Master’s thesis - Exam

Aufgabe 1)

Betrachten Sie ein Quantensystem, dessen Hamilton-Operator durch

gegeben ist, wobei \(V(x)\) das Potential beschreibt. Ein stationärer Zustand \(\tilde{u}\) dieses Systems erfüllt die Eigenwertgleichung

mit einer festen Energie \(E\). Ein nicht-stationärer Zustand \(u\) kann als Superposition von Eigenzuständen \(\tilde{u}_n\) dargestellt werden:

Hier sind \(c_n\) die komplexen Koeffizienten und \(E_n\) die Eigenenergien der stationären Zustände. Analysieren Sie die folgenden Aufgaben in Bezug auf diese Ausgangssituation:

a)

1. Bestimmen Sie die zeitliche Entwicklung eines nicht-stationären Zustands \(u(x,t)\). Angenommen, unser System hat nur zwei wesentliche Eigenzustände \(\tilde{u}_1\) and \(\tilde{u}_2\) mit Eigenenergien \(E_1\) und \(E_2\) und die Zustandsfunktion ist

Schreiben Sie \(u(x,t)\) als Funktion der Zeit unter Berücksichtigung der zeitabhängigen Phasenfaktoren.

Lösung:

• Ausgangssituation verstehen: Du arbeitest mit einem Quantensystem, dessen Hamilton-Operator wie folgt beschrieben wird:

• \( H = \frac{p^2}{2m} + V(x) \).

• Ein stationärer Zustand \( \tilde{u} \) erfüllt die Eigenwertgleichung:

• \( H \tilde{u} = E \tilde{u} \).

• Ein nicht-stationärer Zustand \( u \) kann als Superposition von Eigenzuständen \( \tilde{u}_n \) dargestellt werden:

• \( u(x,t) = \sum_n c_n \tilde{u}_n(x) e^{-i E_n t / \hbar} \).

• Dabei sind \( c_n \) die komplexen Koeffizienten und \( E_n \) die Eigenenergien der stationären Zustände.

• Nun zum konkreten Teil der Aufgabe:

• Angenommen, unser System hat nur zwei wichtige Eigenzustände \( \tilde{u}_1 \) und \( \tilde{u}_2 \) mit Eigenenergien \( E_1 \) und \( E_2 \) und die Zustandsfunktion ist zu \( t = 0 \) gegeben durch:

• \( u(x, t = 0) = c_1 \tilde{u}_1(x) + c_2 \tilde{u}_2(x) \).

• Zeitliche Entwicklung: Um die zeitliche Entwicklung des Zustands \( u(x, t) \) zu bestimmen, berücksichtigen wir die zeitabhängigen Phasenfaktoren.

• Das heißt, wir multiplizieren jeden Eigenzustand mit seinem entsprechenden zeitabhängigen Phasenfaktor:

• \( u(x,t) = c_1 \tilde{u}_1(x)e^{-i E_1 t / \hbar} + c_2 \tilde{u}_2(x)e^{-i E_2 t / \hbar} \).

• Dies ist die vollständige Darstellung des nicht-stationären Zustands als Funktion der Zeit.

b)

2. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte \(|u(x,t)|^2\) des nicht-stationären Zustands im Allgemeinen zeitabhängig ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte für unser System mit den zwei Eigenzuständen \(\tilde{u}_1\) und \(\tilde{u}_2\), wobei für die Zustandsfunktion \(u(x,t=0)\) gilt:

Berechnen Sie \(|u(x,t)|^2\) für eine Zeit \(t\).

Lösung:

• Ausgangssituation verstehen: Du arbeitest mit einem Quantensystem, dessen Hamilton-Operator wie folgt beschrieben wird:

• \( H = \frac{p^2}{2m} + V(x) \).

• Ein stationärer Zustand \( \tilde{u} \) erfüllt die Eigenwertgleichung:

• \( H \tilde{u} = E \tilde{u} \).

• Ein nicht-stationärer Zustand \( u \) kann als Superposition von Eigenzuständen \( \tilde{u}_n \) dargestellt werden:

• \( u(x,t) = \sum_n c_n \tilde{u}_n(x) e^{-i E_n t / \hbar} \).

