Graphen zeichnen

Eine Wertetabelle kann zum Beispiel so aussehen:

Das heißt, wenn Du x₁ (also 1) in die Funktion f(x) einsetzt, erhältst Du den Wert 2, für x₂ den Wert 4 und so weiter.

Die Punkte, die Du aus der oben dargestellten Wertetabelle ablesen kannst, sind:

$\text{A (1|2) B (2|4) C (3|6) D (4|8) E (5|10)}$

Angenommen, der Ball, den Du geworfen hast, hat auf den Schnappschüssen folgende Positionen:

Welchen Weg hat der Ball dann zurückgelegt?

1. Schritt

• Der kleinste x-Wert ist 0, der größte ist 2. Deine x-Achse sollte also die Werte 0 bis 2 enthalten.
• Der kleinste y-Wert ist 0 und der größte ist 4. Diesen Bereich sollte also Deine y-Achse abdecken.

2. Schritt

Nun kannst Du Dir ein Koordinatensystem zeichnen. Ein geeignetes Koordinatensystem für diesen Fall könnte so aussehen:

Abbildung 1: Koordinatensystem

3. Schritt

Nun kannst Du alle Punkte aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem übertragen. Die Punkte sind:

$\text{A (0|0) B (1|2) C (2|4)}$

Um Punkte einzuzeichnen, startest Du immer vom Ursprung. Der Punkt A ist bereits der Ursprung, Du kannst ihn also direkt markieren. Für den Punkt B gehst Du auf der x-Achse einen Schritt nach rechts, da Dein x eine 1 ist. Von dort aus gehst Du dann 2 Schritte nach oben, denn Dein y hat den Wert 2. An dieser Stelle liegt der Punkt B. Genau dasselbe gilt für C, nur mit anderen Werten.

Abbildung 2: Punkte im Koordinatensystem

4. Schritt

Nun kannst Du die gefundenen Punkte mit einer Linie verbinden. In diesem Fall liegen die Punkte alle auf einer Linie, Du kannst also mit einem Lineal A und C verbinden und hast automatisch den Punkt B auch dabei. Diese Linie nennt man in der Mathematik eine Gerade.

Abbildung 3: Gerade im Koordinatensystem

Du hast den Ball also kräftig schräg nach oben geworfen, bis er aus dem Sichtfeld verschwunden ist. Den Korb triffst Du damit aber nicht. Höchsten von unten...

Die Flugbahn des Balls wird beschrieben durch die Funktion $f\left(x\right)=2x$ .

Um Punkte zu berechnen, anhand derer Du den Graphen zeichnen kannst, kannst Du beliebige x-Werte in die Funktion f(x) einsetzen. Beispielhaft werden hier die y-Werte zu den x-Werten -1, 1 und 2 berechnet.

$\text{A (-1|-2) B (1|2) C (2|4)}$

Damit kannst Du nun den Rest der Schritt-für-Schritt-Anleitung wie gewohnt anwenden.

Abbildung 4: Graph f(x)

Das heißt, Du hättest den Graphen der vorhin genannten Funktion $f\left(x\right)=2x$ auch anhand der Steigung einzeichnen können.

1. Schritt

Um den y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) zu bestimmen, vergleichst Du sie mit der allgemeinen Form einer linearen Funktion.

$\begin{array}{ccccc}y& =& mx& +& t\\ f\left(x\right)& =& 2x& +& 0\end{array}$

• Da an der Stelle von t nichts steht, kannst Du diese Stelle mit einer 0 auffüllen. Der Graph schneidet die y-Achse also bei $y=0$. Das ist Dein Punkt $\text{A (0|0)}$ .
• Die Steigung ist 2.

2. Schritt

Nun kannst Du die Steigung und den resultierenden Punkt B einzeichnen.

Für die Steigung startest Du an dem Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet, also $\text{A (0|0)}$ . Für die Steigung kannst Du Dir die 2 einfach als Bruch vorstellen, also $\frac{2}{1}$ .

Der Nenner sagt Dir, wie weit Du vom Punkt A aus nach rechts, also in positive x-Richtung gehen musst und der Zähler, wie weit Du anschließend nach oben oder (bei negativer Steigung) nach unten gehst.

