Logarithmus integrieren: Erklärung, Beispiele & Aufgaben

Q: Wie kann die allgemeine Logarithmusfunktion integriert werden?

Die allgemeine Logarithmusfunktion f(x)=log b (x) wird integriert, indem die Stammfunktionen dieser gebildet werden. Die Stammfunktionen dieser Funktion lauten: F(x) = 1/ln(b) ⋅ (x ⋅ ln(x) - x) + C.

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$\int_{5}^{5 e} \log_{5} (x) d x$

Wie wird so eine Funktion integriert? Du gibst einen glücklichen Laut von Dir, denn Du bist gerade auf diesen Artikel gestoßen. Das ist genau das, was Du nun für die Lösung brauchst!

Doch zunächst kurz einige Grundlagen zur allgemeinen Logarithmusfunktion.

Logarithmus integrieren – Grundwissen

Wie lautet denn die Funktionsgleichung der allgemeinen Logarithmusfunktion?

Eine Funktion $f (x)$ mit

$f (x) = \log_{b} (x)$

wird als allgemeine Logarithmusfunktion bezeichnet, wobei $b, x \in ℝ^{+}$ und $b \neq 1$ ist.

In der folgenden Abbildung kannst Du Dir zum besseren Verständnis zwei allgemeine Logarithmusfunktionen $f (x)$ und $g (x)$ mit der Basis $b_{1} = 2$ , damit $b_{1} > 1$ , und eine allgemeine Logarithmusfunktion mit der Basis $b_{2} = \frac{1}{2}$ , damit $b_{2} < 1$ , anschauen.

Logarithmus integrieren Allgemeiner Logarithmus Schaubild StudySmarter Abbildung 1: Schaubild zweier Logarithmusfunktionen

In der Abbildung 1 kannst Du dabei sehen, dass für eine Basis, die größer als 1 ist, der Graph der Logarithmusfunktion steigend verläuft. Im Gegensatz dazu ergibt sich ein fallender Verlauf des Funktionsgraphen für eine Basis kleiner als 1.

Der Artikel Allgemeine Logarithmusfunktion beinhaltet noch einmal alles rund um diesen Funktionstyp und deren Eigenschaften.

Auch von der allgemeinen Logarithmusfunktion lässt sich die Stammfunktion bilden.

Stammfunktion allgemeine Logarithmusfunktion

Die allgemeine Logarithmusfunktion lässt sich sowohl ableiten als auch integrieren.

$\begin{matrix} F (x) & \overset{I n t e g r i e r e n}{\leftarrow} & f (x) = \log_{b} (x) & \overset{A b l e i t e n}{\to} & f' (x) \end{matrix}$

Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.

Doch wie sehen die Integration der Logarithmusfunktion und damit die Stammfunktionen aus? Schau Dir das Ganze einmal mathematisch an.

Die Stammfunktionen der allgemeinen Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ lauten:

$F (x) = \frac{1}{\ln (b)} \cdot (x \cdot \ln (x) - x) + C$

Zur Erinnerung: Im Artikel „Stammfunktion bilden“ hast Du gelernt, dass Du beim Bilden der Stammfunktionen immer eine Konstante C dazu addieren musst, da es unendlich viele Stammfunktionen zu einer Funktion gibt.

Doch wieso gilt diese Formel für die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion? Wenn Du Dich für die Herleitung der Formel interessierst, dann sieh Dir gerne die nachfolgende Vertiefung an.

Herleitung Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion

Für den Beweis der Stammfunktion benötigst Du die ln-Funktion. Mehr dazu kannst Du in dem Artikel „Integral der ln-Funktion / natürlichen Logarithmusfunktion“ nachlesen.

Damit Du die Stammfunktionen der allgemeinen Logarithmusfunktion bilden kannst, musst Du die allgemeine Logarithmusfunktion in eine ln-Funktion umschreiben.

Zur Erinnerung:

Der Basiswechsel eines Logarithmus': $\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}$
Definition der natürlichen Logarithmusfunktion: $\log_{e} (x) = \ln (x)$

Der Logarithmus lässt sich anhand eines Quotienten darstellen, wobei eine beliebige Basis a möglich ist, zum Beispiel e.

Mit dem Basiswechsel und der Definition der natürlichen Logarithmusfunktion, erhältst Du folgende allgemeine Logarithmusfunktion.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)} = \frac{1}{\ln (b)} \cdot \ln (x)$

Nun handelt es sich um eine ln-Funktion mit einem festen Vorfaktor $\frac{1}{\ln (b)}$ , da dieser eine konstante Zahl ist.

Zur Erinnerung: Faktorregel beim Integrieren: $\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x$

Zur Berechnung der Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion benötigst Du noch die Stammfunktion der ln-Funktion, die Du im Artikel Integral der ln-Funktion findest.

Zur Erinnerung: Stammfunktion der ln-Funktion: $\int \ln (x) d x = x \cdot \ln (x) - x + C$

Mit Hilfe der Faktorregel beim Integrieren und der Stammfunktion der ln-Funktion kann die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion wie folgt berechnet werden.

