Wie integriert man eine Exponentialfunktion?

Die allgemeine Exponentialfunktion lässt sich über Integration durch Substitution integrieren. Damit ergibt sich die allgemeine Stammfunktion der Exponentialfunktion: F(x)=a x /ln(a) + C

Wie berechnest du das bestimmte Integral der Funktion a^x von a bis b?

∫[a, b] a^x dx = [a^x * ln(a)] |^b_a

Exponentialfunktion integrieren: Erklärung & Regeln

Exponentialfunktion integrieren

Du hast dich schon öfter mit der natürlichen Exponentialfunktion $e^{x}$ beschäftigt und möchtest nun auch noch die allgemeine Exponentialfunktion integrieren? Hier lernst du alles Wichtige zu dieser Funktion – von der Definition bis zur Berechnung ihres Intergrals.

Los geht’s

Die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion benötigst du immer dann, wenn du ein Integral mit dieser lösen möchtest.

Der Artikel "Exponentialfunktion" beinhaltet noch einmal alle wichtigen Grundlagen und Eigenschaften zu diesem Funktionstyp, den wir nachfolgend integrieren wollen.

Allgemeines zum Integrieren der Exponentialfunktion

Zur Wiederholung findest du hier zunächst die Definition der allgemeine Exponentialfunktion.

Die Funktion $f (x)$ mit

$f (x) = a^{x}$

wird als allgemeine Exponentialfunktion bezeichnet, wobei $a > 0$ und $a \neq 1$ ist.

Im Gegensatz zur e-Funktion ist sowohl das Ableiten als auch das Integrieren der allgemeinen Exponentialfunktion aufwendiger.

$\begin{matrix} F (x) = \frac{a^{x}}{\ln (a)} + C & \overset{I n t e g r i e r e n}{\leftarrow} & f (x) = a^{x} & \overset{A b l e i t e n}{\to} & f' (x) = \ln (a) \cdot a^{x} \end{matrix}$

Zur Erinnerung: Im Artikel "Stammfunktion bilden" hast du gelernt, dass du bei der Stammfunktion immer eine Konstante $C$ dazu addieren musst, da diese beim Ableiten wegfällt.

Um die Stammfunktion zu bilden, musst du die Ableitung rückwärts durchführen.

Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.

Du siehst, dass bei der Ableitung $f' (x)$ die Basis $a$ und der Exponent $x$ gleich bleiben und sich nicht verändern. Das Ganze wird lediglich mit dem Ausdruck $\ln (a)$ multipliziert.

Zum Verständnis schaue dir zunächst ein Beispiel an.

Du hast die Funktion $g (x)$ mit $g (x) = 5^{x}$ und deren Ableitung $g' (x) = \ln (5) \cdot 5^{x}$ gegeben.

Ziel ist nun die Ableitung rückwärts durchzuführen und damit zu integrieren. Die Stammfunktion der Ableitung $g' (x)$ ist die Funktion $g (x)$ . Es muss also Folgendes gelten:

$g (x) = F (x)$

Beim Ableiten wird der Ausdruck $\ln (5)$ vor die Funktion gezogen, deshalb musst du beim Integrieren mit $\frac{1}{\ln (5)}$ multiplizieren, um den Ausdruck $\ln (5)$ wegzukürzen.

$F (x) = \ln (5) \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot a^{x} + C = a^{x} + C = g (x) + C$

Du siehst, dass du lediglich durch den Ausdruck $\ln (5)$ dividieren musst. In diesem Fall ist die Konstante $C = 0$ . Somit ist die Funktion $g (x)$ nur eine mögliche Stammfunktion von $g' (x)$ .

Stammfunktion Exponentialfunktion

Jetzt hast du eine Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion $a^{x}$ gebildet, ohne dass du die Integrationsregeln anwendest. Schauen wir uns das Ganze einmal mathematisch an.

Die Stammfunktion $F (x)$ der allgemeinen Exponentialfunktion $f (x) = a^{x}$ lautet:

$F (x) = \frac{a^{x}}{\ln (a)} + C$

Zur Erinnerung: $f (x) = a^{x} = e^{\ln (a) \cdot x}$

Herleitung der Stammfunktion der Exponentialfunktion

Wie die Stammfunktion entsteht, kannst du dem vertiefenden Abschnitt entnehmen.

