Bruchgleichungen lösen

Eine korrekte Bruchgleichung

Betrachte die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x^2+2x+1}=\hspace{0.17em}5$

Das ist eine Bruchgleichung, denn sie enthält den Bruchterm $\frac{2}{{\mathit{x}}^2+2\mathit{x}+1}$ und die unbekannte Variable x steckt im Nenner dieses Bruchterms.

Der Bruchterm ist dabei die linke Seite der Bruchgleichung und die Zahl 5 die rechte Seite.

Definitionsmenge einer Bruchgleichung bestimmen

Du hast die Bruchgleichung $\frac{5}{3x+1}=2$ gegeben.

Für die Definitionsmenge schaust Du Dir den Nenner $3x+1$ des einzigen Bruchterms an, der in der Bruchgleichung vorkommt.

Um die Nullstelle dieses Nenners zu bestimmen, setzt Du ihn gleich Null.

$\begin{array}{rcl}3x+1& =& 0\\ 3x& =& -1\\ x& =& -\frac{1}{3}\end{array}$

Diese Gleichung wird für den Wert $x_0=\hspace{0.17em}-\frac{1}{3}$erfüllt, das heißt, $x_0$ ist die Nullstelle des Nenners.

Damit lautet die Definitionsmenge

$\mathbb{D}=\hspace{0.17em}\mathrm{\mathbb{Q}}\backslash \left\{-\frac{1}{3}\right\}.$

Hier kannst Du die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren beziehungsweise erweitern.

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{x}& =& 3\overline{)·x}\\ & & \\ \frac{1}{x}·x& =& 3·x\\ 1& =& 3x\\ x& =& \frac{1}{3}\end{array}$

Dadurch fliegt der Nenner raus. Und Du kannst ohne Brüche rechnen.

Um die beiden Bruchterme auf der linken Seite zusammenzufassen, bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.

Ab hier kannst Du die Kernmethode 1 anwenden, um die Gleichung zu lösen.

$\begin{array}{rcl}\frac{8}{2x}& =& 4\overline{)·2x}\\ \frac{8}{2x}·2x& =& 4·2x\end{array}$

Aufgabe

Betrachte die Bruchgleichung $\frac{5}{2x}=4$ und gib die Lösung an.

Lösung

Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

Du hast hier nur einen Bruchterm mit dem Nenner $2x$. Die Nullstelle hiervon ist $x_0=\hspace{0.17em}0$, da Du die Zahl Null nicht in den Nenner einsetzen darfst, denn $2·0=0$. Entsprechend erhältst Du als Definitionsmenge die Menge

$\mathbb{D}=\mathrm{\mathbb{Q}}\backslash \left\{0\right\}\hspace{0.17em}.$

Schritt 2: Bruchgleichung lösen

Du befindest Dich hier in der Situation, in der links nur ein Bruchterm steht und rechts eine konkrete Zahl. Du kannst also die erste Kernmethode anwenden. Konkret, multiplizierst Du die gesamte Bruchgleichung mit dem Nenner $2x$:

$\begin{array}{rcl}2x·\frac{5}{2x}& =& \hspace{0.17em}2x·4\\ 5& =& \hspace{0.17em}8x\end{array}$

Nun brauchst Du nur noch durch 8 zu dividieren. Die Lösung der Bruchgleichung lautet damit

$x=\frac{5}{8}$.

Schritt 3: Lösungsmenge angeben

Solche Lösungen werden abschließend als Lösungsmenge angegeben. In diesem Fall sieht das folgendermaßen aus:

$\mathbb{L}=\hspace{0.17em}\left\{\frac{5}{8}\right\}$

Aufgabe

Dieses Mal hast Du die Bruchgleichung $\frac{3}{x+4}=\hspace{0.17em}\frac{5}{x}$ gegeben. Gib die Lösungsmenge an.

