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Stell Dir vor, Du hast zwei Pizzen, welche jeweils in \(8\) Stücke geteilt sind. Jetzt isst Du ein Stück der einen Pizza. Insgesamt hast Du dann eine ganze Pizza und \(\frac{7}{8}\) der anderen Pizza übrig.
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Leg kostenfrei losWelche Art von gemischten Zahlen kannst Du in einen Bruch umwandeln?
Subtrahiere \(1\,\frac{5}{9}\) von \(4\,\frac{2}{3}\).
Schreibe die gemischte Zahl \(3\,\frac{3}{4}\) in einen unechten Bruch um.
Schreibe den unechten Bruch \(\frac{25}{6}\) in eine gemischte Zahl um.
Addiere die beiden gemischten Zahlen \(2\,\frac{1}{4}\) und \(5\,\frac{1}{2}\).
Welche Art von gemischten Zahlen kannst Du in einen Bruch umwandeln?
Subtrahiere \(1\,\frac{5}{9}\) von \(4\,\frac{2}{3}\).
Schreibe die gemischte Zahl \(3\,\frac{3}{4}\) in einen unechten Bruch um.
Schreibe den unechten Bruch \(\frac{25}{6}\) in eine gemischte Zahl um.
Addiere die beiden gemischten Zahlen \(2\,\frac{1}{4}\) und \(5\,\frac{1}{2}\).
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Team Gemischte Zahlen Lehrer
Diese Darstellung der Anzahl der Pizzastücke heißt gemischte Zahl. Wie Du gemischte Zahlen in Brüche umwandelst, sie multiplizierst und addierst, erfährst Du in dieser Erklärung.
Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.
Die Schreibweise heißt gemischte Schreibweise, wobei die Zahl \(n\) plus den Bruch \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\) gerechnet wird. Das Plus wird dabei nicht mit geschrieben.
Es gilt:
\[n+\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = n\,\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
„Gesprochen wird: \(n\) Ganze und \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\).“
Am besten stellst Du Dir gemischte Zahlen als Pizzen vor. Eine ganze Zahl ist dabei eine ganze Pizza. Der Bruch stellt eine bereits angefangene Pizza dar. Bei dieser fehlen schon Stücke, deshalb kannst Du sie nicht als eine ganze Pizza darstellen.
Abb. 1 - gemischte Zahl darstellen
Wenn Du ein Stück von zwei Pizzen isst, hast Du anschließend noch \[1\,\frac{7}{8}\] Pizzen.
Du sprichst dann: eine ganze Pizza und sieben Achtel.
Gemischte Zahlen lassen sich in unechte Brüche umwandeln und umgekehrt. Echte Brüche, also Brüche deren Zähler kleiner ist als ihr Nenner, können nicht umgewandelt werden.
Um einen Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, gehst Du folgendermaßen vor:
Du kannst auch gemischte Zahlen in unechte Brüche umschreiben:
Eine gemischte Zahl ist die Summe einer ganzen Zahl und einem Bruch. Das Pluszeichen wird beim Schreiben der gemischten Zahl weggelassen, das heißt, wenn Du eine gemischte Zahle in einen Bruch umschreiben möchtest, addierst Du die ganze Zahl mit dem Bruch.
Oftmals musst Du gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln, damit Du damit rechnen kannst. Diese Umwandlung solltest Du also gut beherrschen.
Wandle den unechten Bruch \(\frac{7}{3}\) in eine gemischte Zahl um.
Lösung
1. Schritt:
Als Erstes formst Du den Zähler des Bruches in eine Summe um. Dafür fragst Du Dich, welche Zahlen werden durch \(3\) geteilt und sind kleiner als \(7\). Dann berechnest Du den fehlenden Rest von der \(7\) zur \(6\).
\[\frac{6+1}{3}\]
2. Schritt:
Jetzt schreibst Du beide Teile des Bruches einzeln auf.
\[\frac{6}{3}+\frac{1}{3}\]
3. Schritt:
Zum Schluss schreibst Du den ersten Bruch um.
\[2+\frac{1}{3}=2\,\frac{1}{3}\]
Wandle die gemischte Zahl \(4\,\frac{2}{5}\) in einen unechten Bruch um.
Lösung
1. Schritt:
Als Erstes schreibst Du die ganze Zahl in einen Bruch um. Als Nenner nimmst Du den des Bruches der gemischten Zahl.
\[4=\frac{4\cdot 5}{5}=\frac{20}{5}\]
Wenn Dir diese Umformung Probleme bereitet, lies einmal in der Erklärung „Bruchrechnung“ nach.
