Statistik I - Exam

Aufgabe 1)

In einer Studie zur Untersuchung der Schlafgewohnheiten von Studierenden wurden die Schlafdauern (in Stunden) einer zufällig ausgewählten Gruppe von 9 Studierenden über eine Woche hinweg aufgezeichnet. Die Daten der Schlafdauern lauten: 6, 7, 8, 5, 9, 10, 6, 5, 7.

a)

Berechne den Mittelwert (arithmetisches Mittel) der Schlafdauern der Studierenden. Zeige alle Rechenschritte.

Lösung:

Berechnung des Mittelwerts der Schlafdauern der Studierenden

• Um den Mittelwert, also das arithmetische Mittel, zu berechnen, addiere zuerst alle Schlafdauern.
• Teile dann die Summe durch die Anzahl der Datenpunkte.

• Schritt 1: Berechne die Summe der Schlafdauern: 6 + 7 + 8 + 5 + 9 + 10 + 6 + 5 + 7

6 + 7 = 1313 + 8 = 2121 + 5 = 2626 + 9 = 3535 + 10 = 4545 + 6 = 5151 + 5 = 5656 + 7 = 63

• Die Summe der Schlafdauern beträgt also 63 Stunden.
• Schritt 2: Teile die Summe durch die Anzahl der Datenpunkte (9):63 / 9
• Das ergibt:

63 / 9 = 7

• Der Mittelwert (arithmetische Mittel) der Schlafdauern der Studierenden beträgt 7 Stunden.

Zusammenfassung:

• Die Summe der Schlafdauern: 63 Stunden
• Anzahl der Datenpunkte: 9
• Mittelwert (arithmetisches Mittel): 7 Stunden

b)

Bestimme den Median der Schlafdauern. Erkläre den Unterschied zur Berechnung des Medians bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen.

Lösung:

Bestimmung des Medians der Schlafdauern

• Der Median ist der mittlere Wert eines geordneten Datensatzes und teilt die Daten in zwei gleich große Hälften auf.
• Der Median repräsentiert den typischen Wert, der zentral gelegen ist, und ist weniger anfällig gegenüber Ausreißern als der Mittelwert.

• Schritt 1: Ordne die Daten der Größe nach: 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10
• Schritt 2: Da die Anzahl der Beobachtungen (9) ungerade ist, liegt der Medianwert exakt in der Mitte der sortierten Liste. Bei 9 Werten ist das der 5. Wert.
• Der Medianwert ist daher 7.

Unterschied zur Berechnung des Medians bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen:

• Bei einer ungeraden Anzahl an Beobachtungen (z.B. 9) ist der Median der mittlere Wert in der geordneten Liste. Das heißt, es gibt genau einen Wert, der die Liste in zwei Hälften teilt.
• Bei einer geraden Anzahl an Beobachtungen existieren keine eindeutige Mitte. In diesem Fall ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.

• Beispiel für eine gerade Anzahl von Beobachtungen:

Angenommen, wir haben die Daten: 5, 6, 7, 8Hier wären die beiden mittleren Werte 6 und 7.Der Median wird berechnet als:  \( \frac{6 + 7}{2} = 6.5 \)

Zusammenfassung:

• Bei einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen ist der Median der mittlere Wert der geordneten Daten.
• Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Werte der geordneten Daten.
• Der Median der gegebenen Schlafdauern beträgt 7 Stunden.

c)

Identifiziere den Modus der Schlafdauern. Was sagt der Modus in Bezug auf die Verteilung der Schlafdauern aus?

Lösung:

Identifizierung des Modus der Schlafdauern

• Der Modus ist der Wert, der in einem Datensatz am häufigsten vorkommt.

