Die Quotientenregel ist eine der praktischsten, aber auch gleich eine der schwieriger zu merkenden Ableitungsregeln. Mit ihr kannst Du, wie der Name schon sagt, die Ableitung von Quotienten bilden. Die Formel für die Quotientenregel, sowie alle ihre geläufigen Anwendungen findest Du in dieser Erklärung.
Die Quotientenregel kann bei Funktionen angewandt werden, die in Form eines Quotienten vorliegen. Wobei und beliebige Funktionen sind und gelten muss.
Die Ableitung wird dann nach folgender Regel gebildet Dabei sind und jeweils die Ableitungen des Zählers und Nenners von .
Merkhilfe:
Eselsbrücke: durch
Bedeutung/Gesprochen: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat.
Quotientenregel Ableitung – Anwendung Beispiel
Eine gebrochen-rationale Funktion lässt sich wie folgt mit der Quotientenregel ableiten.
Aufgabe 1
Bilde die Ableitung der Funktion mit , wobei ist.
Lösung
Identifiziere zuerst die Funktion im Zähler und die im Nenner .
Bilde davon jeweils die Ableitung und .
Nutzt Du anschließend die Formel der Quotientenregel und vereinfachst den Ausdruck, erhältst Du folgende Lösung.
Nun kennst Du bereits die Formel der Quotientenregel. Doch warum gilt die Quotientenregel überhaupt? Interessiert Dich die Herleitung der Quotientenregel? Dann findest Du die Antworten in der nachfolgenden Vertiefung. Überspringe diesen Abschnitt gerne, wenn Du direkt zu den Beispielen und Aufgaben möchtest.
Ableitung Quotientenregel – Beweis
Der Beweis der Quotientenregel wird mithilfe derProduktregelhergeleitet.
Mithilfe der Ableitungen und ergibt sich folgender gesamter Ausdruck, den Du noch vereinfachen kannst.
Tipp:
Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.
Quotientenregel Ableitung – Übungsaufgaben
Zum Abschluss kannst Du jetzt das erlernte Wissen auf die Probe stellen und die folgenden Übungsaufgaben lösen. Nutze gerne Deine eigene Formelsammlung aus der Schule, wenn Du eine benutzen darfst!
Bilde die Ableitung und die zweite Ableitung der Funktion mit .
Lösung
Identifiziere wieder zuerst die Funktion im Zähler und die im Nenner .
Als Nächstes bildest Du wieder jeweils die Ableitung davon.
Wendest Du nun die Formel der Quotientenregel an, erhältst Du folgende erste Ableitung .
Um die zweite Ableitung zu bilden, bildest Du die Ableitung der ersten Ableitung . Hierbei identifizierst Du wieder zuerst die Funktion im Zähler und die im Nenner .
Bilde davon jeweils die Ableitungen und .
Setzt Du jetzt alles in die Formel für die Quotientenregel ein, erhältst Du folgende zweite Ableitung .
Quotientenregel – Das Wichtigste
Die Quotientenregel wird angewandt bei Funktionen der Form, wobei sein muss.
Die Quotientenregel lautet:
Eselsbrücke: durch
Bedeutung/Gesprochen: Nenner mal Ableitung des Zählers, minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch den Nenner ins Quadrat.
Wenn Du Dir die Quotientenregel nicht merken möchtest, kannst Du den Quotienten immer in ein Produkt umschreiben und somit statt der Quotientenregel die Produktregel nutzen.
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