Physics elective course g - Exam

Aufgabe 1)

Im Rahmen der Newtonschen Mechanik sollen die Auswirkungen äußerer Kräfte auf einen Körper untersucht werden. Gegeben sei ein Wagen der Masse m, der auf einer reibungslosen horizontalen Ebene fährt. Eine konstante horizontale Kraft F wird auf den Wagen ausgeübt. Die Anfangsgeschwindigkeit des Wagens beträgt v_\text{0}, und wir nehmen die Gravitationswirkung als g.

a)

a) Bestimme die Beschleunigung a des Wagens unter der Wirkung der konstanten horizontalen Kraft F. Verwende hierbei das 2. Newtonsche Gesetz und stelle die Gleichung auf.

Lösung:

Um die Beschleunigung des Wagens unter der Wirkung der konstanten horizontalen Kraft F zu bestimmen, verwenden wir das 2. Newtonsche Gesetz, das wie folgt lautet:

• Newtons Zweites Gesetz: \[ F = m \times a \] Hierbei steht F für die auswirkende Kraft, m für die Masse des Körpers und a für die Beschleunigung, die wir bestimmen wollen.

Wir können die Gleichung nach der Beschleunigung a umstellen:

• \[ a = \frac{F}{m} \]

Also lautet die Beschleunigung des Wagens unter der Wirkung der konstanten horizontalen Kraft F:

• \[ a = \frac{F}{m} \]

b)

b) Angenommen, der Wagen bewegt sich für eine Zeit t unter der Einwirkung der Kraft F. Bestimme die Geschwindigkeit v(t) und die zurückgelegte Strecke s(t) des Wagens als Funktion der Zeit unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen.

Lösung:

Um die Geschwindigkeit \(v(t)\) und die zurückgelegte Strecke \(s(t)\) des Wagens als Funktion der Zeit zu bestimmen, verwenden wir die Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, unter der Annahme, dass die Anfangsgeschwindigkeit des Wagens \(v_0\) ist.

i) Bestimmung der Geschwindigkeit \(v(t)\)

• Die allgemeine Formel für die Geschwindigkeit unter konstanter Beschleunigung lautet: \[v(t) = v_0 + a \cdot t\] Hierbei ist \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit und \(a\) die Beschleunigung.
• Wir haben bereits im Teil a) die Beschleunigung ermittelt:\[a = \frac{F}{m}\]
• Einsetzen der Beschleunigung \(a\) in die Geschwindigkeit Gleichung: \[v(t) = v_0 + \frac{F}{m} \cdot t\]

ii) Bestimmung der zurückgelegten Strecke \(s(t)\)

• Die allgemeine Formel für die Strecke unter konstanter Beschleunigung lautet: \[s(t) = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]
• Einsetzen der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) und der Beschleunigung \(a\): \[s(t) = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{m} \cdot t^2\]

Daher lauten die gesuchten Funktionen:

• Geschwindigkeit \(v(t)\): \[v(t) = v_0 + \frac{F}{m} \cdot t\]
• Zurückgelegte Strecke \(s(t)\): \[s(t) = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{m} \cdot t^2\]

Aufgabe 2)

Betrachte ein quantenmechanisches System, das durch die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (TISE) beschrieben wird:

• \begin{equation}\hat{H} \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r})\end{equation}Dabei ist \(\hat{H}\) der Hamilton-Operator und \(\psi(\mathbf{r})\) die Wellenfunktion des Systems. Das System befindet sich in einem eindimensionalen Potentialtopf der Länge \(a\) mit folgendem Potential:\[ V(x) = \begin{cases} 0 & \text{für} \ 0 \leq x \leq a \ \infty & \text{ansonsten} \end{cases} \]
• Die zugehörigen Randbedingungen sind \(\psi(0) = 0\) und \(\psi(a) = 0\).

b)

(b) Bestimme die möglichen Energieeigenwerte \(E_n\) des Systems und stelle sie in Abhängigkeit der Quantenzahl \(n\) dar.

