \) Js die Planck-Konstante und \( u \) die Frequenz des Photons.

Lösung:

Kontext: Quantenphänomene in der OptikPhänomene in der Optik, die durch die Quantenmechanik beschrieben werden; z.B. Quantisierung von Licht, Welle-Teilchen-Dualismus, Quantenkryptographie.

• Lichtquanten: Photonen, Energie \( E = h \, u \)
• Welle-Teilchen-Dualismus: Licht als Welle und Teilchen; Experimente wie Doppelspalt
• Quantenverschränkung: Korrelation zwischen Photonen paarweise
• Quantenkryptographie: Sichere Kommunikation basierend auf Quantenmechanik
• Laser: Emission von kohärentem Licht durch stimulierte Emission
• Quanteneffekte in Halbleitern und Festkörpern für optische Anwendungen

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Teilaufgabe:Ein Photon hat eine Frequenz von 6 x 10¹⁴ Hz. Berechne die Energie des Photons.Benutze die Formel:\[ E = h \, u \]Hierbei ist \( h = 6.626 \times 10^{-34} \) Js die Planck-Konstante und \( u \) die Frequenz des Photons.Folge diesen Schritten, um die Energie des Photons zu berechnen:

• Schritt 1: Bestimme die Frequenz des Photons \( u = 6 \times 10^{14} \) Hz.
• Schritt 2: Setze die Werte in die Formel ein: \[ E = h \, u = 6.626 \times 10^{-34} \, Js \times 6 \times 10^{14} \, Hz \]
• Schritt 3: Berechne das Produkt: \[ E = 6.626 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14} \]
• Schritt 4: Führe die Multiplikationen durch: \[ E = 39.756 \times 10^{-20} \, J \]
• Schritt 5: Schreibe das Ergebnis in wissenschaftlicher Notation: \[ E = 3.976 \times 10^{-19} \, J \]

Ergebnis:Die Energie des Photons beträgt \( E = 3.976 \times 10^{-19} \) Joule.

b)

Erkläre den Welle-Teilchen-Dualismus des Lichts und beschreibe ein Experiment, das diesen Dualismus demonstriert.

Lösung:

Kontext: Quantenphänomene in der OptikPhänomene in der Optik, die durch die Quantenmechanik beschrieben werden; z.B. Quantisierung von Licht, Welle-Teilchen-Dualismus, Quantenkryptographie.

• Lichtquanten: Photonen, Energie \( E = h \, u \)
• Welle-Teilchen-Dualismus: Licht als Welle und Teilchen; Experimente wie Doppelspalt
• Quantenverschränkung: Korrelation zwischen Photonen paarweise
• Quantenkryptographie: Sichere Kommunikation basierend auf Quantenmechanik
• Laser: Emission von kohärentem Licht durch stimulierte Emission
• Quanteneffekte in Halbleitern und Festkörpern für optische Anwendungen

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Teilaufgabe:Erkläre den Welle-Teilchen-Dualismus des Lichts und beschreibe ein Experiment, das diesen Dualismus demonstriert.Erklärung:Der Welle-Teilchen-Dualismus besagt, dass Licht sowohl Welleneigenschaften als auch Teilcheneigenschaften aufweist. Dies bedeutet, dass sich Licht unter bestimmten Bedingungen wie eine Welle und unter anderen wie ein Teilchen verhält. Diese duale Natur des Lichts ist ein zentrales Konzept der Quantenmechanik.Welleneigenschaften:1. **Interferenz**: Lichtwellen können überlagert werden und Interferenzmuster erzeugen (z.B. helle und dunkle Streifen im Doppelspaltexperiment). 2. **Beugung**: Lichtwellen können an Hindernissen gebeugt werden.Teilcheneigenschaften:1. **Photoelektrischer Effekt**: Licht kann Elektronen aus einem Metall herauslösen, indem es seine Energie auf die Elektronen überträgt. Diese Energieübertragung erfolgt in diskreten Paketen, sogenannten Photonen.2. **Quantisierung**: Die Energie des Lichts ist in Photonen quantisiert, wobei jedes Photon eine Energie von \( E = h \, u \) hat.Experiment: DoppelspaltexperimentDas Doppelspaltexperiment ist eines der bekanntesten Experimente zur Demonstration des Welle-Teilchen-Dualismus.Aufbau:

• Eine Lichtquelle sendet Licht auf eine Barriere mit zwei offenen Spalten.
• Hinter der Barriere befindet sich ein Detektor (z.B. ein Schirm oder eine Fotoplatte).

Beobachtungen:

• Wenn das Licht durch die beiden Spalten tritt, entstehen auf dem Detektor Interferenzmuster, die typisch für Welleneigenschaften sind (helle und dunkle Streifen).
• Wenn das Experiment mit sehr schwachem Licht (einzelne Photonen) durchgeführt wird, erscheint jedes Photon als einzelner Punkt auf dem Detektor. Über die Zeit hin entstehen die gleichen Interferenzmuster, obwohl die Photonen nacheinander durch die Spalte treten.
• Das Verhalten der Photonen zeigt, dass sie als Wellen interferieren, aber individuell als Teilchen detektiert werden.

