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Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt. Sie können verschiedene Eigenschaften haben. Du kannst in der Abbildung beispielsweise eine ganzrationale Funktion 3. Grades erkennen, welche eine bestimmte Symmetrie aufweist.
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Leg kostenfrei losEntscheide, welche Aussagen bezüglich der allgemeinen Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen\[f(x)={\color{#1478c8}a_n}x^{\color{#00dcb4}n}+{\color{#1478c8}a_{n-1}}x^{\color{#00dcb4}{n-1}}+...+{\color{#1478c8}a_1}x+{\color{#1478c8}a_0}\]zutreffen.
Entscheide, welche Aussagen über das Verhalten im Unendlichen von Polynomen mit einem ungeraden Grad wahr sind.
Bestimme den Grad der folgenden Funktion.\[f(x)=3x^4+5x^6+4x\]
Bestimme den Grad der folgenden Funktion!\[f(x)=5x^4+2x^2-8x\]
Bestimme den y-Achsenabschnitt der folgenden Funktion.\[f(x)=3x^3-2x-1\]
Entscheide, welche Aussagen über das Verhalten im Unendlichen von Polynomen mit einem geraden Grad wahr sind.
Entscheide, welche Aussagen bezüglich der allgemeinen Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen\[f(x)={\color{#1478c8}a_n}x^{\color{#00dcb4}n}+{\color{#1478c8}a_{n-1}}x^{\color{#00dcb4}{n-1}}+...+{\color{#1478c8}a_1}x+{\color{#1478c8}a_0}\]zutreffen.
Entscheide, welche Aussagen über das Verhalten im Unendlichen von Polynomen mit einem ungeraden Grad wahr sind.
Bestimme den Grad der folgenden Funktion.\[f(x)=3x^4+5x^6+4x\]
Bestimme den Grad der folgenden Funktion!\[f(x)=5x^4+2x^2-8x\]
Bestimme den y-Achsenabschnitt der folgenden Funktion.\[f(x)=3x^3-2x-1\]
Entscheide, welche Aussagen über das Verhalten im Unendlichen von Polynomen mit einem geraden Grad wahr sind.
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Abb. 1 - Ganzrationale Funktion 3. Grades Beispiel.
Welche Symmetrie hier genau vorliegt und welche besonderen Eigenschaften ganzrationale Funktionen darüber hinaus haben können, erfährst Du hier. Ebenso lernst Du in dieser Erklärung, wie ganzrationale Funktionen im Allgemeinen definiert sind, und wie Du eine Funktionsgleichung aus gegebenen Kriterien bestimmen kannst.
Ganzrationale Funktionen bestehen aus einem Polynom, also aus Summanden und/ oder Subtrahenden, welche jeweils an dieselbe Variable mit verschiedenen Exponenten gebunden sind.
Die allgemeine Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen lautet:
\[f(x)={\color{#1478c8}a_n}x^{\color{#00dcb4}n}+{\color{#1478c8}a_{n-1}}x^{\color{#00dcb4}{n-1}}+...+{\color{#1478c8}a_1}x+{\color{#1478c8}a_0}\]
Der Grad der Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten bestimmt. Die einzelnen Summanden werden auch als Glieder bezeichnet und in der Regel der Größe ihres Exponenten nach in der Funktion sortiert.
Bei der Funktion
\[\definecolor{blau}{RGB}{20,120,200} f(x)=5x^{\color{blau}4}+2x^2+3 \]
handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades, aufgrund des höchsten Exponenten \(4\).
Wie Du an dem Beispiel sehen kannst, müssen ganzrationale Funktionen nicht immer in ihrer allgemeinen Form auftreten, sondern es können auch einzelne Glieder bzw. Exponenten übersprungen werden.
Zu den wichtigsten ganzrationalen Funktionen gehören die lineare Funktion, die quadratische Funktion und die Funktion dritten sowie vierten Grades.
| Polynomfunktion | allgemeine Funktionsgleichung | Beispiel (Abb. 2-6) |
| konstante Funktion (0.Grades) | \[f(x)=c\] |
|
| lineare Funktionen (1. Grades) | \[f(x)=mx+t\] |
|
| quadratische Funktionen (2.Grades) | \[f(x)=ax^2+bx+c\] |
|
| ganzrationale Funktionen 3. Grades | \[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\] |
|
| ganzrationale Funktionen 4. Grades | \[f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\] |
|
Mehr Informationen zu Funktionen nullten, ersten und zweiten Grades findest Du in den folgenden Erklärungen:
Ganzrationale Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, die Du in einer Kurvendiskussion untersuchen kannst.
