Besondere lineare Funktionen

Besondere lineare Funktionen – Definition & Erklärung

Eine allgemeine lineare Funktion ist in der Mathematik wie folgt definiert:

Der zugehörige Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Diese Funktion läuft, wie der Name schon sagt, gerade durchs Koordinatensystem.

Abb. 2 - Lineare Funktion.

Insbesondere anhand ihrer Eigenschaften zur Steigung, den Nullstellen und dem y-Achsenabschnitt können die Geraden in einige sogenannte besondere lineare Funktionen unterteilt werden.

Besondere lineare Funktion – Definition

Wie genau ist eine besondere lineare Funktion definiert?

Es gibt folgende besondere lineare Funktionen:

• Konstante Funktionen
• Ursprungsgerade
• Betragsfunktion
• Tangente
• Sekante
• Passante
• Normale

Diese werden in den folgenden Abschnitten genauer beschrieben.

Konstante Funktionen

Die konstante Funktion kennst Du bereits aus der Einleitung. Hier wird sie näher definiert und erklärt.

Folglich bedeutet dies, dass eine lineare Funktion, welche als $f(x)=mx+t$ definiert ist, genau dann als konstante Funktion bezeichnet wird, wenn ihre Steigung $m=0$ ist.

Folgende Abbildung zeigt Dir beispielhaft eine konstante Funktion $f(x)=-2$.

Abb. 3 - Konstante Funktion.

Wie aus der Abbildung hervorgeht, sind Geraden von konstanten Funktionen immer parallel zur x - Achse.

Damit stellt der Lösungswert der Funktion immer denselben Wert dar, nämlich jenen für $c$, also in diesem Beispiel $-2$.

Ursprungsgerade

Wie der Name schon erahnen lässt, hat diese Funktion einen engen Zusammenhang mit dem Ursprung beziehungsweise Nullpunkt des Koordinatensystems.

Eine Ursprungsgerade besitzt also als Besonderheit keinen y-Achsenabschnitt t.

Dieser gibt an, an welchem Punkt die Gerade die y-Achse schneidet. Das ist bei einer Ursprungsgerade jedoch der Wert $0$ aufgrund ihres Verlaufs durch den Ursprung, daher fällt $t=0$ in der allgemeinen Funktionsgleichung weg.

Folgende Abbildung zeigt einige Beispiele für Ursprungsgeraden.

Abb. 4 - Ursprungsgeraden.

Betragsfunktion

Bei der Betragsfunktion wird jedem x-Wert sein Betrag zugewiesen.

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ bedeutet, dass die Betragsfunktion $f(x)$ für alle reellen Zahlen $\mathbb{R}$ definiert ist. Du kannst also jede Zahl, die Du kennst, in die Betragsfunktion einsetzen.

Die Wertemenge $\mathbb{W}={\mathbb{R}}^{+}$ einer Funktion $f(x)$ beschreibt den Zahlenbereich, in dem alle ausgegebenen Funktionswerte liegen. Die Funktionswerte der Betragsfunktion sind immer positiv, da der Betrag einer Zahl immer positiv ist. Deshalb sind nur alle positiven reellen Zahlen Teil der Wertemenge.

Der Graph der Betragsfunktion $f(x)=|x|$ besteht aus zwei Halbgeraden.

In folgender Abbildung kannst Du erkennen, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Abb. 5 - Betragsfunktion.

Wenn Du einen x-Wert in die Betragsfunktion einsetzt, kannst Du direkt den Betrag des x-Wertes berechnen:

$$\begin{array}{rl}f(3)& =|3|=3\\ f(-4)& =|-4|=4\\ f(27)& =|27|=27\\ f(-61)& =|-61|=61\end{array}$$

Tangente, Sekante und Passante

Unter den Begriffen Tangente, Sekante und Passante werden in der Mathematik Geraden verstanden, welche eine Funktion oder geometrische Figur berühren, schneiden oder nicht berühren. Folgende Tabelle gibt einen Überblick:

Folgende Abbildung verdeutlicht die Unterscheidung zwischen Tangente, Sekante und Passante.

Abb. 6 - Tangente, Sekante und Passante.

Normale

Auch die Normale hängt eng mit der Tangente zusammen.

Einfacher ausgedrückt ist eine Normale eine Gerade, welche die Tangente an jenem Punkt, an welchem diese den Berührungspunkt mit der Figur hat, so schneidet, dass die beiden senkrecht zueinander stehen beziehungsweise einen rechten Winkel bilden.

Folgende Abbildung zeigt beispielhaft eine Tangente und Normale der Funktion $f(x)$ im Punkt $S(1|1)$.

Abb. 7 - Normale.

Es gibt eine allgemeine Normalengleichung, welche sich aus der Steigung der zugehörigen Funktion und dem Funktionswert an der entsprechenden Stelle ergibt.

Besondere lineare Funktionen – beschreiben, ablesen, aufstellen und berechnen

Mithilfe von Wertetabellen und Steigungsdreiecken können lineare Funktionen beschrieben, abgelesen, aufgestellt und berechnet werden.

Besondere lineare Funktionen beschreiben

Funktionen können als Funktionsterm, mithilfe einer Wertetabelle oder als Funktionsgraph beschrieben werden.

Besondere lineare Funktionen ablesen

Den Funktionsterm einer besonderen linearen Funktion kannst Du anhand Ihres Graphen ablesen.

Gehe dazu in folgenden Schritten vor:

1. Allgemeinen Funktionsterm aufschreiben: $y=m\cdot x+t$
2. Steigung $m=\frac{y}{x}$ anhand eines Steigungsdreiecks ablesen; $m=\frac{2}{1}=2$.
3. Ablesen des y-Achsenabschnitts t (als Schnittpunkt mit der y-Achse); $t=0$.
4. Einsetzen der Werte für die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t in den allgemeinen Funktionsterm; $y=2x+0$.

Abb. 10 - Besondere lineare Funktion ablesen.

Besondere lineare Funktionen aufstellen

Um eine Funktion aufzustellen, musst Du rechnerisch die Steigung und den Achsenabschnitt bestimmen.

Auch hierbei gehst Du auf ähnliche Weise vor:

1. Schreibe Dir den Allgemeinen Funktionsterm auf: $y=m\cdot x+t$
2. Berechne dann die Steigung m mithilfe von zwei gegebenen Punkten der Funktion. Nutze dafür die Formel $m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .
3. Setze die berechnete Steigung m in den allgemeinen Funktionsterm ein.
4. Nun kannst Du den x-Wert und den y-Wert eines Punktes der Funktion in den Funktionsterm einsetzen & ihn nach der verbliebenen Variable t umstellen.
5. Vervollständige den Funktionsterm mit dem berechneten y-Achsnabschnitt t.

Besondere lineare Funktionen berechnen

Manchmal hast Du jedoch bereits den Funktionsterm gegeben und möchtest nur noch den Funktionswert für eine bestimmte Zahl berechnen.

1. Dafür setzt Du die gegebene Zahl als x-Wert in die Funktion ein.
2. Anschließend rechnest Du den Term aus.
3. Dadurch erhältst Du den y-Wert beziehungsweise den Wert der Funktion.

Besondere lineare Funktionen – Beispiele

Folgende Übungsbeispiele werden das Erlernte zum Thema besondere lineare Funktionen wiederholen.

Auf geht's zur nächsten Aufgabe.