Rotationskörper Volumen

Rotationskörper – Definition

Ein Rotationskörper kann, wie schon erwähnt, zum Beispiel eine Taschenlampe sein. Doch was ist mathematisch gesehen ein Rotationskörper?

In der Schule wird meist die Rotation um die $x-\mathrm{Achse}$ betrachtet. Damit du dir das besser vorstellen kannst, schauen wir uns gleich mal ein Beispiel an:

Super, jetzt weißt du schon mal, was ein Rotationskörper ist und wie dieser entsteht. Doch wie kannst du das Volumen von Rotationskörpern berechnen?

Rotationskörper Volumen berechnen

Du kannst das Volumen von Rotationskörpern mit Hilfe eines Integrals berechnen.

Schau dir gleich mal ein Beispiel an, um die Formel direkt anzuwenden:

Wenn du dich jetzt fragst, wie die Formel für das Volumen zustande kommt, schau dir gleich noch den nächsten Abschnitt an.

Herleitung der Formel für das Rotationskörper Volumen

Um gleich die Formel für das Volumen von Rotationskörpern zu betrachten, schauen wir uns zuerst noch kurz die Formel für den Flächeninhalt unter einem Schaubild an.

Zuerst musst du also die Fläche betrachten, die von einem Schaubild einer Funktion $f\left(x\right)$ und der $x-\mathrm{Achse}$ eingeschlossen ist:

Abbildung 5: Rotationsfläche

Du weißt bestimmt, wie diese Fläche berechnet wird:

$A={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Den Flächeninhalt im Intervall $I=[a,b]$ erhältst du, indem du die Fläche durch Rechtecke annäherst. Das kannst du über die Ober- oder die Untersumme machen. Die Abbildung $6$ enthält die Annäherung mit Rechtecken für die Ober- und die Untersumme:

Abbildung 6: Rotationsfläche mit Ober- und Untersumme

Dabei ist $f\left(x\right)$ die jeweilige Höhe und $dx=∆x$ die Breite der Rechtecke. Damit gilt für jedes der Rechtecke:

$A_{Rechteck}=f\left(x\right)·∆x=f\left(x\right)·dx$

Den exakten Wert erhältst du, wenn du die Anzahl der Rechtecke $n$ gegen $\infty$ oder $dx=∆x$ gegen null laufen lässt. Da sich in diesem Fall die Ober- und die Untersumme zum exakten Ergebnis annähern, musst du hier keine Unterscheidung machen.

Damit erhältst du die Formel für das Integral:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=0}^{n}f\left(x_i\right)·∆x={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Schau dir nun als nächstes die Fläche an, die um die $x-\mathrm{Achse}$ rotiert:

Abbildung 7: Rotationskörper

Das Volumen des Rotationskörpers kannst du nun nicht mehr durch Rechtecke, sondern durch Zylinder ermitteln. Auch hier gibt es wieder eine Ober- und Untersumme:

Abbildung 8: Rotationskörper mit der Untersumme

Schauen wir uns auch noch kurz die Obersumme an:

Abbildung 9: Rotationskörper mit der Obersumme

Dafür brauchst du die allgemeine Formel eines Zylinders. Diese lautet:

$V=\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}^2·\mathrm{h}$

Der Radius $r$ entspricht nun $f\left(x\right)$ und die Höhe $h$ entspricht$∆x=dx$. Es gilt also:

$r=f\left(x\right)\mathrm{und}h=dx$

Daraus ergibt sich für die Volumenformel folgender Ausdruck:

$V=\mathrm{\pi }·f{\left(x\right)}^2·dx$

Wenn du jetzt wieder die Anzahl der Zylinder $n$ gegen $\infty$ oder $dx$ gegen null laufen lässt, erhältst du folgende Formel. Da sich in diesem Fall auch wieder die Ober- und die Untersumme zum exakten Ergebnis annähern, musst du wieder keine Unterscheidung machen:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{i=0}{\overset{n}{\sum \mathrm{\pi }·}}f{\left(x_i\right)}^2·∆x={\int }_a^b\mathrm{\pi }·f{\left(x\right)}^{2}dx$

Wenn du jetzt noch $\mathrm{\pi }$ aus dem Integral ziehst, da es lediglich eine Konstante ist, erhältst du die Formel für das Volumen von Rotationskörpern:

$V=\mathrm{\pi }·{\int }_a^{b}f{\left(x\right)}^{2}dx$

Rotationskörper Volumen Formel – Aufgabe mit Lösung

Schau dir direkt noch ein Beispiel an, um die Formel des Volumens von Rotationskörpern weiter zu verinnerlichen:

Super, jetzt hast du den ersten großen Teil schon mal geschafft. Jetzt kann es aber sein, dass die Fläche, die um die $x-\mathrm{Achse}$ rotiert, nicht von dem Schaubild einer Funktion $f\left(x\right)$ und der $x-\mathrm{Achse}$ eingegrenzt wird, sondern von zwei Schaubildern von zwei Funktionen $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$.