Lösung

Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

Der Nenner des linken Bruchterms ist $x+4$. Zur Bestimmung der Nullstelle löst Du die Gleichung

$x+4=\hspace{0.17em}0.$

Dazu musst Du nur die Zahl 4 auf beiden Seiten abziehen und erhältst als Nullstelle

$x_0=\hspace{0.17em}-4$.

Im rechten Bruchterm hast Du hingegen den Nenner $x$. Dieser wird genau dann Null, wenn Du für x die Zahl Null einsetzt. Damit ist dessen Nullstelle gleich

$x_1=0.$

Die Definitionsmenge lautet also

$\mathbb{D}=\hspace{0.17em}\mathrm{\mathbb{Q}}\backslash \left\{x_0,x_1\right\}=\mathrm{\mathbb{Q}}\backslash \left\{-4,0\right\}\hspace{0.17em}.$

Schritt 2: Bruchgleichung lösen

Die Bruchgleichung befindet sich wieder in einer Form, in der Du die erste Kernmethode anwenden kannst.

Zunächst multiplizierst Du die gesamte Gleichung mit dem Nenner des linken Bruchterms:

$\begin{array}{rcl}(x+4)·\frac{3}{x+4}& =& \hspace{0.17em}\left(x+4\right)·\frac{5}{x}\\ 3& =& \hspace{0.17em}(x+4)·\frac{5}{x}\end{array}$

Jetzt nimmst Du die daraus resultierende Gleichung und multiplizierst sie mit dem Nenner des rechten Bruchterms:

$\begin{array}{rcl}x·3& =& \hspace{0.17em}x·(x+4)·\frac{5}{x}\\ 3x& =& \hspace{0.17em}(x+4)·5\\ 3x& =& 5x+20\end{array}$

In dieser Form kannst Du die Gleichung lösen, indem Du nach x umformst. Du ziehst also zuerst den Term $5x$ ab und teilst schließlich durch -2.

$\begin{array}{rcl}3x& =& 5x+20\overline{)-5x}\\ -2x& =& \hspace{0.17em}20\overline{):(-2)}\\ x& =& -10\end{array}$

Schritt 3: Lösungsmenge angeben

Als Lösung bekommst Du dann

$x=\hspace{0.17em}-10$

oder angegeben als Lösungsmenge

$\mathbb{L}=\hspace{0.17em}\left\{-10\right\}.$

Aufgabe: Lösen einer quadratischen Bruchgleichung

Du hast die Bruchgleichung $\frac{6}{x^2+8x+16}=\hspace{0.17em}\frac{7}{x+4}$ gegeben. Ermittle die Lösungsmenge.

Lösung

Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

Den Nenner $x^2+8x+16$ des linken Bruchterms kannst Du mit der ersten binomischen Formel zu $x^2+8x+16={(x+4)}^2$ vereinfachen.

Damit erkennst Du, dass sowohl der Nenner des linken Bruchterms (${(x+4)}^2$) als auch der des rechten Bruchterms ($x+4$) diese Nullstelle besitzen:

$x_0=\hspace{0.17em}-4$

Als Definitionsmenge hast Du also: $\mathbb{D}=\hspace{0.17em}\mathrm{\mathbb{Q}}\backslash \left\{x_0\right\}=\mathrm{\mathbb{Q}}\backslash \left\{-4\right\}\hspace{0.17em}$

Schritt 2: Bruchgleichung lösen

Für das eigentliche Lösen der Bruchgleichung hast Du zwei Möglichkeiten.

Möglichkeit 1: Kreuzweise Multiplikation mit anschließender Anwendung der Mitternachtsformel

Hier multiplizierst Du beide Seiten der Gleichung gleichzeitig (oder separat) mit den jeweiligen Nennern.

