Kurvendiskussion Funktionsschar

Aus Polynomfunktionen kannst Du eine Funktionsschar machen, indem Du einen der Koeffizienten mit a multiplizierst:

$f_a\left(x\right)=2a{x}^2+5x-3$

Auch aus Wurzelfunktionen kannst Du Funktionsscharen bauen:

$f_a\left(x\right)=2·\sqrt{x-a}$

Betrachtet wird die folgende Funktion von oben:

$f_a\left(x\right)={\left(e^x-a\right)}^2$

Setze nun für den Parameter a verschiedene Werte ein:

$\begin{array}{cccccc}a=& -1& \Rightarrow & f_{-1}\left(x\right)& =& {\left(e^x+1\right)}^2\\ a=& 0& \Rightarrow & f_0\left(x\right)& =& {\left(e^x\right)}^2\\ a=& 2& \Rightarrow & f_2\left(x\right)& =& {\left(e^x-2\right)}^2\end{array}$

Wenn Du konkrete Werte für den Parameter a gegeben hast, dann ersetzt Du diese und bezeichnest dann damit auch die Funktion. Gesprochen hättest Du also hier die Funktionen: "f minus 1 von x", "f null von x" und "f zwei von x"

Nun hast Du explizite Funktionen gegeben. Diese kannst Du beispielsweise in ein Koordinatensystem einzeichnen. Das würde dann so aussehen:

Abbildung 1: Drei Funktionen der Funktionsschar

Bei einer Exponentialfunktion kannst Du für x jeden beliebigen Zahlenwert einsetzen. Das ist immer definiert, denn das x tritt im Exponenten auf und für Potenzen kannst Du jede Zahl einsetzen. Deshalb gilt für den Definitionsbereich:

${D_f}_a=\mathrm{ℝ}$

Nun überlegst Du, ob es irgendwelche Einschränkungen für den Wertebereich gibt. Egal, welche Zahl Du für x in die Funktionsgleichung einsetzt, die Zahl wird immer positiv sein, da am Ende die Zahl in der Klammer quadriert wird. Die Funktionswerte können also nicht negativ sein!

$W_{f_a}={{\mathrm{ℝ}}_0}^{+}$

Zuerst wird der Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet. Um diesen zu berechnen, musst Du $x=0$ einsetzen.

$f_a\left(0\right)={\left(e^0-a\right)}^2={\left(1-a\right)}^2$

Die binomische Formel am Ende könntest Du noch weiter auflösen, ist aber in diesem Fall nicht nötig. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also vom Parameter a abhängig!

Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet:

$S_y\left(0|{\left(1-a\right)}^2\right)$

In dem gezeichneten Beispiel von oben kannst Du erkennen, dass die Funktion mit dem Parameter 2 zum Beispiel die y-Achse im Punkt $\left(0|1\right)$ schneidet. Das kannst Du rechnerisch überprüfen, indem Du für a den Wert 2 in die soeben gefundene Formel einsetzt:

${\left(1-a\right)}^2={\left(1-2\right)}^2={\left(-1\right)}^2=1$

Weiter geht's mit den Nullstellen der Funktionsschar. Dafür setzt Du nun nicht für x den Wert 0 ein, sondern für y! Also:

$0={\left(e^x-a\right)}^2$

Nun musst Du diese Gleichung nach x auflösen. Lasse Dich dabei nicht von dem Parameter a verwirren, das ist einfach nur eine Zahl! Überlege Dir also, wann die rechte Seite 0 wird. Das passiert, wenn der Wert innerhalb der Klammer 0 wird, also:

$0=e^x-a$

a ist wie gesagt eine Zahl mit der Du ganz normal rechnen kannst!

$a=e^x$

Nun kannst Du Logarithmusgesetze anwenden.

$\ln \left(a\right)=x·\ln \left(e\right)$

Allerdings ist der natürliche Logarithmus von $e=1$, also ergebt sich die Nullstelle durch:

$\begin{array}{rcl}\ln \left(a\right)& =& x\end{array}$

Der ganze Schnittpunkt mit der x-Achse wäre dann gegeben durch:

$S_x\left(\ln \left(a\right)|0\right)$

Dies ist alles lösbar, da der Parameter a größer als 0 ist, denn wie Du oben in der Abbildung 1 erkennen kannst, hat die Funktionsschar für negative Parameterwerte und 0 keine Nullstellen!

Nun überprüfst Du dies an der gegebenen Funktion:

$f\left(-x\right)={\left(e^{-x}-a\right)}^2\ne -{\left(e^x-a\right)}^2=-f\left(x\right)$

$f\left(-x\right)={\left(e^{-x}-a\right)}^2\ne {\left(e^x-a\right)}^2=f\left(x\right)$

Die Funktion ist weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch. Es liegt also keine Symmetrie vor!