Damit du die Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion $f (x) = a^{x}$ bilden kannst, musst du die allgemeine Exponentialfunktion in eine e-Funktion umschreiben.

$f (x) = a^{x} = e^{\ln (a) \cdot x}$

Da es sich bei der allgemeinen Exponentialfunktion um eine verkettete Funktion handelt, benötigst du bei der Ableitung die Kettenregel. Das Gegenteil beim Integrieren ist dazu die Integration durch Substitution. Allerdings wird in der Schule meist auch beim Integrieren von der Kettenregel gesprochen.

Zur Erinnerung:

Eine Kettenregel bei der Exponentialfunktion hast du dann vorliegen, wenn im Exponent nicht nur $" x "$ steht.

Die benötigten Integrationsregeln findest du in unseren Artikeln zu den "Integrationsregeln" und "Integration durch Substitution".

Nun musst du die Kettenregel anwenden sowie die innere und äußere Funktion definieren.

$g (h (x)) = e^{h (x)} und h (x) = \ln (a) \cdot x$

Für die Stammfunktion brauchst du die Stammfunktion der äußeren Funktion $g (h (x))$ und die Ableitung der inneren Funktion $h (x)$ .

$G (h (x)) = e^{h (x)} und h' (x) = \ln (a)$

Damit ergibt sich folgender Ausdruck:

$\begin{array}{rcl} F (x) & = & \frac{1}{h' (x)} \cdot G (h (x)) + C \\ = & \frac{1}{\ln (a)} \cdot e^{h (x)} + C \\ = & \frac{1}{\ln (a)} \cdot e^{\ln (a) \cdot x} + C \end{array}$

Schreibst du die e-Funktion wieder in eine allgemeine Exponentialfunktion um, erhältst du folgende Stammfunktion.

$F (x) = \begin{array}{rcl} \frac{a^{x}}{\ln (a)} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} C \end{array}$

Exponentialfunktion integrieren – Regel und Beispiel

Jetzt kennst du die Stammfunktion $F (x)$ der allgemeinen Exponentialfunktion. Um die Regel zu verinnerlichen, findest du hier ein Beispiel:

Aufgabe 1

Bestimme die Stammfunktion $F (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = π^{x} + e$ .

Lass dich durch das $π$ und $e$ nicht verwirren. Sie können wie eine ganz normale Zahl bzw. Konstante behandelt werden.

Lösung

Zuerst musst du die Basis $a$ identifizieren.

$a = π$

Als Nächstes kannst du alle Zahlen in die obige Formel einfügen und schon hast du die fertige Stammfunktion.

Der Konstanten $e$ wird lediglich ein $x$ hinzugefügt.

$F (x) = \frac{π^{x}}{\ln (π)} + e x + C$

Vergiss zum Schluss nicht, die Konstante C zu addieren.

Die Theorie zur Integration der allgemeinen Exponentialfunktion kennst du damit bereits. Wende diese gleich bei der Berechnung solcher Integrale an.

Exponentialfunktion integrieren – Aufgaben

Die Stammfunktion $F (x)$ der Exponentialfunktion $f (x) = a^{x}$ brauchst du meist für das Lösen eines Integrals. Dabei kannst du die Stammfunktion beim Integral mit den Grenzen $a$ und $b$ wie folgt anwenden.

Bestimmtes Integral der allgemeinen Exponentialfunktion $f (x) = a^{x}$ mit den Grenzen $a$ und $b$ :

$\int_{a}^{b} a^{x} d x = {[\frac{a^{x}}{\ln (a)}]}_{a}^{b}$ $\int_{a}^{b} a^{x} d x = {[\frac{a^{x}}{\ln (a)}]}_{a}^{b}$

Achtung: Sowohl die Basis der Exponentialfunktion als auch die untere Grenze haben denselben Buchstaben a, sind jedoch nicht das Gleiche!

Dazu kannst du dir zwei weitere Anwendungen ansehen.

Aufgabe 2

Berechne exakt das Integral $\int_{0}^{1} 3^{x} d x$ .

