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Integralfunktion – Definition
Die folgende Flächenfunktion wird Integralfunktion \(I_a(x)\) genannt.
\[I_a(x)=\int_a^xf(t)\,dt\]
Dabei wird die Funktion \(f(t)\) mit den Grenzen \(a\) und \(x\) integriert.
Die Integralfunktion kann wie ein bestimmtes Integral betrachtet werden. Dabei ist die untere Grenze der Integralfunktion eine beliebig, aber fest gewählte Zahl \(a\). Die obere Grenze ist variabel mit der Variablen \(x\).
Wie die Integralfunktion \(I_a(x)=\int_a^xf(t)\,dt\) interpretiert werden kann, siehst Du an folgendem Bild.
Abb. 1 - Integralfunktion.
In dieser Abbildung entspricht die Integralfunktion \(I_a(x)\) dem Flächeninhalt unterhalb der Funktion \(f(t)\). Damit wird es an dieser Stelle als ein bestimmtes Integral mit den festen Grenzen \(a\) und \(x\) interpretiert.
Integralfunktion bestimmen
Das Bestimmen einer Integralfunktion \(I_a(x)\) hängt mit einer Stammfunktion \(F(x)\) zusammen.
Stammfunktion Integralfunktion
Die Integralfunktion \(I_a(x)\) ist eine bestimmte Stammfunktion der Funktion \(f(x)\):
\[I_a(x)=F(x)-F(a)\]
Dabei ist die Integrationskonstante \(C=-F(a)\).
Möchtest Du wissen, weshalb \(I_a(x)=F(x)-F(a)\) gilt und wieso die Integrationskonstante \(C=-F(a)\) ist, dann schau Dir den nächsten vertiefenden Abschnitt an.
Löst Du das unbestimmte Integral der Integralfunktion auf, erhältst Du folgenden Ausdruck.
\begin{array}{rl}I_a(x)&=\int_a^xf(t)\,dt \\[0.2cm]&=\left[F(t)\right]_a^x \\[0.2cm]&=F(x)-F(a)\\[0.2cm]&=F(x)+\underbrace{\left( -F(a)\right) }_{\text{Konstante } C}\end{array}
Ist \(f(t)\) eine Polynomfunktion, dann ist \(C=-F(a)=0\) für \(a=0\). Damit gilt bei einer Polynomfunktion Folgendes.
\[I_0(x)=\int_0^xf(t)\,dt=F(x)-0=F(x)\]
Schau Dir dazu erst einmal ein kleines Beispiel an.
Gegeben ist die Funktion \(f(t)\) mit \(f(t)=3t^2+2t+3\). Damit ergibt sich folgende Integralfunktion \(I_a(x)\) für \(a=0\).
\[I_0(x)=\int_0^x 3t^2+2t+3 \, dt\]
Nun wird das Integral aufgelöst.
\begin{array}{rl}\text{}I_0(x)&=\left[t^3+t^2+3t \right]_0^x\\[0.2cm]&=(x^3+x^2+3x)-(0^3+0^2+3\cdot 0 )\\[0.2cm]&=(x^3+x^2+3x)-(0)\\[0.2cm]&=x^3+x^2+3x =F(x)\end{array}
Was passiert, wenn die Integralfunktion \(I_a(x)\) abgeleitet wird?
Integralfunktion ableiten
Die Ableitung \(I'_a(x)\) der Integralfunktion \(I_a(x)=\int_a^xf(t)\,dt \) entspricht der Funktion \(f(x)\):
\[I'_a(x)=f(x)\]
Wenn Du wissen möchtest, wieso die Ableitung der Integralfunktion \(I'_a(x)\) die Funktion \(f(x)\) ist und der Parameter \(a\) dabei keine Rolle spielt, kannst Du Dir den nächsten Abschnitt anschauen.
Zuerst löst Du wieder das unbestimmte Integral auf.
\begin{array}{rl}I_a(x)&=\int_a^xf(t)\,dt \\[0.2cm]&=\left[F(t)\right]_a^x \\[0.2cm]&=F(x)-\underbrace{F(a)}_{konstant}\end{array}
Mit \(F'(x)=f(x)\) ergibt sich:
\begin{array}{rllc}I_a'(x) &=F'(x)&-&F'(a)\\[0.2cm]&=F'(x)&-&0\\[0.2cm]&=f(x)\end{array}
Graphische Deutung:
Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und des Schaubildes der Ableitung \(I'_a(x)=f(x)\) von \(a\) bis \(x\) entspricht dem Funktionswert der Integralfunktion \(I_a(x)\).