Eine vollständige Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion kannst Du in der Erklärung "Kurvendiskussion Polynomfunktion" finden.
Hier findest Du einen allgemeinen Überblick über die wichtigsten Eigenschaften ganzrationaler Funktionen.
Der Definitionsbereich \(\mathbb{D}\) einer Funktion gibt an, welche Werte Du für \(x\) in die Funktion einsetzen kannst, und welche nicht. Jede ganzrationale Funktion ist grundsätzlich für alle reellen Zahlen definiert.
\[\rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\]
Die Nullstellen einer Funktion stellen die Schnittpunkte des Funktionsgrafen mit der x-Achse dar.
Der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt die maximale Anzahl an Nullstellen, die eine Funktion haben kann.
Eine Polynomfunktion 1. Grades kann somit maximal eine Nullstelle haben, eine Funktion 2. Grades höchstens zwei usw.
Um Nullstellen von ganzrationalen Funktionen zu berechnen, setzt Du die Funktion \(f(x)\) gleich null und löst die Gleichung nach \(x\) auf.
\[\rightarrow f(x)=0\]
Je nach Grad der Funktion gibt es dafür unterschiedliche Lösungswege.
| Ganzrationale Funktion | Lösungsweg |
| Lineare Funktion | einfache Termumformungen |
| quadratische Funktion | pq-Formel, Mitternachtsformel, quadratische Ergänzung |
| ganzrationale Funktionen höheren Grades \((n\geq 3)\) | Ausklammern, Substitution, Polynomdivision |
Mehr Informationen und Anwendungsbeispiele dazu findest Du in der Erklärung "Ganzrationale Funktionen Nullstellen".
Der y-Achsenabschnitt einer Funktion ist, wie der Name schon sagt, die Schnittstelle des Funktionsgrafen mit der y-Achse. Jede ganzrationale Funktion hat dabei immer genau einen y-Achsenabschnitt.
Um den y-Achsenabschnitt \(y_0\) zu berechnen, setzt Du für \(x\) in die Funktion null ein.
\[\rightarrow y_0=f(0)\]
Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also der Zahl ohne \(x\) am Ende der Funktion. Du kannst die Schnittstelle mit der y-Achse also direkt an der Funktionsgleichung ablesen.
Um den y-Achsenabschnitt \(y_0\) der Funktion
\[f(x)=4x^6+3x^4-8x \color{#00dcb4}-2\]
zu bestimmen, setzt Du also in die Funktion \(x=0\) ein:
\begin{align}f({\color{blau}0})&=4\cdot{ \color{blau}0}^6+3\cdot{\color{blau}0}^4-8\cdot{\color{blau}0}\color{#00dcb4}-2\\&=\color{#00dcb4}-2\end{align}
Übrig bleibt somit nur die Konstante der Funktion.
\[\rightarrow \color{#00dcb4}y_0=-2\]
Wenn die ganzrationale Funktion keine Konstante in der Funktionsgleichung hat, ist der y-Achsenabschnitt bei 0.
Eine weitere Eigenschaft von Funktionen ist die Symmetrie. Funktionen können dabei zum Beispiel achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Bei ganzrationalen Funktionen kann ein Blick auf die Exponenten helfen, um die Symmetrie zu bestimmen.
| Art der Symmetrie | Bedingung | Beispiel (Abb. 7-8) |
| Achsensymmetrie zur y-Achse | \[f(-x)=f(x)\] \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten | \[f(x)=-0{,}5x^{\color{blau}4}+3x^{\color{blau}2}\]
|
| Punktsymmetrie zum Ursprung | \[f(-x)=-f(x)\] \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten | \[f(x)=0{,}5x^{\color{blau}5}-6x^{\color{blau}3}\]
|
Treffen die Bedingungen beide nicht zu, hat die Funktion entweder gar keine Symmetrie, oder eine andere Symmetrieachse bzw. einen anderen Symmetriepunkt.
