Brüche multiplizieren

Ganze Zahlen multiplizieren – ein geometrischer Blick

Für den geometrischen Blick wird die Zahlengerade ein entscheidendes Hilfsmittel sein (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2: Die Zahlengerade

Du erhältst sie durch eine einfache Darstellung: Eine Stelle auf der Geraden bezeichnest Du als "0". Dann gehst Du in gleich großen Schritten nach rechts und nach links, während Du schrittweise die Bezeichnungen "1", "2", "-1", "-2" und so weiter einführst.

Du kannst Dir vorstellen, wie Du diesen Prozess potenziell "bis ins Unendliche" fortführen kannst. Die Striche repräsentieren dabei die ganzen Zahlen. Rechts von der Null hast Du die positiven ganzen Zahlen, auch natürliche Zahlen genannt. Links von der Null sind die negativen ganzen Zahlen.

Transformationen der Zahlengeraden

Du nimmst Dir jetzt gedanklich die Zahlengerade und ziehst sie auseinander. Dabei kannst Du zwei Sachen beobachten:

• Nachdem Du die Zahlengerade auseinander gezogen hast, erhältst Du eine identische Kopie der Zahlengeraden. Der einzige Unterschied ist der, dass die Abstände zwischen den vertikalen Strichen nun größer sind. Wenn Du Dir aber die Striche wegdenkst, so kannst Du die beiden Gerade nicht unterscheiden.

• Die Stelle, die Du als "0" bezeichnet hast, bleibt beim Auseinanderziehen fixiert.

Das "Auseinanderziehen" wird oft auch als Streckung bezeichnet. Von dieser Sorte an Transformationen gibt es noch zwei weitere: Du kannst die Zahlengerade zusammendrücken, auch Stauchung genannt. Oder Du kannst die Zahlengerade um die Stelle "0" um 180° drehen.

Ganze Zahlen als Transformationen der Zahlengeraden

Die ganzen Zahlen repräsentieren dabei Streckungen oder 180° Drehungen (oder beides). Zum Beispiel bedeutet die Multiplikation mit der Zahl 3, dass Du die Zahlengerade um den Faktor 3 streckst. Die Abstände zwischen den Strichen werden dadurch dreimal so groß (siehe Abbildung 3).

Abbildung 3: Die Zahlengerade wird um den Faktor 3 gestreckt

Die Zahl -1 stellt eine 180° Drehung der Zahlengerade dar. Dadurch wird zum Beispiel die Stelle "3" zur Stelle "-3" befördert (siehe Abbildung 3).

Abbildung 4: Die Zahlengerade wird um 180° gedreht

Die Zahl -4 kannst Du schreiben als $-1·4$. Das heißt also, dass diese Zahl zunächst die Zahlengerade um den Faktor 4 streckt und anschließend um 180° dreht. Die Stelle "1" wird dabei zunächst zur Stelle "4" und dann zur Stelle "-4".

Und wie sieht es mit Stauchungen aus? Dafür brauchst Du Zahlen, deren Betrag kleiner 1 ist. Das führt Dich zu den Brüchen.

Brüche – ein paar wichtige Grundlagen

Die Details zu Brüchen findest Du in unserer Erklärung zur Bruchrechnung. Für diese reicht es aus, wenn Du folgende Aussage verinnerlichst:

Der Ausdruck "$\frac{1}{5}$" stellt eine Zahl dar, die durch Addition von fünf Kopien zur Zahl 1 führt; oder etwas formaler:

$\underset{\mathrm{Fünf}\mathrm{Kopien}}{\underbrace{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}}=1.$

Solche Brüche, die im Zähler eine 1 haben, heißen Stammbrüche. Sie werden weiter unten eine entscheidende Rolle dabei spielen, die Regel der Multiplikation von Brüchen im Allgemeinen zu verstehen.

Alle anderen Brüche kannst Du mit Stammbrüchen konstruieren.

Mit dieser Definition von Brüchen kannst Du rechnen: Du kannst damit verstehen, wie Du Brüche addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst.

Stammbrüche kannst Du Dir aber auch geometrisch veranschaulichen. Für den Stammbruch $\frac{1}{3}$ zum Beispiel zeichnest Du Dir ein Rechteck ein und teilst ihn in drei gleich große horizontale Streifen auf. Jeder dieser Streifen stellt dann einen Drittel des gesamten Rechtecks dar (linker Teil der Abbildung 5).

Bei einem Bruch wie $\frac{3}{4}$ hingegen teilst Du das Rechteck zunächst in vier Streifen auf und nimmst von diesen vier Streifen drei Streifen heraus. Die Gesamtheit dieser von dir ausgesuchten Streifen entspricht dann drei Vierteln des gesamten Rechtecks (rechter Teil der Abbildung 5).

Abbildung 5: Aufteilung Rechteck

Sobald der Zähler größer ist als der Nenner, muss die Anschauung ein wenig abgeändert werden. Betrachte zum Beispiel den Bruch $\frac{7}{4}$. Du beginnst hier genauso wie in den beiden oberen Fällen: Du nimmst das Rechteck und teilst es in vier horizontale Streifen. Nun kommt der Unterschied: Du schnappst Dir einen dieser vier Streifen und kopierst ihn siebenmal. Wenn Du dann die Streifen nebeneinander stellst, hast Du sieben Viertel.