• Dabei sind \( c_n \) die komplexen Koeffizienten und \( E_n \) die Eigenenergien der stationären Zustände.

• Zu zeigende Aufgabe: Wir sollen zeigen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte \( |u(x,t)|^2 \) des nicht-stationären Zustands im Allgemeinen zeitabhängig ist.

• Gegebene Zustandsfunktion:

• \( u(x,t=0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{u}_1(x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{u}_2(x) \).

• Zeitliche Entwicklung:

• Zum Zeitpunkt \( t \) ist die Zustandsfunktion gemäß der vorherigen Aufgabe wie folgt:

• \( u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{u}_1(x)e^{-i E_1 t / \hbar} + \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{u}_2(x)e^{-i E_2 t / \hbar} \).

• Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte: Nun berechnen wir \( |u(x,t)|^2 \):

• \( |u(x,t)|^2 = \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{u}_1(x)e^{-i E_1 t / \hbar} + \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{u}_2(x)e^{-i E_2 t / \hbar} \right|^2 \).

• Indem wir die Betragsquadrate berechnen, erhalten wir:

• \( |u(x,t)|^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{u}_1(x)e^{-i E_1 t / \hbar} + \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{u}_2(x)e^{-i E_2 t / \hbar} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{u}_1^*(x)e^{i E_1 t / \hbar} + \frac{1}{\sqrt{2}} \tilde{u}_2^*(x)e^{i E_2 t / \hbar} \right) \).

• Durch Ausmultiplizieren und Beibehalten der Orthonormalitätseigenschaft der Eigenzustände:

• \( |u(x,t)|^2 = \frac{1}{2} \left( \tilde{u}_1(x) \tilde{u}_1^*(x) + \tilde{u}_1(x) \tilde{u}_2^*(x)e^{i (E_1 - E_2) t / \hbar} + \tilde{u}_2(x) \tilde{u}_1^*(x)e^{-i (E_1 - E_2) t / \hbar} + \tilde{u}_2(x) \tilde{u}_2^*(x) \right) \).

• Da \( \tilde{u}_1 \) und \( \tilde{u}_2 \) orthogonal zueinander sind, erhalten wir für ihre Kreuzprodukte:

• \( |u(x,t)|^2 = \frac{1}{2} \left( |\tilde{u}_1(x)|^2 + |\tilde{u}_2(x)|^2 + \tilde{u}_1(x) \tilde{u}_2^*(x)e^{i (E_1 - E_2) t / \hbar} + \tilde{u}_2(x) \tilde{u}_1^*(x)e^{-i (E_1 - E_2) t / \hbar} \right) \).

• Wir sehen, dass sich zeitabhängige Terme \( e^{i (E_1 - E_2) t / \hbar} \) und \( e^{-i (E_1 - E_2) t / \hbar} \) (als komplex konjugierte Terme) ergeben.

• Schlussfolgerung: Da zeitabhängige Terme im Ausdruck für \( |u(x,t)|^2 \) vorhanden sind, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte im Allgemeinen zeitabhängig.

Aufgabe 2)

In einem Experiment wird die Heisenberg'sche Unschärferelation untersucht. Ein Elektron bewegt sich in einem eindimensionalen Potentialkasten der Länge $L$. Zu einem bestimmten Zeitpunkt wird die Position des Elektrons mit einer Unbestimmtheit $\tau$ gemessen, wobei $\tau = 10^{-10} \text{m}$ beträgt. Bestimme die Ungewissheit des Impulses und die Beziehung zwischen der kinetischen Energie des Elektrons und der Zeitunbestimmtheit.

a)

Bestimme die Ungewissheit des Impulses \( \Delta p\) des Elektrons unter Berücksichtigung der Heisenberg'schen Unschärferelation für die gegebene Positionsunbestimmtheit \( \Delta x = \tau\). Nutzen die Beziehung \( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \). Vergleiche das Ergebnis mit dem klassischen Moment (Impuls) eines Elektrons mit einer Geschwindigkeit von $1 \text{m/s}$.