Du fragst dich jetzt sicherlich, wieso du das auch noch brauchst. Schau dir dazu den nächsten Abschnitt an.

Rotationskörper Volumen – 2 Funktionen

Im Folgenden Abschnitt erhältst du mehr Informationen über das Volumen von Rotationskörper zweier Funktionen und was überhaupt ein Rotationskörper zweier Funktionen ist.

Was ist ein Rotationskörper von 2 Funktionen?

Es gibt nicht nur Gegenstände wie Taschenlampen oder Sektgläser, sondern auch Gegenstände, die Löcher haben, wie zum Beispiel ein Reifen. Deshalb brauchst du die Schaubilder von zwei Funktionen, die eine Fläche eingrenzen. Diese Fläche lässt du dann wieder um die $x-\mathrm{Achse}$ rotieren und dann erhältst du einen Gegenstand mit Loch.

Klingt erst einmal ein bisschen kompliziert? Dann schauen wir uns das Ganze doch mal in einem Beispiel an:

Sehr gut, jetzt weißt du schon einmal, wie ein Rotationskörper entsteht, wenn die Schaubilder zweier Funktionen $f\left(x\right)$und $g\left(x\right)$ im Intervall $I=[a,b]$ eine Fläche einschließen und diese um die $x-\mathrm{Achse}$ rotiert. Doch wie kannst du das Volumen dieses Rotationskörpers berechnen? Schau dir dazu den nächsten Abschnitt an.

Rotationskörper Volumen zweier Funktionen berechnen

Damit du nun das Volumen dieses Rotationskörpers berechnen kannst, muss du die neue Fläche bestimmen, die die Schaubilder der beiden Funktionen $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$ im Intervall $I=[a,b]$ einschließen.

Dies kannst du folgendermaßen berechnen.

Für einen kurzen Überblick schau dir einfach die nächste Tabelle an:

Um dir noch kurz eine Erläuterung zu geben, woher diese Formel für das Volumen kommt, kannst du dir den nächsten Abschnitt anschauen.

Erläuterung des Volumen von Rotationskörpern zweier Funktionen

Wie schon oben erwähnt, brauchst die neu entstandene Fläche, um das Volumen zu berechnen. Dieses entsteht, indem du die untere Fläche $A_g$ von der oberen Fläche $A_{gesamt}$ abziehst.

Du kannst dir dies in der Abbildung $14$ verdeutlichen.

Abbildung 14: Erläuterung des Rotationsvolumen mit zwei Funktionen

Dabei gilt, dass die obere Fläche der Fläche unterhalb der Funktion $f\left(x\right)$ entspricht.

$A_{gesamt}={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Genau gilt, dass die untere Fläche der Fläche unterhalb der Funktion $g\left(x\right)$ entspricht.

$A_g={\int }_a^{b}g\left(x\right)dx$

Würdest du jetzt das Volumen der beiden Rotationskörper für die Flächen unterhalb der Funktionen $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$ berechnen, würden sich folgende beiden Formel ergeben.

$\begin{array}{rcl}{V}_{gesamt}& =& \mathrm{\pi }·{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}{\left(\mathrm{x}\right)}^{2}d\mathrm{x}\\ {\mathrm{V}}_{\mathrm{g}}& =& \mathrm{\pi }·{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{g}{\left(\mathrm{x}\right)}^{2}d\mathrm{x}\end{array}$

Da du diese beiden Formeln nun noch voneinander abziehen musst, ergibt sich folgende Gleichung.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{V}& =& \mathrm{\pi }·{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}{\left(\mathrm{x}\right)}^{2}d\mathrm{x}-\mathrm{\pi }·{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{g}{\left(\mathrm{x}\right)}^{2}d\mathrm{x}\end{array}$

Mit Hilfe der Rechenregeln für Integrale ergibt sich folgende gemeinsame Formel.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{V}& =& \mathrm{\pi }·{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}{\left(\mathrm{x}\right)}^{2}d\mathrm{x}-\mathrm{\pi }·{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{g}{\left(\mathrm{x}\right)}^{2}d\mathrm{x}\\ & =& \mathrm{\pi }·({\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}{\left(\mathrm{x}\right)}^{2}d\mathrm{x}-{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{g}{\left(\mathrm{x}\right)}^{2}d\mathrm{x})\\ & =& \mathrm{\pi }·{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}{\left(\mathrm{x}\right)}^2-\mathrm{g}{\left(\mathrm{x}\right)}^{2}d\mathrm{x}\end{array}$

Rotationskörper Volumen von 2 Funktionen – Aufgabe mit Lösung

Damit du dir auch noch die Formel für das Volumen von Rotationskörpern zweier Funktionen verinnerlichst, kannst du dir noch das abschließende Beispiel anschauen: