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Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen
Als Erstes schaust Du Dir an, was ein Logarithmus überhaupt ist. Denn daraus ergeben sich schon einige Dinge, die Du später zum Lösen von Logarithmusgleichungen nutzen kannst.
Ein Logarithmus hat folgenden Bestandteile.
Du fragst Dich also: "Mit welcher Zahl y muss die Basis b potenziert werden, um die Lösung x zu erhalten?"
Logarithmen sind reell und positiv. Die Basis ist immer positiv.
Meist hast Du eine Rechnung dieser Form vor Dir, die es mit dem Logarithmus zu lösen gilt.
Beispiel
Mit welcher Zahl y muss also die 3 potenziert werden, um 9 zu erhalten?
Lösung
Um das herauszufinden, gibt es den Logarithmus.
Logarithmus und Potenzen sind also die jeweiligen Umkehraufgaben voneinander.
Das kannst Du in der Gleichung ausnutzen, indem Du die umgekehrte Rechenoperation anwendest.
Sieh Dir Deine erste Logarithmusfunktion an.
Mache Dir noch einmal klar, welche Bedeutung die Zahlen 1 und 3, sowie die Variable x in der Potenzschreibweise haben.
Stelle die Gleichung dann danach um.
Diese Gleichung entspricht eben genau:
Und daraus ist schnell herauszulesen.
Und genau dieses Prinzip kannst Du auch anwenden, wenn etwas mehr als die Variable im Logarithmus steckt.
Um diese Aufgaben dann zu lösen, sind verschiedene Gesetze nötig.
Logarithmusgleichungen – Regeln
Alle Regeln sind wichtig und werden Dir beim Rechnen mit Logarithmen immer wieder unterkommen.
Für die reelle Basis a und die beiden reellen Variablen x und y gilt:
| Formelseite 1 | Formelseite 2 | Logarithmus-Gesetz |
| Summe von Logarithmen mit gleicher Basis a | Produkt im Logarithmus | |
| Differenz von Logarithmen mit gleicher Basis a | Bruch um Logarithmus | |
| Potenz im Logarithmus | Produkt vor Logarithmus |
Achte dabei besonders auf die Basis a, die bei den ersten beiden Regeln unbedingt identisch sein muss.
Summe oder Differenz von Logarithmen
Probiere direkt die erste Regel aus. Du hast hier eine Summe von Logarithmen und kannst sie mit dem 1.Gesetz zusammenfassen.
Aufgabe 1
Um zum Beispiel die folgende Gleichung zu vereinfachen, kannst Du die beiden Logarithmen mit den Regeln von oben zusammen fassen.
Lösung
Mache zuerst eine Nebenrechnung: Du prüfst, ob die Basis übereinstimmt, um dann die erste Regel anzuwenden.
Danach kannst Du die Gleichung vereinfachen und formst sie weiter um.
Nach Anwendung der pq-Formel oder Mitternachtsformel ergeben sich diese Lösungen:
Wobei die negative Lösung nach Definition des Logarithmus nicht möglich ist, denn dieser muss immer positiv sein.
Auch bei Differenzen von Logarithmen gleicher Basis funktioniert diese Vorgehensweise. Hierbei entsteht beim Zusammenfassen ein Bruch (siehe Regeln).
Ist der Numerus innerhalb des Logarithmus potenziert, gibt es laut der dritten Regel oben noch ganz andere Möglichkeiten.
Potenz im Logarithmus
Das funktioniert auch, bei Exponenten, in denen sich viele Terme befinden. Mit einem Schritt hast Du diese dann als simples Produkt vor der Gleichung stehen.
Aufgabe 2
In diesem Beispiel solltest Du Dich erst um die Vereinfachung der linken Seite kümmern. Dabei hilft Dir die dritte Rechenregel.
Lösung
Auch hier startest Du mit einer Nebenrechnung, um die linke Seite zu vereinfachen. Dafür musst Du nur herausfinden, was für a, x und y steht.
Nachdem Du die Potenz vor den Logarithmus gezogen hast, kannst Du die Gleichung vereinfachen und umformen.