2. Schritt:
Anschließend addierst Du die beiden Brüche.
\[\frac{20}{5}+\frac{2}{5}=\frac{22}{5}\]
Du kannst mit gemischten Zahlen genauso rechnen wie mit ganzen Zahlen, Brüchen oder Dezimalzahlen. Einige Dinge musst Du dennoch beachten. Wie Du mit den gemischten Zahlen die Grundrechenarten durchführst, erfährst Du jetzt.
Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren kannst Du mit folgender Anleitung:
Du kannst auch die gemischten Brüche in unechte Brüche umschreiben und diese dann addieren/subtrahieren und sie zum Schluss wieder umwandeln.
Wann das Umschreiben sinnvoller ist, musst Du selbst entscheiden. Besonders bei Aufgaben, bei denen der Bruch des Subtrahend größer ist als der Bruch des Minuenden, ist es meist sinnvoll.
Addiere die beiden gemischten Zahlen \(2\,\frac{2}{3}\) und \(1\,\frac{4}{5}\).
Lösung
1. Schritt:
Als Erstes addierst Du die ganzen Zahlen.
\[2+1=3\]
2. Schritt:
Danach addierst Du die Brüche. Beachte, dass Du hier die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitern musst.
\[\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\frac{10}{15}+\frac{12}{15}=\frac{10+12}{15}=\frac{22}{15}\]
Jetzt wandelst Du den Bruch noch in eine gemischte Zahl um.
\[\frac{15+7}{15}=\frac{15}{15}+\frac{7}{15}=1+\frac{7}{15}\]
3. Schritt:
Zum Schluss addierst Du alles.
\[3+1+\frac{7}{15}=4\,\frac{7}{15}\]
Nachdem Du jetzt gemischte Zahlen addiert hast, solltest Du auch noch einmal gemischte Zahlen subtrahieren.
Subtrahiere die Zahl \(1\,\frac{1}{2}\) von \(5\,\frac{4}{5}\).
Lösung
1. Schritt:
Als Erstes subtrahierst Du die ganzen Zahlen.
\[5-1=4\]
2. Schritt:
Jetzt subtrahierst Du die Brüche. Dafür musst Du zunächst die Brüche auf einen Nenner erweitern.
\[\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{8}{10}-\frac{5}{10}=\frac{8-5}{10}=\frac{3}{10}\]
3. Schritt:
Zum Schluss addierst Du die ganze Zahl und den Bruch.
\[4+\frac{3}{10}=4\,\frac{3}{10}\]
Gemischte Zahlen kannst Du nicht als gemischte Zahlen multiplizieren oder dividieren.
Um gemischte Zahlen zu multiplizieren oder zu dividieren, musst Du sie in unechte Brüche umwandeln.
Wie Du Brüche multiplizierst und dividierst, erfährst Du in den Erklärungen „Brüche multiplizieren“ und „Brüche dividieren“.
Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Wandle die folgenden gemischten Zahlen in Brüche um.
a) \(3\,\frac{4}{5}\)
b) \(1\,\frac{1}{7}\)
c) \(2\,\frac{2}{3}\)
Wandle die folgenden Brüche in gemischte Zahlen um.
d) \(\frac{5}{3}\)
e) \(\frac{9}{4}\)
f) \(\frac{6}{2}\)
Lösung
a)\[3\,\frac{4}{5} = 3+\frac{4}{5}=\frac{15}{5}+\frac{4}{5}=\frac{19}{5} \]
b) \[1\,\frac{1}{7}=1+\frac{1}{7}=\frac{7}{7}+\frac{1}{7}=\frac{8}{7}\]
c) \[2\,\frac{2}{3}=2+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\]
d) \[\frac{5}{3}=\frac{3+2}{3}=1+\frac{2}{3}=1\,\frac{2}{3} \]
e) \[\frac{9}{4}=\frac{8+1}{4}=2+\frac{1}{4}=2\,\frac{1}{4} \]
f) \[\frac{6}{2}=3\]
Berechne die Lösung.
