Statistik II - Exam

Aufgabe 1)

Ein Forscher führt eine Studie über das Schlafverhalten von Studierenden durch. Dabei sammelt er die Schlafdauer von 10 Teilnehmern in Stunden:

• 8
• 6
• 7
• 5
• 6
• 8
• 10
• 7
• 6
• 9

Basierend auf diesen Daten sollen nun verschiedene zentrale Tendenzen berechnet werden.

a)

Berechne den arithmetischen Mittelwert der Schlafdauer der Teilnehmer. Zeige alle Berechnungsschritte.

Lösung:

Um den arithmetischen Mittelwert der Schlafdauer der Teilnehmer zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

• 1. Schritt: Summiere alle gegebenen Schlafdauerwerte.
• 2. Schritt: Teile die aufsummierten Werte durch die Anzahl der Teilnehmer.

Die Schlafdauerwerte sind: 8, 6, 7, 5, 6, 8, 10, 7, 6, 9

Berechnung:

• Summe der Schlafdauer: 8 + 6 + 7 + 5 + 6 + 8 + 10 + 7 + 6 + 9 = 72
• Anzahl der Teilnehmer: 10
• Arithmetischer Mittelwert = \frac{Summe}{Anzahl} = \frac{72}{10} = 7.2

Der arithmetische Mittelwert der Schlafdauer der Teilnehmer beträgt somit 7,2 Stunden.

b)

Bestimme den Median der Schlafdauer der Teilnehmer. Beschreibe den Prozess und die einzelnen Schritte, wie du zum Ergebnis gekommen bist.

Lösung:

Um den Median der Schlafdauer der Teilnehmer zu bestimmen, folgen wir diesen Schritten:

• 1. Schritt: Ordne die Daten in aufsteigender Reihenfolge.
• 2. Schritt: Da die Anzahl der Werte (10) gerade ist, berechne das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte in der sortierten Liste.

Die ursprünglichen Werte sind: 8, 6, 7, 5, 6, 8, 10, 7, 6, 9

1. Schritt: Sortiere die Werte: 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10

2. Schritt: Finde die beiden mittleren Werte:

• Siebter Wert (Position 5, wenn wir von 1 zählen): 7
• Achter Wert (Position 6, wenn wir von 1 zählen): 7

3. Schritt: Berechne das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte: \(Median = \frac{7 + 7}{2} = 7\)

Der Median der Schlafdauer der Teilnehmer beträgt somit 7 Stunden.

c)

Ermittle den Modus der Schlafdauer der Teilnehmer. Erkläre, was der Modus in dieser Datenverteilung bedeutet.

Lösung:

Um den Modus der Schlafdauer der Teilnehmer zu ermitteln, folgen wir diesen Schritten:

• 1. Schritt: Zähle die Häufigkeit jedes einzelnen Werts in der Datenreihe.
• 2. Schritt: Bestimme den Wert, der am häufigsten vorkommt.

Die ursprünglichen Schlafdauerwerte sind: 8, 6, 7, 5, 6, 8, 10, 7, 6, 9

1. Schritt: Häufigkeit der einzelnen Werte zählen:

• 5: 1 Mal
• 6: 3 Mal
• 7: 2 Mal
• 8: 2 Mal
• 9: 1 Mal
• 10: 1 Mal

2. Schritt: Bestimme den Wert mit der höchsten Häufigkeit:

Der Wert 6 kommt dreimal vor und ist somit der häufigste Wert.

Der Modus der Schlafdauer der Teilnehmer ist daher 6 Stunden.

Der Modus gibt in dieser Datenverteilung an, welche Schlafdauer am häufigsten unter den Teilnehmern vorkommt. In diesem Fall bedeutet es, dass die meisten Studierenden eine Schlafdauer von 6 Stunden haben.

d)

Ein neuer Teilnehmer wird in die Studie aufgenommen und seine Schlafdauer beträgt 6 Stunden. Berechne den neuen arithmetischen Mittelwert, Median und ggf. Modus unter Berücksichtigung dieses zusätzlichen Wertes. Zeige alle Rechenschritte und erkläre, wie sich die Kennzahlen verändert haben.

