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Leg kostenfrei losWelche Regel nutzt du beim Integrieren von verketteten Exponentialfunktionen?
Wie lautet die allgemeine Exponentialfunktion?
Wie lautet die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = a^x?
Wann benötigst du die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion?
Was ist das Gegenteil von Ableiten?
Wie berechnest du das bestimmte Integral der Funktion a^x von a bis b?
Wie lautet die allgemeine Exponentialfunktion?
Welches Prinzip wird angewendet, um die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion zu bestimmen?
Wie lautet die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion?
Was benötigst du, um Integrale der allgemeinen Exponentialfunktion zu lösen?
Was ist das Resultat der Ableitung der Funktion g(x)=5x?
Welches Prinzip wird angewendet, um die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion zu bestimmen?
Wie lautet die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion?
Was benötigst du, um Integrale der allgemeinen Exponentialfunktion zu lösen?
Was ist das Resultat der Ableitung der Funktion g(x)=5x?
Welche Regel nutzt du beim Integrieren von verketteten Exponentialfunktionen?
Wie lautet die allgemeine Exponentialfunktion?
Wie lautet die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = a^x?
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Team Exponentialfunktion integrieren Lehrer
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Die Funktion ist noch nicht ganz fertig, aber wir würden gerne wissen, warum du Audio-Lernen bevorzugst.
Warum bevorzugst du Audio-Lernen? (optional)
Feedback sendenDie Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion benötigst du immer dann, wenn du ein Integral mit dieser lösen möchtest.
Der Artikel "Exponentialfunktion" beinhaltet noch einmal alle wichtigen Grundlagen und Eigenschaften zu diesem Funktionstyp, den wir nachfolgend integrieren wollen.
Zur Wiederholung findest du hier zunächst die Definition der allgemeine Exponentialfunktion.
Die Funktion
wird als allgemeine Exponentialfunktion bezeichnet, wobei
Im Gegensatz zur e-Funktion ist sowohl das Ableiten als auch das Integrieren der allgemeinen Exponentialfunktion aufwendiger.
Zur Erinnerung: Im Artikel "Stammfunktion bilden" hast du gelernt, dass du bei der Stammfunktion immer eine Konstante
Um die Stammfunktion zu bilden, musst du die Ableitung rückwärts durchführen.
Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.
Du siehst, dass bei der Ableitung
Zum Verständnis schaue dir zunächst ein Beispiel an.
Du hast die Funktion
Ziel ist nun die Ableitung rückwärts durchzuführen und damit zu integrieren. Die Stammfunktion der Ableitung
Beim Ableiten wird der Ausdruck
Du siehst, dass du lediglich durch den Ausdruck
Jetzt hast du eine Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion
Die Stammfunktion
Zur Erinnerung:
Wie die Stammfunktion entsteht, kannst du dem vertiefenden Abschnitt entnehmen.
Damit du die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion
Da es sich bei der allgemeinen Exponentialfunktion um eine verkettete Funktion handelt, benötigst du bei der Ableitung die Kettenregel. Das Gegenteil beim Integrieren ist dazu die Integration durch Substitution. Allerdings wird in der Schule meist auch beim Integrieren von der Kettenregel gesprochen.
Zur Erinnerung:
Eine Kettenregel bei der Exponentialfunktion hast du dann vorliegen, wenn im Exponent nicht nur
Die benötigten Integrationsregeln findest du in unseren Artikeln zu den "Integrationsregeln" und "Integration durch Substitution".
Nun musst du die Kettenregel anwenden sowie die innere und äußere Funktion definieren.
Für die Stammfunktion brauchst du die Stammfunktion der äußeren Funktion
Damit ergibt sich folgender Ausdruck:
Schreibst du die e-Funktion wieder in eine allgemeine Exponentialfunktion um, erhältst du folgende Stammfunktion.
Jetzt kennst du die Stammfunktion
Aufgabe 1
Bestimme die Stammfunktion
Lass dich durch das
Lösung
Zuerst musst du die Basis
Als Nächstes kannst du alle Zahlen in die obige Formel einfügen und schon hast du die fertige Stammfunktion.
Der Konstanten
Vergiss zum Schluss nicht, die Konstante C zu addieren.
Die Theorie zur Integration der allgemeinen Exponentialfunktion kennst du damit bereits. Wende diese gleich bei der Berechnung solcher Integrale an.
Die Stammfunktion
Bestimmtes Integral der allgemeinen Exponentialfunktion
Achtung: Sowohl die Basis der Exponentialfunktion als auch die untere Grenze haben denselben Buchstaben a, sind jedoch nicht das Gleiche!
Dazu kannst du dir zwei weitere Anwendungen ansehen.
Aufgabe 2
Berechne exakt das Integral
Lösung
Zuerst ist es wieder hilfreich, die Basis
Damit erhältst du folgendes Integral.
Aufgabe 3
Das Integral
Zeichne zusätzlich das Schaubild der Funktion
Lösung
Zeichne zuerst das Schaubild der Funktion
Abbildung 1: Schaubild der Funktion f(x)
Dann kannst du wieder die Basis
Danach musst du die linke Seite des Integrals berechnen, indem du die Stammfunktion bildest.
Als Nächstes musst du den Ausdruck
Somit ist die obere Grenze
Als letzten Schritt musst du die Fläche
Abbildung 2: Fläche unterhalb des Graphen der Funktion f(x)
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Wie integriert man eine Exponentialfunktion?
Die allgemeine Exponentialfunktion lässt sich über Integration durch Substitution integrieren. Damit ergibt sich die allgemeine Stammfunktion der Exponentialfunktion: F(x)=ax/ln(a) + C
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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