Lösung:

Um die möglichen Energieeigenwerte \(E_n\) des Systems zu bestimmen, verwenden wir die Ergebnisse aus dem vorherigen Teil der Aufgabe, in dem wir die allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung und die zugehörigen Randbedingungen analysiert haben. Zunächst sei die Lösung der Schrödinger-Gleichung im Intervall \(0 \leq x \leq a\):

• \[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left( \frac{n \pi x}{a} \right) \]

Die Randbedingungen führen dazu, dass \( \kappa \) quantisiert sein muss:

• \[\kappa = \frac{n \pi}{a} \quad \text{für} \; n = 1, 2, 3, \ldots \]

Die Energieeigenwerte \(E_n\) des Systems ergeben sich aus:

• \[ E_n = \frac{\hbar^2 \kappa^2}{2m} \]

Indem wir \(\kappa = \frac{n \pi}{a}\) einsetzen, erhalten wir:

• \[E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{n \pi}{a}\right)^2 \]

Dies vereinfacht sich zu:

• \[E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m a^2} \]

Damit haben wir die möglichen Energieeigenwerte als Funktion der Quantenzahl \(n\) dargestellt:

• \[E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m a^2} \quad \text{für} \; n = 1, 2, 3, \ldots \]

Zusammengefasst:

• Die möglichen Energieeigenwerte \(E_n\) in Abhängigkeit der Quantenzahl \(n\) sind:
• \[E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m a^2} \quad \text{für} \; n = 1, 2, 3, \ldots\]

c)

(c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Bereich \(\frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4}\) zu finden, wenn es sich im Grundzustand befindet. Zeige alle notwendigen Schritte und erklärte Deine Lösungsansatz.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass sich das Teilchen im Bereich \( \frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4} \) befindet, wenn es sich im Grundzustand befindet, müssen wir das Integral des Betragsquadrat der Wellenfunktion über diesen Bereich berechnen. Zunächst erinnern wir, dass die Wellenfunktion im Grundzustand (n = 1) gegeben ist durch:

• \[\psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left( \frac{\pi x}{a} \right) \]

Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Bereich \( \frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4} \) zu finden, ist dann gegeben durch:

• \[ P\left( \frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4} \right) = \int_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} |\psi_1(x)|^2 \; dx \]

Setzen wir die Wellenfunktion \(\psi_1(x)\) ein:

• \[ P\left( \frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4} \right) = \int_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} \left( \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left( \frac{\pi x}{a} \right) \right)^2 \; dx \]

Vereinfachen wir dies:

• \[ P\left( \frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4} \right) = \frac{2}{a} \int_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} \sin^2\left( \frac{\pi x}{a} \right) \; dx \]

Um das Integral \( \sin^2\left( \frac{\pi x}{a} \right) \) zu lösen, verwenden wir die Identität für \( \sin^2 \theta \):

• \[ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \]

Damit wird das Integral zu:

• \[ P\left( \frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4} \right) = \frac{2}{a} \int_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} \frac{1 - \cos\left( \frac{2\pi x}{a} \right)}{2} \; dx \]

Wir trennen das Integral in zwei Teile:

• \[ P\left( \frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4} \right) = \frac{2}{a} \left[ \frac{1}{2} \int_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} 1 \; dx - \frac{1}{2} \int_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} \cos\left( \frac{2\pi x}{a} \right) \; dx \]

Diese können wir einfach lösen:

• \[ \frac{2}{a} \cdot \frac{1}{2} \int_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} 1 \; dx = \frac{1}{a} \left[ x \right]_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} = \frac{1}{a} \left( \frac{3a}{4} - \frac{a}{4} \right) = \frac{1}{a} \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \]
• \[ \frac{2}{a} \cdot \frac{1}{2} \int_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} \cos\left( \frac{2\pi x}{a} \right) \; dx \]

Für das zweite Integral können wir durch Partielle Integration oder direkte Substitution zeigen:

• \[ \int \cos\left( \frac{2\pi x}{a} \right) \; dx = \frac{a}{2\pi} \sin\left( \frac{2\pi x}{a} \right) \]

Also:

• \[ \frac{1}{a} \int_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} \cos\left( \frac{2\pi x}{a} \right) \; dx = \frac{1}{2\pi} \left[ \sin \left( \frac{2\pi x}{a} \right) \right]_{\frac{a}{4}}^{\frac{3a}{4}} = \frac{1}{2\pi} \left( \sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \right) = \frac{1}{2\pi} \left( -1 - 1 \right) = -\frac{1}{\pi} \]

Zusammengefügt ergibt sich die Wahrscheinlichkeit:

• \[ P\left( \frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4} \right) = \frac{1}{2} - \frac{(-1)}{2\pi} = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \]

Da die Wellenfunktion für den gesamten Raum definiert ist, ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen innerhalb des Bereichs \(\frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4}\) zu finden:

• \[P \left( \frac{a}{4} \leq x \leq \frac{3a}{4} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \]
• \(P_{\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\)

Aufgabe 3)

Teilchenbeschleuniger sind Geräte, die elektromagnetische Felder nutzen, um geladene Teilchen zu hohen Geschwindigkeiten zu beschleunigen. Es gibt verschiedene Arten von Beschleunigern, darunter Linearbeschleuniger (LINACs), Zyklotrons und Synchrotrons. LINACs beschleunigen Teilchen in einer geraden Linie durch elektrische Felder, während Zyklotrons Teilchen in einer Spiralbahn durch ein Magnetfeld beschleunigen. Synchrotrons synchronisieren ein Magnetfeld und eine Radiofrequenz, um Teilchen in einem Kreis zu beschleunigen. Hauptanwendungen von Teilchenbeschleunigern finden sich in der Teilchenphysikforschung, der medizinischen Behandlung, insbesondere zur Krebsbestrahlung, und in den Materialwissenschaften. Besonders in Hochenergie-Kollisionen ist Einsteins berühmte Gleichung E=mc^2 von Bedeutung, die die Umwandlung von Energie in Masse beschreibt. Der Large Hadron Collider (LHC) ist der derzeit größte Teilchenbeschleuniger der Welt.

a)

Erkläre die Funktionsweise eines Synchrotrons und wie es sich von einem Zyklotron unterscheidet. Gehe dabei auf das Zusammenspiel von Magnetfeld und Radiofrequenz ein und erläutere, warum dies nötig ist.

Lösung:

Erklärung der Funktionsweise eines Synchrotrons und Unterschiede zu einem Zyklotron

• Ein Synchrotron ist ein Teilchenbeschleuniger, der geladene Teilchen in einer kreisförmigen Bahn beschleunigt.
• Dabei wird ein starkes Magnetfeld verwendet, um die Teilchen auf ihrer kreisförmigen Bahn zu halten.
• Zusätzlich werden Radiofrequenz-Kavitäten genutzt, um die Teilchen periodisch zu beschleunigen.
• Das Magnetfeld und die Radiofrequenz sind synchronisiert, sodass die Teilchen kontinuierlich beschleunigt werden können.
• Diese Synchronisierung ist notwendig, weil die Teilchen mit zunehmender Geschwindigkeit eine höhere kinetische Energie erhalten und somit auch eine stärkere Kraft benötigt wird, um sie auf ihrer Bahn zu halten.
• Das Magnetfeld muss daher mit der Geschwindigkeit der Teilchen angepasst werden, um die Zentripetalkraft zu gewährleisten und die Teilchen auf der vorgegebenen Bahn zu halten.

• Ein Zyklotron beschleunigt Teilchen auf spiralförmigen Bahnen mithilfe eines konstante, radial ansteigende Magnetfeldes und einer konstanten Radiofrequenz.
• Während bei einem Synchrotron sowohl das Magnetfeld als auch die Radiofrequenz dynamisch angepasst werden, sind diese Größen bei einem Zyklotron fixiert.
• Ein Synchrotron kann somit viel höhere Energien erreichen, da es in der Lage ist, die Parameter entlang der Bahn der Teilchen kontinuierlich zu justieren. Ein Zyklotron erreicht hingegen eine begrenzte Energie, weil der Radius der Spiralbahn und die Frequenz der beschleunigenden Spannung fixiert sind.
• Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass Synchrotrons in der Lage sind, die Teilchen über längere Strecken hinweg zu beschleunigen und dadurch höhere Endgeschwindigkeiten zu erreichen.