Lösung:

Um die neuen Kennzahlen zu berechnen, berücksichtigen wir den zusätzlichen Datenpunkt (6 Stunden). Die neuen Schlafdauerwerte sind: 8, 6, 7, 5, 6, 8, 10, 7, 6, 9, 6

1. Arithmetischer Mittelwert:

• 1. Schritt: Summiere alle neuen Schlafdauerwerte.8 + 6 + 7 + 5 + 6 + 8 + 10 + 7 + 6 + 9 + 6 = 78
• 2. Schritt: Teile die Summe durch die Anzahl der Teilnehmer (11).\(Arithmetischer Mittelwert = \frac{78}{11} \approx 7.09\)

Der neue arithmetische Mittelwert beträgt somit ungefähr 7,09 Stunden.

2. Median:

• 1. Schritt: Ordne die neuen Werte in aufsteigender Reihenfolge.5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10
• 2. Schritt: Da die Anzahl der Werte (11) jetzt ungerade ist, ist der Median der mittlere Wert in der sortierten Liste (Position 6).6. Wert = 7

Der neue Median beträgt somit 7 Stunden.

3. Modus:

• 1. Schritt: Bestimme die Häufigkeit der einzelnen Werte:
  • 5: 1 Mal
  • 6: 4 Mal
  • 7: 2 Mal
  • 8: 2 Mal
  • 9: 1 Mal
  • 10: 1 Mal

Der Wert 6 kommt am häufigsten vor (4 Mal).

Der neue Modus der Schlafdauer der Teilnehmer ist somit 6 Stunden.

Zusammenfassung der Änderungen:

• Der arithmetische Mittelwert ist geringfügig von 7,2 auf ungefähr 7,09 gesunken.
• Der Median bleibt unverändert bei 7 Stunden.
• Der Modus bleibt ebenfalls unverändert bei 6 Stunden, allerdings hat sich die Häufigkeit dieses Wertes von 3 auf 4 erhöht.

Aufgabe 2)

In einer Studie wird der Zusammenhang zwischen der Anzahl gelesener Bücher pro Jahr (X) und der erzielten Gesamtpunktzahl in einem Psychologie-Abschlusstest (Y) untersucht. Angenommen, die lineare Regressionsgleichung lautet: \[ Y = 15 + 2.5X + \text{Fehler} \] wobei Y die Punktzahl im Test und X die Anzahl der gelesenen Bücher ist. Die Koeffizienten 15 und 2.5 wurden mittels der Methode der kleinsten Quadrate (OLS) geschätzt.

a)

Interpretiere die Regressionskoeffizienten (15 und 2.5) im Kontext der Studie. Welche Bedeutung haben diese Koeffizienten für die Vorhersage und Erklärung der Punktzahl im Psychologie-Abschlusstest?

Lösung:

Interpretation der Regressionskoeffizienten:

• Intercept (15): Der Intercept oder Achsenabschnitt ist der Koeffizient, der den konstanten Term in der linearen Regressionsgleichung darstellt. In diesem Fall bedeutet der Wert 15, dass eine Person, die kein einziges Buch pro Jahr (X=0) liest, eine geschätzte Punktzahl von 15 im Psychologie-Abschlusstest erzielen würde. Dieser Wert zeigt den Ausgangspunkt der geschätzten Testpunktzahl, wenn keine Bücher gelesen werden.
• Steigung (2.5): Die Steigung oder der Koeffizient von X beträgt 2.5. Dies bedeutet, dass für jedes zusätzliche Buch, das in einem Jahr gelesen wird, die erzielte Punktzahl im Psychologie-Abschlusstest um 2.5 Punkte steigen wird. Mit anderen Worten, es gibt einen positiven Zusammenhang zwischen der Anzahl der gelesenen Bücher und der Testpunktzahl: Je mehr Bücher gelesen werden, desto höher ist die erzielte Punktzahl im Test.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Regressionsgleichung

• vorhersagt, dass die Punktzahl im Psychologie-Abschlusstest mit zunehmender Anzahl der gelesenen Bücher steigt, und
• erklärt sie eine Basis-Punktzahl (15) für Personen, die keine Bücher lesen.

Diese Koeffizienten sind daher entscheidend für die Bewertung, wie Lesen mit den Testergebnissen in der Psychologie zusammenhängt.

b)

Berechne die geschätzte Punktzahl in dem Psychologie-Abschlusstest für eine Person, die in einem Jahr 8 Bücher gelesen hat. Verwende die gegebene Regressionsgleichung. Zeige alle Berechnungen.

