- Adaptive Optik:
- Adaptive Optik ist eine Technik, die hauptsächlich bei erdgebundenen Teleskopen verwendet wird, um die Auswirkungen der atmosphärischen Verzerrungen zu korrigieren.
- Die Erdatmosphäre verursacht Turbulenzen, die das Licht von Sternen und anderen Himmelsobjekten verzerren und das Bild unscharf machen.
- Adaptive Optik überwacht kontinuierlich die Verzerrungen des ankommenden Lichts und passt einen verformbaren Spiegel innerhalb des Teleskops in Echtzeit an, um diese Verzerrungen zu korrigieren.
- Dies ermöglicht schärfere Bilder und eine höhere Auflösung, ähnlich der von Weltraumteleskopen.
- Vorteile eines Weltraumteleskops:
- Weltraumteleskope wie Hubble und JWST befinden sich außerhalb der Erdatmosphäre und sind daher nicht von atmosphärischen Turbulenzen betroffen.
- Sie können kontinuierlich hochauflösende Bilder ohne die Notwendigkeit von Adaptive Optik aufnehmen.
- Weltraumteleskope können auch Wellenlängenbereiche des elektromagnetischen Spektrums beobachten, die von der Erdatmosphäre absorbiert oder gestört werden, wie z.B. ultraviolette und infrarote Strahlung.
- Warum JWST im Infrarotbereich arbeitet und welche Vorteile das bietet:
- Das James Webb Space Telescope (JWST) ist speziell für Beobachtungen im Infrarotbereich (0,6 bis 28 Mikrometer) konzipiert.
- Infrarotstrahlung kann durch kosmischen Staub hindurch dringen, der oft sichtbares Licht blockiert. Dies ermöglicht es JWST, tief in Staubwolken zu sehen, in denen Sterne und Planeten entstehen.
- Infrarotbeobachtungen ermöglichen es auch, das Licht von sehr weit entfernten Galaxien zu beobachten, das aufgrund der Expansion des Universums rotverschoben (in den Infrarotbereich verschoben) ist.
- Viele interessante astrophysikalische Prozesse und Objekte, wie z.B. die kühlen Atmosphären von Exoplaneten, strahlen hauptsächlich im Infrarotbereich. Daher kann JWST detaillierte Studien dieser Phänomene durchführen.
- Im Vergleich zu optischen Beobachtungen bieten Infrarotbeobachtungen somit den Vorteil, tiefere Einblicke in staubige und weit entfernte Regionen des Universums zu gewinnen und verschiedene astrophysikalische Prozesse zu studieren, die in anderen Wellenlängenbereichen schwer zu beobachten sind.
Aufgabe 2)
Betrachte die folgenden Aspekte des Quantencomputings und ihrer Anwendung in Quantenalgorithmen: Ein Qubit kann in einer Superposition sein, also gleichzeitig sowohl den Zustand 0 als auch 1 einnehmen. Die Verschränkung ermöglicht es, den Zustand eines Quantenpartikels in Bezug auf einen anderen zu bestimmen, unabhängig von der Entfernung. Die Messung eines Qubits führt dazu, dass dessen Zustand kollabiert und in einen der Basiszustände (0 oder 1) übergeht. Quantengatter sind die Grundoperationen, die auf Qubits angewendet werden, ähnlich den logischen Gattern in klassischen Computern. Shors Algorithmus dient der effizienten Faktorisierung großer Zahlen, während Grovers Algorithmus ein Suchalgorithmus für unsortierte Datenbanken ist. Der BCS-Algorithmus wird zur Lösung von Optimierungsproblemen in der Quantenchemie verwendet.
a)
- Qubit-Superposition: Stelle Dir ein System mit einem Qubit in einer Superposition \(|\text{ψ}\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\) vor, wobei a und b komplexe Zahlen sind. Erkläre, wie durch eine Messung der Zustand des Qubits beeinflusst wird und welche Wahrscheinlichkeiten für die Zustände 0 und 1 nach der Messung gelten. Berechne die Wahrscheinlichkeiten, wenn \(a = \frac{1}{\sqrt{3}}\) und \(b = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).
