Kurvendiskussion Beispiele: Übersicht & Erklärung

Q: Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?

Der Wertebereich, der Definitionsbereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten gehören zu einer Kurvendiskussion. Bei trigonometrischen Funktionen kann zusätzlich noch die Periode betrachtet werden.

Q: Was kann bei einer Funktion untersucht werden?

Der Wertebereich, der Definitionsbereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten können bei einer Kurvendiskussion untersucht werden. Bei trigonometrischen Funktionen kann zusätzlich noch die Periode betrachtet werden.

Q: Für welche Funktionen kann eine Kurvendiskussion durchgeführt werden?

Eine Kurvendiskussion kann für jede beliebige Funktion durchgeführt werden. Zum Beispiel für Polynomfunktionen, e-Funktionen, ln-Funktionen, trigonometrische Funktionen, aber auch für gebrochenrationale Funktionen.

Q: Für was wird eine Kurvendiskussion benötigt?

Eine Kurvendiskussion wird benötigt, um allerlei Eigenschaften einer speziellen Funktion aufzuzeigen.

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Kurvendiskussion Beispiele – Grundwissen

Eine Kurvendiskussion behandelt wichtige Eigenschaften einer konkreten Funktion $f (x)$ . Dabei handelt es sich beispielsweise um den Wertebereich $W_{f}$ , den Definitionsbereich $D_{f}$ , die Nullstellen $x_{0 n}$ , den y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte $W P$ , das Krümmungsverhalten und bei trigonometrischen Funktionen noch um die Periode p.

Möchtest Du Dein Wissen zur Kurvendiskussion auffrischen? Im Artikel „Kurvendiskussion“ kannst Du Dir alle Einzelheiten und die hier aufgeführten Eigenschaften noch einmal genauer ansehen.

Kurvendiskussion Polynomfunktion

Schau Dir zuerst die Kurvendiskussion von Polynomfunktionen an. Sie werden auch als ganzrationale Funktionen bezeichnet.

Eine Polynomfunktion $f (x)$ hat folgende Funktionsgleichung mit den reellen Parametern $a_{0}$ , $a_{1} . . . a_{n}$ :

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{0}$

Dabei bezeichnet n den Grad der Funktion, wobei $n \geq 0$ sein muss.

Unter diese Definition fallen auch quadratische Funktionen (mit dem Grad $n = 2$ ) und lineare Funktionen (mit dem Grad $n = 1$ ). Sie sind daher ebenfalls Polynomfunktionen. Schau Dir einmal ein Schaubild einer Polynomfunktion mit konkreten Parametern an.

Der Graph der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \frac{1}{21} x^{4} - x^{2} + \frac{5}{7} x + \frac{1}{7}$ ist in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.

Kurvendiskussion Beispiele Schaubild einer Polynomfunktion StudySmarter Abbildung 1: Schaubild einer Polynomfunktion

Du kannst das Schaubild der Funktion $f (x)$ später nutzen, um das allgemeine Vorgehen einer Kurvendiskussion an der Funktion $f (x)$ zu überprüfen. Eine ausführliche rechnerische Kurvendiskussion einer konkreten Polynomfunktion kannst Du im Artikel „Kurvendiskussion von Polynomfunktionen“ nachvollziehen.

Die Vorgehensweise einer Kurvendiskussion ist bei allen Polynomfunktionen dieselbe. Die nachfolgende Tabelle verschafft Dir einen Überblick darüber.

Eigenschaft

Allgemeines Vorgehen

Wertebereich

W_{f}

Ein Wertebereich $W_{f}$ betrachtet die maximalen und die minimalen y-Werte einer Funktion $f (x)$ .
Der niedrigste y-Wert ist dabei die untere, der größte y-Wert die obere Grenze.
Damit lautet der Wertebereich $W_{f}$ wie folgt: $W_{f} = [y_{m i n}, y_{m a x}]$ .
Die y-Werte von $y_{m i n}$ und $y_{m a x}$ können entweder über den globalen Verlauf (Verhalten im Unendlichen) mit $\infty$ und $- \infty$ oder über das globale Minimum beziehungsweise Maximum bestimmt werden.