Lösung:

Berechnung der geschätzten Punktzahl:

• Die gegebene Regressionsgleichung lautet:

   Y = 15 + 2.5X + \text{Fehler} 

Um die geschätzte Punktzahl zu berechnen, setzen wir die Anzahl der gelesenen Bücher (X) in die Regressionsgleichung ein. In diesem Fall hat die Person 8 Bücher gelesen, also ist X = 8.

• Ersetze X mit 8 in der Gleichung:

   Y = 15 + 2.5 * 8 

• Führe die Berechnung durch:

   Y = 15 + 20 Y = 35 

Die geschätzte Punktzahl im Psychologie-Abschlusstest für eine Person, die 8 Bücher in einem Jahr gelesen hat, beträgt 35.

c)

Stelle dir vor, der Determinationskoeffizient (R²) für die angegebene Regressionsgleichung beträgt 0.64. Was sagt dieser Wert über die Anpassung des Modells an die Daten aus? Diskutiere die Bedeutung und mögliche Interpretationen dieses Wertes im Kontext der Untersuchung.

Lösung:

Interpretation des Determinationskoeffizienten (R²):

• Der Determinationskoeffizient (R²) gibt an, wie gut die unabhängige Variable (in diesem Fall die Anzahl der gelesenen Bücher) die Variation der abhängigen Variable (die erzielte Punktzahl im Psychologie-Abschlusstest) erklärt.
• Ein R²-Wert von 0.64 bedeutet, dass 64 % der Varianz der erzielten Punktzahl im Test durch die Anzahl der gelesenen Bücher erklärt wird.

Bedeutung und mögliche Interpretationen:

• Modellanpassung: Ein R²-Wert von 0.64 zeigt eine moderate bis gute Anpassung des Modells an die Daten. Das Modell kann also 64 % der Schwankungen in den Testergebnissen mithilfe der Anzahl gelesener Bücher erklären.
• Erklärte Varianz: 64 % der Varianz in der Punktzahl lässt sich auf die Anzahl der gelesenen Bücher zurückführen. Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass es auch noch andere Faktoren gibt, die die restlichen 36 % der Varianz erklären.
• Bedeutung für die Forschung: Obwohl das Modell eine beträchtliche Menge der Varianz erklärt, deutet der R²-Wert auch darauf hin, dass weitere Variablen oder Faktoren berücksichtigt werden müssen, um das Modell zu verbessern und die Testergebnisse genauer zu erklären.
• Zusammenfassung: Der Wert von 0.64 ist ein Hinweis darauf, dass das Lesen von Büchern einen signifikanten Einfluss auf die Testergebnisse hat, aber es gibt noch Raum für weitere Verbesserungen und Erklärungen durch andere Faktoren.

Aufgabe 3)

Angenommen, wir haben die Zufallsvariable X, die eine diskrete Verteilung mit den Werten 1, 2, 3 und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p(1) = 0.2, p(2) = 0.5, p(3) = 0.3 hat. Bestimme den Erwartungswert, die Varianz und das dritte zentrierte Moment dieser Zufallsvariablen.

a)

Berechne den Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsvariablen X.

Lösung:

Um den Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsvariablen X zu berechnen, verwenden wir die Definition des Erwartungswerts für eine diskrete Zufallsvariable. Der Erwartungswert ist die Summe der Produkte der möglichen Werte und ihrer zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Mathematisch wird das wie folgt ausgedrückt:

• \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i) \).

In diesem Fall hat die Zufallsvariable X die Werte \(1, 2, 3\) mit den Wahrscheinlichkeiten \(P(X=1) = 0.2, P(X=2) = 0.5, P(X=3) = 0.3\).

• \(E(X) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.3\)

Nun führen wir die Berechnungen durch:

• \(E(X) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1\)

Also ist der Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsvariablen X gleich \(2.1\).

b)

Berechne die Varianz \(Var(X)\) und die Standardabweichung \(\sigma\) der Zufallsvariablen X. Bestimme anschließend das dritte zentrierte Moment \(\mu_3\).

Lösung:

Um die Varianz \(Var(X)\) und die Standardabweichung \(\sigma\) der Zufallsvariablen X zu berechnen, benötigen wir den Erwartungswert \(E(X)\). Diesen haben wir bereits zuvor als \(2.1\) berechnet.

Die Varianz einer Zufallsvariablen gibt die Streuung der Werte um ihren Erwartungswert an und wird folgendermaßen berechnet:

• \(Var(X) = E((X - E(X))^2) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X=x_i)\).

