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Eine Passante ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur nicht schneidet und berührt. Kurve/Figur und Passante haben nämlich keinen gemeinsamen Punkt.
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Team Passante Lehrer
Der Begriff Passante hat sich aus dem französischen Verb passer entwickelt, das "vorbeigehen" oder "passieren" bedeutet.
Eine Passante ist eine besondere Gerade im Zusammenhang mit einer weiteren Funktion oder einer geometrischen Figur.
Die Passante kommt oft mit der Tangente und der Sekante an einem Kreis zusammen vor.
Abbildung 1: Sekante, Tangente und Passante am Kreis
Die Passante hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, die Tangente einen und die Sekante zwei.
In diesem Artikel geht es allerdings nicht um die Passante in der Geometrie, sondern um die funktionale Gerade in der Analysis im Koordinatensystem.
Möchtest du dich genauer über Passanten am Kreis informieren, dann solltest du dir den Artikel "Geraden am Kreis" anschauen.
Passanten sind anonym und fallen nicht auf, da sie für sich unterwegs sind und nicht mit anderen Funktionen im Koordinatensystem in Berührung kommen.
Eine Passante ist eine lineare Funktion, die keine Berührungspunkte oder Schnittpunkte mit einer weiteren Funktion im Koordinatensystem hat. Sie hat keine gemeinsame Lösungsmenge mit der anderen Funktion.
Die Graphen von Passanten sind immer Geraden. Hier siehst du exemplarisch eine Passante p, die an einer quadratischen Funktion f vorbeiläuft, ohne sie zu schneiden oder zu berühren.
Abbildung 2: Beispiel einer Passante
Lineare Funktionen sind so definiert, dass der Funktionswert y von zwei wesentlichen Faktoren abhängt: der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt t.
Jede Passante ist eine lineare Funktion der Form , wobei m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt sind.
Hast du eine Abbildung gegeben, so wie die Abbildung 2, kannst du schnell erkennen, ob eine Gerade einen Funktionsgraph im abgebildeten Ausschnitt berührt oder schneidet.
Doch was ist, wenn f(x) außerhalb des abgebildeten Bereichs noch ein paar Richtungsänderungen hat? Dann solltest du berechnen, ob eine Gerade eine Passante ist.
Um rechnerisch zu überprüfen, ob es sich um eine Passante handelt, überprüfst du im Prinzip, ob Gerade und Funktion f einen Schnitt- oder Berührpunkt haben.
Um rechnerisch zu überprüfen, ob zwei Funktionen Schnitt- oder Berührpunkte haben, setzt du sie gleich.
Dabei gilt:
Wie man Schnittpunkte zwischen beliebigen Funktionen ausführlich berechnet, kannst du in der Erklärung "Schnittpunkte zweier Funktionen" nachlesen.
Im Folgenden siehst du ein paar Beispielaufgaben, in denen eine der Funktionen eine Gerade ist.
Aufgabe 1
Überprüfe rechnerisch, ob die Funktion eine Passante der Funktion ist.
Lösung 1
Prüfe, ob die Funktionen f und p einen (oder mehrere) Schnittpunkte haben. Dazu setzt du die Funktionsgleichungen gleich.
Nun wird die Gleichung so umgestellt, dass alles auf einer Seite steht und auf der anderen Seite 0. Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, hast du zur Lösung der Gleichung mehrere Möglichkeiten:
Zu allen diesen Möglichkeiten findest du auf StudySmarter eine eigene Erklärung.
In diesem Beispiel wird die Mitternachtsformel genutzt.
Diese Rechnung ergibt keine Lösung, da die Wurzel aus -3 nicht berechnet werden kann. Daher existieren keine Schnitt- oder Berührpunkte zwischen Funktion f und Funktion p. Die Funktion p ist nämlich eine Passante.
Abbildung 3: Funktionen f und p aus Aufgabe 1
Möchtest du berechnen, ob eine mögliche Passante einen Schnittpunkt mit einer quadratischen Funktion hat, reicht es nach dem Gleichsetzen der Funktionsgleichungen und dem Umstellen der Gleichung aus, lediglich die Diskriminante der Mitternachtsformel zu berechnen.
Die Mitternachtsformel lautet:
Dabei wird der Ausdruck auch Diskriminante genannt.
Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel. Es gilt das Folgende:
Um zu überprüfen, ob eine Gerade eine Passante ist, reicht es aus, zu wissen, ob es Schnittpunkte gibt oder nicht. Nur im ersten Fall, also wenn die Diskriminante kleiner als 0 ist, handelt es sich um eine Passante.
Willst du das Berechnen der Diskriminante nochmal üben? Dann gibt es am Ende des Artikels noch eine Übungsaufgabe für dich.
Was ist nun, wenn die Funktion f nicht quadratisch? Bei Polynomfunktionen 3. oder 4. Grades kann man manchmal Glück haben und Schnittpunkte auf dem bekannten Weg berechnen. Bei anderen Funktionen wie der Sinusfunktion, der Exponentialfunktion oder Polynomfunktionen höheren Grades ist es aber oft rechnerisch schwierig zu überprüfen, ob es Schnittpunkte gibt. Hier hilft ein Funktionsplotter oder eine dynamische Geometrie-Software, in die du die Funktionen eingeben und Schnittpunkte berechnen lassen kannst.
Um Passanten zu konstruieren, gibt es kein eindeutiges Kochrezept und es gibt meistens nicht DIE eine richtige Lösung.
Möchtest du eine Passante an einem Kreis konstruieren, dann schau dir besser den Artikel "Geraden am Kreis" an!
Folgende Schritte kannst du befolgen, um eine Passante zu konstruieren.
Schaue dir das beispielhaft an einer Funktion an.
Aufgabe 2
Konstruiere eine Passante zur Funktion . Lies die Geradengleichung der konstruierten Passante ab.
Lösung 2
Schritt 1: Zeichne die Funktion f in ein Koordinatensystem ein.
Abbildung 4: Passante konstruieren - Schritt 1
Schritt 2: Zeichne eine Gerade ein, die keinen Schnittpunkt mit der Funktion f hat.
Abbildung 5: Passante konstruieren - Schritt 2
Schritt 3: Lies den y-Achsenabschnitt t und die Steigung m der Gerade ab und formuliere damit die Gleichung der Passante.
Abbildung 6: Passante konstruieren - Schritt 3
Nun kannst du mit den Beispielaufgaben üben, mit Passanten effektiv zu arbeiten.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion . Ist die Funktion eine Passante der Funktion f?
Lösung 3
Setze die beiden Funktionsterme gleich.
Stelle nun die Gleichung um.
Jetzt kannst du entweder die Mitternachtsformel, die pq-Formel oder weitere Möglichkeiten zur Berechnung der Lösung verwenden. Oder du überprüfst nur anhand der Diskriminante, ob es Schnittpunkte gibt.
Im Folgenden wird es mit der Diskriminante gezeigt.
Die Diskriminante ist positiv. Es gibt nämlich 2 Lösungen der quadratischen Gleichung, also auch zwei Schnittpunkte.
Die Funktion p ist damit keine Passante.
Aufgabe 4
Gegeben sind die Funktionen
.
Handelt es sich bei um eine Passante?
Lösung 4
Setze die Funktionen gleich und stelle die Gleichung um.
Löse nun diese quadratische Gleichung, beispielsweise mit der Mitternachtsformel.
Da die Diskriminante, also der Ausdruck unter der Wurzel, negativ ist, gibt es keine Lösung dieser Gleichung und somit haben die Funktionen f und p keine gemeinsamen Punkte. ist also eine Passante.
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Was ist eine Passante?
Eine Passante ist eine lineare Funktion, welche mit einer weiteren Funktion keine Schnitt- oder Berührungspunkte hat.
Wie konstruiere ich eine Passante?
Wie berechne ich eine Passante?
Um rechnerisch zu prüfen, ob eine Gerade eine Passante zu einer gegebenen Funktion f ist, setzt du beide Funktionsterme gleich und berechnest dann die Lösungsmenge, also ob die beiden Funktionen Schnittpunkte haben. Ist die Lösungsmenge leer, so handelt es sich um eine Passante. Gibt es Lösungen, so gibt es auch Schnittpunkte und es handelt sich um keine Passante.
Woran erkenne ich eine Passante?
Du erkennst eine Passante daran, dass sie keinen Berühr- oder Schnittpunkt mit einer anderen Funktion hat. Rechnerisch kannst du eine Passante daran erkennen, dass die Lösungsmenge beim Gleichsetzen mit einer anderen Funktion leer ist.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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