Lösung:
Qubit-Superposition: Stelle Dir ein System mit einem Qubit in einer Superposition \(|\text{ψ}\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\) vor, wobei a und b komplexe Zahlen sind. Erkläre, wie durch eine Messung der Zustand des Qubits beeinflusst wird und welche Wahrscheinlichkeiten für die Zustände 0 und 1 nach der Messung gelten. Berechne die Wahrscheinlichkeiten, wenn \(a = \frac{1}{\sqrt{3}}\) und \(b = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).
- Messung des Zustands: Wenn ein Qubit in der Superposition \(|\text{ψ}\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\) gemessen wird, kollabiert der Zustand des Qubits in einen der Basiszustände: 0 oder 1. Die Wahrscheinlichkeiten für das Kollabieren in den jeweiligen Zustand basieren auf den Amplituden a und b. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:
- Die Wahrscheinlichkeit, den Zustand 0 zu messen, ist \(P(0) = |a|^2\).
- Die Wahrscheinlichkeit, den Zustand 1 zu messen, ist \(P(1) = |b|^2\).
- Beispielrechnung:
- Setze \(a = \frac{1}{\sqrt{3}}\) und \(b = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).
- Bestimme \(|a|^2\): \(|a|^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{1}{3}\).
- Bestimme \(|b|^2\): \(|b|^2 = \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{2}{3}\).
- Daher ist die Wahrscheinlichkeit für den Zustand 0: \(P(0) = \frac{1}{3}\).
- Die Wahrscheinlichkeit für den Zustand 1: \(P(1) = \frac{2}{3}\).
b)
- Quantengatter: Beschreibe die Funktion eines Hadamard-Gatters und eines CNOT-Gatters. Veranschauliche einen Quantenschaltkreis, der aus zwei Qubits besteht, auf die zunächst ein Hadamard-Gatter auf das erste Qubit und dann ein CNOT-Gatter auf beide Qubits angewendet wird. Erkläre den resultierenden Zustand dieses Systems nach den beiden Operationen.
Lösung:
- Quantengatter: Beschreibe die Funktion eines Hadamard-Gatters und eines CNOT-Gatters. Veranschauliche einen Quantenschaltkreis, der aus zwei Qubits besteht, auf die zunächst ein Hadamard-Gatter auf das erste Qubit und dann ein CNOT-Gatter auf beide Qubits angewendet wird. Erkläre den resultierenden Zustand dieses Systems nach den beiden Operationen.
- Hadamard-Gatter: Das Hadamard-Gatter erzeugt eine Superposition aus einem Eingangs-Qubit. Es transformiert den Basiszustand \(|0\rangle\) in den Zustand \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\) und den Basiszustand \(|1\rangle\) in den Zustand \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)\).
- CNOT-Gatter (Controlled-NOT): Das CNOT-Gatter ist ein zweistufiges Gatter (zwei Qubits). Es invertiert den Zustand des zweiten Qubits (Ziel-Qubit), wenn das erste Qubit (Kontroll-Qubit) den Zustand \(|1\rangle\) hat, andernfalls bleibt das Ziel-Qubit unverändert.
- Zunächst wird ein Hadamard-Gatter auf das erste Qubit angewendet, das anfänglich im Zustand \( |0⟩ \) ist. Nach der Hadamard-Transformation befindet sich das erste Qubit in der Superposition \( |+⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩ + |1⟩) \).
- Danach wird ein CNOT-Gatter auf den ersten (Kontroll-Qubit) und den zweiten (Ziel-Qubit) angewendet. Wenn das Kontroll-Qubit im Zustand \( |1⟩ \) ist, wird das Ziel-Qubit invertiert, andernfalls bleibt es unverändert. Der resultierende Zustand des Systems nach beiden Operationen ist: \[ |ψ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩ + |11⟩) \]
c)
- Shor-Algorithmus: Erläutere den Ablauf von Shor’s Algorithmus zur Faktorisierung der Zahl 15. Gehe auf die Schritte ein, die zur Reduktion des Faktorisierungsproblems auf das Problem der periodischen Funktion führen. Veranschauliche zusammenfassend, warum Shor’s Algorithmus bei dieser Aufgabe wesentlich effizienter ist als klassische Faktorisierungsalgorithmen.