• Die Synchronisation von Magnetfeld und Radiofrequenz in einem Synchrotron ist unerlässlich, um die notwendige Zentripetalkraft für die zunehmend schneller werdenden Teilchen bereitzustellen und diese auf der vorgegebenen Bahn zu halten.
• Der Vorteil eines Synchrotrons liegt darin, dass es höhere Energien erreicht und flexibler im Umgang mit den beschleunigenden Parametern ist als ein Zyklotron.

b)

Betrachte eine Hochenergie-Kollision im LHC, bei der zwei Protonen mit einer Gesamtenergie von 14 TeV kollidieren. Nutze die Gleichung E=mc^2, um die maximale mögliche Masse neuer Teilchen zu bestimmen, die dabei entstehen können. Zeige alle Rechenschritte ausführlich.

Lösung:

Hochenergie-Kollision im LHC: Berechnung der maximal möglichen Masse neuer Teilchen

• Gesamtenergie (E) der kollidierenden Protonen: 14 TeV

• Die berühmte Gleichung von Einstein lautet:

• Da wir die maximale mögliche Masse (m) der neuen Teilchen berechnen wollen, stellen wir die Gleichung nach m um:

• Hierbei ist:
• \(E\) die Energie der kollidierenden Protonen
• \(c\) die Lichtgeschwindigkeit (ca. \(3 \times 10^8 m/s\))
• Um die Energie in Joule zu verwenden, beachten wir, dass 1 eV = \(1.602 \times 10^{-19} J\).
• Da 14 TeV = 14 \(\times 10^{12}\) eV:
• \(E = 14 \times 10^{12} \times 1.602 \times 10^{-19} J = 22.428 \times 10^{-7} J\)
• Nun setzen wir diesen Wert in die umgestellte Formel ein:
• \(m = \frac {22.428 \times 10^{-7}} {(3 \times 10^8)^2} kg\)
• Berechnung:

• Die maximale mögliche Masse der neuen Teilchen, die bei dieser Hochenergie-Kollision im LHC entstehen können, beträgt ungefähr \(2.492 \times 10^{-23} kg\).

c)

Diskutiere eine Anwendung von Linearbeschleunigern (LINACs) in der Medizin. Wie tragen sie zur Behandlung von Krebs bei und welche physikalischen Prinzipien werden dabei genutzt? Gehe auch auf die Sicherheitsaspekte ein, die bei der Nutzung von LINACs berücksichtigt werden müssen.

Lösung:

Anwendung von Linearbeschleunigern in der Medizin: Krebsbehandlung

• Linearbeschleuniger (LINACs) sind weit verbreitet in der medizinischen Behandlung, insbesondere in der Strahlentherapie zur Bekämpfung von Krebs.

• Ein LINAC erzeugt hochenergetische Röntgen- oder Elektronenstrahlen.
• Diese Strahlen sind in der Lage, die DNA von Krebszellen zu schädigen und deren Teilungsfähigkeit zu beeinträchtigen oder sie direkt abzutöten.
• Der Bestrahlungsvorgang ist präzise steuerbar, sodass die Strahlendosis genau auf den Tumor ausgerichtet werden kann, während das umliegende gesunde Gewebe geschont wird.

• Der LINAC beschleunigt Elektronen auf nahezu Lichtgeschwindigkeit durch ein elektrisches Feld.
• Wenn die beschleunigten Elektronen auf einen Target treffen, werden hochenergetische Röntgenstrahlen erzeugt (Bremsstrahlung).
• Je nach Behandlung können auch direkt die beschleunigten Elektronen verwendet werden.
• Die Energie der Strahlen kann angepasst werden, um ihnen die Eindringtiefe und die Dosisverteilung zu steuern, abhängig von der Art, Lage und Größe des Tumors.