Lösung:

• Gegebene Informationen:
• Positionsunbestimmtheit (\(\Delta x = \tau\)) = \(10^{-10} \text{m}\)
• Heisenberg'sche Unschärferelation: \( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \)
• Planck'sches Wirkungsquantum: \( h = 6.626 \times 10^{-34} \text{Js} \)
• Berechnung der Ungewissheit des Impulses (\(\Delta p\)):
• Wir nutzen die Heisenberg'sche Unschärferelation \( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \) und setzen \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) ein:
• \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2 \pi} = 1.055 \times 10^{-34} \text{Js} \)
• \( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \implies (10^{-10} \text{m}) \cdot \Delta p \geq \frac{1.055 \times 10^{-34}}{2} \text{Js} \)
• \( \Delta p \geq \frac{1.055 \times 10^{-34} \text{Js}}{2 \times 10^{-10} \text{m}} \approx 5.275 \times 10^{-25} \text{kg} \cdot \text{m/s} \)
• Vergleich mit dem klassischen Impuls:
• Der klassische Impuls eines Elektrons mit einer Geschwindigkeit von \( 1 \text{m/s} \) ist durch die Formel \( p = m \cdot v = 9.10938356 \times 10^{-31} \text{kg} \cdot 1 \text{m/s} \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{kg} \cdot \text{m/s} \) gegeben.
• Die Ungewissheit des Impulses \( \Delta p \) beträgt \( \approx 5.275 \times 10^{-25} \text{kg} \cdot \text{m/s} \).
• Der klassische Impuls des Elektrons \( p \) beträgt \( \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{kg} \cdot \text{m/s} \).
• Ergebnis:
• Die Ungewissheit des Impulses (\(\Delta p\)) ist viel größer als der klassische Impuls (\(p\)) des Elektrons.
• Dies zeigt die Bedeutung der Quantenmechanik auf kleinen Skalen, wie sie durch die Heisenberg'sche Unschärferelation beschrieben wird.

b)

Betrachte die Heisenberg'sche Unschärferelation für Energie und Zeit und diskutiere, wie die Unbestimmtheit der kinetischen Energie des Elektrons \( \Delta E\) von der Zeitunbestimmtheit \( \Delta t = 10^{-16} \text{s}\) abhängt: \( \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\). Berechne den minimal möglichen Wert für \( \Delta E\).

Lösung:

• Gegebene Informationen:
• Zeitunbestimmtheit (\(\Delta t\)) = \(10^{-16} \text{s}\)
• Heisenberg'sche Unschärferelation für Energie und Zeit: \(\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\)
• Planck'sches Wirkungsquantum: \(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{Js}\)
• Berechnung der Ungewissheit der kinetischen Energie (\(\Delta E\)):
• Wir setzen \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) in die Heisenberg'sche Unschärferelation ein:
• \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2 \pi} = 1.055 \times 10^{-34} \text{Js} \)
• \( \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \implies \Delta E \cdot 10^{-16} \text{s} \geq \frac{1.055 \times 10^{-34}}{2} \text{Js} \)
• \( \Delta E\geq \frac{1.055 \times 10^{-34} \text{Js}}{2 \times 10^{-16} \text{s}} \approx 5.275 \times 10^{-19} \text{J} \)
• Diskussion:
• Der minimal mögliche Wert für die Ungewissheit der kinetischen Energie (\(\Delta E\)) beträgt \(\approx 5.275 \times 10^{-19} \text{J}\).
• Dieser Wert zeigt, dass bei einer kurzen Zeitunbestimmtheit von \(\Delta t = 10^{-16} \text{s}\) die Unbestimmtheit in der Energie signifikant wird.
• Das Ergebnis verdeutlicht die Heisenberg'sche Unschärferelation, die besagt, dass eine höhere Präzision in der Zeitmessung zu einer größeren Ungewissheit in der Energiebestimmung führt.

c)

Diskutiere die Konsequenzen der Heisenberg'schen Unschärferelation für das Experiment. Was sagt es über die Möglichkeit, sowohl den Ort als auch den Impuls eines Elektrons exakt zu bestimmen? Was sind die praktischen Bedeutung und mögliche Anwendungen dieser Beziehung in modernen physikalischen Experimenten?