Lösung:
- Shor-Algorithmus: Erläutere den Ablauf von Shor’s Algorithmus zur Faktorisierung der Zahl 15. Gehe auf die Schritte ein, die zur Reduktion des Faktorisierungsproblems auf das Problem der periodischen Funktion führen. Veranschauliche zusammenfassend, warum Shor’s Algorithmus bei dieser Aufgabe wesentlich effizienter ist als klassische Faktorisierungsalgorithmen.
- Schritt-für-Schritt-Ablauf des Shor-Algorithmus:
- Schritt 1: Wähle eine Zufallszahl a, die kleiner als N ist. Für N=15 wählen wir a=2.
- Schritt 2: Berechne den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von a und N mittels Euklidischer Algorithmus. Wenn ggT(a, N) > 1 ist, haben wir bereits einen Faktor gefunden. Für a=2 und N=15 ist der ggT 1, daher fahren wir fort.
- Schritt 3: Finde die Periode r der Funktion f(x) = a^x mod N. Das bedeutet, wir suchen das kleinste r, sodass a^r ≡ 1 (mod N).
- Schritt 4: Nutze die Quanten-Fourier-Transformation, um die Periode r zu bestimmen. Dies wird auf einem Quantencomputer gemacht und beinhaltet das Erstellen der Funktion a^x mod N und Anwenden der Fourier-Transformation.
- Schritt 5: Wenn r ungerade ist oder a^{r/2} ≡ -1 (mod N), wähle ein anderes a und beginne von vorne.
- Schritt 6: Wenn r gerade ist und a^{r/2} nicht ≡ -1 (mod N), berechne die Faktoren von N als ggt(a^{r/2} - 1, N) und ggt(a^{r/2} + 1, N).
Beispiel für die Zahl 15:- Wähle a = 2 (zufällig gewählt).
- Bestimme die Periode r der Funktion 2^x mod 15. Hier erhalten wir die Periode r = 4 (da 2^4 ≡ 1 (mod 15)).
- Da r gerade ist, berechne 2^{4/2} - 1 = 3 und 2^{4/2} + 1 = 5.
- Faktoren von 15 sind dann ggt(3, 15) = 3 und ggt(5, 15) = 5.
Warum Shor’s Algorithmus effizienter ist: - Shor's Algorithmus nutzt die Quantenparallelität und die Quanten-Fourier-Transformation, um die Periode einer Funktion effizient zu finden.
- Dies führt zu einer exponentiellen Geschwindigkeitsverbesserung im Vergleich zu klassischen Algorithmen, die auf der Primfaktorisierung basieren.
- Während klassische Algorithmen für die Faktorisierung großer Zahlen extrem langsam und ineffizient sind (d.h. sie benötigen eine Zeit, die in den meisten Fällen exponentiell mit der Größe der Eingabenzahl wächst), benötigt Shor’s Algorithmus eine Zeit, die polynomial in der Größe der Eingabenzahl ist.
d)
- Grover-Algorithmus: Der Grover-Algorithmus wird zur Suche in einer unsortierten Datenbank verwendet. Gegeben sei eine unsortierte Datenbank mit N = 16 Einträgen. Schätze die Anzahl der Iterationen, die der Grover-Algorithmus benötigt, um das gewünschte Element zu finden. Erläutere, wie der Algorithmus systematisch die Wahrscheinlichkeit des gewünschten Elements bei jeder Iteration erhöht.
Lösung:
- Grover-Algorithmus: Der Grover-Algorithmus wird zur Suche in einer unsortierten Datenbank verwendet. Gegeben sei eine unsortierte Datenbank mit \( N = 16 \) Einträgen. Schätze die Anzahl der Iterationen, die der Grover-Algorithmus benötigt, um das gewünschte Element zu finden. Erläutere, wie der Algorithmus systematisch die Wahrscheinlichkeit des gewünschten Elements bei jeder Iteration erhöht.
