Achsenschnittpunkte berechnen Lineare Funktion

Achsenschnittpunkte berechnen linearer Funktionen Definition

Der Graph – also der Verlauf einer linearen Funktion – wird in einem Koordinatensystem dargestellt. Die Stellen, an denen der Graph die Koordinatenachsen schneidet, nennst Du Achsenschnittpunkte. Ein Achsenschnittpunkt mit der y-Achse nennt sich y-Achsenabschnitt. Der Schnittpunkt einer Funktion mit der x-Achse nennt sich Nullstelle.

Achsenschnittpunkte im Koordinatensystem ablesen

Wenn Du zu einer Funktion bereits einen Graphen gegeben hast, kannst Du die Achsenschnittpunkte ablesen, anstatt sie berechnen zu müssen. Das machst Du, indem Du Dir die x- und y-Achse anschaust und die Stellen suchst, an denen diese vom Graphen geschnitten werden. Dort hast Du die Achsenschnittpunkte gegeben.

Achsenschnittpunkte lineare Funktionen - Bedeutung

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen haben eine große Bedeutung für das Verständnis einer linearen Funktion. Wenn Du wichtige Punkte einer Funktion berechnen willst, sind die Achsenschnittpunkte mit die wichtigsten Berechnungen. Mit ihnen kannst Du Dir schon im Kopf ein Bild des Graphen machen, noch bevor Du ihn eigentlich zeichnest.

Achsenschnittpunkte lineare Funktionen - Berechnung der x-Achse

Jetzt betrachtest Du Dir die lineare Funktion, ohne vorher eine Darstellung des Graphen gesehen zu haben.

Die oben erwähnten Nullstellen sind x-Werte, die einen Funktionswert von 0 haben. Wenn Du also die x-Koordinate eines Schnittpunkts mit der x-Achse in Deine Funktion \(f(x)\) einsetzt und nach der Berechnung 0 als Ergebnis herauskommt, ist dieser Schnittpunkt eine Nullstelle.

Achsenschnittpunkte mit der x-Achse – Darstellung in Koordinaten

Um den Punkt in einem Koordinatensystem festzustellen und einzuzeichnen, benötigst Du die passenden Koordinaten. Jeder Punkt, der auf der x-Achse liegt, hat eine Null als y-Koordinate.

Allgemein lauten die Koordinaten eines Achsenschnittpunktes mit der x-Achse:

\[S1(x|0)\]

Achsenschnittpunkte mit der x-Achse – Berechnung

1. Schritt: Formuliere die Funktion als Gleichung:

\[\begin{align} f(x) &= m\cdot x + b\\y &= m\cdot x + b\end{align}\]

2. Schritt: Setze den allgemeinen Punkt \(S1(x|0)\) ein, x bleibt gleich und für y setzt Du 0 ein:

\[0 = m\cdot x + b\]

3. Schritt: Löse die Gleichung nach x auf:

\[x = \frac{0-b}{m}\]

4. Schritt: Setze den x-Wert in den Achsenschnittpunkt ein:

\[S1(x|0)\]

Achsenschnittpunkte lineare Funktionen – Berechnung der y-Achse

Die Berechnung eines Achsenschnittpunktes mit der y-Achse folgt fast dem gleichen Prinzip wie die Berechnung an der x-Achse.

Achsenschnittpunkt mit der y-Achse – Darstellung in Koordinaten

Um den Punkt in einem Koordinatensystem festzustellen und einzuzeichnen, benötigst Du die passenden Koordinaten.

Jeder Punkt, der auf der y-Achse liegt, hat eine 0 als x-Koordinate.

Allgemein lauten die Koordinaten eines Achsenschnittpunktes mit der y-Achse:

\[S(0|y)\]

Achsenschnittpunkt mit der y-Achse - Berechnung

1. Schritt: Formuliere die Funktion in eine Gleichung:

\[\begin{align}f(x) &= m \cdot x + b\\y &= m \cdot x + b\end{align}\]

2. Schritt: Setze den allgemeinen Punkt \(S(0|y)\) ein:

\[\begin{align}f(0) &= m \cdot x + b\\y &= m \cdot 0 + b\end{align}\]

3. Schritt: Löse die Gleichung dann nach y auf:

\[y = b\]

4. Schritt: Setze den y-Wert in den Achsenschnittpunkt ein:

\[S2(0|y)\]

Da Du die zwei Achsenschnittpunkte der linearen Funktion \(f(x) = 3x - 2\) berechnet hast, kannst Du die Funktion durch die beiden Punkte zeichnen. Dafür verbindest Du lediglich die zwei Punkte durch eine Gerade.