• Schritt 1: Zähle, wie oft jeder Wert im Datensatz vorkommt:
• 5 kommt 2 Mal vor.
• 6 kommt 2 Mal vor.
• 7 kommt 2 Mal vor.
• 8 kommt 1 Mal vor.
• 9 kommt 1 Mal vor.
• 10 kommt 1 Mal vor.
• Schritt 2: Die Werte 5, 6 und 7 kommen jeweils am häufigsten vor, nämlich 2 Mal.
• Da es mehrere Werte mit der gleichen höchsten Häufigkeit gibt, haben wir hier einen multimodalen Datensatz, was bedeutet, dass es mehrere Modi gibt.

Ergebnisse:

• Die Modi der Schlafdauern sind 5, 6 und 7.

Bedeutung des Modus für die Verteilung der Schlafdauern:

• Der Modus gibt uns die häufigsten Schlafdauern in der untersuchten Gruppe an.
• Da die Modi 5, 6 und 7 Stunden jeweils am häufigsten vorkommen, zeigt dies, dass viele Studierende in der Stichprobe zumeist 5, 6 oder 7 Stunden Schlaf pro Nacht bekommen.
• Die Tatsache, dass es mehrere Modi gibt, deutet darauf hin, dass die Verteilung der Schlafdauern nicht unimodal (einfacher Gipfelpunkt) ist, sondern mehrere Gipfel (Häufigkeiten) hat.

Zusammenfassung:

• Modi der gegebenen Schlafdauern: 5, 6 und 7 Stunden.
• Die Untersuchung zeigt, dass es mehrere typische Schlafdauern (5, 6 und 7 Stunden) in der Gruppe gibt, was auf eine vielfältige Verteilung der Schlafgewohnheiten hinweist.

Aufgabe 2)

Angenommen, Du bist ein Psychologiestudent und hast eine kleine Stichprobe von fünf Teilnehmern, die in einem Experiment ihre Reaktionszeiten (in Sekunden) gemessen haben. Die Werte der Reaktionszeiten sind: 2, 3, 2, 5, 4. Berechne die Streuungsmaße der Daten, um Rückschlüsse auf die Reaktionsfähigkeiten der Teilnehmer zu ziehen.

a)

Berechne den Mittelwert (\(\bar{x}\)) der Reaktionszeiten.

Lösung:

• Gegeben: Die Reaktionszeiten der Teilnehmer sind: 2, 3, 2, 5, 4.
• Schritt-für-Schritt-Lösung:
• 1. Bestimme die Anzahl der Datenpunkte (n):n = 5
• 2. Addiere alle Reaktionszeiten:2 + 3 + 2 + 5 + 4 = 16
• 3. Berechne den Mittelwert (\bar{x}):\bar{x} = \frac{\text{Summe der Datenpunkte}}{n} = \frac{16}{5} = 3.2
• Ergebnis: Der Mittelwert (\bar{x}) der Reaktionszeiten ist 3.2 Sekunden.

b)

Berechne die Varianz (\(s^2\)) der Reaktionszeiten unter Berücksichtigung, dass es sich um eine Stichprobe handelt.

Lösung:

• Gegeben: Die Reaktionszeiten der Teilnehmer sind: 2, 3, 2, 5, 4.
• Berechnung der Varianz (s^2):
• 1. Berechne zuerst den Mittelwert (\bar{x}):
• \bar{x} = \frac{2+3+2+5+4}{5} = 3.2
• 2. Bestimme die Abweichungen jedes Datenpunkts zum Mittelwert und quadriere diese:
• (2 - 3.2)^2 = 1.44
• (3 - 3.2)^2 = 0.04
• (2 - 3.2)^2 = 1.44
• (5 - 3.2)^2 = 3.24
• (4 - 3.2)^2 = 0.64
• 3. Addiere diese quadrierten Abweichungen:
• 1.44 + 0.04 + 1.44 + 3.24 + 0.64 = 6.8
• 4. Teile die Summe durch die Anzahl der Datenpunkte minus eins (n - 1), da es sich um eine Stichprobe handelt:
• Varianz (s^2) = \frac{6.8}{5-1} = \frac{6.8}{4} = 1.7
• Ergebnis: Die Varianz (s^2) der Reaktionszeiten beträgt 1.7 Sekunden^2.

c)

Berechne die Standardabweichung (\(s\)) der Reaktionszeiten.