$\begin{array}{rclcl} \int \log_{b} (x) d x & = & \int \frac{1}{\ln (b)} \cdot \ln (x) d x & | Faktorregel \\ = & \frac{1}{\ln (b)} \cdot \int \ln (x) d x & | Stammfunktion der \ln - Funktion \\ F (x) & = & \frac{1}{\ln (b)} \cdot (x \cdot \ln (x) - x) + C \end{array}$

Nun kennst Du bereits die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion. Wende diese Regel gleich einmal an.

Aufgabe 1

Bestimme die Stammfunktionen der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \log_{2 π} (x)$ .

Lass Dich durch das π nicht verwirren. Es kann wie eine ganz normale Zahl behandelt werden.

Lösung

Zuerst musst Du die Basis b identifizieren.

$b = 2 π$

Als Nächstes kannst Du alle Zahlen in die obige Formel einfügen und schon hast Du die fertige Stammfunktion.

$F (x) = \frac{1}{\ln (2 π)} \cdot (x \cdot \ln (x) - x) + C$

Vergiss zum Schluss nicht, die Konstante C zu addieren.

Manchmal kann es sein, dass Du die allgemeine Logarithmusfunktion mit verschiedenen Parameter vorliegen hast. Dadurch entsteht die sogenannte erweiterte allgemeine Logarithmusfunktion.

Stammfunktion erweiterte allgemeine Logarithmusfunktion

Die verschiedenen Parameter wirken sich auf die Bildung der Stammfunktion aus. Solltest Du eine Aufgabe mit Parametern vorliegen haben, so kannst Du die folgende Formel anwenden.

Stammfunktionen $F (x)$ der Funktion $f (x) = c \cdot \log_{b} (a x) + d$ :

$F (x) = \frac{c}{\ln (b)} \cdot (x \cdot \ln (a x) - x) + d x + C$

Wobei $c \neq 0$ und $a \neq 0$ ist.

Wenn $c = 1$ , $a = 1$ und $d = 0$ ist, erhältst Du aus der erweiterten allgemeinen Logarithmusfunktion wieder die allgemeine Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ .

Um die Formel der Stammfunktionen der erweiterten allgemeinen Logarithmusfunktion zu verinnerlichen, kannst Du diese nun direkt anwenden.

Aufgabe 2

Bestimme die Stammfunktionen der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 3 \cdot \log_{14} (15 x) + 9$ .

Lösung

Zuerst musst Du die Basis b identifizieren.

$b = 14$

Als Nächstes kannst Du die Parameter c, a und d identifizieren.

$\begin{array}{rcl} c & = & 3 \\ a & = & 15 \\ d & = & 9 \end{array}$

Als Letztes kannst Du alle Zahlen in die obige Formel einfügen und damit hast Du die fertige Stammfunktion.

$F (x) = \frac{\begin{array}{rcl} 3 \end{array}}{\ln (14)} \cdot (x \cdot \ln (\begin{array}{rcl} 15 \end{array} x) - x) + 9 x + C$

Wozu wird die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion überhaupt verwendet? Sieh Dir dazu die nachfolgende Anwendung an.

Logarithmus integrieren – Beispiele & Anwendung

Die Stammfunktion $F (x)$ der allgemeinen Logarithmusfunktion $f (x) = \log_{b} (x)$ brauchst Du beispielsweise für das Lösen eines Integrals. Dabei kannst Du die Stammfunktion beim Integral mit den Grenzen u und o wie folgt anwenden.

Bestimmtes Integral der allgemeinen Logarithmusfunktion mit den Grenzen u und o:

$\int_{u}^{o} \log_{b} (x) d x = {[\frac{1}{\ln (b)} \cdot (x \cdot \ln (x) - x)]}_{u}^{o}$

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird dazu benutzt, um ein bestimmtes Integral zu lösen. Mehr dazu kannst Du im Kapitel bestimmtes Integral nachlesen.

Nun kannst Du überprüfen, ob Du das Integral der allgemeinen Logarithmusfunktion bereits verstanden hast.

Aufgabe 3

Berechne exakt das Integral $\int_{1}^{e} \log_{e} (x) d x$ .

Die Funktion $f (x) = \log_{e} (x)$ entspricht der Funktion $f (x) = \log_{e} (x) = \ln (x)$ . Da Du an dieser Stelle die allgemeine Logarithmusfunktion betrachtest, wird die Funktion $f (x)$ nicht in den natürlichen Logarithmus umgewandelt.

Lösung

Zuerst ist es wieder hilfreich, die Basis b zu identifizieren.

$b = e$

Damit erhältst Du folgendes Integral, indem Du eine Stammfunktion bildest und die Grenzen jeweils für x einsetzt.