- Anzahl der Iterationen: Der Grover-Algorithmus benötigt in der Regel etwa \( \sqrt{N} \) Iterationen, um das gewünschte Element zu finden. Für eine unsortierte Datenbank mit \( N = 16 \) Einträgen ergibt dies:\[ \sqrt{16} = 4 \] Also sind etwa 4 Iterationen erforderlich.
- Funktionsweise des Grover-Algorithmus:Der Grover-Algorithmus erhöht systematisch die Wahrscheinlichkeit, das gewünschte Element zu finden, durch die folgenden Schritte:
- Initialisierung: Der Algorithmus beginnt mit einer Superposition aller möglichen Zustände. Dies wird durch Anwenden eines Hadamard-Gatters auf jedes Qubit erreicht. Für \( N = 16 \) Einträge bedeutet dies eine gleichmäßige Superposition von 16 Zuständen.
- Markierung des gewünschten Elements: Eine spezielle „Oracle“-Funktion wird verwendet, um das gewünschte Element zu markieren. Das Oracle verändert die Phase des Zustands, der das gesuchte Element repräsentiert (multipliziert mit -1).
- Amplitude Amplification: Diese Schritte umfassen die Anwendung der sogenannten Diffusionstransformation, die auch als „Invertieren um den Mittelwert“ bekannt ist. Diese Transformation erhöht die Wahrscheinlichkeit (Amplitude) des markierten Elements und verringert die Wahrscheinlichkeit der anderen Elemente. Nach jeder Iteration wird die Wahrscheinlichkeit, das gewünschte Element zu messen, größer.
- Wiederholung: Durch Wiederholung des Markierungs- und Amplitudenverstärkungsprozesses \( \sqrt{N} \) Male wird gewährleistet, dass die Amplitude des gewünschten Elements signifikant erhöht und die Wahrscheinlichkeit des richtigen Ergebnisses maximiert wird.
Aufgabe 4)
Betrachte ein physikalisches System, das durch die nichtlineare Differentialgleichung \[ \frac{dx}{dt} = f(x, y) \] und \[ \frac{dy}{dt} = g(x, y) \] beschrieben wird, wobei \(f\) und \(g\) nichtlineare Funktionen sind. Ein spezielles Beispiel eines solchen Systems ist das Lorenz-System, das durch die folgenden Gleichungen beschrieben wird:
- \[ \frac{dx}{dt} = \sigma (y - x) \]
- \[ \frac{dy}{dt} = x(\rho - z) - y \]
- \[ \frac{dz}{dt} = xy - \beta z \]
In dieser Aufgabe sollst du das Konzept der Chaos-Theorie und die mathematischen Werkzeuge zur Analyse von nichtlinearen dynamischen Systemen anwenden.
a)
Zeige, dass das Lorenz-System zu chaotischem Verhalten führen kann, indem Du den Sensitivität-Charakter (Schmetterlingseffekt) auf Anfangsbedingungen erläuterst. Berechne die Lyapunov-Exponenten für dieses System und interpretiere das Ergebnis. Gegeben sind die Parameter \(\sigma = 10\), \(\rho = 28\) und \(\beta = 8/3\).
Lösung:
Um zu zeigen, dass das Lorenz-System chaotisches Verhalten aufweist, musst Du den Sensitivitätscharakter gegenüber Anfangsbedingungen, auch bekannt als Schmetterlingseffekt, erklären und die Lyapunov-Exponenten des Systems berechnen.
1. Sensitivität gegenüber Anfangsbedingungen:
Der Schmetterlingseffekt beschreibt die Eigenschaft eines Systems, bei dem kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen zu stark unterschiedlichen Verläufen der Systemdynamik führen können. Für das Lorenz-System bedeutet dies, dass geringfügige Unterschiede in den Anfangswerten von \(x, y, z\) zu massiv unterschiedlichen Trajektorien führen können. Diese Sensitivität ist ein Kennzeichen chaotischer Systeme.
Ein klassisches Beispiel zeigt, dass zwei Trajektorien, die mit fast identischen Anfangswerten starten, sich nach einiger Zeit exponentiell auseinander bewegen. Diese Eigenschaft wird durch die Lyapunov-Exponenten formalisierbar.
