Faktorregel

Faktorregel – Grundlagen

Bevor du die Definition der Faktorregel kennenlernst, solltest du Begriffe wie Differenzenquotient, Differenzierbarkeit, Differentialquotient und Ableitung zunächst wiederholen.

In der Abbildung kannst du ein Beispiel für eine solche Sekante sehen.

Abbildung 1: Differenzenquotient als Steigung der Sekanten

Als Nächstes wird erläutert, was der Differentialquotient ist.

In der Abbildung kannst du ein Beispiel für eine solche Tangente sehen.

Abbildung 2: Differentialquotient als Steigung der Tangente

Was hat das Ganze mit Differenzierbarkeit und Ableitung zu tun?

Ableiten mit der Faktorregel – Definition

Du kannst die Faktorregel anwenden, wenn ein konstanter Faktor a vor einer differenzierbaren Funktion steht. Der konstante Faktor bleibt unverändert beim Ableiten erhalten.

An folgendem Beispiel kannst du dir das Vorgehen anschauen.

Um die Faktorregel besser zu verstehen und anzuwenden, schaue dir die weiteren Beispielaufgaben an.

Faktorregel Ableitung – Beispiel und Aufgaben

In den Übungsaufgaben zur Faktorregel wird auch auf andere Ableitungsregeln zurückgegriffen.

Im ersten Beispiel benötigst du die Faktorregel und die Potenzregel.

Manchmal sind vorab Umformungen des Funktionsterms nötig, damit du die Faktor- und Potenzregel anwenden kannst:

Natürlich muss die Zahl a keine ganze Zahl sein. Es können auch rationale oder reelle Zahlen mit der Funktion multipliziert werden.

Im nächsten Beispiel wird die Faktorregel mit der Summenregel kombiniert.

Im letzten Beispiel wird die Faktorregel mit der e-Funktion verbunden.

Herleitung der Faktorregel – Beweis

Die Faktorregel kann mithilfe der Definition der Ableitung bewiesen werden. Betrachtet wird eine Stelle x, an der die Funktion g(x) differenzierbar ist.

Beginne mit dem Beweis:

$$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h} \\ {f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a·g(x+h)-a·g\left(x\right)}{h} \end{gathered}$$

Der Faktor a kann ausgeklammert werden.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }a·\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$

Durch das Anwenden der Rechenregeln für Grenzwerte kann der Faktor a vor den Limes gezogen werden.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=a·\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$

Der blaue Term entspricht genau dem Differenzialquotienten von g(x). Da g(x) an der Stelle x differenzierbar ist, folgt schon:

$$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)=a·\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h} \\ {f}^{\text{'}}\left(x\right)=a·g^{\text{'}}\left(x\right) \end{gathered}$$

Geometrische Interpretation der Faktorregel

Die Faktorregel kann nicht nur algebraisch hergeleitet, sondern auch geometrisch interpretiert werden.

Wenn eine Funktion g(x) mit einem Faktor a multipliziert wird, so entsteht der Graph der neuen Funktion$f\left(x\right)=a·g\left(x\right)$ durch Streckung des Graphen von g(x) in y-Richtung mit dem Faktor a.

Abbildung 3: Graphen der Funktion g(x) und der gestreckten Funktion a·g(x)

Jetzt betrachtest du ein Steigungsdreieck, das zum Differenzenquotienten von g(x) gehört. Das Steigungsdreieck wird ebenfalls in y-Richtung mit dem Faktor a gestreckt. Dabei bleibt die Länge der waagrechten Dreiecksseite des Steigungsdreiecks unverändert. Die Länge der senkrechten Seite des Dreiecks ver-a-facht sich.

Abbildung 4: Steigungsdreiecke der Funktion und der gestreckten Funktion

Wenn h jetzt beliebig klein wird, nähert sich die Sekantensteigung immer mehr der Tangentensteigung an. Auch die Tangentensteigung (= Ableitung) der Funktion $f\left(x\right)=a·g\left(x\right)$ ist a mal größer als die Tangentensteigung der Funktion $g\left(x\right)$.