Schlussfolgerung:Das Doppelspaltexperiment zeigt eindrucksvoll den Welle-Teilchen-Dualismus des Lichts. Es demonstriert, dass Licht sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften besitzt und dass diese Dualität in quantenmechanischen Prozessen unerlässlich ist.

c)

Wie kann die Quantenverschränkung für die Quantenkryptographie genutzt werden?Beschreibe den grundsätzlichen Mechanismus und wie er zur sicheren Kommunikation beiträgt.

Lösung:

Kontext: Quantenphänomene in der OptikPhänomene in der Optik, die durch die Quantenmechanik beschrieben werden; z.B. Quantisierung von Licht, Welle-Teilchen-Dualismus, Quantenkryptographie.

• Lichtquanten: Photonen, Energie \( E = h \, u \)
• Welle-Teilchen-Dualismus: Licht als Welle und Teilchen; Experimente wie Doppelspalt
• Quantenverschränkung: Korrelation zwischen Photonen paarweise
• Quantenkryptographie: Sichere Kommunikation basierend auf Quantenmechanik
• Laser: Emission von kohärentem Licht durch stimulierte Emission
• Quanteneffekte in Halbleitern und Festkörpern für optische Anwendungen

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Teilaufgabe:Wie kann die Quantenverschränkung für die Quantenkryptographie genutzt werden?Beschreibe den grundsätzlichen Mechanismus und wie er zur sicheren Kommunikation beiträgt.Grundlage der Quantenverschränkung:Quantenverschränkung ist ein Phänomen, bei dem zwei oder mehr Teilchen so miteinander verbunden sind, dass der Zustand eines Teilchens instantan den Zustand des anderen Teilchens beeinflusst, unabhängig von der Entfernung zwischen ihnen. Diese starke Korrelation kann zur sicheren Datenübertragung genutzt werden.Mechanismus der Quantenkryptographie:

• Erzeugung verschränkter Photonenpaare: Ein spezieller Kristall wird genutzt, um verschränkte Photonenpaare zu erzeugen. Jedes Photon in einem Paar ist mit dem anderen verspannt.
• Verteilung der Photonen: Eines dieser Photonen wird an Partei A (Alice) und das andere an Partei B (Bob) geschickt.
• Messung der Zustände: Alice und Bob messen die Zustände ihrer jeweiligen Photonen. Durch die Verschränkung sind die gemessenen Zustände korreliert.
• Schlüsselgenerierung: Durch die korrelierten Messergebnisse können Alice und Bob einen gemeinsamen geheimen Schlüssel erzeugen, der für die Verschlüsselung und Entschlüsselung von Nachrichten genutzt wird.

Sicherheit der Kommunikation:Quantenkryptographie bietet höchste Sicherheit aufgrund der grundlegenden Prinzipien der Quantenmechanik:

• **Unbestimmtheit:** Durch die Heisenbergsche Unschärferelation können bestimmte Paare von Eigenschaften eines Photons (z.B. Polarisation) nicht gleichzeitig und exakt gemessen werden. Jeder Abhörversuch würde somit unvermeidbare Störungen in den Messungen verursachen, was für Alice und Bob nachweisbar wäre.
• **No-Cloning-Theorem:** Quanteninformation kann nicht exakt kopiert werden. Ein Abhörer kann daher keine perfekte Kopie des quantenverschlüsselten Schlüssels erstellen, ohne Spuren zu hinterlassen.
• **Eavesdropping-Erkennung:** Da jeder Abhörversuch die Zustände der Photonen verändert, können Alice und Bob feststellen, ob jemand versucht hat, den Schlüssel abzufangen. In diesem Fall verwerfen sie die betroffenen Schlüssel und starten den Prozess neu.

Zusammenfassung:Quantenverschränkung ermöglicht es, in der Quantenkryptographie hochsichere Schlüssel zur Datenverschlüsselung zu erzeugen und sicherzustellen, dass jede Abhöraktivität sofort erkannt wird. Dies macht die Kommunikation extrem sicher und zuverlässig.

d)

Erkläre die Funktionsweise eines Lasers und beschreibe, wie die stimulierte Emission dafür verwendet wird, kohärentes Licht zu erzeugen.

Lösung:

Kontext: Quantenphänomene in der OptikPhänomene in der Optik, die durch die Quantenmechanik beschrieben werden; z.B. Quantisierung von Licht, Welle-Teilchen-Dualismus, Quantenkryptographie.

• Lichtquanten: Photonen, Energie \( E = h \, u \)
• Welle-Teilchen-Dualismus: Licht als Welle und Teilchen; Experimente wie Doppelspalt
• Quantenverschränkung: Korrelation zwischen Photonen paarweise
• Quantenkryptographie: Sichere Kommunikation basierend auf Quantenmechanik
• Laser: Emission von kohärentem Licht durch stimulierte Emission
• Quanteneffekte in Halbleitern und Festkörpern für optische Anwendungen

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Teilaufgabe:Erkläre die Funktionsweise eines Lasers und beschreibe, wie die stimulierte Emission dafür verwendet wird, kohärentes Licht zu erzeugen.Funktionsweise eines Lasers:Ein Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) ist ein Gerät, das Licht durch stimulierte Emission erzeugt. Die grundlegenden Komponenten eines Lasers sind:

• Aktives Medium: Material, das die zu emittierenden Photonen liefert (z.B. ein Gas, Feststoff oder Halbleiter).
• Energiequelle (Pumpe): Gerät, das Energie an das aktive Medium liefert, um die Atome oder Moleküle in einen angeregten Zustand zu versetzen.
• Optischer Resonator: Zwei Spiegel, die das Licht im aktiven Medium reflektieren und verstärken, bis es als kohärenter Strahl emittiert wird.