Abbildung 5: komplette Funktion eingezeichnet

Achsenschnittpunkte berechnen lineare Funktionen – Besonderheiten

Es gibt eine unendlich große Menge an unterschiedlichen linearen Funktionen. Diese Funktionen haben nicht immer zwei Achsenschnittpunkte, die Du berechnen kannst. Bei manchen kommt es vor, dass sie nur einen Achsenschnittpunkt oder einen gemeinsamen Achsenschnittpunkt besitzen.

Achsenschnittpunkte berechnen lineare Funktionen – nur ein y-Achsenschnittpunkt

Funktionsgraphen, die parallel zu der x-Achse verlaufen, haben nur einen y-Achsenschnittpunkt. Sie werden auch konstante Funktionen genannt, da sie keine Steigung besitzen und immer konstant parallel zur x-Achse verlaufen.

Bei einer linearen Funktion mit dem Steigungsparameter m gleich null, zählt nur der Parameter b.

Das heißt, es wird jedem x-Wert der Funktion der gleiche y-Wert zugewiesen.

Den Schnittpunkt mit der y-Achse kannst Du nach dem Schema, welches Dir weiter oben gezeigt wurde, berechnen.

Wenn \(m = 0\), dann folgt daraus:

\[\begin{align} f(x) &= m \cdot x + b \to y = m \cdot x + b\\f(0) &= 0 \cdot 0 + b \to y = 0 \cdot 0 + b\end{align}\]

\[f(0) = b \to y = b\]

\[S(0|y) \to S(0|b)\]

Wie Du in der Rechnung siehst, ist das b in der allgemeinen Funktionsgleichung für lineare Funktionen mit dem y-Wert des y-Achsenschnittpunkts gleichzusetzen. Das heißt, dass Du den y-Achsenabschnitt schnell aus einer linearen Funktionsgleichung herauslesen kannst, indem Du das b suchst.

Wie oben schon erwähnt ist es nicht möglich einen Schnittpunkt mit der x-Achse zu berechnen, da eine konstante Funktion immer parallel zur x-Achse verläuft.

Wenn \(m = 0\), dann folgt daraus:

\[f(x) = m\cdot x + b \to y = m\cdot x + b \to 0 = 0\cdot x + b\]

Diese Funktionsgleichung kommt auf kein gleiches Ergebnis. Wenn Du die Rechnung weiterführst, kommst Du auf \(0 = b\). Das ist nur für den Fall richtig, wenn b 0 ist. Das ist auch die einzige konstante Funktion, welche Nullstellen besitzt.

Abbildung 6: konstante Funktion

In der Abbildung siehst Du die konstante Funktion \(f(x) = 2\). Ihr einziger Schnittpunkte mit einer Koordinatenachse ist ihr y-Achsenabschnitt bei \(y = 2\).

Achsenschnittpunkte berechnen lineare Funktion - ein gemeinsamer x- und y-Achsenschnittpunkt

Es gibt noch einen weiteren besonderen Fall, und zwar wenn eine lineare Funktion einen gemeinsamen Schnittpunkt an der x- und y-Achse besitzt. Diese Art von Funktion wird auch als Ursprungsgerade bezeichnet.

Eine Funktionsgleichung einer Ursprungsgerade ist \(f(x) = x\). Wenn Du hier den ersten Schritt aus den beiden Berechnungen zu Achsenschnittpunkten anwendest und für \(f(x)\) \(y\) einsetzt, erhältst Du die Gleichung \(y = x\). Diese Gleichung sagt Dir, dass der y-Wert des dazugehörigen Funktionsgraphen dem x-Wert entspricht. Somit hat diese Funktion als Graphen eine Gerade, welche genau im 45° Winkel durch den Koordinatenursprung verläuft.

Aber nicht nur die Funktion \(f(x) = x\) ist eine Ursprungsgerade, sondern auch jede Funktion der Form \(f(x) = a \cdot x\), wobei gilt: \(a \in \mathbb{R}\backslash0\). Somit kannst Du für a jede Zahl außer die 0 einsetzen.

Abbildung 7: Ursprungsgerade

Achsenschnittpunkte berechnen lineare Funktionen – Übungen

In diesem Abschnitt der Erklärung findest Du ein paar Übungen, um das gelernte Wissen zu vertiefen.

Achsenschnittpunkte berechnen – Aufgabe 1

Berechne die Achsenschnittpunkte der linearen Funktion \(f(x) = 5x-3\).

Achsenschnittpunkte berechnen – Aufgabe 2

Erkläre mit einer Rechnung, warum die Funktion \(f(x) = x\) nur einen gemeinsamen Schnittpunkt mit der x- und y-Achse hat.