Lösung:

• Gegeben: Die Reaktionszeiten der Teilnehmer sind: 2, 3, 2, 5, 4.
• Berechnung der Standardabweichung (s):
• 1. Berechne zuerst den Mittelwert (\bar{x}):
• \bar{x} = \frac{2+3+2+5+4}{5} = 3.2
• 2. Bestimme die Abweichungen jedes Datenpunkts vom Mittelwert und quadriere diese:
• (2 - 3.2)^2 = 1.44
• (3 - 3.2)^2 = 0.04
• (2 - 3.2)^2 = 1.44
• (5 - 3.2)^2 = 3.24
• (4 - 3.2)^2 = 0.64
• 3. Addiere diese quadrierten Abweichungen:
• 1.44 + 0.04 + 1.44 + 3.24 + 0.64 = 6.8
• 4. Berechne die Varianz (s^2), indem du die Summe durch die Anzahl der Datenpunkte minus eins (n - 1) teilst, da es sich um eine Stichprobe handelt:
• s^2 = \frac{6.8}{5-1} = \frac{6.8}{4} = 1.7
• 5. Berechne die Standardabweichung (s), indem du die Quadratwurzel der Varianz (s^2) ziehst:
• s = \sqrt{1.7} \ \ \ \ \ = 1.3038 (gerundet auf vier Dezimalstellen)
• Ergebnis: Die Standardabweichung (s) der Reaktionszeiten beträgt etwa 1.3038 Sekunden.

d)

Diskutiere, wie empfindlich die Varianz und die Standardabweichung gegenüber Ausreißern sind, und welche Auswirkungen das auf die Interpretation Deiner Daten haben könnte.

Lösung:

• Diskussion über die Empfindlichkeit von Varianz und Standardabweichung gegenüber Ausreißern:
• 1. Varianz (s^2):
  • Die Varianz wird berechnet, indem die Abweichungen der einzelnen Datenpunkte vom Mittelwert quadriert und dann diese quadrierten Abweichungen gemittelt werden.
  • Aufgrund dieses Quadrierens werden größere Abweichungen (wie sie bei Ausreißern vorkommen) noch deutlicher vergrößert, was die Varianz empfindlicher gegenüber Ausreißern macht.
  • Ein Ausreißer (z.B. ein sehr großer oder sehr kleiner Wert) kann somit die Varianz erheblich vergrößern, was zu einer verzerrten Einschätzung der Datenstreuung führt.
• 2. Standardabweichung (s):
  • Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und damit ebenfalls stark von Ausreißern beeinflusst.
  • Ein einzelner Ausreißer kann die Standardabweichung erheblich erhöhen, was bedeutet, dass die typische Abweichung der Werte vom Mittelwert größer erscheint, als sie es in Wirklichkeit ist.
• Auswirkungen auf die Interpretation der Daten:
• Ausreißer können die Berechnungen der Varianz und Standardabweichung stark beeinflussen und somit die wahrgenommene Streuung der Daten unnatürlich vergrößern.
• In Anwesenheit von Ausreißern kann es nützlich sein, robustere statistische Maße zu verwenden wie z.B. den Interquartilsabstand (IQR) oder die Median Absolute Deviation (MAD), die weniger anfällig für extreme Werte sind.
• Es ist auch möglich, Ausreißer zu identifizieren und ggf. getrennt zu analysieren oder zu entfernen, um eine genauere Interpretation der zentralen Tendenzen und Streuungen der Daten zu ermöglichen.
• Wenn die Reaktionszeiten z.B. 2, 3, 2, 5, 4 und eine unerwartete 15 Sekunden Umfasst wird, könnte das die Varianz und Standardabweichung so erheblich erhöhen, dass ungenaue Schlüsse über die Reaktionszeitfähigkeit der meisten Teilnehmer gezogen werden könnten.
• Fazit:Es ist wichtig, bei der Analyse der Streuung von Daten mögliche Ausreißer zu berücksichtigen und deren Einfluss auf Maße wie Varianz und Standardabweichung zu verstehen, um zu fundierten und realistischen Rückschlüssen auf die Reaktionsfähigkeiten der Teilnehmer zu gelangen.