Prozess der stimulierten Emission:Die stimulierte Emission ist ein Prozess, bei dem ein Photon mit der gleichen Energie wie der Übergang eines Elektrons zwischen zwei Energieniveaus ein anderes Elektron dazu anregt, seinen Übergangsphoton zu emittieren. Dabei entstehen zwei identische Photonen mit gleicher Frequenz, Phase und Richtung.Die Schritte zur Erzeugung von kohärentem Licht durch stimulierte Emission sind:

• Pumpen: Eine Energiequelle, wie ein elektrischer Strom oder ein optischer Pumpenstrahl, hebt die Elektronen im aktiven Medium auf höhere Energieniveaus an (angeregter Zustand).
• Erzeugung von Photonen: Wenn die Elektronen wieder auf ein niedrigeres Energieniveau zurückfallen, emittieren sie Photonen (spontane Emission).
• Stimulierte Emission: Ein Photon, das durch spontane Emission erzeugt wurde, regt andere angeregte Elektronen zur Emission weiterer Photonen an, die identisch zum ursprünglichen Photon sind.
• Verstärkung und Resonanz: Die Photonen werden zwischen den Spiegeln des optischen Resonators hin und her reflektiert, wodurch der Prozess der stimulierten Emission mehrfache Male wiederholt wird. Dies führt zu einer Verstärkung des Lichts.
• Austritt des Lichtstrahls: Ein Spiegel des Resonators ist teilweise durchlässig, sodass ein Teil des verstärkten, kohärenten Lichtstrahls aus dem Laser austreten kann.

Kohärentes Licht:Das Licht, das durch einen Laser erzeugt wird, ist kohärent, was bedeutet, dass die Lichtwellen eine feste Phasenbeziehung zueinander haben und die gleichen Frequenzen und Richtungen aufweisen. Diese Eigenschaft macht Laserlicht besonders nützlich für eine Vielzahl von Anwendungen, einschließlich Kommunikation, Medizin und Industrie.

Aufgabe 2)

In der Quantenmechanik spielen kanonische Transformationen eine zentrale Rolle, da sie die Struktur der kanonischen Gleichungen der Bewegung bewahren. Sie sind essentiell für die Quantisierung und das Verständnis von Symmetrien. Dabei werden die Variablen wie \(q, p\) in neue kanonische Variablen \(Q, P\) transformiert. Diese Transformationen werden durch eine erzeugende Funktion \(F\) definiert, zum Beispiel \(F_1(q,Q)\), \(F_2(q,P)\), \(F_3(p,Q)\) und \(F_4(p,P)\). Dadurch bleibt die Hamilton-Funktion in der neuen Darstellung formal unverändert.

a)

Angenommen, Du hast eine erzeugende Funktion der ersten Art \(F_1(q,Q) = \frac{1}{2}m\frac{q^2}{Q} \). Bestimme die expliziten Ausdrücke für die neuen kanonischen Variablen \(Q\) und \(P\) in Abhängigkeit von den alten Variablen \(q\) und \(p\).

Lösung:

Um die expliziten Ausdrücke für die neuen kanonischen Variablen zu finden, benötigen wir die Definitionen und Beziehungen der kanonischen Transformationen, die durch die erzeugende Funktion der ersten Art (\(F_1\)) gegeben sind.

• Erzeugende Funktion: \[ F_1(q, Q) = \frac{1}{2} m \frac{q^2}{Q} \]
• Die Beziehung, die durch \( F_1 \) definiert wird, lautet: \[ p = \frac{\partial F_1}{\partial q} \]
  • Daraus ergibt sich: \[ p = \frac{\partial}{\partial q} \left( \frac{1}{2} m \frac{q^2}{Q} \right) = m \frac{q}{Q} \]
  • Wir lösen nach \( Q \) auf: \[ Q = m \frac{q}{p} \]
• Die zweite Beziehung lautet: \[ P = -\frac{\partial F_1}{\partial Q} \]
  • Das führt zu: \[ P = -\frac{\partial}{\partial Q} \left( \frac{1}{2} m \frac{q^2}{Q} \right) = \frac{1}{2} m \frac{q^2}{Q^2} \]

Daher lauten die neuen kanonischen Variablen:

• \[ Q = m \frac{q}{p} \]
• \[ P = \frac{1}{2} m \frac{q^2}{Q^2} \]

b)

Überprüfe, ob die Transformation aus der ersten Teilaufgabe tatsächlich kanonisch ist, indem Du zeigst, dass die Poisson-Klammern der neuen Variablen die kanonische Struktur erfüllen, d.h. \[ \{Q, P\} = 1\ \ und \ \{Q, Q\} = \{P, P\} = 0 \].

Lösung:

Um zu überprüfen, ob die Transformation tatsächlich kanonisch ist, müssen wir die Poisson-Klammern der neuen Variablen berechnen und zeigen, dass sie die kanonische Struktur erfüllen. Die Poisson-Klammer zweier Funktionen \(A\) und \(B\) bezüglich \(q\) und \(p\) ist definiert als:

\[ \{A, B\} = \frac{\partial A}{\partial q} \frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial B}{\partial q} \]

• Neue kanonische Variablen:

Aus der ersten Teilaufgabe haben wir:

• \[ Q = m\frac{q}{p} \]
• \[ P = \frac{1}{2}m\frac{q^2}{Q^2} = \frac{p^2}{2m} \]

• Berechnung von \( \{Q, Q\} \) :

\[ \{Q, Q\} = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial Q}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p} \frac{\partial Q}{\partial q} = 0 \]

Da jede Funktion mit sich selbst eine Klammer von 0 ergibt.