$\begin{array}{rcl}\frac{6}{x^2+8x+16}& =& \frac{7}{x+4}\overline{)·(x^2+8x+16)·(x+4)}\\ \frac{6}{x^2+8x+16}·(x^2+8x+16)·(x+4)& =& \hspace{0.17em}\frac{7}{x+4}·(x^2+8x+16)·(x+4)\end{array}$

Nun kannst Du noch Kürzen.

$6·(x+4)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}7·(x^2+8x+16)$

Das Ausmultiplizieren der Klammer ist der nächste Schritt.

$6x+24=\hspace{0.17em}7x^2+56x+112.$

Diese Gleichung kannst Du so umformen, dass Du die Mitternachtsformel verwenden kannst. Konkret erhältst Du

$7x^2+50x+88=\hspace{0.17em}0.$

Das kannst Du in die Mitternachtsformel einsetzen.

$x_{0,1}=\hspace{0.17em}\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\hspace{0.17em}\frac{-50\pm \sqrt{{50}^2-4·7·88}}{2·7}=\hspace{0.17em}\frac{-50\pm \sqrt{36}}{14}=\frac{-50\pm 6}{14}.$

Die beiden Lösungen sind also diese:

$x_0=\hspace{0.17em}\frac{-50+6}{14}=-\frac{44}{14}=-\frac{22}{7}$

und

Die Lösung $x_1=\hspace{0.17em}-4$ ist jedoch problematisch, denn dieser Wert ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.

Schritt 3: Lösungsmenge angeben

Diese Lösung "wirfst" Du also weg. Es bleibt nur noch die Lösung $x_0=\hspace{0.17em}-\frac{22}{7}$ und damit lautet die Lösungsmenge

$\mathbb{L}=\hspace{0.17em}\left\{-\frac{22}{7}\right\}.$

Möglichkeit 2: Anwendung der binomischen Formel und anschließendes Kürzen

Alternativ kannst Du den Bruchterm auf der linken Seite zunächst vereinfachen, indem Du die erste binomische Formel verwendest. Die Bruchgleichung wird damit auf diese Weise vereinfacht:

$\frac{6}{x^2+8x+16}=\hspace{0.17em}\frac{7}{x+4}\underset{\begin{array}{c}\mathrm{Anwendung}\mathrm{der}\\ 1.\mathrm{binomischen}\mathrm{Formel}\end{array}}{\Rightarrow }\frac{6}{{(x+4)}^2}=\hspace{0.17em}\frac{7}{x+4}$

Jetzt kannst Du die Bruchgleichung mit dem Nenner ${(x+4)}^2$ der linken Seite multiplizieren:

${(x+4)}^2·\frac{6}{(x+4)2}=\hspace{0.17em}{(x+4)}^2·\frac{7}{x+4}$

Auf der linken Seite bleibt nach dem Kürzen nur noch die Zahl 6 übrig, rechts hingegen kannst Du nur einen Faktor von $x+4$ streichen. Du bekommst also

$\begin{array}{rcl}6& =& \hspace{0.17em}7·(x+4)\\ 6& =& \hspace{0.17em}7x+28\end{array}$

Stellst Du die Gleichung dann auf x um, so erhältst Du

$x=-\frac{22}{7}$

Anders als bei der ersten Möglichkeit bekommst Du hier nur eine Lösung. Die "problematische" Stelle taucht nicht auf.

Aufgabe: Bruchgleichung lösen durch Hauptnenner

Für dieses Beispiel lautet die Bruchgleichung $\frac{4}{x^2-16}+\frac{1}{2x+8}=\hspace{0.17em}3$. Gib die Lösungsmenge an.

Lösung

Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

Auf der linken Seite hast Du die zwei Bruchterme $\frac{4}{x^2-16}$ und $\frac{1}{2x+8}$;

Den Nenner des ersten Bruchterms kannst Du mit der dritten binomischen Formel vereinfachen

$x^2-16=\hspace{0.17em}(x-4)·(x+4).$

Die Nullstellen hiervon sind $x_0=\hspace{0.17em}4$ und $x_1=-4$.