In diesem Fall gehst Du einen Schritt nach rechts und von dort aus 2 Schritte nach oben, da die Steigung positiv ist. Dein B ist also im Punkt $\text{B (1|2)}$ .

Abbildung 5: Steigung

3. Schritt

Weil es sich um eine lineare Funktion handelt, deren Steigung immer gleich bleibt, kannst Du die Punkte einfach mit einem Lineal verbinden.

Abbildung 6: Graph f(x)

Zusatz:

Wäre der Funktionsterm nicht $f\left(x\right)=2x$ , sondern $f\left(x\right)=-2x$ , würde die Steigung anders aussehen. In diesem Fall wäre der Bruch negativ und Du musst nicht 2 nach oben, sondern 2 nach unten gehen.

Abbildung 7: negative Steigung

Zeichne den Graphen von $g\left(x\right)=3$ in ein Koordinatensystem.

Abbildung 8: Konstante Funktion g(x)

Zeichne den Graphen der Funktion $g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{(x-2)}^2+10$ .

Zuerst bietet es sich wieder an, einige Funktionswerte zu berechnen.

Wenn Du magst, kannst Du alle berechneten Punkte eintragen, der Einfachheit halber genügen aber auch nur ganzzahlige Punkte, denn den charakteristischen Verlauf einer Parabel kennst Du ja bereits.

Abbildung 11: veränderte Parabel

Punkte eintragen, mit Schwung verbinden und fertig ist der Graph.

Aufgabe 1

Zeichne die Graphen zu folgenden Werten:

Lösung

Um die Graphen zu zeichnen, trägst Du die Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein und verbindest sie.

• f(x) scheint eine lineare Funktion zu sein, die Du mit einer Geraden darstellen kannst.
• g(x) ist eine Parabel, Du musst sie also freihändig zeichnen.
• h(x) ist eine Funktion mit Definitionslücke bei x=0. Hier musst Du also den Stift absetzen und auf der anderen Seite der y-Achse weiterzeichnen.

Abbildung 15: Graph f(x), g(x) und h(x)

Aufgabe 2

Zeichne den Graphen der linearen Funktion $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}x+2$ anhand der Steigung in ein Koordinatensystem ein.

Lösung

Um eine Funktion anhand ihrer Steigung zu zeichnen, benötigst Du zuerst die Stelle, an der die Funktion die y-Achse schneidet. Bei einer Funktion in der Form $y=mx+t$ ist das t die Stelle, an der der Graph die y-Achse schneidet. In diesem Fall ist es der Punkt $\text{A (0|2)}$ . Von diesem Punkt aus kannst Du die Steigung eintragen. Sie entspricht dem m, also $-\frac{1}{3}$ . Der Zähler sagt Dir, dass Du von A aus einen Schritt nach unten gehen musst (wegen des negativen Vorzeichens) und 3 Schritte in positive x-Richtung. Dort ist dann Dein Punkt $\text{B (3|1)}$ . Nun kannst Du durch diese beiden Punkte eine Gerade ziehen und hast den Graphen von f(x) gefunden!

Abbildung 16: Graph f(x)

Aufgabe 3

Welche der hier vorgestellten Graphen würden am ehesten zu einem Treffer beim Basketballspielen führen?

Lösung

• Lineare & konstante Funktionen würden dazu führen, dass der Ball am Brett abprallt und nicht im Korb landet.
• Eine Sinus- oder Kosinusfunktion beschreibt eher, wie der Ball auf dem Boden springt (wenn man vernachlässigt, dass jeder Sprung kleiner ist, als der vorherige)
• Am ehesten führt eine quadratische Funktion, also eine Parabel zum Treffer. Diese musst Du nur umdrehen, also ein negatives Vorzeichen verwenden und den y-Achsenabschnitt passend wählen.

Abbildung 17: Wurfbahn beim Körbe werfen

Es empfiehlt sich in diesem Fall auch, den Ball etwas höher als 3 Meter zu werfen, damit er nicht am Ring abprallt. In der Praxis gibt es natürlich bestimmte Tricks, wie Du den Ball halten und drehen musst, damit Du noch sicherer einen Treffer landest.