• Berechnung von \( \{P, P\} \) :

Auch hier ergibt sich eine Nullwirkung wie zuvor:

\[ \{P, P\} = \frac{\partial P}{\partial q} \frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial P}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial q} = 0 \]

• Berechnung von \( \{Q, P\} \) :

Fangen wir mit den Ableitungen an:

• \[ \frac{\partial Q}{\partial q} = \frac{m}{p}, \quad \frac{\partial Q}{\partial p} = -m\frac{q}{p^2} \]
• \[ \frac{\partial P}{\partial q} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial p} = \frac{p}{m} \]

Setzen wir in die Poisson-Klammer ein:

• \[ \{Q, P\} = \left( \frac{m}{p} \right) \cdot \left( \frac{p}{m} \right) - \left( -m\frac{q}{p^2} \right)\cdot \left( 0 \right) = 1 \]

Da wir gezeigt haben, dass:

• \( \{Q, Q\} = 0 \)
• \( \{P, P\} = 0 \)
• \( \{Q, P\} = 1 \)

ist die Transformation tatsächlich kanonisch.

c)

Betrachte die Hamilton-Funktion \(H = \frac{p^2}{2m} + V(q)\). Führe die Transformation aus Teilaufgabe 1 durch und schreibe die Hamilton-Funktion in den neuen Variablen \(Q\) und \(P\) um. Überprüfe, ob die Form der Hamilton-Funktion unverändert bleibt.

Lösung:

Um die Hamilton-Funktion in den neuen Variablen \(Q\) und \(P\) zu schreiben, verwenden wir die Transformation aus der ersten Teilaufgabe. Dies bedeutet, wir nehmen die Beziehungen zwischen den alten Variablen \(q, p\) und den neuen Variablen \(Q, P\). Gegeben ist:

• Die ursprüngliche Hamilton-Funktion: \[ H = \frac{p^2}{2m} + V(q) \]
• Transformation aus der ersten Teilaufgabe:
• \[ Q = m \frac{q}{p} \]
• \[ P = \frac{p^2}{2m} \]

Jetzt drücken wir die Hamilton-Funktion in den neuen Variablen aus.

• Kinetischer Term:
• Der kinetische Term in \(P\) ist einfach:
• \[ \frac{p^2}{2m} = P \]

• Potentieller Term:
• Um den potentiellen Term umzuschreiben, lösen wir nach \(q\) auf:
• \[ Q = m \frac{q}{p} \implies q = \frac{Qp}{m} \]
• Setzen wir diese Beziehung in \(V(q)\) ein:
• \[ V(q) = V \left( \frac{Qp}{m} \right) \]
• Da \(P = \frac{p^2}{2m} \implies p = \sqrt{2mP}\), können wir \(p\) in Bezug auf \(P\) ausdrücken:
• \[ q = \frac{Q \sqrt{2mP}}{m} = Q \sqrt{\frac{2P}{m}} \]

Nun können wir die Hamilton-Funktion vollständig in den neuen Variablen \(Q\) und \(P\) ausdrücken:

• \[ H(Q, P) = P + V \left( Q \sqrt{\frac{2P}{m}} \right) \]

Zum Schluss überprüfen wir, ob die Form der Hamilton-Funktion unverändert bleibt. Der kinetische Term bleibt in der Form unverändert (\(P\)). Der potentielle Term hängt jetzt von \( Q \sqrt{\frac{2P}{m}} \) ab, was bedeutet, dass die Form der Hamilton-Funktion allgemein nicht unverändert bleibt. Das liegt daran, dass der Term \(V(q)\) sich in den neuen Variablen verändert.

d)

Angenommen, dass die erzeugende Funktion der vierten Art \(F_4(p,P) = qP - \frac{\beta}{2}p^2\) vorgegeben ist. Zeige, wie Du die neuen Variablen \(Q, P\) in Abhängigkeit der alten Variablen \(q, p\) bestimmst und überprüfe, ob die Transformation die kanonische Struktur gemäß der Poisson-Klammern bewahrt.

Lösung:

Um die neuen kanonischen Variablen \(Q\) und \(P\) in Abhängigkeit der alten Variablen \(q\) und \(p\) zu bestimmen, verwenden wir die erzeugende Funktion der vierten Art \(F_4(p, P) = qP - \frac{\beta}{2}p^2\).

