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Logarithmus ableiten

Die Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion, auch log-Funktion genannt, wird beispielsweise bei der Berechnung von Extremstellen oder Wendepunkten verwendet. Welche Formeln Du dafür benötigst, erfährst Du in diesem Artikel.

Los geht’s

Geprüfter Inhalt
Letzte Aktualisierung: 19.10.2022
7 Minuten Lesezeit

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Um die Eigenschaften der Logarithmusfunktion zu wiederholen, schaue gerne in den Artikel "Allgemeine Logarithmusfunktion" rein!

Allgemeines zum Ableiten der Logarithmusfunktion

Die Ableitung $f' (x)$ der allgemeinen Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ lautet:

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (b)}$

Logarithmus ableiten Allgemeine Ableitung StudySmarter Abbildung 1: Allgemeine Ableitung der Logarithmusfunktion

Logarithmus ableiten – Herleitung

Für die Herleitung der Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion benötigst Du die Umkehrfunktion. Diese lautet $f^{- 1} (x) = a^{x}$ .

Mehr Details zu dem Thema findest Du im Artikel "Allgemeine Logarithmusfunktion".

Notierst Du nun die Logarithmusfunktion $f (x)$ und die dazugehörige Umkehrfunktion $f^{- 1} (x)$ , erhältst du folgende Gleichungen:

$\begin{array}{rcl} y & = & f (x) = \log_{b} (x) \\ x & = & f^{- 1} (y) = b^{y} \end{array}$

Als Nächstes wendest Du die Formel an, mit der Du die Ableitung der Umkehrfunktion bildest. Diese lautet $f^{- 1}' (y) = \frac{1}{f' (x)}$ .

Mehr dazu findest Du im Artikel "Ableitung der Umkehrfunktion".

Diese Regel musst Du nun nach $f' (x)$ umformen, um am Ende die Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion zu bilden:

$f' (x) = \frac{1}{f^{- 1}' (y)}$

Zur Erinnerung: Die Ableitung $f' (x)$ der Exponentialfunktion $f (x) = a^{x}$ lautet: $f' (x) = \ln (a) \cdot a^{x}$

Jetzt wendest Du die Ableitungsregel auf die Umkehrfunktion an und erhältst die folgende Ableitung der Umkehrfunktion:

$f^{- 1}' (y) = \ln (b) \cdot b^{y}$

Nun setzt Du diese Ableitung in die gesamte Formel ein. Du erhältst folgenden Ausdruck:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{1}{f^{- 1}' (y)} \\ = & \frac{1}{\ln (b) \cdot b^{y}} \end{array}$

Die Variable $y$ bleibt jetzt noch in der Ableitung $f' (x)$ stehen. Diese kannst Du durch den Ausdruck $\begin{array}{rcl} y & = & f (x) = \log_{b} (x) \end{array}$ ersetzen:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{1}{\ln (b) \cdot b^{\log_{b} (x)}} \end{array}$

Zum Schluss wendest Du noch das Gesetz an, das aus der Definition des Logarithmus’ gefolgert werden kann. Dieses lautet: $b^{\log_{b} (x)} = x$

So erhältst Du folgende Ableitung für die allgemeine Logarithmusfunktion:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & \frac{1}{\ln (b) \cdot b^{\log_{b} (x)}} \\ = & \frac{1}{\ln (b) \cdot x} \end{array}$

Logarithmus ableiten – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen zur Ableitung der Logarithmusfunktion besser verstehen:

Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \log_{b} (x)$ mit der Basis $b = e$ .

Lösung zu Aufgabe 1

Nutze die Formel der Ableitung $f' (x) \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{1}{\ln (b) \cdot x} \end{array}$ . Du erhältst folgende Ableitung_

$f' (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (e)}$

Der Ausdruck $\ln (e)$ ergibt die Zahl $1$ . Deshalb kann die Ableitung noch vereinfacht werden:

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Die zugehörigen Graphen sehen so aus:

Logarithmus ableiten Schaubild StudySmarter Abbildung 2: Schaubild einer Ableitung einer Logarithmusfunktion.

Die Funktion $f (x) = \log_{e} (x) = \ln (x)$ besitzt also die Ableitung $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

Die Ableitung $f' (x)$ der natürlichen Logarithmusfunktion $f (x) = \ln (x)$ lautet:

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Um mehr zu der Ableitung des natürlichen Logarithmus zu erfahren, schau Dir gerne den Artikel "Ln ableiten" an.

