Lineare Substitution

Der folgenden Tabelle kannst Du verschiedene verkettete Funktionen und deren innere und äußere Funktion entnehmen.

Du hast die Funktion$n\left(x\right)$ mit $n\left(x\right)=\sin (3x+14)$ und deren Ableitung $n\text{'}\left(x\right)=3·\cos (3x+14)$.

Dabei sind die innere und die äußere Funktion wie folgt definiert:

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& \sin \left(h\right(x\left)\right)\\ & & \\ h\left(x\right)& =& 3x+14\end{array}$

Ziel ist, die Ableitung $n\text{'}\left(x\right)$ rückwärts durchzuführen und damit zu integrieren. Es gilt also Folgendes:

$n\left(x\right)+C=\int n\text{'}\left(x\right)dx$

Nun wird die Ableitungsfunktion $n\text{'}\left(x\right)$ integriert. Dazu musst Du wissen, dass beim Ableiten die Zahl $3=h\text{'}\left(x\right)$ vor die Funktion gezogen wird. Um diese Zahl bei der Integration wieder wegzukürzen, muss deshalb beim Integrieren mit $\frac{1}{3}=\frac{1}{h\text{'}\left(x\right)}$ multipliziert werden.

Zusätzlich integrierst Du noch die reine Kosinusfunktion. Damit erhältst Du folgenden Ausdruck:

$\int n\text{'}\left(x\right)dx=3·\sin (3x+14)·\frac{1}{3}+C=\sin (3x+14)+C=n\left(x\right)+C$

Somit wird lediglich durch die Zahl $3=h\text{'}\left(x\right)$ dividiert und die reine Kosinusfunktion integriert. In diesem Fall ist die Konstante $C=0$. Damit ist die Funktion $n\left(x\right)$ nur eine mögliche Stammfunktion der Funktion $n\text{'}\left(x\right)$.

Aufgabe 1

Integriere die Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)={(31x+4)}^{15}$ mithilfe der linearen Substitutionsregel.

Lösung

Identifiziere zuerst die innere und die äußere Funktion.

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& h{\left(x\right)}^{15}\\ & & \\ h\left(x\right)& =& 31x+4\end{array}$

Als Nächstes wird noch die äußere Funktion $g\left(x\right)$ integriert und die innere Funktion $h\left(x\right)$ abgeleitet.

$\begin{array}{rcl}G\left(x\right)& =& \frac{1}{16}·h{\left(x\right)}^{16}\\ & & \\ h\text{'}\left(x\right)& =& 31\end{array}$

Setzt Du die eben errechneten Ausdrücke in die Formel der linearen Substitutionsregel ein, erhältst Du folgendes unbestimmtes Integral der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)={(31x+4)}^{15}$.

$\begin{array}{rcl}\int {(31x+4)}^{15}dx& =& \frac{1}{h\text{'}\left(x\right)}·G\left(h\right(x\left)\right)+C\\ & & \\ & =& \frac{1}{31}·\frac{1}{16}·h{\left(x\right)}^{16}+C\\ & & \\ & =& \frac{1}{496}·{(31x+4)}^{16}+C\end{array}$

Aufgabe 2

Löse das Integral ${\int }_0^4{(4x+9)}^{3}dx$ exakt.

Lösung

Identifiziere zuerst die innere und die äußere Funktion.

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& h{\left(x\right)}^3\\ & & \\ h\left(x\right)& =& 4x+9\end{array}$

Im nächsten Schritt wird die äußere Funktion $g\left(x\right)$ integriert und die innere Funktion $h\left(x\right)$ abgeleitet.

$\begin{array}{rcl}G\left(x\right)& =& \frac{1}{4}·h{\left(x\right)}^4\\ & & \\ h\text{'}\left(x\right)& =& 4\end{array}$

Setzt Du nun alles in die eben definierte Formel für bestimmte Integrale ein, erhältst Du folgende Lösung.

$\begin{array}{rcl}{\int }_0^4{(4x+9)}^{3}dx& =& {\left[\frac{1}{h\text{'}\left(x\right)}·G\left(h\right(x\left)\right)\right]}_0^4\\ & & \\ & =& {\left[\frac{1}{4}·\frac{1}{4}·h{\left(x\right)}^4\right]}_0^4\\ & & \\ & =& {\left[\frac{1}{16}·{(4x+9)}^4\right]}_0^4\\ & & \\ & =& \frac{1}{16}·{(4·4+9)}^4-\frac{1}{16}·{(4·0+9)}^4\\ & & \\ & =& \frac{1}{16}·{\left(25\right)}^4-\frac{1}{16}·{\left(9\right)}^4\\ & & \\ & =& \frac{1}{16}·390625-\frac{1}{16}·6561\\ & & \\ & =& \frac{1}{16}·(390625-6561)\\ & & \\ & =& \frac{1}{16}·(384064)\\ & & \\ & =& 24004FE\end{array}$

In der nächsten Abbildung kannst Du Dir das bestimmte Integral und dessen Lösung noch einmal verdeutlichen.

Abbildung 1: Schaubild zur Aufgabe 2

Aufgabe 3

Integriere die Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=e^{\mathrm{\pi x}+314}$.