In unserem Fall lautet diese Berechnung:

• \(Var(X) = (1 - 2.1)^2 \cdot 0.2 + (2 - 2.1)^2 \cdot 0.5 + (3 - 2.1)^2 \cdot 0.3\)

Nun führen wir die Berechnungen durch:

• \((1 - 2.1)^2 = (-1.1)^2 = 1.21\)
• \((2 - 2.1)^2 = (-0.1)^2 = 0.01\)
• \((3 - 2.1)^2 = (0.9)^2 = 0.81\)

• \(Var(X) = 1.21 \cdot 0.2 + 0.01 \cdot 0.5 + 0.81 \cdot 0.3\)
• \(Var(X) = 0.242 + 0.005 + 0.243 = 0.49\)

Also ist die Varianz \(Var(X)\) der Zufallsvariablen X gleich \(0.49\).

Die Standardabweichung \(\sigma\) ist die Quadratwurzel der Varianz:

• \(\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.49} = 0.7\)

Nun berechnen wir das dritte zentrierte Moment \(\mu_3\). Das dritte zentrierte Moment ist ein Maß für die Schiefe der Verteilung und berechnet sich wie folgt:

• \(\mu_3 = E((X - E(X))^3) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^3 \cdot P(X=x_i)\).

In unserem Fall lautet diese Berechnung:

• \(\mu_3 = (1 - 2.1)^3 \cdot 0.2 + (2 - 2.1)^3 \cdot 0.5 + (3 - 2.1)^3 \cdot 0.3\)

Nun führen wir die Berechnungen durch:

• \((1 - 2.1)^3 = (-1.1)^3 = -1.331\)
• \((2 - 2.1)^3 = (-0.1)^3 = -0.001\)
• \((3 - 2.1)^3 = (0.9)^3 = 0.729\)

• \(\mu_3 = -1.331 \cdot 0.2 + (- 0.001) \cdot 0.5 + 0.729 \cdot 0.3\)
• \(\mu_3 = -0.2662 -0.0005 + 0.2187 = -0.048\)

Also ist das dritte zentrierte Moment \(\mu_3\) der Zufallsvariablen X gleich \(-0.048\).

Aufgabe 4)

Ein Psychologe möchte die durchschnittliche Stressbelastung von Studierenden während der Prüfungsphase an der Universität Erlangen-Nürnberg untersuchen. Dazu wird eine Stichprobe von 100 Studierenden befragt, die auf einer Skala von 1 (sehr wenig Stress) bis 10 (sehr viel Stress) ihre Stressbelastung einschätzen. Der Erwartungswert in der Grundgesamtheit sei \mu = 6\ und die Standardabweichung \sigma = 1.5\.

a)

Erkläre das Gesetz der großen Zahlen (GLGZ) und beschreibe, wie dieses Gesetz auf die obige Situation angewendet werden kann. What can we infer about the sample mean as the sample size increases?

Lösung:

Das Gesetz der großen Zahlen (GLGZ)

Das Gesetz der großen Zahlen (GLGZ) ist ein grundlegendes Prinzip der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik. Es besagt, dass der Durchschnitt (Mittelwert) einer großen Anzahl von Zufallsvariablen mit ihrem Erwartungswert übereinstimmt, wenn die Anzahl der Beobachtungen gegen unendlich geht. Es gibt zwei Hauptversionen dieses Gesetzes: die schwache und die starke Form.

• Schwaches Gesetz der großen Zahlen (SLLN): Für eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen nähert sich der Stichprobenmittelwert mit wachsendem Stichprobenumfang fast sicher dem Erwartungswert der Verteilung an.
• Starkes Gesetz der großen Zahlen (LLN): Der Stichprobenmittelwert konvergiert fast sicher gegen den Erwartungswert, wenn die Anzahl der Beobachtungen gegen unendlich geht.

Anwendung auf die obige Situation

Im Kontext der Untersuchung über die durchschnittliche Stressbelastung von Studierenden während der Prüfungsphase an der Universität Erlangen-Nürnberg bedeutet das Gesetz der großen Zahlen Folgendes:

• Erwartungswert und Stichprobenmittelwert: Der Erwartungswert der Stressbelastung in der Grundgesamtheit ist \(\mu = 6\). Das bedeutet, dass der durchschnittliche Stresswert aller Studierenden in der Universität Erlangen-Nürnberg 6 beträgt.
• Stichprobenmittelwert bei wachsender Stichprobe: Laut GLGZ wird der Mittelwert der Stichprobe von 100 Studierenden (und generell von größeren Stichproben) umso näher an den Erwartungswert \(\mu = 6\) herankommen, je größer die Stichprobe ist. Somit wird der durchschnittliche Stresswert in der Stichprobe präziser den wahren durchschnittlichen Stresswert in der Grundgesamtheit widerspiegeln, wenn die Anzahl der befragten Studierenden steigt.