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{e} \log_{e} (x) d x & = & {[\frac{1}{\ln (e)} \cdot (x \cdot \ln (x) - x)]}_{1}^{e} \\ = & {[\frac{1}{1} \cdot (x \cdot \ln (x) - x)]}_{1}^{e} \\ = & e \cdot \ln (e) - e - (1 \cdot \ln (1) - 1) \\ = & e \cdot 1 - e - (1 \cdot 0 - 1) \\ = & e - e - 0 + 1 \\ = & 1 F E \end{array}$

Zum besseren Verständnis kannst Du Dir noch das Schaubild der Funktion $f (x) = \log_{e} (x)$ und das berechnete Integral anschauen.

Logarithmus integrieren Schaubild einer Logarithmusfunktion mit Basis b=e StudySmarter Abbildung 2: Schaubild zur Aufgabe 3

Nun ist es an der Zeit, Dein Wissen über das Integral der allgemeinen Logarithmusfunktion zu verinnerlichen.

Allgemeine Logarithmusfunktion integrieren – Aufgaben mit Lösung

Bilde als erste Übung doch noch einmal eine Stammfunktionen einer allgemeinen Logarithmusfunktion.

Aufgabe 4

Bilde die Stammfunktion der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \log_{3} (- 2 x) + e$ .

Lass Dich auch durch das e nicht verwirren, das kannst Du wie eine normale Konstante betrachten.

Lösung

Identifiziere zuerst die Basis b und die Parameter c, a und d.

$b = 3 c = 1 a = - 2 d = e$

Setzt Du diese Werte nun in die Formel ein, erhältst Du folgende Stammfunktion für die Funktion $f (x) = \log_{3} (- 2 x) + e$ .

$F (x) = \frac{1}{\ln (3)} \cdot (x \cdot \ln (- 2 x) - x) + e x + C$

Du sitzt immer noch an Deiner Aufgabe im Klassenzimmer. Doch Du weißt nun, was Du machen musst, und löst die Aufgabe, die vor Dir liegt!

Aufgabe 5

Löse das folgende Integral.

$\int_{5}^{5 e} \log_{5} (x) d x$

Lösung

Zuerst musst Du die Basis b identifizieren.

$b = 5$

Damit erhältst Du folgendes Integral.

$\begin{array}{rcl} \int_{5}^{5 e} \log_{5} (x) d x & = & {[\frac{1}{\ln (5)} \cdot (x \cdot \ln (x) - x)]}_{5}^{5 e} \\ = & \frac{1}{\ln (5)} \cdot (5 e \cdot \ln (5 e) - 5 e - (5 \cdot \ln (5) - 5)) \\ = & \frac{1}{\ln (5)} \cdot (5 e \cdot (\ln (5) + \ln (e)) - 5 e - 5 \cdot \ln (5) + 5) \\ = & \frac{1}{\ln (5)} \cdot (5 e \cdot \ln (5) + 5 e - 5 e - 5 \cdot \ln (5) + 5) \\ = & \frac{1}{\ln (5)} \cdot (5 e \cdot \ln (5) - 5 \cdot \ln (5) + 5) \\ = & \frac{5 e \cdot \ln (5)}{\ln (5)} - \frac{5 \cdot \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{5}{\ln (5)} \\ = & 5 e - 5 + \frac{5}{\ln (5)} \approx 11, 7 F E \end{array}$

Um die Funktion $f (x) = \log_{5} (x)$ und das berechnete Integral zu veranschaulichen, schau Dir die nachfolgende Abbildung 3 an.

Logarithmus integrieren Schaubild einer Logarithmusfunktion mit Basis b=5 StudySmarter Abbildung 3: Schaubild zur Eingangsaufgabe

Geschafft! Du kannst nun Integrale von Logarithmusfunktionen lösen. Für die Zukunft weißt Du nun auch, wo Du nachschauen musst, wenn Du Hilfe beim Integral der allgemeinen Logarithmusfunktion brauchst.

Logarithmus integrieren – Das Wichtigste

Die allgemeine Logarithmusfunktion lautet: $f (x) = \log_{b} (x)$
Die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion lautet: $F (x) = \frac{1}{\ln (b)} \cdot (x \cdot \ln (x) - x) + C$
Die Stammfunktion der Funktion $f (x) = c \cdot \log_{b} (a x) + d$ lautet: $F (x) = \frac{c}{\ln (b)} \cdot (x \cdot \ln (a x) - x) + d x + C$
Das Integrieren der allgemeinen Logarithmusfunktion benötigst Du, um bestimmte Integrale zu lösen.
Für das Integral mit den Grenzen u und o gilt folgende Gleichung: $\int_{u}^{o} \log_{b} (x) d x = {[\frac{1}{\ln (b)} \cdot (x \cdot \ln (x) - x)]}_{u}^{o}$

Nachweise

Papula (2018). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer Vieweg.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Logarithmus integrieren

Wie kann die allgemeine Logarithmusfunktion integriert werden?

Die allgemeine Logarithmusfunktion f(x)=log_b(x) wird integriert, indem die Stammfunktionen dieser gebildet werden. Die Stammfunktionen dieser Funktion lauten:

F(x) = 1/ln(b) ⋅ (x ⋅ ln(x) - x) + C.

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