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Konstante Funktionen – Definition, Herleitung und Erklärung
Schauen wir uns direkt einmal an, wie eine konstante Funktion definiert wird:
Eine konstante Funktion ist eine Gerade mit der Steigung . Sie hat die Form , wobei c konstant ist.
Konstante Funktionen sind ein Spezialfall der linearen Funktionen. Sie haben die Form und für jeden eingesetzten x-Wert aus der Definitionsmenge denselben y-Wert beziehungsweise Funktionswert. Ihre Funktionsterme enthalten somit keine Variablen, also kein x.
Um unterscheiden zu können, ob eine lineare Funktion auch eine konstante Funktion ist, musst du zuerst überlegen, was eine lineare Funktion ausmacht.
Lineare Funktionen werden beschrieben durch die allgemeine Geradengleichung:
Was bedeuten nochmal m und c? Schau dir das gerne noch einmal im folgenden Beispiel an:
Die nachfolgende Grafik zeigt den Graphen der linearen Funktion . Ebenfalls eingezeichnet ist das Steigungsdreieck der Funktion und der Punkt, an dem die Funktion die y-Achse schneidet.
Abbildung 1: Lineare Funktion im Koordinatensystem mit Steigungsdreieck und y-Achsenabschnitt
Das Merkmal einer konstanten Funktion ist nun, dass der y-Wert konstant ist, also die Steigung 
ist.
Das Beispiel zeigt, was passiert, wenn man die Steigung bei gleichbleibendem
y-Achsenabschnitt gegen 0 gehen lässt:
Funktion | Abbildungen der Funktionsgraphen |
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Das Verringern der Steigung führt zu einer Ausrichtung hin zur x-Achse. Das liegt daran, dass im Steigungsdreieck, also der Höhenunterschied im Bereich , immer kleiner wird, je kleiner die Steigung ist.
Trotzdem haben alle Funktionen den gemeinsamen Punkt C(0|1), der den y-Achsenabschnitt widerspiegelt.
Bei einer Steigung von m=0 haben wir also eine komplett flache lineare Funktion mit dem
y-Achsenabschnitt c=0. Sie ist eine konstante Funktion.
Die folgende Grafik zeigt einen Überblick über die oben genannten linearen Funktionen mit c=1.
Abbildung 7: Gesamtüberblick lineare Funktionen mit c=1
Aus dem obigen Beispiel zeigt sich also, dass eine lineare Funktion eine konstante Funktion ist, wenn ihre Steigung m=0 ist.
Diese konstante Funktion hat dann für jedes x den Wert des y-Achsenabschnittes c.
Eine lineare Funktion ist eine konstante Funktion für m=0.
Konstante Funktionen begegnen uns auch im Alltag, wie du im folgenden Beispiel sehen kannst:
Aufgabe 1
Ein Beispiel für eine konstante Funktion ist eine Handy-Flat. Zahlst du beispielsweise 7,99 € für eine Allnet-Flat, so zahlst du 7,99 €, egal, wie viele Minuten du telefonierst. Stell dir nun vor x sind die telefonierten Minuten und y der bezahlte Preis in Euro. Stelle eine Funktionsgleichung auf, die den Sachverhalt beschreibt.
Lösung
Eine Möglichkeit für einen Funktionsterm wäre:
Konstante Funktionen und Koordinatenachsen
Konstante Funktionen haben eine spezielle Beziehung zu den Koordinatenachsen. Worauf du dabei achten musst, lernst du im folgenden Abschnitt.
Konstante Funktionen und die x-Achse
Wie du bereits gelernt hast, zeichnet sich eine konstante Funktion dadurch aus, dass sie für jeden x-Wert den gleichen y-Wert hat. Ein unfassbar prominentes Beispiel hierfür ist die Nullfunktion:
Der Graph der Nullfunktion liegt gänzlich auf der x-Achse und wird beschrieben durch den Term .
Abbildung 8: Graph der Nullfunktion
Da du nun weißt, dass es eine konstante Funktion gibt, die sich alle Punkte mit der x-Achse teilt, lassen sich weitere wichtige Merkmal der konstanten Funktionen erschließen:
Aus unserem Artikel zum Schnittpunkt zweier Geraden weißt du, dass zwei Geraden mit derselben Steigung immer parallel zueinander sind. Ebenso weißt du, dass die Steigung einer konstanten Funktion immer 0 beträgt. Daraus folgt die Regelung:
Da alle konstanten Funktionen die gleiche Steigung haben, sind sie zueinander parallel.
Deshalb sind konstante Funktionen parallel zur Nullfunktion und damit zur x-Achse
Konstante Funktionen und die y-Achse
Nun könntest du dich fragen: Wenn Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen, konstante Funktionen sind, wie ist das dann mit Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen? Die Antwort ist leicht: Sie sind keine konstanten Funktionen. Hierzu die Definition von Funktionen aus unserem Artikel zur Analysis:
Unter einer Funktion f versteht man eine direkte Zuordnung zwischen zwei Mengen, bei der jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird.
Das heißt: Jedem x-Wert der Definitionsmenge wird genau ein y-Wert aus der Wertemenge zugeordnet.
Eine Gleichung für eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, hat immer die Form
Wobei c ein konstanter Wert ist.
Diese Gleichung verstößt gegen beide Voraussetzungen für eine Funktion:
Nicht jedem x-Wert wird ein y-Wert zugeordnet, da die Gleichung nur für einen x-Wert überhaupt aufgeht.
Dem x-Wert, für den die Gleichung aufgeht, wird nicht genau ein y-Wert zugeordnet – sondern unendlich viele.
Also: Dadurch, dass Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, keine Funktionen sind, können sie auch keine konstanten Funktionen sein.