2. Berechnung der Lyapunov-Exponenten:
Die Lyapunov-Exponenten sind Maßzahlen, die aufzeigen, wie stark benachbarte Trajektorien in einem dynamischen System auseinanderlaufen oder zusammenlaufen. Für das Lorenz-System mit den Parametern \(\sigma = 10, \rho = 28, \beta = 8/3\) betragen die Lyapunov-Exponenten:
- Lamda1: 0.9056 (positiv, zeigt exponentielles Wachstum der Trajektorien an, ist ein Hinweis auf Chaos)
- Lamda2: 0 (neutral)
- Lamda3: -14.572 (negativ, zeigt exponentielle Kontraktion an)
Positive Lyapunov-Exponenten kennzeichnen chaotische Systeme, da sie darauf hinweisen, dass benachbarte Trajektorien exponentiell auseinanderlaufen. Ein Lyapunov-Exponent von 0 zeigt, dass es eine neutrale Richtung gibt, und ein negativer Lyapunov-Exponent zeigt an, dass sich Trajektorien zusammenziehen.
Da einer der Lyapunov-Exponenten des Lorenz-Systems positiv ist und die anderen beiden nicht zum Anwachsen von Trajektorien beitragen, können wir bestätigen, dass das Lorenz-System chaotisch ist und Sensitivität gegenüber Anfangsbedingungen aufweist.
b)
Bestimme die Bifurkationen des Lorenz-Systems indem Du den Parameter \(\rho\) variierst. Erkläre, wie sich das System verhalten würde, wenn \(\rho\) einen Wert von 24, 28 oder 50 annimmt. Berücksichtige dabei die gefundenen Fixpunkte und analysiere deren Stabilität durch Berechnung der Eigenwerte der Jacobian-Matrix an diesen Punkten.
Lösung:
Um die Bifurkationen des Lorenz-Systems beim Variieren des Parameters \(\rho\) zu bestimmen, müssen wir die Fixpunkte des Systems finden und deren Stabilität durch Berechnung der Eigenwerte der Jacobian-Matrix an diesen Punkten analysieren.
1. Fixpunkte des Lorenz-Systems:
Die Fixpunkte des Systems erhält man, indem man die rechten Seiten der Differentialgleichungen gleich null setzt:
- \(\sigma (y - x) = 0\)
- \(x(\rho - z) - y = 0\)
- \(xy - \beta z = 0\)
Für die Fixpunkte ergibt sich:
- Fixpunkt 1: \( (0,0,0) \)
- Fixpunkt 2 und 3: \( \left( \pm \sqrt{ \beta ( \rho -1 ) }, \pm \sqrt{ \beta ( \rho -1 ) }, \rho - 1 \right) \)
Für \( \rho > 1 \) existieren die zweiten und dritten Fixpunkte, weil die Quadratwurzel definiert ist und positive reale Werte liefert.
2. Jacobian-Matrix:
Die Jacobian-Matrix \( J \) an einem Punkt \( (x, y, z) \) des Systems lautet:
Wir werden die Jacobian-Matrix an den Fixpunkten berechnen und deren Eigenwerte analysieren.
Die Eigenwerte sind \( \lambda_1 = -\sigma, \ \lambda_2 = -1, \ \lambda_3 = -\beta \).
Die Lösungen sind also stabil für \( \rho < 1 \). Wenn \( \rho > 1 \) wird der Fixpunkt instabil.
Bei der Berechnung der Eigenwerte dieser Fixpunkte stößt man auf komplexere Ausdrücke, und die Analyse zeigt, dass für \( \rho < \sigma (\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) \) die Fixpunkte stabil sind. Bei \( \rho > \sigma (\sigma + \beta + 3)/(\sigma - \beta - 1) \) werden sie instabil und können zu chaotischem Verhalten führen.
Durch die Variation des Parameters \( \rho \) kann man also das Verhalten des Systems von stabil zu chaotisch beobachten, was die zentralen Bifurkationen des Lorenz-Systems darstellt.
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