Aufgabe 3)

In einer psychologischen Studie wird untersucht, wie häufig Patienten unter verschiedenen Umständen einen bestimmten Test positiv bestehen. Es sei bekannt, dass 70% der Patienten, die eine intensive Vorbereitung durchlaufen haben, den Test bestehen, und dass 40% der Patienten, die eine moderate Vorbereitung durchlaufen haben, den Test bestehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchläuft, beträgt 0.5, und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient eine moderate Vorbereitung durchläuft, beträgt ebenfalls 0.5. Zusätzliche Informationen aus früheren Studien legen nahe, dass 60% aller Patienten, die den Test bestehen, eine intensive Vorbereitung durchlaufen haben.

a)

Berechne die totale Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient den Test besteht, unabhängig von der Art der Vorbereitung.

Lösung:

Um die totale Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Patient den Test besteht, unabhängig von der Art der Vorbereitung, nutzen wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.

• Sei A das Ereignis, dass ein Patient den Test besteht.
• Sei B₁ das Ereignis, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchläuft.
• Sei B₂ das Ereignis, dass ein Patient eine moderate Vorbereitung durchläuft.

Nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:

$$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)$$

Wobei P(A|B₁) die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Patient den Test besteht, gegeben, dass er eine intensive Vorbereitung absolviert hat, und P(A|B₂) die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Patient den Test besteht, gegeben, dass er eine moderate Vorbereitung absolviert hat.

• P(A|B₁) = 0.7
• P(A|B₂) = 0.4
• P(B₁) = 0.5
• P(B₂) = 0.5

Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

$$P(A) = (0.7 \times 0.5) + (0.4 \times 0.5)$$

Berechnen wir den Ausdruck:

$$P(A) = 0.35 + 0.2 = 0.55$$

Die totale Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient den Test besteht, beträgt also 0.55 oder 55%.

b)

Nutze den Satz von Bayes, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchlaufen hat, gegeben dass er den Test bestanden hat.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchlaufen hat, gegeben dass er den Test bestanden hat, nutzen wir den Satz von Bayes.

• Sei A das Ereignis, dass ein Patient den Test besteht.
• Sei B₁ das Ereignis, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchläuft.

Der Satz von Bayes lautet:

$$P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1) P(B_1)}{P(A)}$$

Wir haben bereits einige Wahrscheinlichkeiten gegeben und berechnet:

• P(A|B₁) = 0.7 (Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient den Test besteht, gegeben eine intensive Vorbereitung)
• P(B₁) = 0.5 (Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchläuft)
• P(A) = 0.55 (totale Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient den Test besteht, berechnet im vorherigen Teil)
• P(B₁|A) = 0.6 (Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchlaufen hat, gegeben dass er den Test bestanden hat)

Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

$$P(B_1|A) = \frac{0.7 \times 0.5}{0.55}$$

Berechnen wir den Ausdruck:

$$P(B_1|A) = \frac{0.35}{0.55} \approx 0.6363$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchlaufen hat, gegeben dass er den Test bestanden hat, beträgt also etwa 0.6363 oder 63.63%.

c)

Definiere die Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die du zur Lösung der obigen Aufgaben verwendet hast.