• Bestimmung der neuen Variablen:

Die Beziehungen für die kanonischen Transformationen der vierten Art lauten:

• \[ q = \frac{\partial F_4}{\partial P} \]
• \[ Q = -\frac{\partial F_4}{\partial p} \]

Berechnen wir die neuen Variablen:

• \[ q = \frac{\partial}{\partial P} \left(qP - \frac{\beta}{2}p^2\right) = q \]
• Daraus folgt, dass:
• \[ q = q \]

• \[ Q = -\frac{\partial}{\partial p} \left(qP - \frac{\beta}{2}p^2\right) = - \left( -\beta p \right) = \beta p \]
• Daraus folgt, dass:
• \[ Q = \beta p \]

• Somit haben wir:
• \[ Q = \beta p \]
• \[ P = P \]

Nun überprüfen wir, ob die Transformation die kanonische Struktur gemäß den Poisson-Klammern bewahrt. Die Poisson-Klammer zweier Funktionen \(A\) und \(B\) bezüglich \(q\) und \(p\) ist definiert als:

• \[ \{A, B\} = \frac{\partial A}{\partial q} \frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial B}{\partial q} \]

• Berechnung von \( \{Q, Q\} \):

\[ \{Q, Q\} = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial Q}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p} \frac{\partial Q}{\partial q} = 0 \]

• Berechnung von \( \{P, P\} \):

\[ \{P, P\} = \frac{\partial P}{\partial q} \frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial P}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial q} = 0 \]

• Berechnung von \( \{Q, P\} \):

\[ \{Q, P\} = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial q} \]

Setzen wir die Ableitungen ein:

• \[ \frac{\partial Q}{\partial q} = 0, \quad \frac{\partial Q}{\partial p} = \beta \]
• \[ \frac{\partial P}{\partial q} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial p} = 1 \]

Ergibt sich:

• \[ \{Q, P\} = (0)(1) - (\beta)(0) = \beta \]

Da wir festgestellt haben, dass:

• \[ \{Q, Q\} = 0 \]
• \[ \{P, P\} = 0 \]
• und
• \[ \{Q, P\} = \beta \]

können wir schließen, dass die Transformation die kanonische Struktur nur bewahrt, wenn \( \beta = 1 \). In diesem Fall ist die Transformation kanonisch.

Aufgabe 3)

In einem System von N unabhängigen Teilchen, die sich in einem thermischen Gleichgewicht befinden, sind die Energieniveaus der Teilchen gegeben durch \(E_1, E_2, \ldots, E_i\). Das System wird unter den Bedingungen der Boltzmann-Statistik analysiert. Für jedes einzelne Teilchen gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, sich im Zustand \(i\) mit Energie \(E_i\) zu befinden, durch \(P_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{Z}\) beschrieben wird, wobei \(\beta = \frac{1}{k_B T}\).

a)

Berechne die Zustandssumme \( Z=\sum_i e^{-\beta E_i} \) für ein System mit den drei möglichen Energieniveaus \(E_1 = \varepsilon, E_2 = 2\varepsilon, E_3 = 3\varepsilon\) bei einer Temperatur von \(T= \frac{\varepsilon}{k_B}\). Geben die resultierende freie Energie \( F \) des Systems an.

Lösung:

Um die Zustandssumme Z für das gegebene System zu berechnen, gehen wir schrittweise wie folgt vor:

• Schritt 1: Bestimme die Zustandssumme Z.

Wir wissen, dass die Zustandssumme durch

\[ Z = \sum_i e^{ -\beta E_i } \]

gegeben ist. Für die Energieniveaus E₁ = \( \varepsilon \), E₂ = \( 2\varepsilon \) und E₃ = \( 3\varepsilon \) sowie die Temperatur \( T = \frac{ \varepsilon }{ k_B } \)

wird:

\[ \beta = \frac{ 1 }{ k_B T } = \frac{ 1 }{ k_B \cdot \frac{ \varepsilon }{ k_B } } = \frac{ 1 }{ \varepsilon } \]

Somit erhalten wir:

• \[ Z = e^{-\beta E_1} + e^{-\beta E_2} + e^{-\beta E_3} = e^{-\frac{ E_1 }{ \varepsilon }} + e^{-\frac{ E_2 }{ \varepsilon }} + e^{-\frac{ E_3 }{ \varepsilon }} = e^{-1} + e^{-2} + e^{-3} \]

Die Exponentialausdrücke können als Zahlen berechnet werden:

• \( e^{-1} = \frac{ 1 }{ e } \approx 0.3679 \)
• \( e^{-2} = \frac{ 1 }{ e^2 } \approx 0.1353 \)
• \( e^{-3} = \frac{ 1 }{ e^3 } \approx 0.0498 \)

Die Zustandssumme ist also:

\[ Z = 0.3679 + 0.1353 + 0.0498 \approx 0.553 \]

• Schritt 2: Bestimme die freie Energie F.

Die freie Energie wird durch die Beziehung gegeben:

\[ F = -k_B T \ln Z \]

Für \( T = \frac{ \varepsilon }{ k_B } \) und \( Z = 0.553 \) ergibt sich:

\[ F = -k_B \cdot \frac{ \varepsilon }{ k_B } \cdot \ln(0.553) = -\varepsilon \cdot \ln(0.553) \]

Der natürliche Logarithmus von 0.553 ist:

\[ \ln(0.553) \approx -0.592 \]

Also:

\[ F = -\varepsilon \cdot (-0.592) = 0.592 \varepsilon \]

Zusammenfassend:

• Zustandssumme: \( Z \approx 0.553 \)
• Freie Energie: \( F \approx 0.592 \varepsilon \)

Somit ist die Zustandssumme Z etwa 0.553 und die resultierende freie Energie F des Systems etwa 0.592 \( \varepsilon \).

b)

Bestimme die innere Energie \(U\), die Entropie \(S\), und die spezifische Wärme \(C_V\) des Systems unter den gleichen Bedingungen wie im vorherigen Teil. Zeige die Schritte ausführlich.