Definitionsbereich

D_{f}

Eine Polynomfunktion kann laut Definition keine Definitionslücken haben, damit entspricht der Definitionsbereich jeder Polynomfunktion:

D_{f} = ℝ

Nullstellen

x_{0 n}

Funktion $f (x)$ gleich 0 setzen: $f (x_{0}) = 0$
Nach $x_{0}$ auflösen und somit Nullstellen bestimmen

y-Achsenabschnitt

In die Funktion $f (x)$ für $x = 0$ einsetzen
Nach y auflösen

Verhalten im Unendlichen – Grenzwert

	$a_{n} > 0$	$a_{n} < 0$
n ist gerade	$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} f (x) & = & \infty \\ \lim_{x \to - \infty} f (x) & = & \infty \end{array}$	$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} f (x) & = & - \infty \\ \lim_{x \to - \infty} f (x) & = & - \infty \end{array}$
n ist ungerade	$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} f (x) & = & \infty \\ \lim_{x \to - \infty} f (x) & = & - \infty \end{array}$	$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} f (x) & = & - \infty \\ \lim_{x \to - \infty} f (x) & = & \infty \end{array}$

Symmetrie

Kriterium für Punktsymmetrie zum Ursprung: $f (- x) = - f (x)$
Kriterium für y-Achsensymmetrie: $f (- x) = f (x)$

Zur Erinnerung:

Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten besitzt, ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Eine Funktion, die nur gerade Exponenten besitzt, ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Extremstellen

Notwendige Bedingung:
- Die erste Ableitung $f' (x)$ muss gleich 0 sein: $f' (x) = 0$
Hinreichende Bedingung:
- Es existiert ein Hochpunkt, wenn die zweite Ableitung $f'' (x)$ kleiner 0 ist: $f'' (x) < 0$
- Es existiert ein Tiefpunkt, wenn die zweite Ableitung $f'' (x)$ größer 0 ist: $f'' (x) > 0$

Monotonie

Eine Funktion ist zwischen einem Tief- und einem Hochpunkt monoton steigend.
Eine Funktion ist zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt monoton fallend.

Wendepunkte

W P

Notwendige Bedingung:
- Die zweite Ableitung $f'' (x)$ muss gleich 0 sein: $f'' (x) = 0$
Hinreichende Bedingung:
- Es existiert ein Wendepunkt, wenn die dritte Ableitung $f''' (x)$ ungleich 0 ist: $f''' (x) \neq 0$

Krümmungsverhalten

Eine Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit negativer Steigung und einem Wendepunkt mit positiver Steigung linksgekrümmt: $f'' (x) > 0$
Eine Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit positiver Steigung und einem Wendepunkt mit negativer Steigung rechtsgekrümmt: $f'' (x) < 0$

Wenn Du ein konkretes Beispiel für eine Kurvendiskussion an einer Polynomfunktion betrachten möchtest, schau doch in die Erklärung „Kurvendiskussion von Polynomfunktionen“.

Neben ganzrationalen Funktionen gibt es auch gebrochenrationale Funktionen, die aus dem Quotienten von zwei Polynomfunktionen bestehen. Bei der Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion muss insbesondere die Definitionsmenge beachtet werden, da diese Definitionslücken enthalten kann.

Im Vergleich zu den Polynomfunktionen, lassen sich bei der Exponentialfunktion, der Logarithmusfunktion und den trigonometrischen Funktionen bestimmte Eigenschaften bereits verallgemeinern.

Kurvendiskussion e-Funktion

Betrachtet wird die Kurvendiskussion der erweiterten natürlichen Exponentialfunktion, der sogenannten e-Funktion.

Die erweiterte e-Funktion besitzt folgende Funktionsgleichung:

$f (x) = b \cdot e^{c x}$

Wobei $b \neq 0$ und $c \neq 0$ sein muss.

Um Dir eine erweiterte e-Funktion besser vorstellen zu können, schau Dir ein Schaubild einer solchen Funktion $f (x)$ an.

Die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = - 3 \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ und den Parametern $b = - 3$ und $c = \frac{1}{4}$ siehst Du in der Grafik 2.