Lösung:

Um die Aufgaben zu lösen, haben wir die folgenden Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen definiert:

• Zufallsvariable A: Das Ereignis, dass ein Patient den Test besteht.
  • Wahrscheinlichkeit: P(A) = 0.55
• Zufallsvariable B₁: Das Ereignis, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchläuft.
  • Wahrscheinlichkeit: P(B₁) = 0.5
• Zufallsvariable B₂: Das Ereignis, dass ein Patient eine moderate Vorbereitung durchläuft.
  • Wahrscheinlichkeit: P(B₂) = 0.5
• Bedingen Wahrscheinlichkeiten:
  • Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient den Test besteht, gegeben, dass er eine intensive Vorbereitung durchläuft: P(A|B₁) = 0.7
  • Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient den Test besteht, gegeben, dass er eine moderate Vorbereitung durchläuft: P(A|B₂) = 0.4
  • Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchlaufen hat, gegeben dass er den Test bestanden hat: P(B₁|A) = 0.6

Diese Wahrscheinlichkeiten haben wir genutzt, um die totalen Wahrscheinlichkeiten und bedingten Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit und des Satzes von Bayes zu berechnen.

d)

Erkläre, wie sich die Varianz der Testergebnisse ändern könnte, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eine moderate Vorbereitung durchlaufen wird, auf 0.7 steigt, und berechne die neue totale Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient den Test besteht.

Lösung:

Um zu erklären, wie sich die Varianz der Testergebnisse ändern könnte, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eine moderate Vorbereitung durchlaufen wird, auf 0.7 steigt, und um die neue totale Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Patient den Test besteht, müssen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Wahrscheinlichkeiten neu berechnen.

Änderung der Wahrscheinlichkeiten:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchläuft, sinkt auf 0.3, da die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 sein muss:
• P(B₁) = 0.3
• P(B₂) = 0.7

Berechnung der neuen totalen Wahrscheinlichkeit:

Wir verwenden wieder den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:

$$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)$$

• Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient den Test besteht, gegeben, dass er eine intensive Vorbereitung durchläuft: P(A|B₁) = 0.7
• Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient den Test besteht, gegeben, dass er eine moderate Vorbereitung durchläuft: P(A|B₂) = 0.4
• Neue Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient eine intensive Vorbereitung durchläuft: P(B₁) = 0.3
• Neue Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient eine moderate Vorbereitung durchläuft: P(B₂) = 0.7

Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

$$P(A) = (0.7 \times 0.3) + (0.4 \times 0.7)$$

Berechnen wir den Ausdruck:

$$P(A) = 0.21 + 0.28 = 0.49$$

Die neue totale Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient den Test besteht, beträgt also 0.49 oder 49%.

Änderung der Varianz:

Die Varianz misst, wie stark die Ergebnisse streuen. Veränderungen in der Vorbereitung der Patienten beeinflussen die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Testergebnisse und somit auch die Varianz.

• Wenn die Wahrscheinlichkeit einer moderaten Vorbereitung steigt, erhöht sich der Anteil der Patienten, die eine Vorbereitung mit einer geringeren Bestehenswahrscheinlichkeit (40%) haben.
• Dies führt zu einer größeren Streuung der Testergebnisse, da mehr Patienten sich in der Gruppe mit einer niedrigeren Erfolgsquote befinden.
• Die Varianz der Testergebnisse könnte folglich steigen, da die Erfolgsraten stärker um den Mittelwert streuen. Ein größerer Anteil an Patienten hat eine geringere Bestehenswahrscheinlichkeit, was zu einer größeren Dispersion (Streuung) der Ergebnisse führt.

Zusammenfassend führt die Erhöhung der Wahrscheinlichkeit für eine moderate Vorbereitung auf 0.7 nicht nur zu einer verringerten totalen Bestehenswahrscheinlichkeit (von 0.55 auf 0.49), sondern auch zu einer größeren Streuung der Testergebnisse, was sich als erhöhte Varianz manifestieren würde.