Der Ausdruck ergibt die Zahl 1 (
), was die Rechnung weiter vereinfacht.
Und aus der letzten Formel kannst Du dann die Lösung wie bei einer linearen Gleichung bestimmen.
Damit hast Du die Werkzeuge in der Hand, die Du brauchst, um Logarithmusgleichungen zu lösen. Es kann allerdings sein, dass eines davon nicht für eine Gleichung reicht.
Komplexe Logarithmusgleichungen lösen
Schwer ist natürlich für jeden etwas anderes. Wenn jetzt allerdings der natürliche Logarithmen auftauchen, wird es zunächst einmal zumindest knifflig.
Auf den ersten Blick scheint diese Gleichung nicht ganz einfach:Natürliche Logarithmusgleichungen
Ein spezieller Logarithmus ist der sogenannte "natürliche Logarithmus". Um diesen zu verstehen, brauchst Du die sogenannte Eulerzahl e.
Die Eulersche Zahl e ist eine Konstante mit der Größe
Der Logarithmus zur Basis heißt natürlicher Logarithmus
.
Abbildung 2: natürlicher Logarithmus
Daraus ergibt sich die praktische Rechenregel:
Mithilfe der Tatsache kannst Du dann viele Rechnungen mit
deutlich abkürzen.
ln auflösen mit e
Du kannst die Regeln von oben zusammenfassend verwenden und den Logarithmus auf der einen Seite der Gleichung gegen eine Potenzierung auf der anderen Seite tauschen.
Das kannst Du dann nutzen, wenn Du etwa die gesuchte Variable im natürlichen Logarithmus stehen hast. Es gilt nämlich: .
Dadurch dass das e nicht weiter als eine reelle Zahl ist, kannst Du es auch so behandeln und wenn nur noch Ziffern und e (oder auch Pi) auf der einen Seite stehen, kannst Du das am Stück in den Taschenrechner eingeben.
Logarithmusgleichungen lösen Aufgaben
Zum Schluss kannst Du in zwei Aufgaben selbst Logarithmusgleichungen lösen.
Aufgabe 3
Bestimme den Wert der Variable x.
Lösung
Zuerst kannst Du in einer Nebenrechnung die linke Seite umformen:
Mit beiden Seiten eingesetzt, sieht die Ausgangsgleichung dann so aus:
Die theoretische zweite Lösung ist auszuschließen, da der Logarithmus der Ausgangsgleichung sonst negativ wäre.
In der nächsten Aufgabe siehst Du alles einmal angewandt.
Aufgabe 4
Bestimme den Wert von x.
Lösung
Als Erstes sortierst Du die Logarithmen so auf jeweils eine Seite, dass sie positive Summanden sind.
Danach vergleichst Du die linke Seite mit dem Gesetz von oben und fasst die Logarithmen in einer Nebenrechnung zusammen.
Dann kannst Du den ln auf beiden Seiten mit e auflösen.
Anschließend multiplizierst Du die linke Seite aus und fasst die Terme zu einer quadratischen Gleichung zusammen.
Hierfür kannst Du jetzt die pq- Formel (oder auch die Mitternachtsformel) anwenden. Die Ergebnisse lauten dann:
Schon hast Du also auch eine schwerere Gleichung gelöst.
Logarithmusgleichungen lösen – Das Wichtigste
- Ein Logarithmus ist folgendermaßen definiert
- Folgende Gesetze helfen Dir:
- Für Gleichungen mit dem natürlichen Logarithmus und der Eulerzahl e helfen dir dessen Definitionen:
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Logarithmusgleichungen lösen
Wie kann man einen Logarithmus in eine Potenz umwandeln?
Per Definition ist der Logarithmus
y = log[b](x)
das Gleiche wie
b^y = x
Wie löst man den log auf?
Hast du den Logarithmus
log[b](x) = y gegeben
gilt auch
b^y = x
Wie funktioniert der natürliche Logarithmus?
Der natürliche Logaritmus ln(x) ist der Logarithmus zur Basis e
Also
ln(x) = log[e](x)
e = 2,782... ist die Euler-Zahl
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