Schau Dir dazu direkt einmal eine Anwendung an.
Integralfunktion – Beispiel Ableitung und Flächeninhalt
Du hast die Integralfunktion \(I_a(x)\) mit \(I_a(x)=\int_a^x 3t^2+2t+3 \, dt \) gegeben, dann ergibt sich folgende Funktion \(f(x)\).
\[f(x)=3x^2+2x+3\]
Damit hast Du die folgende Ableitung \(I'_a(x)\).
\begin{array}{rl}\text{}I'_a(x)&=f(x)\\[0.2cm]&=3x^2+2x+3\end{array}
Bestimme nun den Flächeninhalt der Fläche, den die Ableitung \(f(x)\) und die x-Achse von \(a=0\) bis \(x=8\) einschließen, indem Du die folgende Abbildung betrachtest.
Abb. 2 - Integralfunktion Beispiel 1.
Der Flächeninhalt der Fläche, den die Ableitung \(I'_a(x)\) und die x-Achse von \(a=0\) bis \(x=8\) einschließen, entspricht dem Wert \(I_0(8)\). Damit kannst du ablesen, dass Folgendes gilt.
\[I_0(8)=\int_0^8 3t^2+2t+3 \, dt=600\text{ FE}\]
Abb. 3 - Integralfunktion Beispiel 2.
Überprüfe nun noch rechnerisch, ob \(I_0(8)=600 \text{ FE}\) ist.
\begin{align}I_0(8)&=\int_0^8 3t^2+2t+3 \, dt \\[0.2cm]&=\left[t^3+t^2+3t \right]_0^8\\[0.2cm]&=F(8)-F(0)\\[0.2cm]&=(8^3+8^2+3\cdot 8)-(0^3+0^2+3\cdot 0 )\\[0.2cm]&=(512+64+24)-(0)\\[0.2cm]&=600 \text{ FE} {\text{ }\color{#00dcb4}\checkmark}\end{align}
Kann für jede Integralfunktion \(I_a(x)\) eine allgemeingültige Aussage über Nullstellen getroffen werden?
Nullstellen Integralfunktion
Jede Integralfunktion \(I_a(x)=\int_a^xf(t)\,dt\) besitzt mindestens eine Nullstelle an der Stelle:
\[x_0=a\]
Es existieren auch Stammfunktionen, die keine Nullstelle besitzen, damit bildet die Integralfunktion \(I_a(x)\) nicht die komplette Menge aller Stammfunktionen ab.
Schau Dir den nächsten Abschnitt an, wenn Du gerne wissen möchtest, wieso jede Integralfunktion \(I_a(x)\) an der Stelle \(x_0=a\) eine Nullstelle besitzt.
Um die Nullstelle \(x_0\) zu betrachten, musst Du die obere Grenze \(x=a\) setzen.
\begin{array}{rl}I_a(a)&=\int_a^{x=a}f(t)\,dt \\[0.2cm]&=\left[F(t)\right]_a^a \\[0.2cm]&=F(a)-F(a)\\[0.2cm]&=0\end{array}
Möchtest Du noch einmal eine kurze Zusammenfassung der Eigenschaften der Integralfunktion betrachten, schau Dir die nachfolgende Tabelle an.
| Ausdruck | |
Integralfunktion Definition | \(I_a(x)=\int_a^xf(t)\,dt\) |
Stammfunktion Integralfunktion | \(I_a(x)=F(x)-F(a)\) |
Integralfunktion ableiten | \(I'_a(x)=f(x)\) |
Nullstellen Integralfunktion | \(x_0=a\) |
Integralfunktion – Aufgaben
Um das erlernte Wissen anzuwenden, schau Dir die nachfolgenden Aufgaben an.
Integralfunktion bilden – Trigonometrische Funktion
Wenn eine Funktion \(f(t)\) und ein Parameter \(a\) gegeben sind, kann damit die dazugehörige Integralfunktion \(I_a(x)\) bestimmt werden.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(f(t)\) mit \(f(t)=sin(t)\).
Bestimme die dazugehörige Integralfunktion \(I_a(x)\) für \(a=\pi\) und löse das unbestimmte Integral auf.
Lass Dich nicht verwirren, das \(\pi\) kann wie eine normale Zahl behandelt werden.
Lösung
Zuerst stellst Du die Integralfunktion auf.
\[I_{\pi}(x)=\int_{\pi}^x\sin(t) \, dt\]
Als Nächstes kannst Du mithilfe von \(I_a(x)=F(x)-F(a) \) das unbestimmte Integral auflösen.
\begin{align}I_{\pi}(x) &=F(x)-F(\pi) \\[0.2cm]&=-\cos(x)-(-\cos(\pi))\\[0.2cm]&=-\cos(x)+\cos(\pi)\\[0.2cm]&=-\cos(x)-1\end{align}
Integralfunktion berechnen – Ganzrationale Funktion
Es kann ein konkreter Funktionswert der Integralfunktion \(I_a(x)\) berechnet werden, wenn der Parameter \(a\) bekannt ist.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Integralfunktion \(I_2(x)\) mit \(I_2(x)=\int_2^x 5t^4-4t \, dt\).
Berechne den Wert der Integralfunktion \(I_2(x)\) für \(x=3\) und zeichne sie in ein Schaubild ein.
Lösung
Löse zuerst das Integral auf.
\begin{align}I_2(x) &=F(x)-F(a)\\[0.2cm]&=F(x)-F(2) \\[0.2cm]&=(x^5-2x^2)-(2^5-2\cdot 2^2 )\\[0.2cm]&=x^5-2x^2-24\\[0.2cm]\end{align}
Im nächsten Schritt kannst Du für \(x=3\) einsetzen.
\begin{align}I_2(3)&=\int_2^3 5t^4-4t \, dt \\[0.2cm]&=3^5-2\cdot 3^2-24 \\[0.2cm]&=243-18-24\\[0.2cm]&=201\end{align}
Das bedeutet, dass der Flächeninhalt unterhalb des Schaubildes der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x)=5x^4-4x\) von \(x=2\) bis \(x=3\) den Wert \(201 \text{ FE}\) beträgt. Schau Dir dazu das nachfolgende Schaubild an.
Abb. 4 - Schaubild zur Aufgabe 2.
Integralfunktion – Integral e-Funktion
Eine Integralfunktion \(I_a(x)\) kann auch mithilfe der e-Funktion \(f(t)=e^t\) gebildet werden.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Integralfunktion \(I_a(x)\) mit \(I_a(x)=\int_a^x e^t \, dt\).
Bestimme den Parameter \(a\) so, dass Folgendes gilt.
\[I_a(x)=\int_a^x e^t\,dt=F(x)-1\]
Lösung
Damit \(I_a(x)=F(x) -1\) ist, muss Folgendes erfüllt sein.
\[F(a)=1\]Bestimme zunächst \(F(x)\).
\[F(x)=e^x\]
Bestimme nun den Parameter \(a\) so, dass \(F(a)=1\) ist.
\begin{align}F(a)=e^a&=1 \hspace{1cm} |\ln\\[0.2cm]a&=0\end{align}
Damit gilt für \(a=0\) Folgendes.
\[I_0(x)=\int_0^x e^t\,dt=F(x)-1=e^x-1\]
Integralfunktion – Das Wichtigste
Ausdruck Integralfunktion Definition
\(I_a(x)=\int_a^xf(t)\,dt\) Stammfunktion Integralfunktion
\(I_a(x)=F(x)+F(a)\)
Integralfunktion ableiten
\(I'_a(x)=f(x)\)
Nullstellen Integralfunktion
\(x_0=a\)
Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und des Schaubildes der Ableitung \(I'_a(x)=f(x)\) von \(a\) bis \(x\) entspricht dem Funktionswert der Integralfunktion \(I_a(x)\).
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Integralfunktion
Was ist die Integralfunktion?
Die Funktion Ia(x)=∫ax f(t) dt wird Integralfunktion genannt.
Ist die Integralfunktion die Stammfunktion?
Die Integralfunktion Ia(x) ist eine bestimmte Stammfunktion der Funktion f(x):
Ia(x)=F(x)-F(a)
Dabei ist die Integrationskonstante C= - F(a)
Wie wird eine Integralfunktion gebildet?
Die Integralfunktion Ia(x) hat folgende Form:
Ia(x)=∫ax f(t)
Weiter lässt sie sich wie folgt bestimmen:
Ia(x)=F(x)-F(a)
Wann ist ein Integral positiv?
Die Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv, die Fläche unterhalb der x-Achse ist negativ.
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