Die Grundlagen sind damit gelegt und wir können uns die Multiplikation von Brüchen anschauen.

Brüche multiplizieren – Erklärung

Bevor Du Dich mit der Herleitung der Multiplikation zweier Brüche beschäftigst, schau Dir zunächst die Definition dieser an.

Mit Rechtecken zur Rechenregel

Lass uns noch einmal einen Blick auf die Abbildung zu Beginn des Artikels werfen. Dieses Mal aber erhalten die Streifen die Bezeichnung mit dem jeweiligen Stammbruch, den sie repräsentieren.

Ein blauer Streifen stellt den Stammbruch $\frac{1}{4}$ dar; ein oranger Streifen den Stammbruch $\frac{1}{6}$. Durch die Aufteilung in vier horizontale Streifen und sechs vertikale Streifen hast Du das Rechteck in $4·6=\hspace{0.17em}24$ gleich große Stücke aufgeteilt. Das heißt, jedes dieser kleineren Rechtecke repräsentiert den Stammbruch $\frac{1}{24}$ (siehe Abbildung 6).

Nun sollst Du von den horizontalen Streifen drei Mal schraffieren, und von den vertikalen Streifen vier. Die Gesamtheit der schraffierten horizontalen Streifen repräsentiert dann den Bruch $\frac{3}{4}$ und die Gesamtheit der schraffierten vertikalen Streifen den Bruch $\frac{4}{6}$.

Abbildung 6: Veranschaulichung der Multiplikation von Brüchen.

Beim Schraffieren wirst Du einige kleine Rechtecke doppelt schraffiert haben. Konzentriere Dich genau auf diese doppelt schraffierten Rechtecke. Insgesamt gibt es davon 12 Stück. Da jedes Rechteck den Stammbruch $\frac{1}{24}$ darstellt, repräsentiert die Gesamtheit aller doppelt schraffierten Rechtecke den Bruch $\frac{12}{24}$.

Schreiben wir ein paar der genannten Brüche nebeneinander:

$\frac{3}{4}\frac{4}{6}\frac{12}{24}$

Fällt Dir etwas auf? Das Produkt der Zähler der ersten beiden Brüche ist genau der Zähler des dritten Bruches. Und genau dasselbe gilt für die Nenner.

$\frac{3}{4}·\frac{4}{6}=\frac{3·4}{4·6}=\frac{12}{24}$

Mit Transformationen der Zahlengeraden zur Rechenregel

Die geometrische Wirkung einer ganzen Zahl auf die Zahlengerade wird eindeutig dadurch festgelegt, wie sie den Abschnitt von der Stelle "0" zur Stelle "1" transformiert.

Das gilt aber nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für Brüche. Der Stammbruch $\frac{1}{2}$ zum Beispiel staucht den Abschnitt von "0" nach "1" um den Faktor 2. Dabei gelangt die Stelle "1" zur Stelle "$\frac{1}{2}$".

Die Wirkung eines allgemeinen Stammbruches $\frac{1}{n}$ kannst Du Dir folgendermaßen vorstellen: Zunächst wird der Abschnitt von "0" zu "1" in n gleich große Stücke zerlegt. Dann wird die Zahlengerade so lange gestaucht, bis die "1" zum ersten Stück dieser Zerlegung gelangt (siehe Abbildung 7).

Abbildung 7: Stauchung Zahlenstrahl

Genau dieselbe Wirkung hat der Bruch $\frac{12}{24}=\hspace{0.17em}12·\frac{1}{24}$. Eine etwas andere Methode hat Dich zum gleichen Ergebnis geführt: Das Produkt der Zähler der ersten beiden Brüche wird zum Zähler des neuen Bruches. Und genau dasselbe gilt für die Nenner.

Die Methoden waren geometrischer Natur. Bekommst Du dasselbe Ergebnis auch rechnerisch?

Über Stammbrüche zur Rechenregel

Wir kehren dazu zurück zu unserer Definition von Stammbrüchen. Der Bruch $\frac{1}{3}$ ist diejenige Zahl, die durch Addition von 3 Kopien zur Zahl 1 führt; in Kurzschreibweise:

$3·\frac{1}{3}=1.$

Ähnliches gilt für den Bruch $\frac{1}{8}$

$8·\frac{1}{8}=\hspace{0.17em}1.$

Du kannst diese zwei Gleichungen miteinander multiplizieren. Die beiden linken Seite ergeben dabei

$\left(3·\frac{1}{3}\right)·\left(8·\frac{1}{8}\right)=\hspace{0.17em}24·\left(\frac{1}{3}·\frac{1}{8}\right)$

und die beiden rechten Seiten

$1·1=\hspace{0.17em}1.$

Weil die Gleichheit dadurch bestehen bleibt, erhältst Du also

$24·\left(\frac{1}{3}·\frac{1}{8}\right)=\hspace{0.17em}1.$

Das heißt: Der Bruch $\frac{1}{3}·\frac{1}{8}$ ist diejenige Zahl, die durch Addition von 24 Kopien zur Zahl 1 führt. Aber das ist gerade die Definition des Bruches $\frac{1}{24}$. Deshalb muss gelten