Schau' Dir jetzt das Verhalten im Unendlichen der gegebenen Funktionsschar an!

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(e^x-a\right)}^2=\infty$

Die e-Funktion hat für x gegen unendlich den Grenzwert unendlich, wenn Du dann ein beliebig großes a abziehst, dann ist dieser Wert innerhalb der Klammer noch immer unendlich groß. Dieser unendlich große Wert quadriert ist also unendlich.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(e^x-a\right)}^2=a^2$

Die e-Funktion hat für x gegen minus unendlich den Grenzwert 0. Innerhalb der Klammer kommt also nur minus a heraus, dies quadriert ergibt eben a zum Quadrat. Du kannst also sehen, dass das Verhalten für plus unendlich unabhängig vom Parameter ist, während es für minus unendlich abhängig ist!

Beginne also erst einmal damit, die ersten beiden Ableitungen der Funktionsschar zu berechnen!

$\begin{array}{rcl}{f}_a\left(x\right)& =& {\left(e^x-a\right)}^2\\ f_a\text{'}\left(x\right)& =& 2e^x·\left(e^x-a\right)\\ f_a\text{'}\text{'}\left(x\right)& =& 2e^x·\left(2e^x-a\right)\end{array}$

Anschließend setzt Du die erste Ableitung der Funktion gleich 0 und löst nach x auf!

$\begin{array}{rcl}{f}_a\text{'}\left(x\right)& =& 0\\ 2e^x·\left(e^x-a\right)& =& 0\end{array}$

Wenn Du Dich erinnerst, dann erhältst Du immer 0, wenn ein Faktor bei der Multiplikation 0 ist. Der erste Faktor kann aber nie 0 werden, da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, also:

$\begin{array}{rcl}2e^x& \ne & 0\end{array}$

Nun musst Du den zweiten Faktor überprüfen:

$\begin{array}{rcl}{e}^x-a& =& 0\\ e^x& =& a\\ x·\ln \left(e\right)& =& \ln \left(a\right)\\ x& =& \ln \left(a\right)\end{array}$

Es gibt also ein Extrema an der Stelle $\ln \left(a\right)$! Nun setzt Du diesen Wert in die zweite Ableitung ein und prüfst, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.

$f_a\text{'}\text{'}\left(\ln \left(a\right)\right)=2e^{\ln \left(a\right)}·\left(2e^{\ln \left(a\right)}-a\right)=2a·\left(2a-a\right)=2a·a=2a^2>0$

Da a größer als 0 ist, wird die Zahl am Ende immer größer als 0 sein. Somit handelt es sich bei dieser Stelle um einen Tiefpunkt. Der x-Wert ist derselbe, wie Du ihn bei der Nullstelle schon berechnet hast. Somit kannst Du direkt den gesamten Punkt angeben!

$\text{T}\left(\ln \left(a\right)|0\right)$

Weiter geht es mit den Exponentialfunktion. Die zweite Ableitung hast Du schon aufgestellt, also musst Du nur noch die dritte Ableitung bestimmen und kannst dann schon loslegen!

$\begin{array}{rcl}{f}_a\text{'}\text{'}\left(x\right)& =& 2e^x·\left(2e^x-a\right)\\ f_a\text{'}\text{'}\text{'}e\left(x\right)& =& 2e^x·\left(4e^x-a\right)\end{array}$

Zuerst setzt Du die zweite Ableitung der Funktionsschar gleich 0.

$\begin{array}{rcl}{f}_a\text{'}\text{'}\left(x\right)& =& 0\\ 2e^x·\left(2e^x-a\right)& =& 0\\ & & \end{array}$

Dann kannst Du wieder den Satz des Nullprodukts verwenden, also beide Faktoren gleich 0 setzen. Wie auch schon vorher, kann der erste Faktor wieder nicht 0 werden, da die Exponentialfunktion nie 0 wird.

$\begin{array}{rcl}2e^x& \ne & 0\end{array}$

Dann kannst Du den zweiten Faktor 0 setzen:

$\begin{array}{rcl}2e^x-a& =& 0\\ 2e^x& =& a\\ e^x& =& \frac{a}{2}\\ x·\ln \left(e\right)& =& \ln \left(\frac{a}{2}\right)\\ x& =& \ln \left(\frac{a}{2}\right)\end{array}$

Nun musst Du nur noch überprüfen, ob die dritte Ableitung der Funktionsschar an dieser Stelle 0 ist.