Lösung:

• Konsequenzen der Heisenberg'schen Unschärferelation für das Experiment:
• Die Heisenberg'sche Unschärferelation besagt, dass es nicht möglich ist, sowohl den Ort (\(x\)) als auch den Impuls (\(p\)) eines Elektrons gleichzeitig mit beliebig hoher Genauigkeit zu bestimmen.
• Mathematisch lautet die Unschärferelation: \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\)
• In unserem Beispiel beträgt die Positionsunbestimmtheit \(\Delta x = 10^{-10} \text{m}\). Dies führt zu einer minimalen Ungewissheit des Impulses von \(\Delta p \approx 5.275 \times 10^{-25} \text{kg} \cdot \text{m/s}\).
• Je präziser der Ort des Elektrons bestimmt wird, desto größer ist die Ungewissheit des Impulses und umgekehrt.
• Praktische Bedeutung und mögliche Anwendungen:
• Quantenmechanische Experimente: Die Unschärferelation ist fundamental für das Verständnis und die Durchführung von Experimenten auf mikroskopischer Ebene. Sie definiert die Grenzen der Präzision bei der Messung von Teilchen wie Elektronen.
• Tunnelmikroskopie: Die Prinzipien der Heisenberg'schen Unschärferelation werden in der Rastertunnelmikroskopie (STM) genutzt, um Atome und Moleküle auf Oberflächen direkt abzubilden.
• Quantenelektronik: In der Entwicklung von Quantencomputern und -schaltkreisen ist das Verständnis der Unschärferelation essenziell, um die Leistung und Genauigkeit von Quanten-Bits (Qubits) zu maximieren.
• Spektroskopie: In der Spektroskopie bedeutet die Unschärferelation, dass es eine Grenze gibt, wie genau Energiezustände gemessen werden können. Dies ist wichtig bei der Untersuchung der Struktur und Eigenschaften von Materie.
• Philosophische Implikationen: Die Unschärferelation stellt auch philosophische Fragen zur Natur der Realität und zur Grenze unseres Wissens über das Universum. Sie zeigt, dass es auf fundamentaler Ebene stochastische Prozesse gibt, die nicht durch deterministische Modelle beschrieben werden können.
• Fazit:
• Die Heisenberg'sche Unschärferelation ist eine grundlegende Eigenschaft der Quantenwelt. Sie legt fest, dass es physikalische Grenzen gibt, wie genau wir die Eigenschaften von Teilchen kennen können.
• Diese Erkenntnisse haben weitreichende und tiefgreifende Anwendungen in der modernen Physik und Technologie.

Aufgabe 3)

Kombination von neuronalen Netzen und Quantencomputern zur Nutzung von Quantenparallelität und Quanteninterferenzen zur Effizienzsteigerung und Lösung komplexer Probleme.

• Neuronale Netze: Inspiriert vom menschlichen Gehirn, Einsatz in Mustererkennung und maschinellem Lernen
• Quantencomputer: Nutzen Quantenbits (Qubits), zeigen Überlagerung und Verschränkung, bieten exponentielle Geschwindigkeit bei bestimmten Berechnungen
• Quantenneuronale Netze (QNNs): Versprechen schnellere Konvergenz und bessere Optimierungsergebnisse, Erforschung noch im frühen Stadium
• Wichtige Konzepte: Quanten-Backpropagation, Quantenverschränkung zur Gewichtsanpassung, grobe Pfad-Intefralleitungen
• Potenzial: Lösung von NP-schweren Problemen, Anwendung in Kryptografie, Materialwissenschaften und KI

a)

Erkläre den Unterschied zwischen klassischen neuronalen Netzen und Quantenneuronalen Netzen (QNNs). Wie nutzen QNNs die Prinzipien der Quantenmechanik zur Optimierung?

Lösung:

Unterschied zwischen klassischen neuronalen Netzen und Quantenneuronalen Netzen (QNNs)

• Klassische neuronale Netze:
  • Inspiriert vom menschlichen Gehirn.
  • Werden in der Mustererkennung und im maschinellen Lernen eingesetzt.
  • Bestehen aus Schichten von Neuronen, die über synaptische Gewichte verbunden sind.
  • Nutzten Backpropagation zur Anpassung der Gewichte basierend auf Fehlern in der Ausgabe.
• Quantenneuronale Netze (QNNs):
  • Nutzten Qubits, die sich in Superpositionen befinden können.
  • Verwenden Quanten-Verschränkung zur Kopplung von Zuständen zwischen Qubits.
  • Können Quantenparallelität nutzen, um viele Zustände gleichzeitig zu verarbeiten.
  • Haben das Potenzial, bei bestimmten Aufgaben eine exponentielle Geschwindigkeitssteigerung zu bieten.
  • Stehen noch am Anfang der Forschung und Entwicklung.