Schlussfolgerungen bezüglich des Stichprobenmittelwerts

1. Je größer die Stichprobe, desto näher wird der Stichprobenmittelwert am wahren Erwartungswert (\(\mu = 6\)) liegen.
2. In dieser speziellen Untersuchung mit 100 Studierenden ist zu erwarten, dass der Stichprobenmittelwert einen recht genauen Schätzwert für den echten durchschnittlichen Stresswert der gesamten Studierendenschaft liefert.

b)

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Stichprobenmittelwert der Stressbelastung der 100 Studierenden zwischen 5.8 und 6.2 liegt. Nutze den Zentralen Grenzwertsatz (ZGWZ).

Lösung:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit dem Zentralen Grenzwertsatz (ZGWZ)

Der Zentrale Grenzwertsatz (ZGWZ) besagt, dass der Mittelwert einer großen Anzahl unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen annähernd normalverteilt ist, unabhängig von der ursprünglichen Verteilung der Daten. Dies ermöglicht uns, die Normalverteilung anzuwenden, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.In dieser Situation ist die Stressbelastung der Studierenden normalverteilt mit einem Erwartungswert \(\mu = 6\) und einer Standardabweichung \(\sigma = 1.5\). Wir haben eine Stichprobe von 100 Studierenden, also \(n = 100\).Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Stichprobenmittelwert \(\overline{X}\) der Stressbelastung zwischen 5.8 und 6.2 liegt, nutzen wir die Normalverteilung.

• Erwartungswert des Stichprobenmittelwerts:Der Erwartungswert des Stichprobenmittelwerts \(\mu_{\overline{X}}\) ist derselbe wie der Erwartungswert der Grundgesamtheit: \(\mu_{\overline{X}} = \mu = 6\).
• Standardfehler des Mittelwerts:Der Standardfehler des Mittelwerts \(\sigma_{\overline{X}}\) berechnet sich durch:\(\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.5}{\sqrt{100}} = \frac{1.5}{10} = 0.15\).

Nun standardisieren wir die Werte 5.8 und 6.2, um Wahrscheinlichkeiten aus der Standardnormalverteilungstabelle abzulesen.

• Standardisierung von 5.8:\(z_{1} = \frac{5.8 - \mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}} = \frac{5.8 - 6}{0.15} = \frac{-0.2}{0.15} = -1.33\)
• Standardisierung von 6.2:\(z_{2} = \frac{6.2 - \mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}} = \frac{6.2 - 6}{0.15} = \frac{0.2}{0.15} = 1.33\)

Nun bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für diese z-Werte:

• \(P(Z < 1.33)\) aus der Standardnormalverteilungstabelle: Etwa 0.9082
• \(P(Z < -1.33)\) aus der Tabelle: Etwa 0.0918

Schließlich berechnen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

• \(P(5.8 < \overline{X} < 6.2) = P(Z < 1.33) - P(Z < -1.33) = 0.9082 - 0.0918 = 0.8164\)

Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Stichprobenmittelwert der Stressbelastung der 100 Studierenden zwischen 5.8 und 6.2 liegt, etwa 0.8164 oder 81.64%.

c)

Angenommen, der Psychologe erhöht die Stichprobengröße von 100 auf 400. Beschreibe, wie sich dies auf die Verteilung des Stichprobenmittelwertes gemäß dem Zentralen Grenzwertsatz auswirkt. Berechne ebenfalls die neue Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes.

Lösung:

Auswirkung der Erhöhung der Stichprobengröße auf die Verteilung des Stichprobenmittelwertes gemäß dem Zentralen Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz (ZGWZ) besagt, dass der Mittelwert einer großen Anzahl unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen nahezu normalverteilt ist. Dies gilt auch dann, wenn die ursprüngliche Verteilung nicht normal ist.Durch die Erhöhung der Stichprobengröße wird die Verteilung des Stichprobenmittelwertes enger und präziser um den Erwartungswert \(\mu\) der Grundgesamtheit. Mit einer größeren Stichprobe wird die Schätzung des Mittelwertes genauer, und die Varianz wird kleiner.