Lösung:

Um die innere Energie U, die Entropie S und die spezifische Wärme C_V des Systems zu bestimmen, gehen wir schrittweise wie folgt vor:

• Schritt 1: Bestimme die innere Energie U.

Die innere Energie wird gegeben durch:

\[ U = \sum_i P_i E_i \]

mit der Wahrscheinlichkeit \( P_i \) für den Zustand \( i \):

\[ P_i = \frac{ e^{- \beta E_i} }{ Z } \]

Bereits haben wir die Zustandssumme Z berechnet:

\[ Z = e^{-1} + e^{-2} + e^{-3} \approx 0.553 \]

Hier sind die Energieniveaus \( E_1 = \varepsilon, E_2 = 2\varepsilon, E_3 = 3\varepsilon \):

Berechne nun die wahrscheinlichkeit der einzelnen Zustände:

• \( P_1 = \frac{ e^{-\beta E_1} }{ Z } = \frac{ e^{- \frac{ \varepsilon }{ \varepsilon } } }{ 0.553 } = \frac{ e^{-1} }{ 0.553 } \approx 0.665 \)
• \( P_2 = \frac{ e^{-\beta E_2} }{ Z } = \frac{ e^{- \frac{ 2 \varepsilon }{ \varepsilon } } }{ 0.553 } = \frac{ e^{-2} }{ 0.553 } \approx 0.245 \)
• \( P_3 = \frac{ e^{-\beta E_3} }{ Z } = \frac{ e^{- \frac{ 3 \varepsilon }{ \varepsilon } } }{ 0.553 } = \frac{ e^{-3} }{ 0.553 } \approx 0.090 \)

Die innere Energie \( U \) ist somit:

\[ U = P_1 E_1 + P_2 E_2 + P_3 E_3 \]

\[ U = 0.665 \varepsilon + 0.245 \cdot 2 \varepsilon + 0.090 \cdot 3 \varepsilon \]

\[ U = 0.665 \varepsilon + 0.490 \varepsilon + 0.270 \varepsilon \]

\[ U \approx 1.425 \varepsilon \]

• Schritt 2: Bestimme die Entropie S.

Die Entropie wird durch die Beziehung gegeben:

\[ S = k_B \left( \ln Z + \beta U \right) \]

Wir wissen bereits:

• \( Z \approx 0.553 \)
• \( U \approx 1.425 \varepsilon \)
• \( \beta = \frac{1}{\varepsilon} \)

Also:

\[ S = k_B \left( \ln 0.553 + \frac{ U }{ \varepsilon } \right) \]

Wobei:

\[ \ln 0.553 \approx -0.592 \]

\[ \frac{ U }{ \varepsilon } \approx 1.425 \]

Somit:

\[ S = k_B \left( -0.592 + 1.425 \right) \]

\[ S \approx k_B \cdot 0.833 \]

• Schritt 3: Bestimme die spezifische Wärme C_V.

Die spezifische Wärme \( C_V \) bei konstantem Volumen ist gegeben durch:

\[ C_V = \left( \frac{ \partial U }{ \partial T } \right)_V \]

Da wir bereits wissen, dass \( U \approx 1.425 \varepsilon \), verwenden wir:

\[ T = \frac{ \varepsilon }{ k_B } \]

Die Ableitung von \( U \) nach der Temperatur \( T \) ist bekanntlich:

\[ \frac{ \partial U }{ \partial T } = k_B \left( \frac{ U }{ \varepsilon } \right) \]

Also:

\[ C_V = k_B \times 1.425 \approx 1.425 \ k_B \]

Zusammenfassend:

• Innere Energie: \( U \approx 1.425 \varepsilon \)
• Entropie: \( S \approx 0.833 \ k_B \)
• Spezifische Wärme: \( C_V \approx 1.425 \ k_B \)

Aufgabe 4)

Betrachte das Problem der Spektralanalyse, bei der das elektromagnetische Spektrum eines Atoms untersucht wird, um dessen Struktur und Energiezustände zu bestimmen. Du hast Informationen über Emissions- und Absorptionslinien sowie nützliche Formeln wie die Rydberg-Formel und das Bohr’sche Atommodell. Stelle sicher, dass alle Antworten gut begründet sind und mathematische Herleitungen vollständig gezeigt werden.

a)

Berechne die Wellenlänge des Lichts, das emittiert wird, wenn ein Elektron vom Energiezustand n=3 auf den Grundzustand (n=1) eines Wasserstoffatoms übergeht. Verwende die Rydberg-Formel und zeige alle Zwischenschritte.

Lösung:

Berechnung der Wellenlänge des emittierten Lichts beim Übergang eines Elektrons

Um die Wellenlänge des emittierten Lichts zu berechnen, wenn ein Elektron vom Energiezustand n=3 auf den Grundzustand (n=1) eines Wasserstoffatoms übergeht, verwenden wir die Rydberg-Formel.

Die Rydberg-Formel für die Wellenlängen der Spektrallinien des Wasserstoffatoms lautet:

\[\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)\]

Hierbei ist \(\lambda\) die Wellenlänge des emittierten Lichts, \(R_H\) die Rydberg-Konstante \( (R_H = 1,097 \times 10^7 \text{m}^{-1}) \), \(n_1\) der niedrigere Energiezustand (Grundzustand), und \(n_2\) der höhere Energiezustand.