Nutzung der Prinzipien der Quantenmechanik zur Optimierung in QNNs

• QNNs nutzen die Prinzipien der Quantenmechanik, wie Superposition und Verschränkung, zur Optimierung. Superposition ermöglicht es Qubits, mehrere Zustände gleichzeitig zu repräsentieren, wodurch eine massive Parallelität geschaffen wird. Dies kann dazu beitragen, die Konvergenzgeschwindigkeit eines neuronalen Netzes zu erhöhen.
• Quanten-Verschränkung ermöglicht es, dass Qubits miteinander korreliert bleiben, auch wenn sie räumlich getrennt sind. Diese Eigenschaft kann zur Gewichtsanpassung in QNNs verwendet werden, indem verschränkte Qubits synchron ihre Zustände ändern.
• Quanten-Backpropagation ist ein Konzept, bei dem die Fehler rückwärts durch die Schichten eines QNNs propagiert werden, ähnlich wie bei klassischen neuronalen Netzen, aber unter Nutzung der Quantenmechanik, um effizientere Optimierungsergebnisse zu erzielen.

b)

Gegeben sei ein einfaches Quantenneuronales Netz mit zwei Qubits. Beschreibe, wie die Quantenverschränkung in diesem System verwendet wird, um die Gewichtsanpassung durchzuführen. Verwende dazu die Terme Überlagerung und Verschränkung in Deiner Erklärung.

Lösung:

Gewichtsanpassung in einem einfachen Quantenneuronalen Netz (QNN) mit zwei Qubits unter Verwendung von Quantenverschränkung und Überlagerung

Um die Gewichtsanpassung in einem einfachen Quantenneuronalen Netz (QNN) mit zwei Qubits zu beschreiben, ist es wichtig, die Konzepte der Quantenmechanik – insbesondere die Überlagerung und Verschränkung – zu verstehen und anzuwenden.

• Überlagerung: Jeder Qubit kann im Zustand 0, im Zustand 1 oder in einer Überlagerung dieser Zustände sein. Mathematisch kann dies durch den Zustand \( \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle) \) beschrieben werden. In einem QNN ermöglicht die Überlagerung, dass beide Qubits gleichzeitig in mehreren Zuständen existieren und somit parallel viele Rechenoperationen durchführen können.
• Verschränkung: Die Qubits in einem Quantenneuronalen Netz können auch in verschränkten Zuständen existieren. Ein verschränkter Zustand von zwei Qubits kann als \( \frac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle + |11\rangle) \) beschrieben werden. Dies bedeutet, dass der Zustand eines Qubits unmittelbar mit dem Zustand des anderen Qubits verbunden ist, auch wenn sie räumlich getrennt sind. In einem QNN kann diese Verschränkung genutzt werden, um die Gewichte synchron und effizient anzupassen.

Anwendung der Quantenverschränkung zur Gewichtsanpassung:

• Zunächst befinden sich die beiden Qubits in einem Überlagerungszustand, der es ihnen erlaubt, eine große Anzahl von Zuständen gleichzeitig darzustellen.
• Während des Trainingsprozesses werden die Qubits durch bestimmte Quantengatter manipuliert, um die gewünschte Berechnung durchzuführen. Diese Manipulationen beinhalten Operationen, die auf den Überlagerungs- und Verschränkungszuständen der Qubits basieren.
• Wenn die Qubits verschränkt sind, beeinflusst jede Änderung des Zustands eines Qubits unmittelbar den Zustand des anderen Qubits. Diese Eigenschaft wird genutzt, um die Gewichte in einem QNN anzupassen. Beispielsweise könnte eine Anpassung des Gewichts eines Neurons im Netzwerk sofort die Gewichte anderer verbundenen Neuronen beeinflussen, wenn deren Qubits verschränkt sind.
• Dies führt zu einer kohärenten Gewichtsanpassung, die schneller und effizienter ist als herkömmliche Methoden der Gewichtsanpassung in klassischen neuronalen Netzen. Dies liegt daran, dass die Verschränkung eine gleichzeitige und koordinierte Anpassung ermöglicht.
• Zusätzlich kann durch die Nutzung von Quanten-Backpropagation der Fehler rückwärts durch das Netz propagiert werden, wobei die Prinzipien der Überlagerung und Verschränkung zur schnelleren und effizienteren Gewichtsoptimierung genutzt werden.