Für den Nenner des zweiten Bruchterms bestimmst Du ebenfalls die Nullstelle:

$\begin{array}{rcl}2x+8& =& \hspace{0.17em}0\\ 2x& =& \hspace{0.17em}-8\\ x& =& \hspace{0.17em}-4.\end{array}$

Ausgeschlossen ist also hierfür $x_2=-4$.

Als Definitionsmenge hast Du damit $\mathbb{D}=\hspace{0.17em}\mathrm{\mathbb{Q}}\backslash \left\{x_0,x_1,x_2\right\}=\mathrm{\mathbb{Q}}\backslash \left\{-4,4\right\}\hspace{0.17em}.$

Schritt 2: Bruchgleichung lösen

Hier hast Du die Möglichkeit die Nenner multiplizieren und anschließend die Terme zu vereinfach und nach x aufzulösen. Das kann allerdings sehr kompliziert und lang werden.

Bei der Bestimmung der Definitionsmenge hast Du den Term ja bereits vereinfacht. Versuche also jetzt auf geschickte Weise auszuklammern oder die binomischen Formeln zu verwenden, um die Gleichung zu lösen.

Beim ersten Bruchterm hast Du bereits die binomische Formel angewandt:

$\frac{4}{x^2-16}=\frac{4}{(x+4)(x-4)}$

Beim zweiten Bruchterm $\frac{1}{2x+8}$ kannst Du hingegen einen Faktor von 2 ausklammern, wodurch dieser Bruchterm zu $\frac{1}{2·(x+4)}$ wird.

Nach den Umformungen sieht also die Bruchgleichung so aus

$\frac{4}{(x-4)·(x+4)}+\frac{1}{2·(x+4)}=\hspace{0.17em}3.$

Wenn Du Dir jetzt die Nenner genauer ansiehst, wirst Du feststellen, dass $2·(x+4)·(x-4)$ ein Hauptnenner der Bruchterme auf der linken Seite ist. Wenn Du entsprechend erweiterst, kannst Du die linke Seite vereinfachen.

$\begin{array}{rcl}\underset{\begin{array}{c}\mathrm{ersten}\hspace{0.17em}\mathrm{Bruchterm}\\ \mathrm{mit}2\mathrm{erweitert}\end{array}}{\underbrace{\frac{2·4}{2·(x-4)·(x+4)}}}+\underset{\begin{array}{c}\mathrm{zweiten}\hspace{0.17em}\mathrm{Bruchterm}\\ \mathrm{mit}(\mathrm{x}-4)\mathrm{erweitert}\end{array}}{\underbrace{\frac{(x-4)·1}{(x-4)·2·(x+4)}}}& =& 3\\ & & \\ \frac{8+x-4}{2·(x+4)·(x-4)}& =& 3\\ \frac{x+4}{2·(x+4)·(x-4)}& =& 3\end{array}$

Du kannst weiterhin den Faktor $x+4$ kürzen:

$\begin{array}{rcl}\frac{\bcancel{x+4}}{2·\bcancel{(x+4)}·(x-4)}& =& 3\\ \frac{1}{2·(x-4)}& =& \hspace{0.17em}3\end{array}$

Nun befindet sich die Bruchgleichung in einer Form, sodass Du die erste Kernmethode verwenden kannst. Du multiplizierst also mit dem Nenner des Bruchterms auf der linken Seite

$\begin{array}{rcl}1& =& 3·2·(x-4)\\ 1& =& 6·(x-4)\\ 1& =& 6x-24\\ 6x& =& 25\\ x& =& \frac{25}{6}\end{array}$

Schritt 3: Lösungsmenge angeben

Umgeformt auf x bekommst Du schließlich die Lösung

$x=\hspace{0.17em}\frac{25}{6}$

oder als Lösungsmenge

$\mathbb{L}=\hspace{0.17em}\left\{\frac{25}{6}\right\}.$

Aufgabe

Betrachte die folgende Bruchgleichung: $\frac{2}{x^4}-\frac{1}{2x^2}=\frac{3}{2x^2}$. Berechne die Lösungsmenge.

