Proportionalität

Quotientengleichheit direkt proportionaler Größen

Betrachtet man in der Tabelle zusätzlich die Quotienten von Masse und Preis, das heißt, teilt man die jeweilige Masse durch den Preis, passiert etwas Erstaunliches.

Masse Äpfel in g	1	2	3	4	5
Preis Äpfel in €	2	4	6	8	10
				2	2

Dass dieser Quotient in jeder Spalte den gleichen Wert annimmt, ist kein Zufall. Das ist bei allen direkt proportionalen Zusammenhängen so. Man sagt auch, die beiden Größen sind quotientengleich.

Dieser konstante Wert wird auch mit dem Zeichen "k" dargestellt und als Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante bezeichnet. In diesem Beispiel sagt der Proportionalitätsfaktor aus, dass pro Kilogramm Äpfel 2 € bezahlt werden müssen.

Typische Beispiele für direkt proportionale Zusammenhänge

Wenn du dir zwei Größen anschaust und nicht sicher bist, ob sie direkt proportional sind, kannst du das einfach überprüfen. Du kannst nachweisen, dass es sich um einen direkt proportionalen Zusammenhang handelt, indem du zeigst, dass die zwei Größen quotientengleich sind, dass es einen konstanten Proportionalitätsfaktor gibt oder dass das n-fache der einen Größe dem n-fachen der anderen Größe entspricht.

Wenn du mehr über direkt proportionale Größen und direkt proportionale Zusammenhänge erfahren möchtest, dann schaue in den Artikel Direkte Proportionalität vorbei.

Indirekte Proportionalität: Erklärung

Stelle dir vor, in einem Freibad soll das Schwimmerbecken vor der Eröffnung im Sommer befüllt werden. Wenn zwei Pumpen verwendet werden, dauert das Befüllen 30 Stunden. Wird hingegen nur eine Pumpe verwendet, verlängert sich die Zeit, die benötigt wird, um das Becken zu befüllen. Es dauert dann doppelt so lange – 60 Stunden. Aber werden stattdessen 4 Pumpen verwendet, dauert das Befüllen nur halb so lange, wie mit 2 Pumpen. Dieser Zusammenhang wird in der Tabelle dargestellt.

Damit können wir erneut eine wichtige Erkenntnis folgern!

Produktgleichheit bei indirekter Proportionalität

Schauen wir uns zunächst an, was passiert, wenn der Wert der einen Größe mit dem zugehörigen Wert der anderen Größe multipliziert wird.

Anzahl der Pumpen	1	2	3	4	5
Dauer des Befüllens in h	60	30	20	15	12

Das Produkt der Größen hat immer den gleichen Wert.

Dass das Produkt der beiden Werte gleich ist, ist bei allen zueinander indirekt proportionalen Größen der Fall.

Oft hat das Produkt der beiden Größen eine Bedeutung im Sachzusammenhang. Zum Beispiel kann die Dauer, die für einen bestimmten Weg benötigt wird, in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit betrachtet werden. Das Produkt aus Dauer und Geschwindigkeit bleibt immer gleich und beschreibt die Länge des Weges ($Geschwindigkeit·Zeit=Weg$).

Typische Beispiele für indirekt proportionale Zusammenhänge

Du solltest beachten, dass es sich meist um idealisierte Zusammenhänge handelt. Beispielsweise arbeitet nicht jeder Arbeiter gleich effektiv und nicht jedes Tier isst gleich viel. Aber um den realen Zusammenhang modellieren zu können, bietet es sich trotzdem an, von einem indirekt proportionalen Zusammenhang auszugehen.

Proportionale Zuordnung und Proportionalitätsfaktor

Damit du verstehen kannst, was eine proportionale Zuordnung ist, musst du zunächst wissen, was eine Zuordnung ist. Bei einer Zuordnung wird einer Größe eine andere Größe zugeordnet. So wird beispielsweise einem Apfel der Preis 20 ct zugeordnet und 2 Äpfeln wird der Preis 40 ct zugeordnet und so weiter.

Direkt proportionale Zuordnungen als Spezialfall linearer Funktionen

Wenn der Preis von Äpfeln und die Masse der Äpfel in ein Koordinatensystem eingetragen werden, dann ergibt sich der typische lineare Verlauf einer direkt proportionalen Zuordnung. Die Masse der Äpfel entspricht den x-Werten und die zugeordneten Preise entsprechen den y-Werten.

Bei direkt proportionalen Zuordnungen entsteht durch das Einzeichnen der Punkte und Verbinden zu einer Geraden stets eine Ursprungsgerade bzw. Ursprungshalbgerade. Das ist eine Gerade beziehungsweise Halbgerade, die durch den Punkt (0; 0) verläuft.

Die Zuordnungsvorschrift bzw. der Funktionsterm lautet: ⁣$y=k·x$, wobei k die Proportionalitätskonstante ist. Die Proportionalitätskonstante entspricht also der Steigung der Ursprungsgerade.

Indirekt proportionale Zuordnungen als Spezialfall gebrochen-rationaler Funktionen

Wenn du mehr über proportionale Zuordnungen und den Proportionalitätsfaktor erfahren möchtest, dann schaue in den Artikel Proportionale Zuordnungen und Proportionalitätsfaktor.

Proportionalität: Der Dreisatz

Sind zwei Größen zueinander direkt oder indirekt proportional und ein fehlender Wert soll berechnet werden, so kannst du den Dreisatz verwenden.

1. In der ersten Zeile schreibst du das Verhältnis auf, das du kennst.
2. In der zweiten Zeile rechnest du aus, was einer Anzahl/Einheit entspricht.
3. In der dritten Zeile rechnest du dann die gesuchte Größe aus.

Dreisatz bei direkt proportionalen Größen

Um eine Aufgabe mit direkt proportionalen Größen zu lösen, musst du stets darauf achten, beim

ver-n-fachen der einen Größe auch die andere Größe zu ver-n-fachen. Wie der Dreisatz bei direkt proportionalen Größen angewandt werden kann, wird dir anhand von folgendem Beispiel erläutert.

Dreisatz bei indirekt proportionalen Größen

Auch bei zueinander indirekt proportionalen Größen kann der Dreisatz verwendet werden, um einen fehlenden Wert zu berechnen. Du musst jetzt aber darauf achten, dass du nicht dasselbe auf beiden Seiten machst, sondern auf der einen Seiten teilst, wenn du auf der anderen multiplizierst.

Im Beispiel wird dir gezeigt, wie es funktioniert.

Aufgabe 3

4 Arbeiter benötigen zur Fertigstellung eines Gerüsts 20 Stunden. Wie lange brauchen 6 Arbeiter?

Lösung

$$\begin{gathered} 4Arbeiter\stackrel{\wedge}{=}24h \\ 2Arbeiter\stackrel{\wedge}{=}48h \\ 6Arbeiter\stackrel{\wedge}{=}16h \end{gathered}$$

6 Arbeiter benötigen 16 h, um das Gerüst fertig zu stellen.

Wenn du genauer wissen möchtest, wie und warum der Dreisatz funktioniert, dann wirf einen Blick in den Artikel Dreisatz.