Zusammengefasst ermöglichen Überlagerung und Verschränkung in einem einfachen QNN mit zwei Qubits eine parallele und kohärente Verarbeitung und Gewichtsanpassung, was zu schnellerer Konvergenz und besseren Optimierungsergebnissen führt.

c)

Betrachte den Algorithmus der Quanten-Backpropagation. Mathematisch betrachtet, wie unterscheidet sich dieser von der klassischen Backpropagation? Formuliere die grundlegenden Gleichungen und diskutiere, wie die Quantenparallelität die Effizienz dieses Algorithmus beeinflusst.

Lösung:

Unterschied zwischen klassischer Backpropagation und Quanten-Backpropagation

Die klassische Backpropagation basiert auf der Anwendung der Kettenregel der Differenzialrechnung, um die Gewichte der Neuronen basierend auf dem Gradienten des Fehlers anzupassen. In Quanten-Backpropagation werden jedoch die Prinzipien der Quantenmechanik wie Superposition und Verschränkung genutzt.

• Klassische Backpropagation:

Für die klassische Backpropagation nutzt man die folgende Gleichung zur Berechnung des Gradienten bezüglich der Gewichte:

\[\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial w}\]

Hier steht:

• \(\frac{\partial L}{\partial y}\) für den Gradienten des Verlusts bezüglich der Ausgabe \(y\)
• \(\frac{\partial y}{\partial z}\) für den Gradienten der Ausgabe bezüglich des gewichteten Inputs \(z\)
• \(\frac{\partial z}{\partial w}\) für den Gradienten des gewichteten Inputs bezüglich des Gewichts \(w\)

Die Gewichtsaktualisierung erfolgt dann durch:

\[w \leftarrow w - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial w}\]

wobei \(\eta\) die Lernrate ist.

• Quanten-Backpropagation:

Bei Quanten-Backpropagation werden die Zustände und Variablen durch Quantengatter manipuliert, wobei Superposition und Verschränkung berücksichtigt werden. Die mathematischen Formeln bleiben ähnlich, arbeiten jedoch mit komplexwertigen und vektorischen Repräsentationen.

Ein Beispiel der Gradientenberechnung für eine Quantenverlustfunktion \(\tilde{L}\) wäre:

\[\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \tilde{w}} = \frac{\partial \tilde{L}}{\partial \tilde{y}} \cdot \frac{\partial \tilde{y}}{\partial \tilde{z}} \cdot \frac{\partial \tilde{z}}{\partial \tilde{w}}\]

Hier sind \(\tilde{L}, \tilde{y}, \tilde{z}, \tilde{w}\) die Quantenäquivalente der klassischen Größen. Diese berücksichtigen Superposition und Verschränkung.

• Zusätzlich wird der Hilbert-Raum für Zustände verwendet, was bedeutet, dass die Rechenoperationen auf eine größere Dimension erweitert werden.
• Die Quantengatter führen parallele Operationen durch, was zu einer exponentiellen Geschwindigkeit führen kann.

Einfluss der Quantenparallelität auf die Effizienz des Algorithmus:

Die Quantenparallelität ermöglicht es, viele Zustände gleichzeitig zu berechnen. Dies reduziert die Zeit für die Durchquerung des neuronalen Netzes exponentiell im Vergleich zu klassischen Methoden:

• Eine parallele Verarbeitung durch Qubits ermöglicht es, multiple Gewichtsanpassungen gleichzeitig durchzuführen.
• Superposition erlaubt es, alle möglichen Zustände simultan zu berücksichtigen, was die Effizienz der Zustandsraumerkundung erhöht.
• Verschränkung synchronisiert Zustände von Qubits, was zu kohärenten Anpassungen führen kann.
• Insgesamt ermöglicht dies eine schnellere Konvergenz und eine Reduktion der Rechenzeit im Training von neuronalen Netzen.