Aufgabe 4)

Ein Psychologie-Studierender führt ein Experiment durch, bei dem er die Reaktionszeiten der Probanden auf ein bestimmtes Signal misst. Die Reaktionszeit wird in Sekunden gemessen und ist eine kontinuierliche Zufallsvariable. Stelle dir vor, dass die Verteilung dieser Reaktionszeiten durch die Dichtefunktion \( f_X(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x / \theta} \) für \( x \geq 0 \) beschrieben wird, wobei \( \theta \) die Parameter der Verteilung ist.

a)

• (a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Reaktionszeit des Probanden zwischen 2 und 4 Sekunden liegt, wenn \( \theta = 3 \).
• Lösung:
  1. Die Dichtefunktion für \( X \) ist \( f_X(x) = \frac{1}{3} e^{-x / 3} \) für \( x \geq 0 \).
  2. Wir müssen nun die Wahrscheinlichkeit berechnen:
  3. \[\begin{align} P(2 \leq X \leq 4) &= \int_{2}^{4} \frac{1}{3} e^{-x / 3} dx \end{align}\]
  4. Nun bestimmen wir die Stammfunktion:\[\begin{align} \int \frac{1}{3} e^{-x / 3} dx &= -e^{-x/3} + C\end{align}\]
  5. Jetzt berechnen wir das bestimmte Integral:\[\begin{align} P(2 \leq X \leq 4) &= -e^{-4/3}+e^{-2/3} \end{align} \]
  6. Setze die Werte ein und gebe das Ergebnis an.

  Lösung:

  • Ein Psychologie-Studierender führt ein Experiment durch, bei dem er die Reaktionszeiten der Probanden auf ein bestimmtes Signal misst. Die Reaktionszeit wird in Sekunden gemessen und ist eine kontinuierliche Zufallsvariable. Stelle Dir vor, dass die Verteilung dieser Reaktionszeiten durch die Dichtefunktion

    f_X(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x / \theta} \quad \text{für} \quad x \geq 0

    beschrieben wird, wobei θ der Parameter der Verteilung ist.
  • (a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Reaktionszeit des Probanden zwischen 2 und 4 Sekunden liegt, wenn θ = 3.
  Lösung:
  1. Die Dichtefunktion für X ist

     f_X(x) = \frac{1}{3} e^{-x / 3}

     für x ≥ 0.
  2. Wir müssen nun die Wahrscheinlichkeit berechnen:

  3. P(2 ≤ X ≤ 4) = \int_{2}^{4} \frac{1}{3} e^{-x / 3} dx

  4. Nun bestimmen wir die Stammfunktion:

     \int \frac{1}{3} e^{-x / 3} dx = -e^{-x/3} + C

  5. Jetzt berechnen wir das bestimmte Integral:

     P(2 ≤ X ≤ 4) = -e^{-4/3} + e^{-2/3}

  6. Setze die Werte ein und gebe das Ergebnis an:

     P(2 ≤ X ≤ 4) = -e^{-4/3} + e^{-2/3}

b)

• (b) Die gleiche Studierende möchte herausfinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Reaktionszeit weniger als 1 Sekunde beträgt. Berechne diese Wahrscheinlichkeit.
• Lösung:
  1. Die Dichtefunktion für \( X \) ist weiterhin \( f_X(x) = \frac{1}{3} e^{-x / 3} \) für \( x \geq 0 \).
  2. Wir müssen nun berechnen:
  3. \[\begin{align} P(X < 1) &= \int_{0}^{1} \frac{1}{3} e^{-x / 3} dx \end{align}\]
  4. Bestimme wieder die Stammfunktion:\[\begin{align} \int \frac{1}{3} e^{-x / 3} dx &= -e^{-x/3} + C\end{align}\]
  5. Berechne schließlich das bestimmte Integral:\[\begin{align} P(X < 1) &= 1 - e^{-1/3} \end{align}\]
  6. Setze die Werte ein und gebe das Ergebnis an.