Kurvendiskussion Beispiele Schaubild einer e-Funktion StudySmarter Abbildung 2: Schaubild einer erweiterten e-Funktion

Du kannst die Abbildung wieder verwenden, um das allgemeine Vorgehen der Kurvendiskussion zu überprüfen.

Eigenschaft

f (x) = b \cdot e^{c x}

Wertebereich

W_{f}

Für

b > 0

W_{f} = ℝ^{+}

Für

b < 0

W_{f} = ℝ^{-}

Definitionsbereich

D_{f}

D_{f} = ℝ

Nullstellen

Die e-Funktion besitzt keine Nullstellen, solange die Funktion in der obigen Form vorliegt. Wird etwa eine Konstante dazu addiert, so können sich Nullstellen ergeben.

y-Achsenabschnitt

y = b

(solange obige Form vorliegt)

Verhalten im Unendlichen – Grenzwert

	$c > 0$	$c < 0$
$b > 0$	$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & \infty \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \end{array}$	$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & \infty \end{array}$
$b < 0$	$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & - \infty \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \end{array}$	$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} b \cdot e^{c x} & = & 0 \\ \lim_{x \to - \infty} b \cdot e^{c x} & = & - \infty \end{array}$

Symmetrie

Die e-Funktion besitzt keine Symmetrie.

Monotonie

	$c > 0$	$c < 0$
$b > 0$	Streng monoton wachsend	Streng monoton fallend
$b < 0$	Streng monoton fallend	Streng monoton wachsend

Extremstellen

x_{0 n}

Die e-Funktion besitzt keine Extremstellen.

Krümmungsverhalten

Für

b > 0

: LinksgekrümmtFür

b < 0

: Rechtsgekrümmt

Wendepunkte

W P

Die e-Funktion besitzt keine Wendepunkte.

Möchtest Du Dir ein Beispiel zu einer Kurvendiskussion einer e-Funktion anschauen? Dann öffne die Erklärung „Kurvendiskussion e-Funktion“ und rechne gleich mit.

Die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist die ln-Funktion. Wie sieht die Kurvendiskussion einer solchen Funktion aus?

Kurvendiskussion der ln-Funktion

Betrachtet wird die erweiterte natürliche Logarithmusfunktion.

Die erweiterte natürliche Logarithmusfunktion besitzt folgende Funktionsgleichung:

$f (x) = \ln (b x + c)$

Wobei $b \neq 0$ und $x > - \frac{c}{b}$ sein muss.

Zur besseren Vorstellung einer erweiterten ln-Funktion, schau Dir einmal ein Schaubild einer solchen Funktion an.

Die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \ln (- 3 x + 14)$ hat die Parameter $b = - 3$ und $c = 14$ .

Kurvendiskussion Beispiele Schaubild einer ln-Funktion StudySmarter Abbildung 3: Schaubild einer erweiterten ln-Funktion

In der nachfolgenden Tabelle findest Du eine Übersicht für eine Kurvendiskussion einer erweiterten ln-Funktion mit der Funktionsgleichung $f (x) = \ln (b x + c)$ .

Eigenschaft	$f (x) = \ln (b x + c)$
Wertebereich $W_{f}$	$W_{f} = ℝ$
Definitionsbereich $D_{f}$	Für $b > 0$ : $D_{f} = (\frac{- c}{b}, \infty)$ Für $b < 0$ : $D_{f} = (- \infty, \frac{- c}{b})$
Nullstellen $x_{0 n}$	$x_{0} = \frac{1 - c}{b}$
y-Achsenabschnitt	Für $c > 0$ : $y = \ln (c)$ Für $c \leq 0$ : Die ln-Funktion besitzt keinen y-Achsenabschnitt.
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert für $b > 0$	$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \infty} \ln (b x + c) & = & \infty \\ \lim_{x \to - \frac{c}{b}} \ln (b x + c) & = & - \infty \end{array}$
Verhalten im Unendlichen – Grenzwert für $b < 0$	$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to - \frac{c}{b}} \ln (b x + c) & = & - \infty \\ \lim_{x \to - \infty} \ln (b x + c) & = & \infty \end{array}$
Symmetrie	Die ln-Funktion besitzt keine Symmetrie.
Monotonie	Für $b > 0$ : Streng monoton wachsendFür $b < 0$ : Streng monoton fallend
Extremstellen	Die ln-Funktion besitzt keine Extremstellen.
Krümmungsverhalten	Rechtsgekrümmt
Wendepunkte $W P$	Die ln-Funktion besitzt keine Wendepunkte.