Zusammengefasst, nutzt Quanten-Backpropagation die Prinzipien der Quantenmechanik, um parallele Berechnungen durchzuführen und die Effizienz der Gewichtsanpassungen zu verbessern, was zu einer schnelleren und effektiveren Konvergenz führt.

Aufgabe 4)

Die Fehlertolerante Quantenberechnung ist entscheidend für die Implementierung stabiler und zuverlässiger Quantenalgorithmen. Ein essenzielles Element dabei ist die Anwendung von Fehlerkorrekturcodes, beispielsweise dem Shor-Code oder dem Steane-Code, um Bit- und Phasenfehler zu erkennen und zu korrigieren. Diese Codes nutzen Redundanz und Messungen, um Fehler zu detektieren und zu korrigieren. Ohne eine effektive Fehlerkorrektur ist die Erreichung der Quantenüberlegenheit kaum möglich.

a)

a) Erkläre anhand des Shor-Codes, wie Bit- und Phasenfehler in einem Quantencomputer erkannt und korrigiert werden können. Beschreibe die notwendigen Schritte und die Rolle der Redundanz sowie der Messungen.

Lösung:

a) Erkläre anhand des Shor-Codes, wie Bit- und Phasenfehler in einem Quantencomputer erkannt und korrigiert werden können. Beschreibe die notwendigen Schritte und die Rolle der Redundanz sowie der Messungen.

• Einführung in den Shor-Code: Der Shor-Code ist ein Quantenfehlerkorrekturcode, der sowohl Bit- als auch Phasenfehler korrigieren kann. Er kombiniert zwei klassische Codes: den Hamming-Code zur Korrektur von Bitfehlern und einen dreifachen Wiederholungscode zur Korrektur von Phasenfehlern.
• Redundanz: Um Fehler zu korrigieren, nutzt der Shor-Code Redundanz. Ein einzelnes Qubit wird mithilfe der Kombination der beiden klassischen Codes auf 9 Qubits kodiert. Dies erhöht die Robustheit des gespeicherten Quanteninformation und macht die Fehlererkennung und -korrektur möglich.
• Schritte zur Fehlerkorrektur:
  • Kodierung: Zuerst wird jedes Qubit durch den Shor-Code auf neun Qubits kodiert.
  • Fehlererkennung durch Messungen: Mittels spezieller Messungen (Syndrom-Messungen) wird der Zustand der kodierten Qubits überprüft, um zu erkennen, ob und welche Fehler aufgetreten sind. Dies geschieht, ohne den Zustand der Information direkt zu messen und so die Quanteninformation zu zerstören.
  • Bitfehlerkorrektur: Zuerst wird geprüft, ob Bitfehler aufgetreten sind. Diese werden durch den Hamming-Code erkannt und korrigiert.
  • Phasenfehlerkorrektur: Anschließend wird auf Phasenfehler geprüft. Dieses geschieht durch Anwendung des dreifachen Wiederholungscodes, bei dem jedes der drei Gruppen von drei Qubits auf Phasenfehler geprüft wird.
  • Fehlerkorrektur: Die identifizierten Fehler werden schließlich mithilfe der bekannten Methoden korrigiert, sodass der ursprüngliche Zustand der Quanteninformation wiederhergestellt wird.
• Zusammenfassung: Der Shor-Code nutzt Redundanz und spezielle Messungen, um Bit- und Phasenfehler in einem Quantencomputer zu erkennen und zu korrigieren. Durch diese Methode wird die Stabilität und Zuverlässigkeit von Quantenalgorithmen wesentlich erhöht, was entscheidend für die Erreichung der Quantenüberlegenheit ist.

b)

b) Gegeben sei ein Quantenregister mit dem Zustand \[ \left| \psi \right\rangle = \alpha \left| 0 \right\rangle + \beta \left| 1 \right\rangle \]. Diskutiere, wie ein einzelner Phasenfehler durch den Einsatz des Steane-Codes erkannt und korrigiert werden kann. Verwende dabei die mathematischen Formalismen zur Fehlererkennung und -korrektur.