• Sicherheitsaspekte sind entscheidend, um sowohl Patienten als auch das medizinische Personal zu schützen.
• Die Strahlenexposition muss sorgfältig berechnet und überwacht werden, um sicherzustellen, dass die Strahlendosis für den Tumor effektiv ist, aber die umliegenden gesunden Gewebe minimal belastet werden.
• Für Patienten bedeutet dies die genaue Planung und Simulation der Bestrahlungspfade vor der eigentlichen Behandlung.
• Das medizinische Personal muss Schulungen und Zertifikate in Strahlenschutz haben.
• LINACs sind mit Sicherheitsmechanismen ausgestattet, um unbeabsichtigtes Einschalten und Strahlungsaustritt zu verhindern.

• LINACs tragen entscheidend zur modernen Krebsbehandlung bei, indem sie hochpräzise, energiereiche Strahlen zur gezielten Bekämpfung von Tumoren bereitstellen.
• Ihre Funktionsweise basiert auf physikalischen Prinzipien der Elektronenbeschleunigung und Energieumwandlung in Röntgenstrahlen oder Elektronenstrahlen.
• Strenge Sicherheitsvorkehrungen sind erforderlich, um die Anwendung sowohl sicher als auch effektiv zu gestalten.

d)

Beschreibe ein Experiment, das mit einem Zyklotron durchgeführt werden könnte, um neue Erkenntnisse in der Materialwissenschaft zu gewinnen. Welche Arten von Materialien könnten untersucht werden, und wie würde der Beschleunigungsprozess helfen, diese Materialien zu untersuchen?

Lösung:

Experiment in der Materialwissenschaft mit einem Zyklotron

• Zyklotrons sind effizient für Materialienforschung, da sie geladene Teilchen auf hohe Energien bringen, die für Durchdringungsstudien und atomare Untersuchungen relevant sind.

• Untersuchung der Strahlenschädigung und Materialresistenz durch beschleunigte Ionen.

• Metalle: Stahl, Titan und Aluminium, um deren Festigkeit und Strukturänderungen unter Ionenbeschuss zu analysieren.
• Halbleiter: Silizium und Galliumarsenid zur Untersuchung von Änderungen der elektrischen und strukturellen Eigenschäften unter Bestrahlung.
• Polymere: Hochleistungskunststoffe für Raumfahrtanwendungen, um deren Langzeitbeständigkeit unter Strahlung zu testen.

1. Probenvorbereitung: Materialien werden auf eine Trägerplatte montiert und in der Experimentierkammer platziert.
2. Wahl des Iontyps: Ausgewählte Ionen (z.B. Protonen, Heliumkerne) werden im Zyklotron beschleunigt.
3. Bestrahlung: Die Ionenstrahlen treffen auf die Materialproben, wodurch atomare Kollisionen und Eindringprozesse initiiert werden.
4. Analyse: Nach der Bestrahlung werden die Proben auf strukturelle und chemische Veränderungen hin untersucht:
   • Rasterelektronenmikroskopie (REM) zur Oberflächenanalyse.
   • Röntgendiffraktometrie (XRD) zur Bestimmung von Kristallstrukturen und Phasewechseln.
   • Elektrische Tests zur Messung von Leitfähigkeit und Halbleitereigenschaften.

• Messung der Eindringtiefe von Ionen und deren Auswirkungen auf die Mikrostruktur von Metallen, informationen über Festigkeitssteigerung oder -verlust.
• Auswertung von Defektdichten in Halbleitermaterialien, um deren Lebensdauer und Leistungsfähigkeit unter Strahlenbelastung zu bestimmen.
• Verständnis von Degradationsmechanismen in Polymeren, um langlebigere Materialien für Anwendungen in der Raumfahrt oder Nukleartechnik zu entwickeln.

• Ein Zyklotron erlaubt die gezielte Beschleunigung von Ionen, was zur Untersuchung von Materialeigenschaften unter Extrembedingungen genutzt werden kann.
• Durch die präzise Kontrolle der Teilchenenergie und -art können spezifische Effekte auf verschiedenen Materialien analysiert werden, was zur Entwicklung widerstandsfähiger und leistungsfähiger neuer Materialien beiträgt.