$f_a\text{'}\text{'}\text{'}\left(\ln \left(\frac{a}{2}\right)\right)=2e^{\ln \left(\frac{a}{2}\right)}·\left(4e^{\ln \left(\frac{a}{2}\right)}-a\right)=2\frac{a}{2}·\left(4\frac{a}{2}-a\right)=a^2\ne 0$

Da a immer größer als 0 ist, ist die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich 0! Wenn Du noch einen Schritt weitergehen möchtest, dann kannst Du auch den gesamten Wendepunkt angeben. Dazu setzt Du die Wendestelle in die ursprüngliche Funktionsschar ein:

$f_a\left(\ln \left(\frac{a}{2}\right)\right)={\left(e^{\ln \left(\frac{a}{2}\right)}-a\right)}^2={\left(\frac{a}{2}-a\right)}^2=\frac{a}{4}$

$\text{W}\left(\ln \left(\frac{a}{2}\right)|\frac{a}{4}\right)$

Dazu werden die Wendepunkte aus dem obigen Beispiel betrachtet. Das Einzige, was Du brauchst, um die Ortskurve zu bestimmen, ist der Wendepunkt. Die Funktionsschar selbst brauchst Du nicht mehr.

$\text{W}\left(ln\left(\frac{a}{2}\right)|\frac{a}{4}\right)$

Es soll nun eine Funktion gefunden werden, für die Du $\ln \left(\frac{a}{2}\right)$ einsetzet und $\frac{a}{4}$ herausbekommst. In eine Funktion werden immer x-Werte eingesetzt und Du erhältst immer Funktionswerte, also gilt:

$\begin{array}{rcl}x& =& \ln \left(\frac{a}{2}\right)\\ y& =& \frac{a}{4}\end{array}$

Aus diesen beiden Bedingungen soll nun eine Funktion konstruiert werden. Die erste Gleichung gibt Dir einen x-Wert, wenn Du für den Parameter a etwas einsetzt. Nun soll dies aber umgekehrt werden, denn Du möchtest x in der finalen Funktionsgleichung einsetzen und nicht a, also:

$\begin{array}{rcl}x& =& \ln \left(\frac{a}{2}\right)\\ e^x& =& \frac{a}{2}\\ 2e^x& =& a\end{array}$

Der Unterschied zwischen den beiden Gleichungen ist die Eingabe. Vorher musstest Du wissen, was a ist, damit Du den Wendepunkt angeben konntest. Jetzt gibst Du für jeden x-Wert einen Parameter a wieder, sodass dieser die Extremstelle hat!

Mit diesem Wissen kannst Du also in der zweiten Gleichung der Bedingungen das a ersetzen!

$y=\frac{a}{4}=\frac{2e^x}{4}=\frac{1}{2}{e}^x$

Und schon hast Du die Ortskurve gefunden! Diesen Sachverhalt kannst Du Dir noch kurz grafisch anschauen.

In der folgenden Abbildungen siehst Du ein paar Wendepunkte der Funktionsschar abgetragen:

Abbildung 2: Einige Wendepunkte der Funktionsschar im Koordinatensystem

Und nun wird die Ortskurve durch diese Punkte gelegt, die der obigen Funktionsgleichung entspricht, welche Du vorher ausgerechnet hast!

Abbildung 3: Ortskurve mit ausgewählten Wendepunkten

Aufgabe 1

Bestimme den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionsschar!

$f_a\left(x\right)=x^3-2a{x}^2$

Lösung

Es gibt weder Einschränkungen für die x-Werte, noch für die y-Werte, also:

$\begin{array}{rcl}{D}_{f_a}& =& \mathrm{ℝ}\\ W_{f_a}& =& \mathrm{ℝ}\end{array}$

Aufgabe 2

Untersuche die folgende Funktionsschar auf Nullstellen!

$f_a\left(x\right)=\sqrt{x-a}$

Lösung

Dazu setzt Du den Funktionswert 0 und löst die Gleichung nach x auf.

$\begin{array}{rcl}0& =& \sqrt{x-a}\\ 0& =& x-a\\ x& =& a\end{array}$

Die Nullstelle der Funktion ist der Parameter a.

Aufgabe 3

Gibt es eine Kurve der Funktionsschar, die nur eine Nullstelle besitzt?

$f_a\left(x\right)=x^2-ax$

Lösung

Zuerst berechnest Du die Nullstelle:

$\begin{array}{rcl}0& =& x^2-ax\\ 0& =& x·\left(x-a\right)\\ x_1& =& 0\\ 0& =& \left(x-a\right)\\ x_2& =& a\end{array}$

Die Funktionsschar hat immer an der Stelle 0 eine Nullstelle, die zweite ist abhängig vom Parameter a. Wählst Du $a=0$, dann entspricht die zweite Nullstelle der ersten Nullstelle und damit hat die Funktionsschar nur eine Nullstelle!