Lösung

Zuerst definierst Du wieder die innere und die äußere Funktion.

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& e^{h\left(x\right)}\\ & & \\ h\left(x\right)& =& \mathrm{\pi }x+314\end{array}$

Als Nächstes integrierst Du die äußere Funktion $g\left(x\right)$ und leitest die innere Funktion $h\left(x\right)$ ab.

$\begin{array}{rcl}G\left(x\right)& =& e^{h\left(x\right)}\\ & & \\ h\text{'}\left(x\right)& =& \mathrm{\pi }\end{array}$

Im letzten Schritt fügst Du alle Ausdrücke wieder zusammen, um sie in die Formel der linearen Substitutionsregel einzufügen.

$\begin{array}{rcl}\int e^{\mathrm{\pi x}+314}dx& =& \frac{1}{h\text{'}\left(x\right)}·G\left(h\right(x\left)\right)+C\\ & & \\ & =& \frac{1}{\mathrm{\pi }}·e^{h\left(x\right)}+C\\ & & \\ & =& \frac{1}{\mathrm{\pi }}·e^{\mathrm{\pi x}+314}+C\end{array}$

Aufgabe 4

Berechne das Integral der Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=\sin (2x+3)$ über die Grenzen $a=0$ bis $b=3\mathrm{\pi }$ exakt.

Lösung

Identifiziere zuerst wieder die innere und die äußere Funktion.

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& \sin \left(h\left(x\right)\right)\\ & & \\ h\left(x\right)& =& 2x+3\end{array}$

Im nächsten Schritt wird die innere Funktion $\begin{array}{rcl}& & h\left(x\right)\end{array}$ abgeleitet und die äußere Funktion $g\left(x\right)$ integriert.

$\begin{array}{rcl}G\left(x\right)& =& -\cos \left(h\left(x\right)\right)\\ & & \\ h\text{'}\left(x\right)& =& 2\end{array}$

Jetzt kannst Du die Formel für bestimmte Integrale mit Hilfe der linearen Substitution anwenden.

$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{3\mathrm{\pi }}\sin (2x+3)dx& =& {\left[\frac{1}{h\text{'}\left(x\right)}·G\left(h\right(x\left)\right)\right]}_0^{3\mathrm{\pi }}\\ & & \\ & =& {\left[\frac{1}{2}·-\cos \left(h\left(x\right)\right)\right]}_0^{3\mathrm{\pi }}\\ & & \\ & =& {\left[-\frac{1}{2}·\cos (2x+3)\right]}_0^{3\mathrm{\pi }}\\ & & \\ & =& -\frac{1}{2}·\cos (2·3\mathrm{\pi }+3)-(-\frac{1}{2}·\cos (2·0+3))\\ & & \\ & =& -\frac{1}{2}·cos(6\mathrm{\pi }+3)+\frac{1}{2}·cos(3)\\ & & \\ & =& \frac{1}{2}·\left(cos(3\right)-\cos (6\mathrm{\pi }+3))\end{array}$

An dieser Stelle kannst Du den Ausdruck direkt in den Taschenrechner eingeben und erhältst folgende Lösung.

$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{3\mathrm{\pi }}\sin (2x+3)dx& =& \frac{1}{2}·\left(cos(3\right)-\cos (6\mathrm{\pi }+3))\\ & =& \frac{1}{2}·(0)\\ & & \\ & =& 0FE\end{array}$

In der nachfolgenden Abbildung kannst Du Dir noch einmal verdeutlichen, weshalb die Lösung des Integrals$0FE$ergibt.

Abbildung 2: Schaubild zur Aufgabe 4

Aufgabe 5

Integriere die Funktion $f\left(x\right)$ mit $f\left(x\right)=\sqrt{\mathrm{\pi x}+\mathrm{e}}$.

Lösung

Zuerst kannst Du wieder die innere und die äußere Funktion identifizieren.

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)& =& \sqrt{h\left(x\right)}\\ & & \\ h\left(x\right)& =& \mathrm{\pi }x+e\end{array}$

Im nächsten Schritt wird die Ableitung der inneren Funktion $\begin{array}{rcl}& & h\left(x\right)\end{array}$ und eine Stammfunktion der äußeren Funktion $g\left(x\right)$ gebildet.

$\begin{array}{rcl}G\left(x\right)& =& \frac{2}{3}(h{\left(x\right))}^{\frac{3}{2}}\\ & & \\ h\text{'}\left(x\right)& =& \mathrm{\pi }\end{array}$

Im letzten Schritt kann wieder die Formel der linearen Substitutionsregel angewandt werden.

$\begin{array}{rcl}\int \sqrt{\mathrm{\pi x}+e}dx& =& \frac{1}{h\text{'}\left(x\right)}·G\left(h\right(x\left)\right)+C\\ & & \\ & =& \frac{1}{\mathrm{\pi }}·\frac{2}{3}(h{\left(x\right))}^{\frac{3}{2}}+C\\ & & \\ & =& \frac{2}{3\mathrm{\pi }}{(\mathrm{\pi x}+\mathrm{e})}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$