Das folgende Beispiel zeigt eine Gleichung, deren Graph parallel zur y-Achse verläuft.
Abbildung 9: Graph der Gleichung x=1
y-Achsenabschnitt bei konstanten Funktionen
Der y-Achsenabschnitt einer konstanten Funktion entspricht immer der konstanten Zahl. So hat die Funktion...
...einen y-Achsenabschnitt von 7.
Nullstellen bei konstanten Funktionen
Da die Steigung konstanter Funktionen stets 0 ist und konstante Funktionen daher immer parallel zur x-Achse verlaufen, haben konstante Funktionen keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, also auch keine Nullstellen. Allerdings gibt es einen Spezialfall: Die Nullfunktion teilt sich alle Punkte mit der x-Achse und hat daher unendlich viele Nullstellen.
Bei linearen Funktionen gibt es drei Fälle: Funktionen mit genau einer Nullstelle, Funktionen mit genau 0 Nullstellen und Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen.
Nur lineare Funktionen mit genau 0 oder unendlich vielen Nullstellen sind konstante Funktionen, und lineare Funktionen mit genau einer Nullstelle können nicht konstant sein.
Eigenschaften konstanter Funktionen – Ableitung
In diesem Abschnitt lernst du das Wichtigste zur Ableitung, der Monotonie und zur Symmetrie von konstanten Funktionen.
Konstante Funktionen – Ableitung
Durch die Abwesenheit von Variablen ist die Ableitung von konstanten Funktionen eine der leichtesten Ableitungen:
Da lediglich eine Konstante vorhanden ist, fällt diese beim Ableiten weg und die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer 0.
Konstante Funktionen – Monotonie
Da konstante Funktionen weder steigen noch fallen, sind sie konstant.
Konstanter Funktionen – Symmetrie
Konstante Funktionen sind
Achsensymmetrisch
zur x-Achse
zur y-Achse
zu allen Achsen parallel zur y-Achse
Punktsymmetrisch
zum Ursprung
zu jedem Punkt auf ihrem Funktionsgraphen
Konstante Funktionen – Beispiele und Anwendung
Oft ist nicht direkt aus dem Funktionsterm erkenntlich, ob eine Funktion konstant ist oder nicht. Hierzu empfiehlt es sich, den gesamten Term so weit wie möglich zu vereinfachen und dann festzustellen, ob x in irgendeiner Form eine Rolle spielt.
Aufgabe 2
Vereinfache die Funktionen und prüfe, ob sie konstant sind oder nicht.
Lösung
Da x nach Vereinfachung nicht mehr im Funktionsterm vorkommt, ist f(x) eine konstante Funktion.
Da x nach Vereinfachung immer noch im Funktionsterm vorkommt, ist g(x) keine konstante Funktion.
Da x nach Vereinfachung nicht mehr im Funktionsterm vorkommt, ist h(x) eine konstante Funktion.
Besonders in der Physik zeigen sich konstante Funktion von besonderer Relevanz.
So ist oft die Rede von konstanter Geschwindigkeit, konstanter Beschleunigung oder ähnlichem.
Wichtig ist hierbei, dass die Ableitung von Geraden – durch die Konstanz derer Steigungen – in jedem Fall eine konstante Funktion ist.
Aufgabe 3
Die zurückgelegte Strecke eines Autos, das mit konstanter Geschwindigkeit fährt, lässt sich durch die Gleichung…
...beschreiben. Hierbei ist x die Anzahl der Sekunden nach Beobachtungsbeginn und f(x) die Menge der zurückgelegten Meter zum Zeitpunkt x.
Überlege, wie sich aus dem Sachzusammenhang eine konstante Funktion ableiten lässt und was sie beschreibt.
Lösung
Im oben genannten Beispiel ist die Geschwindigkeit konstant. Diese ergibt sich aus der Änderung der Strecke pro Zeit, also der Ableitung der gegebenen Funktion. Nach den Ableitungsregeln ergibt sich also...
...als konstante Funktion für die Geschwindigkeit des Autos. Hierbei beschreibt f(x) die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde zum Zeitpunkt nach Beobachtungsbeginn x in Sekunden.
Konstante Funktion – Das Wichtigste
- Konstante Funktionen ordnen jedem x-Wert den gleichen y-Wert zu.
- Die allgemeine Funktion ist f(x)=c.
- Die x-Achse ist eine konstante Funktion.
- Alle konstanten Funktionen haben die Steigung 0 und sind daher parallel zueinander und zur x-Achse.
- Konstante Funktionen haben nie einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
- Merkmale konstanter Funktionen:
- Die Ableitung konstanter Funktionen ist immer 0
- Konstante Funktionen sind weder monoton steigend noch fallend
- Konstante Funktionen sind symmetrisch zu beiden Achsen und punktsymmetrisch im Ursprung
- Geraden der Form x=c sind keine konstanten Funktionen, da sie keine Funktion von x sind.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Konstante Funktion
Was ist eine konstante Funktion?
Eine konstante Funktion ist eine Gerade mit der Steigung 0. Sie hat für jeden x-Wert einen konstanten y-Wert.
Ist eine Gerade eine konstante Funktion?
Nur eine Gerade mit der Steigung 0 ist eine konstante Funktion. Somit ist jede konstante Funktion eine Gerade, aber nicht jede Gerade eine konstante Funktion.
Was bedeutet eine Konstante?
Eine Konstante hat immer denselben y-Wert, unabhängig vom x-Wert.
Wann ist eine Funktion nicht konstant?
Eine Funktion ist nicht konstant, sobald eine Variable in ihr vorkommt und somit der Funktionswert abhängig vom eingesetzten Wert ist.
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