Wenn Du auch hier ein Beispiel einer konkreten ln-Funktion betrachten möchtest, schau in der Erklärung „Kurvendiskussion Logarithmusfunktion“ vorbei.

Kurvendiskussion trigonometrische Funktionen

Betrachtet werden die erweiterte Sinusfunktion $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$ und die erweiterte Kosinusfunktion $f (x) = a \cdot \cos (b \cdot (x - c)) + d$ .

Die erweiterte Sinus- bzw. Kosinusfunktion besitzen folgende Funktionsgleichungen:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d \\ b z w . \\ f (x) & = & a \cdot \cos (b \cdot (x - c)) + d \end{array}$

Wobei $a \neq 0$ und $b \neq 0$ gelten muss.

Schau Dir als Nächstes ein Schaubild einer trigonometrischen Funktion an.

Die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = - 3 \cdot \sin (4 \cdot (x - 1)) + 1$ besitzt die Parameter $a = - 3$ , $b = 4$ , $c = 1$ und $d = 1$ .

Kurvendiskussion Beispiele Schaubild einer Sinusfunktion StudySmarter Abbildung 4: Schaubild einer erweiterten Sinusfunktion

Da sich trigonometrische Funktionen periodisch wiederholen, wird bei der Kurvendiskussion auch die Periode p betrachtet.

Gleichzeitig wird auf das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert verzichtet. Denn dies ändert sich bei trigonometrischen Funktionen nie, was Du auch in den Erklärungen „Sinusfunktion“ und „Kosinusfunktion“ nachlesen kannst.

Eigenschaft	$f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$	$f (x) = a \cdot \cos (b \cdot (x - c)) + d$
Wertebereich $W_{f}$	$W_{f} = [- \|a\| + d, \|a\| + d]$
Definitionsbereich $D_{f}$	$D_{f} = ℝ$
Periode	$p = \frac{2 π}{\|b\|}$
Nullstellen für $d = 0$	$x_{0} = c$ (nur 1 Nullstelle)	$x_{0} = \begin{array}{rcl} \frac{π}{2 b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} c \end{array}$
	Die Nullstellen wiederholen sich nach einer halben Periode $\frac{p}{2}$ , sowohl für $x \to \infty$ als auch für $x \to - \infty$ .
Nullstellen für $d \neq 0$	Wertebereich betrachten. $\begin{array}{rcl} x_{0} & = & \frac{\sin^{- 1} (\frac{- d}{a})}{b} + c \end{array}$ $\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{π - \sin^{- 1} (\frac{- d}{a})}{b} + c \end{array}$	Wertebereich betrachten. $x_{0} = \begin{array}{rcl} \frac{\cos^{- 1} (\frac{- d}{a})}{b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} c$ $x_{1} = \begin{array}{rcl} \frac{- \cos^{- 1} (\frac{- d}{a})}{b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} c$
	Die Nullstellen wiederholen sich jeweils nach einer Periode p.
Extremstellen für $a > 0$	HP entspricht dabei einem Hochpunkt und TP entspricht dabei einem Tiefpunkt.
	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{π}{2 b} + c \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{3 π}{2 b} + c - \|a\| + d) \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (c \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{π}{b} + c - \|a\| + d) \end{array}$
Extremstellen für $a < 0$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{3 π}{2 b} + c \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{π}{2 b} + c - \|a\| + d) \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{π}{b} + c \|a\| + d) \\ T P_{0} (c \| - \|a\| + d) \end{array}$
Extremstellen	Die Extremstellen wiederholen sich nach jeweils einer Periode p.
Monotonie	Eine trigonometrische Funktion ist zwischen einem Tief- und einem Hochpunkt streng monoton steigend. Eine trigonometrische Funktion ist zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt streng monoton fallend.
Wendepunkte $W P$	$W P_{0} (c \| d)$	$W P_{0} (\frac{π}{2 b} + c d)$
	Die Wendepunkte wiederholen sich jeweils nach einer halben Periode $\frac{p}{2}$ .
Krümmungsverhalten	Eine trigonometrische Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit negativer Steigung und einem Wendepunkt mit positiver Steigung linksgekrümmt. Eine trigonometrische Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit positiver Steigung und einem Wendepunkt mit negativer Steigung rechtsgekrümmt.