Aufgabe 4)

In einem physikalischen Experiment wurden die Temperaturen an verschiedenen Tagen gemessen. Die Rohdaten weisen einige Ausreißer und fehlende Werte auf. Ziel ist es, eine lineare Regression durchzuführen, um einen möglichen Trend zu identifizieren. Aus den transformierten und bereinigten Daten sollen deskriptive Statistiken und eine Verteilungsanalyse erstellt werden, gefolgt von einer Fehleranalyse und der Interpretation der gefundenen Korrelation.

a)

Bereinige die folgenden Rohdaten, indem Du Ausreißer identifizierst und fehlende Werte durch den Mittelwert der benachbarten Werte ersetzt: [23, 25, — , 27, 30, 150, 29, 28, — , 24, 25, 30]. Erkläre den verwendeten Bereinigungsprozess und transformiere die Daten für die weitere Analyse.

Lösung:

Um die Rohdaten zu bereinigen und die Ausreißer zu entfernen, folge diesen Schritten:

• Schritt 1: Identifikation der Ausreißer:Der Wert 150 sticht deutlich als Ausreißer hervor, da er wesentlich höher als die anderen Werte ist. Dieser Wert wird entfernt.
• Schritt 2: Ersetzung fehlender Werte:Die fehlenden Werte (—) werden durch den Mittelwert der benachbarten Werte ersetzt. Der einfachste Weg hierfür ist:
• Für den ersten fehlenden Wert zwischen 25 und 27: \(\frac{{25 + 27}}{2} = 26\)
• Für den zweiten fehlenden Wert zwischen 28 und 24: \(\frac{{28 + 24}}{2} = 26\)
• Schritt 3: Transformation der Daten:Nachdem die Ausreißer entfernt und die fehlenden Werte ersetzt wurden, ergibt sich folgendes bereinigtes Datenset: [23, 25, 26, 27, 30, 29, 28, 26, 24, 25, 30]
• Schritt 4: Bereitstellung der Daten für die weitere Analyse:Die bereinigten Daten können nun für die lineare Regression und die weiteren Analysen verwendet werden.

Die transformierten und bereinigten Daten sind somit:

23, 25, 26, 27, 30, 29, 28, 26, 24, 25, 30

b)

Berechne die deskriptiven Statistiken für die bereinigten Daten aus Teil a): Mittelwert, Median und Standardabweichung. Leite mathematisch die Formeln her und wende sie an, um die entsprechenden Werte zu finden.

Lösung:

Um die deskriptiven Statistiken für die bereinigten Daten zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

• Daten:Die bereinigten Daten aus Teil a) sind: [23, 25, 26, 27, 30, 29, 28, 26, 24, 25, 30]
• Mittelwert (Durchschnitt):Die Formel für den Mittelwert \((\bar{x})\) lautet:\(\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i\)Hier ist \{N\} die Anzahl der Datenpunkte.Für unsere Daten:

  \[ \bar{x} = \frac{1}{11} (23 + 25 + 26 + 27 + 30 + 29 + 28 + 26 + 24 + 25 + 30) \]

  \(\bar{x} = \frac{1}{11} \times 293 = 26.636\)
• Median:Der Median ist der mittlere Wert der geordneten Daten.Sortieren der Daten: [23, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 28, 29, 30, 30]Da es 11 Datenpunkte gibt, ist der Median der 6. Wert.Daher ist der Median 26.
• Standardabweichung:Die Formel für die Standardabweichung \((\sigma)\) lautet:\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2} \]Für unsere Daten:

  \[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{11} ((23-26.636)^2 + (25-26.636)^2 + (26-26.636)^2 + (27-26.636)^2 + (30-26.636)^2 + (29-26.636)^2 + (28-26.636)^2 + (26-26.636)^2 + (24-26.636)^2 + (25-26.636)^2 + (30-26.636)^2 ) }\]

  \[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{11} (13.231 + 2.676 + 0.405 + 0.132 + 11.307 + 5.618 + 1.861 + 0.405 + 6.940 + 2.676 + 11.307) } \]\[ \sigma = \sqrt{ 5.366 } = 2.316 \]

Zusammenfassung:

• Mittelwert: 26.636
• Median: 26
• Standardabweichung: 2.316

c)

Führe eine lineare Regression für die bereinigten Daten durch. Bestimme die Gleichung der Trendlinie der Form \(y = mx + b\). Berechne den Korrelationskoeffizienten für die Daten und interpretiere, ob eine signifikante Korrelation vorliegt. Diskutiere mögliche systematische und zufällige Fehler in diesem Zusammenhang und wie sie die Ergebnisse beeinflussen könnten.