Lösung

Zuerst ist es wieder hilfreich, die Basis $a$ zu identifizieren.

$a = 3$

Damit erhältst du folgendes Integral.

$\begin{array}{rcl} \int 3^{x} d x & = & {[\frac{3^{x}}{\ln (3)}]}_{0}^{1} \\ = & \frac{3^{1}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)} \\ = & \frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)} \\ = & \frac{2}{\ln (3)} \approx 1, 82 \end{array}$

Aufgabe 3

Das Integral $\int_{0}^{b} 6^{x} d x = \frac{5}{\ln (6)}$ ist gegeben. Gesucht ist die Grenze $b$ , bei der die Gleichung erfüllt ist.

Zeichne zusätzlich das Schaubild der Funktion $f (x) = 6^{x}$ und schraffiere die Fläche unterhalb des Graphen von $0$ bis $b$ .

Lösung

Zeichne zuerst das Schaubild der Funktion $f (x) = 6^{x}$ . Für solche Funktionen kannst du entweder über deinen Taschenrechner eine Tabelle erstellen oder auch gerne über ein Zeichenprogramm deine Funktion zeichnen lassen.

Exponentialfunktion integrieren Aufgabe 3 StudySmarter Abbildung 1: Schaubild der Funktion f(x)

Dann kannst du wieder die Basis $a$ identifizieren.

$a = 6$

Danach musst du die linke Seite des Integrals berechnen, indem du die Stammfunktion bildest.

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{b} 6^{x} d x & = & {[\frac{6^{x}}{\ln (6)}]}_{0}^{b} \\ = & \frac{6^{b}}{\ln (6)} - \frac{6^{0}}{\ln (6)} \\ = & \frac{6^{b}}{\ln (6)} - \frac{1}{\ln (6)} \end{array}$

Als Nächstes musst du den Ausdruck $\begin{array}{rcl} \frac{6^{b}}{\ln (6)} - \frac{1}{\ln (6)} \end{array}$ mit dem Ergebnis des Integrals $\frac{5}{\ln (6)}$ gleichsetzen und nach $b$ auflösen.

$\begin{array}{rclcl} \begin{array}{rcl} \frac{6^{b}}{\ln (6)} - \frac{1}{\ln (6)} \end{array} & = & \begin{array}{rcl} \frac{5}{\ln (6)} \end{array} & \begin{array}{rcl} | + \frac{1}{\ln (6)} \end{array} \\ \begin{array}{rcl} \frac{6^{b}}{\ln (6)} \end{array} & = & \begin{array}{rcl} \frac{5}{\ln (6)} + \frac{1}{\ln (6)} \end{array} \\ \begin{array}{rcl} \frac{6^{b}}{\ln (6)} \end{array} & = & \begin{array}{rcl} \frac{6}{\ln (6)} \end{array} & | \cdot \ln (6) \\ 6^{b} & = & 6 & | 6^{1} = 6 \\ b & = & 1 \end{array}$

Somit ist die obere Grenze $b = 1$ und es ergibt sich folgendes Integral.

$\int_{0}^{1} 6^{x} d x = \frac{5}{\ln (6)} \approx 2, 79 F E$

Als letzten Schritt musst du die Fläche $\int_{0}^{1} 6^{x} d x = \frac{5}{\ln (6)}$ noch in der Abbildung $1$ schraffieren.

Exponentialfunktion integrieren Aufgabe 3 Fläche StudySmarter Abbildung 2: Fläche unterhalb des Graphen der Funktion f(x)

Exponentialfunktion integrieren - Das Wichtigste

Die allgemeine Exponentialfunktion lautet: $f (x) = a^{x}$
Die Stammfunktion $F (x)$ der allgemeinen Exponentialfunktion lautet: $F (x) = \frac{a^{x}}{\ln (a)} + C$
Das Integrieren der allgemeinen Exponentialfunktion benötigst du, um Integrale zu lösen.
Für das Integral mit den Grenzen $a$ und $b$ gilt folgende Gleichung: $\int_{a}^{b} a^{x} d x = {[\frac{a^{x}}{\ln (a)}]}_{a}^{b}$

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