Dir ist vielleicht aufgefallen, dass der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Mehr dazu kannst Du in der Erklärung „Tangensfunktion“ herausfinden. Eine ausführliche Kurvendiskussion beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.

Möchtest Du noch ein Beispiel für eine Kurvendiskussion einer konkreten trigonometrischen Funktionen? Dann schau Dir unsere Erklärung „Kurvendiskussion der trigonometrischen Funktionen“ an.

Kurvendiskussion Funktionsschar

Die Kurvendiskussion einer Funktionsschar wird je nach Funktionstyp wie eine Kurvendiskussion einer Polynomfunktion, einer Exponentialfunktion, einer Logarithmusfunktion oder einer trigonometrischen Funktion durchgeführt.

Schau Dir zum besseren Verständnis einer Funktionenschar ein Schaubild einer e-Funktion mit dem Scharparameter t an.

Du hast die Funktion $f_{t} (x)$ mit $f_{t} (x) = e^{\frac{1}{2} x} + t$ gegeben. Dabei ist t der Scharparameter. Die Abbildung 5 zeigt dabei die Schaubilder für $t = - 2$ , $t = - 1$ , $t = 0$ , $t = 1$ und $t = 2$ .

Kurvendiskussion Beispiele Schaubilder einer Funktionenschar StudySmarter Abbildung 5: Schaubilder einer Funktionenschar

Dabei musst Du beachten, dass sich der Scharparameter unterschiedlich auf die Eigenschaften der Funktion auswirken kann. Oftmals musst Du dazu eine Fallunterscheidung des Scharparameters durchführen.

Auf eine allgemeine Aufstellung wird an dieser Stelle verzichtet, da sich der Scharparameter an unterschiedlichster Stelle einer Funktion befinden kann. Für ein Beispiel kannst Du Dir die Erklärung „Kurvendiskussion Funktionsschar“ anschauen.

Kurvendiskussion Beispiele – Das Wichtigste

Eine Kurvendiskussion behandelt die wichtigsten Eigenschaften einer konkreten Funktion:
- Der Wertebereich
- Der Definitionsbereich
- Die Nullstellen
- Der y-Achsenabschnitt
- Das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert
- Die Symmetrie
- Die Extremstellen
- Die Monotonie
- Die Wendepunkte
- Das Krümmungsverhalten
- Bei trigonometrischen Funktionen die Periode
Die Kurvendiskussion einer Funktionsschar wird je nach Funktionstyp wie eine Kurvendiskussion einer Polynomfunktion, einer Exponentialfunktion, einer Logarithmusfunktion oder einer trigonometrischen Funktion durchgeführt. Dabei kann es häufig zu einer Fallunterscheidung des Scharparameters kommen.

Nachweise

Papula (2018). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer Vieweg Verlag.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion Beispiele

Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?

Der Wertebereich, der Definitionsbereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten gehören zu einer Kurvendiskussion. Bei trigonometrischen Funktionen kann zusätzlich noch die Periode betrachtet werden.

Was kann bei einer Funktion untersucht werden?

Der Wertebereich, der Definitionsbereich, die Nullstellen, der y-Achsenabschnitt, das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert, die Symmetrie, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten können bei einer Kurvendiskussion untersucht werden. Bei trigonometrischen Funktionen kann zusätzlich noch die Periode betrachtet werden.

Für welche Funktionen kann eine Kurvendiskussion durchgeführt werden?

Eine Kurvendiskussion kann für jede beliebige Funktion durchgeführt werden. Zum Beispiel für Polynomfunktionen, e-Funktionen, ln-Funktionen, trigonometrische Funktionen, aber auch für gebrochenrationale Funktionen.

Für was wird eine Kurvendiskussion benötigt?

Eine Kurvendiskussion wird benötigt, um allerlei Eigenschaften einer speziellen Funktion aufzuzeigen.

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