Lösung

Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

Alle Nenner werden nur für $x_0=\hspace{0.17em}0$ zu Null. Die Definitionsmenge ist also

$\mathbb{D}=\mathrm{\mathbb{Q}}\backslash \left\{0\right\}\hspace{0.17em}.$

Schritt 2: Bruchgleichung lösen

Du kannst die linke Seite auf einen Hauptnenner bringen und anschließend kreuzweise multiplizieren.

Oder Dir fällt auf, dass links der Bruchterm $\frac{1}{2x^2}$ denselben Nenner hat wie der Bruchterm $\frac{3}{2x^2}$, der auf der rechten Seite steht. Du kannst diese beiden Bruchterme daher direkt kombinieren. Dadurch erhältst Du die Bruchgleichung:

$$\begin{gathered} \frac{2}{x^4}=\hspace{0.17em}\frac{3}{2x^2}+\frac{1}{2x^2} \\ \frac{2}{x^4}=\hspace{0.17em}\frac{4}{2x^2} \end{gathered}$$

Jetzt kannst Du kreuzweise multiplizieren und bekommst diese Gleichung:

$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x^4}& =& \frac{4}{2x^2}\overline{)·x^4}·2x^2\\ 2·2x^2& =& \hspace{0.17em}4·x^4\end{array}$

Diese kannst Du noch vereinfachen:

$\begin{array}{rcl}2·2x^2& =& 4·x^4\\ 4x^2& =& 4x^4\overline{):4x^2}\\ 1& =& \hspace{0.17em}{x}^2\end{array}$

Schritt 3: Lösungsmenge angeben

Damit lauten die Lösungen

$x_0=\hspace{0.17em}+1$ und $x_1=\hspace{0.17em}-1$

oder als Lösungsmenge angegeben

$\mathbb{L}=\left\{+1,-1\right\}.$

Bruchgleichungen lösen - Aufgabe 1

Es ist die Bruchgleichung

$\frac{7}{6x+4}=\hspace{0.17em}\frac{1}{2x}$

gegeben. Bestimme sowohl die Definitionsmenge als auch die Lösungsmenge.

Lösung

Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

Zur Bestimmung der Definitionsmenge schaust Du Dir alle Nenner separat an und untersuchst ihre Nullstellen.

Der Nenner des linken Bruchterms ist $6x+4$.

Um die Nullstellen zu finden, löst Du die Gleichung $6x+4=\hspace{0.17em}0.$

Umformen auf x liefert Dir die Nullstelle $x_0=-\frac{2}{3}.$

Der Nenner des zweiten Bruchterms ist $2x$ und dieser Ausdruck wird nur für den Wert $x_1=\hspace{0.17em}0$ zu Null.

Damit lautet die Definitionsmenge $\mathbb{D}=\hspace{0.17em}\mathrm{\mathbb{Q}}\backslash \left\{-\frac{2}{3},0\right\}.$

Schritt 2: Bruchgleichung lösen

Da die Bruchgleichung

$\frac{7}{6x+4}=\hspace{0.17em}\frac{1}{2x}$

bereits die "richtige" Form besitzt, kannst Du kreuzweise multiplizieren

$\frac{7}{6x+4}·(6x+4)·2x=\hspace{0.17em}\frac{1}{2x}·(6x+4)·2x$

und erhältst dadurch die Gleichung

$14x=6x+4.$

Diese Gleichung kannst Du nach x umformen und bekommst als Lösung

$x=\hspace{0.17em}\frac{1}{2}.$

Schritt 3: Lösungsmenge angeben

Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\hspace{0.17em}\left\{\frac{1}{2}\right\}.$