• Erwartungswert des Stichprobenmittelwerts: Der Erwartungswert des Stichprobenmittelwerts bleibt derselbe wie der Erwartungswert der Grundgesamtheit: \(\mu_{\overline{X}} = \mu = 6\).
• Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts (Standardfehler): Die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts, auch bekannt als Standardfehler, wird kleiner, da sie umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Stichprobengröße \(n\) ist: \(\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).

Berechnung der neuen Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes

Um die neue Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes zu berechnen, nutzen wir die Formel: \(\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

• Gegeben: \(\sigma = 1.5\), und die neue Stichprobengröße \(n = 400\).
• Berechnung: \(\sigma_{\overline{X}} = \frac{1.5}{\sqrt{400}} = \frac{1.5}{20} = 0.075\)

Die neue Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes beträgt also 0.075.

Zusammenfassung

Durch die Erhöhung der Stichprobengröße von 100 auf 400 ergibt sich:

• Die Verteilung des Stichprobenmittelwerts wird schmaler, was bedeutet, dass der Mittelwert genauer um den Erwartungswert \(\mu = 6\) zentriert ist.
• Die neue Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes (Standardfehler) beträgt 0.075.

d)

Warum ist es in der Statistik häufig ausreichend, Normalverteilungen zu nutzen, selbst wenn die zugrundeliegende Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist? Beziehe dich dabei auf den zentralen Grenzwertsatz und dessen Relevanz für psychologische Studien.

Lösung:

Warum ist die Nutzung von Normalverteilungen in der Statistik häufig ausreichend?

Der Zentrale Grenzwertsatz (ZGWZ) ist ein zentrales Konzept in der Statistik, das dazu beiträgt, die Anwendung der Normalverteilung in vielen praktischen statistischen Analysen zu rechtfertigen, auch wenn die zugrundeliegende Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist. Hier sind die wesentlichen Gründe dafür:

Der Zentrale Grenzwertsatz (ZGWZ)

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Verteilung des Mittelwertes einer großen Anzahl unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen annähernd normalverteilt ist, unabhängig von der Form der ursprünglichen Verteilung der Daten. Dies gilt insbesondere dann, wenn die Stichprobengröße groß genug ist.

• Mathematisches Prinzip: Der Zentrale Grenzwertsatz zeigt, dass der Mittelwert (und andere Summen) von Zufallsvariablen mit wachsender Stichprobengröße normalverteilt sind, selbst wenn die ursprünglichen Variablen keiner Normalverteilung folgen.
• Praktische Relevanz: In der Praxis bedeutet dies, dass wir oft die Normalverteilung verwenden können, um Wahrscheinlichkeiten und Konfidenzintervalle zu berechnen, da der ZGWZ sicherstellt, dass der Stichprobenmittelwert bei ausreichender Stichprobengröße normalverteilt ist.

Relevanz für psychologische Studien

Psychologische Studien nutzen häufig große Stichproben, um verlässliche Aussagen über die Grundgesamtheit zu treffen. In solchen Studien ist der ZGWZ besonders hilfreich, weil er Folgendes ermöglicht:

• Vereinfachung der Analyse: Auch wenn die Daten der individuellen Antworten nicht normalverteilt sind, können die Mittelwerte dieser Antworten dennoch normalverteilt sein, wenn eine ausreichende Stichprobengröße vorliegt.
• Robustheit: Der ZGWZ macht viele statistische Methoden robuster und leichter anwendbar, indem er sicherstellt, dass bei großen Stichproben die Verteilung der Mittelwerte annähernd normal ist.
• Konfidenzintervalle und Tests: Viele inferenzstatistische Verfahren, wie z.B. der t-Test und die Konstruktion von Konfidenzintervallen, basieren auf der Annahme der Normalverteilung. Der ZGWZ erlaubt es, diese Verfahren auch dann anzuwenden, wenn die zugrunde liegende Verteilung nicht normal ist.

Zusammenfassung:Die Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes ermöglicht es Statistikern und Forschern in der Psychologie, die Normalverteilung für die Analyse von Daten zu verwenden, selbst wenn die ursprünglichen Daten nicht normalverteilt sind. Dies vereinfacht viele statistische Berechnungen und macht die Analyse robuster und zuverlässiger, insbesondere bei großen Stichproben.