  7. Lösung:

     • Ein Psychologie-Studierender führt ein Experiment durch, bei dem er die Reaktionszeiten der Probanden auf ein bestimmtes Signal misst. Die Reaktionszeit wird in Sekunden gemessen und ist eine kontinuierliche Zufallsvariable. Stelle Dir vor, dass die Verteilung dieser Reaktionszeiten durch die Dichtefunktion

       f_X(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x / \theta} \quad \text{für} \quad x \geq 0

       beschrieben wird, wobei θ der Parameter der Verteilung ist.
     • (b) Die gleiche Studierende möchte herausfinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Reaktionszeit weniger als 1 Sekunde beträgt. Berechne diese Wahrscheinlichkeit.
     Lösung:
     1. Die Dichtefunktion für X ist weiterhin

        f_X(x) = \frac{1}{3} e^{-x / 3} \quad \text{für} \quad x \geq 0.

     2. Wir müssen nun berechnen:

     3. P(X < 1) = \int_{0}^{1} \frac{1}{3} e^{-x / 3} dx

     4. Bestimme wieder die Stammfunktion:

        \int \frac{1}{3} e^{-x / 3} dx = -e^{-x/3} + C

     5. Berechne schließlich das bestimmte Integral:

        P(X < 1) = \left[ -e^{-x/3} \right]_{0}^{1} = -e^{-1/3} - (-e^{0}) = 1 - e^{-1/3}

     6. Setze die Werte ein und gebe das Ergebnis an:

        P(X < 1) = 1 - e^{-1/3} \approx 0,283

c)

• (c) Bestimme den Erwartungswert \( E(X) \) und die Varianz \( Var(X) \) der Zufallsvariable \( X \) für die gegebene Dichtefunktion. Beschreibe die Resultate im Kontext der Reaktionszeiten.
• Lösung:
  1. Für die gegebene Dichtefunktion einer exponentiellen Verteilung \( f_X(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x / \theta} \) sind die allgemeine Formeln für Erwartungswert und Varianz bekannt:
  2. Erwartungswert: \( E(X) = \theta \)
  3. Varianz: \( Var(X) = \theta^2 \).
  4. Setze \( \theta = 3 \) in die Formeln ein:\
     • \( E(X) = 3 \)
     • \( Var(X) = 9 \)
  5. Erkläre, was diese Werte im Kontext der Reaktionszeitmessungen bedeuten.

Lösung:

• Ein Psychologie-Studierender führt ein Experiment durch, bei dem er die Reaktionszeiten der Probanden auf ein bestimmtes Signal misst. Die Reaktionszeit wird in Sekunden gemessen und ist eine kontinuierliche Zufallsvariable. Stelle dir vor, dass die Verteilung dieser Reaktionszeiten durch die Dichtefunktion

  f_X(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x / \theta} \quad \text{für} \quad x \geq 0

  beschrieben wird, wobei θ der Parameter der Verteilung ist.
• (c) Bestimme den Erwartungswert E(X) und die Varianz Var(X) der Zufallsvariable X für die gegebene Dichtefunktion. Beschreibe die Resultate im Kontext der Reaktionszeiten.
Lösung:

1. Für die gegebene Dichtefunktion einer exponentiellen Verteilung

   f_X(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x / \theta}

   sind die allgemeinen Formeln für Erwartungswert und Varianz bekannt:
2. Erwartungswert:

   E(X) = \theta

3. Varianz:

   Var(X) = \theta^2

   .
4. Setze θ = 3 in die Formeln ein:

   • E(X) = 3

   • Var(X) = 9

5. Erkläre, was diese Werte im Kontext der Reaktionszeitmessungen bedeuten:
6. Der Erwartungswert E(X) = 3 bedeutet, dass die durchschnittliche Reaktionszeit der Probanden auf das Signal 3 Sekunden beträgt.
7. Die Varianz Var(X) = 9 bedeutet, dass die Reaktionszeiten eine Streuung von 9 Sekunden^2 um den Erwartungswert von 3 Sekunden haben. Dies zeigt, wie stark die Reaktionszeiten um den Mittelwert variieren.