Lösung:

Um eine lineare Regression für die bereinigten Daten durchzuführen und den Korrelationskoeffizienten zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

• Daten:Die bereinigten Daten sind: [23, 25, 26, 27, 30, 29, 28, 26, 24, 25, 30]. Da wir eine lineare Regression durchführen wollen, nehmen wir an, dass diese Daten an aufeinanderfolgenden Tagen gesammelt wurden, also ist unser x-Wert einfach die Reihenfolge der Tage [1, 2, 3, ..., 11].
• Gleichung der Trendlinie:Die Gleichung einer linearen Regression hat die Form \(y = mx + b\). Um die Koeffizienten m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) zu berechnen, nutzen wir die folgenden Formeln:
  • Steigung \(m\):\[m = \frac{N\sum{x_i y_i} - (\sum{x_i})(\sum{y_i})}{N\sum{x_i^2} - (\sum{x_i})^2}\]
  • y-Achsenabschnitt \(b\):\[b = \frac{\sum{y_i} - m\sum{x_i}}{N}\]
  Für unsere Daten:

  \[ \sum{x_i} = 66\]\[ \sum{y_i} = 293\]\[ \sum{x_i y_i} = 1824\]\[ \sum{x_i^2} = 506\]\[ N = 11\]

  Steigung \(m\):

  \[ m = \frac{11(1824) - (66)(293)}{11(506) - (66)^2} = \frac{20064 - 19338}{5566 - 4356} = \frac{726}{1210} = 0.6 \]

  y-Achsenabschnitt \(b\):

  \[ b = \frac{293 - (0.6)(66)}{11} = \frac{293 - 39.6}{11} = \frac{253.4}{11} = 23.036 \]

  Die Gleichung der Trendlinie lautet also:

  \[ y = 0.6x + 23.036 \]

• Korrelationskoeffizient:Der Korrelationskoeffizient (r) misst die Stärke und Richtung der linearen Beziehung zwischen zwei Variablen. Er kann durch die folgende Formel berechnet werden:\[ r = \frac{N\sum{x_i y_i} - \sum{x_i}\sum{y_i}}{\sqrt{[N\sum{x_i^2} - (\sum{x_i})^2][N\sum{y_i^2} - (\sum{y_i})^2]}} \]Für unsere Daten:

   \[ \sum{y_i^2} = 7869 \] 

   \[ r = \frac{11(1824) - (66)(293)}{\sqrt{[11(506) - 66^2][11(7869) - 293^2]}} = \frac{20064 - 19338}{\sqrt{(5566 - 4356)(86559 - 85849)}} = \frac{726}{\sqrt{1210 \times 710}} = \frac{726}{\sqrt{858100}} = \frac{726}{925.32} \approx 0.785 \]

  Der Korrelationskoeffizient beträgt also ca. 0.785, was eine relativ starke positive Korrelation anzeigt.
• Interpretation:Da der Korrelationskoeffizient (r) nahe bei 1 liegt, zeigt dies eine starke positive lineare Beziehung zwischen den Tagen und den Temperaturen. Dies könnte darauf hindeuten, dass es einen zunehmenden Trend in den Temperaturen über die Zeit gibt.
• Fehleranalyse:
  • Systematische Fehler: Dies könnten konstante Fehlerquellen sein (z.B. falsch kalibrierte Thermometer), die die Messungen systematisch in eine Richtung verzerren.
  • Zufällige Fehler: Diese entstehen durch normale Schwankungen im Messprozess und können in beide Richtungen variieren.
  • Einfluss der Fehler auf die Ergebnisse: Systematische Fehler könnten den gesamten Trend beeinflussen und ein verzerrtes Bild geben. Zufällige Fehler könnten die Genauigkeit der Trendlinie und des Korrelationskoeffizienten beeinträchtigen. Eine genaue Fehleranalyse ist notwendig, um zu bestimmen, in welchem Ausmaß die Ergebnisse betroffen sind.