Ableitungen der erweiterten Logarithmusfunktion

Für viele Aufgaben benötigst Du die Ableitung der erweiterten Logarithmusfunktion. Diese wird zur Berechnung von Extrempunkten und Wendepunkten verwendet.

Dir liegt die Funktion

f (x)

mit

f (x) = 5 \cdot \log_{2} (4 x)

vor. Möchtest Du diese Funktion nun ableiten, benötigst Du die Kettenregel und die Faktorregel.

Zur Erinnerung:

Kettenregel: $f (x) = g (h (x)) \overset{a b l e i t e n}{\to} f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$
Faktorregel: $f (x) = a \cdot g (x) \overset{a b l e i t e n}{\to} f' (x) = a \cdot g' (x)$

Um die Kettenregel anzuwenden, musst Du zuerst die äußere und die innere Funktion definieren.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & \log_{2} (h (x)) \\ h (x) & = & 4 x \end{array}$

Von beiden Gleichungen benötigst Du nun noch jeweils die Ableitung:

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & \frac{1}{\ln (2) \cdot h (x)} \\ h' (x) & = & 4 \end{array}$

Wendest Du nun die Faktorregel und die letzten Schritte der Kettenregel an, erhältst Du folgende Ableitung $f' (x)$ für die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 5 \cdot \log_{2} (4 x)$ .

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 5 \cdot g' (h (x)) \cdot h' (x) \\ = & 5 \cdot \frac{1}{\ln (2) \cdot h (x)} \cdot 4 \\ = & 5 \cdot \frac{1}{\ln (2) \cdot 4 x} \cdot 4 \\ = & 20 \cdot \frac{1}{\ln (2) \cdot 4 x} \\ = & 5 \cdot \frac{1}{\ln (2) \cdot x} \end{array}$

Daraus ergibt sich Folgendes:

Die Ableitung $f' (x)$ einer erweiterten Logarithmusfunktion $f (x) = a \cdot \log_{b} (c x)$ mit $a, c \neq 0$ lautet:

$f' (x) = a c \cdot \frac{1}{\ln (b) \cdot c x} = a \cdot \frac{1}{\ln (b) \cdot x}$

Immer dann, wenn in der Klammer vom Logarithmus nicht nur $" x "$ steht, musst Du die Kettenregel anwenden.

Aufgabe 2

Bestimme die Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \log_{π} (x^{2} + x)$ .

Du kannst das $π$ wie eine normale Zahl/Konstante betrachten.

Lösung zur Aufgabe 2

Da Du hier wieder die Kettenregel anwenden musst, musst Du wieder die innere und äußere Funktion definieren.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & \log_{π} (h (x)) \\ h (x) & = & x^{2} + x \end{array}$

Jetzt brauchst Du wieder die jeweiligen Ableitungen:

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & \frac{1}{\ln (π) \cdot h (x)} \\ h' (x) & = & 2 x + 1 \end{array}$

Wendest Du nun die letzten Schritte der Kettenregel an, erhältst Du folgende gesamte Ableitung $f' (x)$ für die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \log_{π} (x^{2} + x)$ :

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & g' (h (x)) \cdot h' (x) \\ = & \frac{1}{\ln (π) \cdot h (x)} \cdot (2 x + 1) \\ = & \frac{1}{\ln (π) \cdot (x^{2} + x)} \cdot (2 x + 1) \end{array}$

Logarithmusfunktion mit Wurzel ableiten

Schauen wir uns zum Abschluss noch ein Beispiel mit einer etwas komplizierteren inneren Funktion an.

Aufgabe 3

Bilde die Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \log_{3} (\sqrt{1 + 41 x^{5} + 9 x})$ .

Lösung zur Aufgabe 3

Definiere wieder zuerst die innere und die äußere Funktion, um die Kettenregel anzuwenden.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & \log_{3} (h (x)) \\ h (x) & = & \sqrt{1 + 41 x^{5} + 9 x} \end{array}$

Zur Erinnerung: Auch bei der Berechnung einer Wurzel musst Du die Kettenregel anwenden.

Um nun die Ableitungen der inneren und äußeren Funktion zu bilden, müssen musst Du zuerst die innere Funktion $h (x)$ aufteilen.