$\frac{1}{3}·\frac{1}{8}=\hspace{0.17em}\frac{1}{24}.$

Damit hast Du auch die Rechenregel für allgemeine Brüche. Du kannst etwa rechnen

$\frac{3}{4}·\frac{4}{6}=\hspace{0.17em}\left(3·\frac{1}{4}\right)·\left(4·\frac{1}{6}\right)=\hspace{0.17em}(3·4)·\left(\frac{1}{4}·\frac{1}{6}\right)=\hspace{0.17em}12·\frac{1}{24}=\hspace{0.17em}\frac{12}{24}.$

Wenn das nicht faszinierend ist: Indem Du Dir die Multiplikation geometrisch angesehen hast, hast Du eine potenzielle Rechenregel entdeckt. Und diese konnte rechnerische nachgewiesen werden.

Brüche multiplizieren – ein paar ausführliche Beispiele

Die Multiplikation von Stammbrüchen ist also kein allzu aufwendiges Unterfangen. Wenn Du zwei Stammbrüche miteinander multiplizieren möchtest, gehst Du folgendermaßen vor:

• Du nimmst die beiden Nenner und multiplizierst diese miteinander.

• Das Ergebnis dieser Multiplikation wird der Nenner des neuen Stammbruches.

Du kannst beliebige Brüche multiplizieren, indem Du die Zähler "mitziehst".

Bei der Multiplikation spielt es keine bedeutende Rolle, ob die Brüche nun gleichnamig oder ungleichnamig sind: Der Vorgang ist immer derselbe.

Das waren die "einfachsten" Formen der Multiplikation von Brüchen. Was aber, wenn es mehrere Brüche oder gemischte Brüche sind? Und was passiert bei einem negativen Vorzeichen?

Mehrere Brüche multiplizieren und kürzen

So wie Du mehrere ganzen Zahlen multiplizierst, indem Du schrittweise das Produkt von jeweils zwei ganzen Zahlen berechnest, multiplizierst Du auch mehrere Brüche.

Achte bei der Multiplikation von Brüchen, insbesondere von mehreren Brüchen, auf Faktoren, die Du kürzen kannst. Das erleichtert Dir das rechnen, wenn Du keinen Taschenrechner verwenden darfst.

Für gemischte Brüche musst Du die Addition von Brüchen beherrschen. Schaue Dir also unseren Artikel dazu an, falls Du noch Schwierigkeiten damit hast.

Gemischte Brüche multiplizieren

Bei der Multiplikation von gemischten Brüchen brauchst Du einen Zwischenschritt. Dieser Schritt ist dazu da, um den gemischten Bruch in einen Bruch umzuwandeln, auf dem Du dann die Rechenregel für die Multiplikation anwenden kannst.

Negative Brüche multiplizieren – Regel

Wenn Du Brüche gegeben hast, bei denen zusätzlich noch Minuszeichen auftauchen, kannst Du die Brüche multiplizieren, indem Du im ersten Schritt die Minuszeichen ausblendest. Du darfst am Ende aber nicht vergessen, dass richtige Vorzeichen zu ergänzen.

Beim Vorzeichen gilt die folgende Merkregel:

Ist die Anzahl an Minuszeichen gerade (z. B. 2 oder 4), so hat das Ergebnis ein positives Vorzeichen. Ist die Anzahl hingegen ungerade (z. B. 1 oder 3), so hat das Ergebnis ein negatives Vorzeichen.

Die obige Multiplikation eines Bruches mit der ganzen Zahl -1 ist ein Spezialfall der allgemeinen Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl. Du bist dieser Multiplikation bereits begegnet als wir zum Beispiel gesagt haben, dass Du den Bruch $\frac{4}{9}$ auch schreiben kannst als $4·\frac{1}{9}$.

Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren

Du kannst jeden Bruch mit jeder ganzen Zahl multiplizieren. Alles, was Du dafür machen musst, ist den Zähler des Bruches mit der ganzen Zahl zu multiplizieren. Der Nenner bleibt dabei unberührt.

Brüche multiplizieren und dividieren

Die Details und Beispiele zur Division von Brüchen findest Du in unserem Artikel zu diesem Thema. Die Rechenregel aber, wie Du zwei Brüche dividierst, lautet folgendermaßen: Nennen wir die zwei Brüche A und B, und nehmen wir an, dass Du den Bruch A durch den Bruch B teilen möchtest.

Dann nimmst Du den Bruch A und multiplizierst ihn mit dem Kehrwert des Bruchs B. Die Division wurde also zurückgeführt zur Multiplikation von Brüchen.

Brüche multiplizieren – Aufgaben

Nun bist Du an der Reihe, dein Verständnis zu testen. Solltest Du auf Schwierigkeiten stoßen, habe keine Sorgen: Gehe noch einmal zum entsprechenden Abschnitt und lese es Dir sorgfältig durch.