In der Erklärung "Symmetrie Funktionen" erfährst Du, wie Du die Symmetrie von Funktionen zu einer beliebigen Achse bzw. zu einem beliebigen Punkt bestimmen kannst.
Ganzrationale Funktionen haben meistens mehrere lokale Extrema, also Tief - und Hochpunkte.
Die maximale Anzahl an möglichen Extrempunkten einer Polynomfunktion ist abhängig vom Grad der Funktion. Die Anzahl entspricht dabei dem Grad der Funktion minus 1.
\[\rightarrow n-1\]
Lineare Funktionen haben demzufolge keine Extrempunkte, quadratische Funktionen einen Extrempunkt, Funktionen dritten Grades bis zu zwei usw.
Wie Du sie berechnest, erfährst Du in der Erklärung "Extremstellen".
Beim Verhalten im Unendlichen, auch Global- oder Grenzverhalten genannt, geht es darum, welchen y-Wert die Funktion annimmt, wenn Du für \(x\) ganz große positive bzw. ganz große negative Zahlen einsetzt.
Bei ganzrationalen Funktionen genügt es dabei, sich nur das Glied mit dem höchsten Exponenten anzuschauen.
Polynomfunktionen mit einem geraden Grad, also Funktionen 2. Grades, 4. Grades usw., verhalten sich im Unendlichen alle nach demselben Schema. Der Leitkoeffizient \(a_n\), also der Faktor vor dem \(x\) mit dem höchsten Exponenten, gibt Dir dabei Auskunft über das Grenzverhalten der Funktion.
\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]
Abb. 9 - Parabel mit positivem Leitkoeffizienten.
\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=-\infty\]
Abb. 10 - Ganzrationale Funktion 6. Grades mit negativem Leitkoeffizienten.
Ganzrationale Funktionen mit einem ungeraden Grad, also Funktionen 3. Grades, 5. Grades usw., gleichen sich ebenfalls im Verhalten im Unendlichen.
\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=\infty\]
A
\[\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)=\infty \,\,\text{ und } \,\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=-\infty\]
Abb. 12 - Ganzrationale Funktion 3. Grades mit negativem Leitkoeffizienten.
Ein typischer Aufgabentyp, der häufig in Verbindung mit ganzrationalen Funktionen gestellt wird, behandelt das Bestimmen von ganzrationalen Funktionen. Dabei geht es darum, aus gegebenen Punkten und gegebene Eigenschaften, wie z.B. dem Grad der Funktion, die passende Funktionsgleichung aufzustellen.
Du kannst Dich hier nach dem folgenden Ablauf richten:
Ein Beispiel dazu findest Du in der Erklärung "Polynomfunktion".
\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\]
Bei ganzrationalen Funktionen entspricht der y-Achsenabschnitt immer der Konstanten, also der Zahl ohne \(x\) am Ende der Funktion.
Funktionen können achsensymmetrisch zur y-Achse und punktsymmetrisch zum Ursprung sein
Achsensymmetrie zur y-Achse \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten
Punktsymmetrie zum Ursprung \(\rightarrow\) Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten
Die Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen kannst Du nach folgendem Ablauf bestimmen:
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Wie erkenne ich, ob eine Funktion ganzrational ist?
Eine ganzrationale Funktion besteht aus Summanden und/ oder Subtrahenden, welche jeweils an dieselbe Variable mit verschiedenen Exponenten gebunden sind. Die allgemeine Form lautet:
f(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0
Was ist ein Grad einer Funktion?
Der Grad einer Polynomfunktion wird durch den höchsten Exponenten in der Funktion bestimmt. Die Funktion f(x) = 3x4 + x2 - 3 hat beispielsweise einen Grad von 4.
Welche Eigenschaften haben ganzrationale Funktionen?
Ganzrationale Funktionen haben bestimmte Eigenschaften, die Du in einer Kurvendiskussion untersuchen kannst.
Wann ist es keine ganzrationale Funktion?
Es handelt sich um keine ganzrationale Funktion, wenn die Exponenten keine natürlichen Zahlen sind, also keine ganzen, positiven Zahlen. Ebenso handelt es sich um keine ganzrationale Funktion, wenn die Variable x im Exponenten oder im Nenner steht.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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