Für den Übergang von n=3 zu n=1 setzen wir \(n_1 = 1\) und \(n_2 = 3\) in die Formel ein:

\[\frac{1}{\lambda} = 1,097 \times 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) \text{m}^{-1}\]

Berechnen wir die Terme im Inneren der Klammer einzeln:

• Für den ersten Term: \(\frac{1}{1^2} = 1\)
• Für den zweiten Term: \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\)

Subtrahiere nun den zweiten Term vom ersten:

\[1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\]

Setzen wir den resultierenden Wert wieder in die Gleichung ein:

\[\frac{1}{\lambda} = 1,097 \times 10^7 \times \frac{8}{9} \, \text{m}^{-1}\]

Der Ausdruck vereinfacht sich zu:

\[\frac{1}{\lambda} = 9,752 \times 10^6 \, \text{m}^{-1}\]

Um \(\lambda\) zu finden, nehmen wir den Kehrwert:

\[\lambda = \frac{1}{9,752 \times 10^6} \, \text{m} = 1,025 \times 10^{-7} \, \text{m}\]

Um die Wellenlänge in Nanometer (nm) umzurechnen, multiplizieren wir mit \(10^9\):

\[\lambda = 1,025 \times 10^{-7} \, \text{m} \times 10^9 \, \text{nm} \, \text{m}^{-1} = 102,5 \, \text{nm}\]

Die Wellenlänge des emittierten Lichts bei einem Übergang eines Elektrons vom Energiezustand n=3 auf den Grundzustand n=1 eines Wasserstoffatoms beträgt also 102,5 nm.

b)

Erkläre die Bedeutung der Rydberg-Formel und erkläre, was die Konstanten in der Formel repräsentieren. Warum sind die Emissionslinien, die durch diese Formel vorhergesagt werden, diskret?

Lösung:

Bedeutung der Rydberg-Formel und Erklärung der Konstanten

Die Rydberg-Formel ist ein zentrales Werkzeug in der Spektralanalyse, das verwendet wird, um die Wellenlängen des Lichts vorherzusagen, das von einem Atom emittiert oder absorbiert wird, wenn ein Elektron zwischen verschiedenen Energiezuständen übergeht.

Die allgemeine Form der Rydberg-Formel lautet:

\[\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)\]

• \( \lambda \) : Die Wellenlänge des emittierten oder absorbierten Lichts.
• \( R_H \) : Die Rydberg-Konstante, die für Wasserstoff etwa \( 1,097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} \) beträgt.
• \( n_1 \) : Die Hauptquantenzahl des niedrigeren Energiezustands (beginnend bei 1 für den Grundzustand).
• \( n_2 \) : Die Hauptquantenzahl des höheren Energiezustands (dieser Wert ist größer als \( n_1 \)).

Bedeutung der Konstanten:

• Rydberg-Konstante (\( R_H \)): Diese Konstante ist eine empirisch bestimmte Größe, die spezifisch für jedes Element ist und die fundamentalen Parameter des Atoms beschreibt. Für Wasserstoff beträgt sie etwa \( 1,097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} \).

Warum sind die Emissionslinien diskret?

Die Emissionslinien eines Atoms sind diskret, weil Elektronen nur auf bestimmten, erlaubten Energiezuständen existieren können. Diese Zustände werden durch die Quantentheorie beschrieben und sind durch die Hauptquantenzahlen \( n_1, n_2, n_3, \ldots \) charakterisiert. Wenn ein Elektron von einem höheren zu einem niedrigeren Energiezustand übergeht, wird Energie in Form von Photonen emittiert, deren Wellenlänge durch die Rydberg-Formel bestimmt wird. Da die Elektronzustände diskrete Werte annehmen, ist auch die emittierte Energie (und damit die Wellenlänge der emittierten Photonen) diskret.

Die diskreten Energiezustände eines Elektrons in einem Atom ergeben sich aus den quantenmechanischen Lösungen des Bohr’schen Atommodells und der Schrödinger-Gleichung. Diese Modellierung führt zu einer Quantisierung der Energiepegel. Als Ergebnis stehen nur bestimmte Übergänge zur Verfügung, was zu diskreten Linien im Spektrum führt.

Zusammenfassung:

• Die Rydberg-Formel beschreibt die Wellenlängen des Lichts, das bei Elektronenübergängen in einem Atom emittiert oder absorbiert wird.
• Die Rydberg-Konstante \( R_H \) ist spezifisch für jedes Element und ist ein fundamentaler Parameter, der die Energieunterschiede zwischen den Quantenzuständen eines Atoms beschreibt.
• Die Emissionslinien sind diskret, weil Elektronen nur in bestimmten, quantisierten Energiezuständen existieren können. Die Übergänge zwischen diesen Zuständen führen zu diskreten Energieunterschieden und somit zu diskreten Wellenlängen des emittierten oder absorbierten Lichts.

c)

Ein Stern zeigt eine bestimmte Absorptionslinie bei einer Wellenlänge von 486 nm im Spektrum. Identifiziere das Element und den Übergang, der für diese Absorptionslinie verantwortlich ist. Nutze die gegebenen Informationen und die Rydberg-Formel.

Lösung:

Identifikation des Elements und des Übergangs

Gegebene Informationen:

• Eine bestimmte Absorptionslinie bei einer Wellenlänge von 486 nm (Nanometern) wird im Spektrum eines Sterns beobachtet.
• Die Rydberg-Formel und das Bohr’sche Atommodell stehen zur Verfügung.