$\begin{array}{rcl} h_{i n n e n} (x) & = & 1 + 41 x^{5} + 9 x \\ h_{a u ß e n} (x) & = & \sqrt{h_{i n n e n} (x)} \end{array}$

Zur Erinnerung: Ableitung der Wurzelfunktion $f (x) = \sqrt{x}$ : $f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Dadurch ergeben sich die zwei Ableitungen der inneren und äußeren Funktion von $h (x)$ :

$\begin{array}{rcl} h_{i n n e n}' (x) & = & 205 x^{4} + 9 \\ h_{a u ß e n}' (x) & = & \frac{1}{2 \sqrt{h_{i n n e n} (x)}} \end{array}$

Folgende Ableitung ergibt sich für die innere Funktion $h (x)$ :

$\begin{array}{rcl} h' (x) & = & h_{a u ß e n}' (h_{i n n e n} (x)) \cdot h_{i n n e n}' (x) \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{h_{i n n e n} (x)}} \cdot (205 x^{4} + 9) \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{1 + 41 x^{5} + 9 x}} \cdot (205 x^{4} + 9) \end{array}$

Nun brauchst Du nur noch die Ableitung der äußeren Funktion $g (x)$ :

$g' (x) = \frac{1}{\ln (3) \cdot h (x)}$

So ergibt sich folgende gesamte Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x) = \log_{3} (\sqrt{1 + 41 x^{5} + 9 x})$ .

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & g' (h (x)) \cdot h' (x) \\ = & \frac{1}{\ln (3) \cdot h (x)} \cdot \frac{(205 x^{4} + 9)}{2 \sqrt{1 + 41 x^{5} + 9 x}} \\ = & \frac{1}{\ln (3) \cdot \sqrt{1 + 41 x^{5} + 9 x}} \cdot \frac{(205 x^{4} + 9)}{2 \sqrt{1 + 41 x^{5} + 9 x}} \\ = & \frac{(205 x^{4} + 9)}{\ln (3) \cdot \sqrt{1 + 41 x^{5} + 9 x} \cdot 2 \sqrt{1 + 41 x^{5} + 9 x}} \\ = & \frac{(205 x^{4} + 9)}{2 \cdot \ln (3) \cdot {(\sqrt{1 + 41 x^{5} + 9 x})}^{2}} \\ = & \frac{(205 x^{4} + 9)}{2 \cdot \ln (3) \cdot (1 + 41 x^{5} + 9 x)} \end{array}$

Ableitung Logarithmus – Das Wichtigste auf einen Blick

Die Ableitung $f' (x)$ der allgemeinen Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ lautet: $f' (x) = \frac{1}{\ln (b) \cdot x}$
Die Ableitung $f' (x)$ der natürlichen Logarithmusfunktion $f (x) = \ln (x)$ lautet: $f' (x) = \frac{1}{x}$
Die Ableitung $f' (x)$ der Logarithmusfunktion $f (x) = a \cdot \log_{b} (c x)$ lautet: $f' (x) = a \cdot \frac{1}{\ln (b) \cdot x}$
Immer dann, wenn in der Klammer vom Logarithmus nicht nur "x" steht, musst Du die Kettenregel anwenden:
- Zuerst definierst Du die innere und die äußere Funktion.
- Dann bildest Du jeweils die Ableitung der inneren und äußeren Funktion.
- Zum Schluss müssen die Ableitungen und die Funktionen eingesetzt werden, um die gesamte Ableitung zu erhalten.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Logarithmus ableiten

Wie leite ich den Logarithmus ab?

Der allgemeine Logarithmus wird mit Hilfe des natürlichen Logarithmus abgeleitet. Damit ist f'(x)=1/(x*ln(b)) die Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion f(x)=log_b(x).

Was ist der Unterschied zwischen lg und log?

Mit f(x)=lg(x) wird immer der Zehnerlogarithmus, also der Logarithmus zur Basis b=10, beziffert. Dieser kann auch wie folgt geschrieben werden f(x)=log₁₀(x)=log(x)=lg(x). Mit f(x)=log_b(x) wird der allgemeine Logarithmus beschrieben.

Wie leitet man log ab?

Der allgemeine Logarithmus wird mit Hilfe des natürlichen Logarithmus abgeleitet. Damit ist f'(x)=1/(x*ln(b)) die Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion f(x)=log_b(x).

Warum werden Funktionen abgeleitet?

Funktionen werden abgeleitet, um an der Stelle x die Steigung der Funktion zu erhalten. Diese Eigenschaft wird zum Beispiel benötigt, um Extrem- oder Wendepunkte zu bestimmen.

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