Lösung:

b) Gegeben sei ein Quantenregister mit dem Zustand \( \left| \psi \right\rangle = \alpha \left| 0 \right\rangle + \beta \left| 1 \right\rangle \). Diskutiere, wie ein einzelner Phasenfehler durch den Einsatz des Steane-Codes erkannt und korrigiert werden kann. Verwende dabei die mathematischen Formalismen zur Fehlererkennung und -korrektur.

• Einführung in den Steane-Code: Der Steane-Code ist ein Quantenfehlerkorrekturcode, der sowohl Bit- als auch Phasenfehler korrigieren kann. Er verwendet 7 physische Qubits, um 1 logisches Qubit zu kodieren. Dieser Code basiert auf den Prinzipien der klassischen Hamming-Codes und ermöglicht die Entdeckung und Korrektur von Fehlern durch eine Kombination von Redundanz und Syndrom-Messungen.
• Kodierung des Zustands: Der Zustand \(\left| \psi \right\rangle = \alpha \left| 0 \right\rangle + \beta \left| 1 \right\rangle\) wird auf 7 Qubits kodiert. Dies geschieht durch die Anwendung der Kodierungsoperationen des Steane-Codes, die den logischen Zustand in den entsprechenden kodierten Zustand übersetzen:

\( \left| 0_L \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{8}} ( \left| 0000000 \right\rangle + \left| 1010101 \right\rangle + \left| 0110011 \right\rangle + \left| 1100110 \right\rangle ) \)

\( \left| 1_L \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{8}} ( \left| 1111111 \right\rangle + \left| 0101010 \right\rangle + \left| 1001100 \right\rangle + \left| 0011001 \right\rangle ) \)

• Erkennung des Phasenfehlers: Ein Phasenfehler auf einem Qubit kann durch den Operator \( Z \) beschrieben werden. Angenommen, der Fehler tritt auf dem ersten Qubit auf, verändert sich der Zustand wie folgt:

\( \left| \psi' \right\rangle = \alpha Z_1 \left| 0_L \right\rangle + \beta Z_1 \left| 1_L \right\rangle \)

• Die Syndrom-Messungen des Steane-Codes identifizieren Fehler, indem sie den Zustand des korrigierten Qubits in verschiedene Syndromräume projizieren, die zu möglichen Fehlern korrespondieren. Diese Projektion wird durch Messungen der Stabilizer-Operatoren erreicht:

\( S_i \left| \psi' \right\rangle = ( -1 )^{s_i} \left| \psi' \right\rangle \)

• Hier sind \( S_i \) die Stabilizer-Operatoren des Steane-Codes, und \( s_i \) ist das Syndrom für jede Stabilizer-Messung. Diese Messungen liefern ein Syndrom \( s = (s_1, s_2, ..., s_6) \), das die Position und Art des Fehlers anzeigt.
• Korrektur des Phasenfehlers: Mithilfe des Syndroms bestimmen wir die Position des Fehlers. Angenommen, das Syndrom zeigt einen Phasenfehler auf dem ersten Qubit an, dann wenden wir den Operator \( Z_1 \) auf das fehlerhafte Qubit an, um den Fehler zu korrigieren:

\( Z_1 \left| \psi' \right\rangle = Z_1 ( \alpha Z_1 \left| 0_L \right\rangle + \beta Z_1 \left| 1_L \right\rangle ) = \alpha \left| 0_L \right\rangle + \beta \left| 1_L \right\rangle = \left| \psi \right\rangle \)

• Zusammenfassung: Der Steane-Code verwendet spezielle Syndrom-Messungen, um Phasenfehler in einem Quantenregister zu erkennen. Durch die Anwendung der entsprechenden Fehlerkorrekturoperatoren können diese Fehler korrigiert werden, und der ursprüngliche Zustand \( \left| \psi \right\rangle \) kann wiederhergestellt werden. Dies gewährleistet die Stabilität und Zuverlässigkeit der quantenmechanischen Information.