Rydberg-Formel:

Die Rydberg-Formel lautet:

\[\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)\]

Hierbei ist \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichtes, \(R_H\) die Rydberg-Konstante \((R_H = 1,097 \times 10^7 \text{m}^{-1})\), \(n_1\) der niedrigere Energiezustand, und \(n_2\) der höhere Energiezustand.

Schrittweise Lösung:

1. Umrechnung der Wellenlänge in Meter:

\[486 \text{ nm} = 486 \times 10^{-9} \text{ m}\]

2. Berechnung des Kehrwertes der Wellenlänge:

\[\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{486 \times 10^{-9} \text{ m}} \approx 2,057 \times 10^6 \text{ m}^{-1}\]

3. Einsetzen in die Rydberg-Formel:

\[2,057 \times 10^6 = 1,097 \times 10^7 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)\]

4. Vereinfachung der Gleichung:

Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 1,097 \times 10^7:

\[\frac{2,057 \times 10^6}{1,097 \times 10^7} = \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)\]

\[0,1875 = \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)\]

5. Identifikation der Quantenzahlen:

Die Linie bei 486 nm ist bekannt als Teil der Balmer-Serie des Wasserstoffspektrums, welche Übergänge von höheren Energiezuständen zu \(n_1 = 2\) beinhalten.

Setzen wir \(n_1 = 2\) ein:

\[0,1875 = \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)\]

\[0,1875 = \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n_2^2} \right)\]

\[0,1875 = \left( 0,25 - \frac{1}{n_2^2} \right)\]

Subtrahiere 0,25 von beiden Seiten der Gleichung:

\[0,1875 - 0,25 = - \frac{1}{n_2^2}\]

\[-0,0625 = - \frac{1}{n_2^2}\]

Multiplizieren wir beide Seiten mit -1:

\[0,0625 = \frac{1}{n_2^2}\]

Berechnen wir den Kehrwert:

\[n_2^2 = \frac{1}{0,0625} = 16\]

\[n_2 = 4\]

Ergebnis:

Der Übergang, der die Absorptionslinie bei 486 nm verursacht, ist ein Übergang von \(n_2 = 4\) zu \(n_1 = 2\) im Wasserstoffatom. Das Element ist somit Wasserstoff, und der Übergang gehört zur Balmer-Serie.

d)

Benutze das Bohr’sche Atommodell, um die Energie des n=2 Zustands eines Wasserstoffatoms zu berechnen. Zeige alle Zwischenschritte und erkläre die Bedeutung des Ergebnisses in Bezug auf das Spektrum des Wasserstoffatoms.

Lösung:

Berechnung der Energie des \( n = 2 \) Zustands eines Wasserstoffatoms mit dem Bohr’schen Atommodell

Bohr’sches Atommodell:

Das Bohr'sche Atommodell beschreibt die Energiezustände eines Elektrons im Wasserstoffatom. Die Energie eines Elektrons im Zustand mit der Hauptquantenzahl \( n \) wird durch die folgende Formel gegeben:

\[ E_n = - \frac{13,6 \, \text{eV}}{n^2} \]

Hierbei ist \( E_n \) die Energie des Elektrons im Zustand \( n \) und \( 13,6 \, \text{eV} \) ist die Ionisationsenergie des Wasserstoffatoms (die Energie, die erforderlich ist, um das Elektron aus dem Grundzustand zu entfernen).

Schritte zur Berechnung der Energie:

1. Einsetzen der Hauptquantenzahl \( n = 2 \) in die Formel:

\[ E_2 = - \frac{13,6 \, \text{eV}}{2^2} \]

2. Berechnung des Quadrats von \( n \):

\[ 2^2 = 4 \]

3. Division von 13,6 \( \text{eV} \) durch 4:

\[ E_2 = - \frac{13,6}{4} \, \text{eV} \]

\[ E_2 = - 3,4 \, \text{eV} \]

Bedeutung des Ergebnisses:

Die berechnete Energie zeigt, dass der Energiezustand \( n = 2 \) im Wasserstoffatom eine Energie von -3,4 \( \text{eV} \) hat. Dies bedeutet, dass ein Elektron in diesem Zustand eine Energie von 3,4 Elektronenvolt weniger hat als ein freies Elektron außerhalb des Atoms.

Bedeutung für das Spektrum des Wasserstoffatoms:

• Emission: Wenn ein Elektron vom \( n = 2 \) Zustand auf einen niedrigeren Energiezustand (z.B. den Grundzustand \( n = 1 \)) fällt, wird die Differenzenergie als Photon emittiert. Diese Energie bestimmt die Wellenlänge des emittierten Lichts und trägt zur Entstehung der Spektrallinien bei.
• Absorption: Umgekehrt, wenn das Elektron von einem niedrigeren Zustand (z.B. \( n = 1 \)) in den \( n = 2 \) Zustand gehoben wird, muss das Atom ein Photon mit einer Energie von 3,4 \( \text{eV} \) absorbieren. Dies führt zu den beobachteten Absorptionslinien im Spektrum.

Für den Wasserstoffatom bedeutet dies, dass die Übergänge, die den Zustand \( n = 2 \) einschließen, Teil der Balmer-Serie sind. Diese Serie umfasst sichtbare Spektrallinien, die für die Analyse von Sternen und galaktischen Nebeln von großer Bedeutung sind.