a) \(2\,\frac{1}{6}+4\,\frac{3}{7}+1\,\frac{1}{2}\)
b) \(4\,\frac{3}{7}-2\,\frac{1}{7}\)
c) \(1\,\frac{6}{7}+\frac{4}{7}-2\frac{1}{3}\)
d) \(3\,\frac{3}{20}+\frac{4}{5}-2\,\frac{3}{4}\)
Lösung
a) \begin{align}2\,\frac{1}{6}+4\,\frac{3}{7}+1\,\frac{1}{2}&=2+4+1+\left(\frac{1}{6}+\frac{3}{7}+\frac{1}{2}\right) \\[0.2cm]&=7+\left(\frac{7}{42}+\frac{18}{42}+\frac{21}{42}\right)=7+\frac{46}{42} \\[0.2cm]&=7+1+\frac{4}{42}=8\,\frac{2}{21}\end{align}
b) \begin{align}4\,\frac{3}{7}-2\,\frac{1}{7}&=4-2+\left(\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\right) \\[0.2cm] &=2+\frac{2}{7}=2\,\frac{2}{7}\end{align}
c) \begin{align}1\,\frac{6}{7}+\frac{4}{7}-2\frac{1}{3}&=1+\left(\frac{6}{7}+\frac{4}{7}\right)-2\,\frac{1}{3} \\[0.2cm]&=1+\frac{10}{7}-2\,\frac{1}{3}=1+1+\frac{3}{7}-2\frac{1}{3} \\[0.2cm]&=1+1-2\left(\frac{3}{7}-\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{21}-\frac{7}{21}=\frac{2}{21}\end{align}
d) \begin{align}3\,\frac{3}{20}+\frac{4}{5}-2\,\frac{3}{4}&=3+\left(\frac{3}{20}+\frac{4}{5}\right)-2\,\frac{3}{4} \\[0.2cm] &=3+\left(\frac{3}{20}+\frac{16}{20}\right)-2\,\frac{3}{4}=3+\frac{19}{20}-2\,\frac{3}{4} \\[0.2cm] &=3-2+\left(\frac{19}{20}-\frac{3}{4}\right)=1+\left(\frac{19}{20}-\frac{15}{20}\right) \\[0.2cm] &=1+\frac{4}{20}=1+\frac{1}{5}=1\,\frac{1}{5}\end{align}
Die Schreibweise heißt gemischte Schreibweise, wobei die Zahl \(n\) plus den Bruch \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\) gerechnet wird. Das Plus wird dabei nicht mit geschrieben.
Es gilt:
\[n+\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = n\,\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
Wenn Du einen Bruch in eine gemischte Zahl umschreiben möchtest, musst Du einen unechten Bruch haben.
Wenn Du eine gemischte Zahle in einen Bruch umschreiben möchtest, addierst Du die ganze Zahl mit dem Bruch.
Schreibe die ganze Zahl in einen Bruch um. Nutze den Nenner des Bruches in der gemischten Zahl.
Addiere die beiden Brüche und kürze, wenn nötig.
Das Prinzip ist beim Addieren und beim Subtrahieren von gemischten Zahlen das Gleiche. Du addierst/subtrahierst erst die ganzen Zahlen und anschließend die Brüche. Zum Schluss setzt Du die ganze Zahl und den Bruch wieder zusammen.
Um gemischte Zahlen zu multiplizieren oder zu dividieren, musst Du sie in Brüche umwandeln.
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Was ist eine gemischte Zahl?
Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht. Eine gemischte Zahl ist eine andere Schreibweise eines unechten Bruchs. Ein Beispiel: 1 1/2
Wie sieht eine gemischte Zahl aus?
Bei einer gemischten Zahl stehen immer eine ganze Zahl und ein Bruch zusammen. Dabei wird kein Pluszeichen zwischen den beiden benötigt, obwohl es sich um eine Addition handelt. Ein Beispiel: 4 2/3
Wie wird ein Bruch in eine gemischte Zahl umgewandelt?
Dazu musst Du zunächst den Zähler des Bruches in eine Summe aufteilen, bei der der erste Summand restlos durch die Zahl im Nenner geteilt werden kann. Dann teilst Du den Bruch in eine Summe aus zwei Brüchen auf. Den ersten Bruch kannst Du dann in eine ganze Zahl umwandeln.
Wie rechnet man gemischte Brüche minus?
Um gemischte Brüche zu subtrahieren ist es am sichersten, die gemischten Zahlen in Brüche umzuwandeln, und diese dann wie gewohnt zu subtrahieren. Ein anderer Weg ist, die Ganzen und die Brüche getrennt voneinander zu verrechnen. Dabei musst du aber aufpassen, denn das funktioniert nur einfach, wenn der Bruch des Minuenden größer ist als der Bruch des Subtrahenden! Ansonsten musst du ein Ganzes des Minuenden in einen Bruch umwandeln.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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