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Stammfunktion ln

Q: Wie wird ln aufgeleitet?

Integriert (umgangssprachlich auch &bdquo;aufleiten“) wird die ln-Funktion, indem deren Stammfunktion gebildet wird. Die Stammfunktion der ln-Funktion f(x) = ln(x) ist: F(x) = x ⋅ ln(x) – x + C

Stell Dir vor, Du bist zum Geburtstag eines Freundes eingeladen, der Mathematik studiert. Natürlich dürfen auch auf diesem Geburtstag die Partyspiele nicht fehlen. Ihr werdet in Gruppen eingeteilt und müsst folgendes Integral einer natürlichen Logarithmusfunktion lösen.

Los geht’s

Geprüfter Inhalt
Letzte Aktualisierung: 31.05.2022
8 Minuten Lesezeit

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$\int_{4}^{4 e} \ln (0, 25 x) d x$

Wie wird so eine Funktion integriert? Glücklicherweise hast Du Dein Handy dabei und stößt auf diesen Artikel. Hier erfährst Du, was Du nun für die Lösung brauchst.

Doch zunächst kurz einige Grundlagen zur natürlichen Logarithmusfunktion.

Stammfunktion ln – Grundlagenwissen

Wie lautet denn die Funktionsgleichung der natürlichen Logarithmusfunktion, auch ln-Funktion genannt?

Eine Funktion $f (x)$ mit

$f (x) = \ln (x)$

wird als natürliche Logarithmusfunktion (kurz: ln-Funktion) bezeichnet, wobei $x \in ℝ^{+}$ ist.

In der folgenden Abbildung kannst Du Dir zum besseren Verständnis eine ln-Funktion $f (x)$ anschauen.

Stammfunktion ln, Schaubild einer ln Funktion, StudySmarter Abbildung 1: Schaubild einer ln-Funktion

In der Abbildung 1 kannst Du dabei sehen, dass der Funktionsgraph dieser Funktion $f (x)$ steigend verläuft. Je nachdem, welches Argument (die Werte in der Klammer) die ln-Funktion besitzt, kann sich der Verlauf des Graphen auch ändern.

Der Artikel ln Funktion beinhaltet noch einmal alle wichtigen Grundlagen und Eigenschaften zu diesem Funktionstyp.

Auch die natürliche Logarithmusfunktion kann integriert werden.

Stammfunktion ln bilden

Die natürliche Logarithmusfunktion bzw. ln-Funktion lässt sich sowohl ableiten als auch integrieren.

$\begin{matrix} F (x) & \overset{I n t e g r i e r e n}{\leftarrow} & f (x) = \ln (x) & \overset{A b l e i t e n}{\to} & f' (x) \end{matrix}$

Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.

Doch wie sehen die Stammfunktionen von natürlichen Logarithmusfunktionen aus? Schau Dir das Ganze einmal mathematisch an.

Die Stammfunktionen der natürlichen Logarithmusfunktion $f (x) = \ln (x)$ lauten:

$F (x) = x \cdot \ln (x) - x + C$

Zur Erinnerung: Im Artikel „Stammfunktion bilden“ hast Du gelernt, dass Du bei der Stammfunktion immer eine Konstante C dazu addieren musst, da diese beim Ableiten wegfällt.

Herleitung der Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion

Doch wieso kannst Du diese Formel für die Stammfunktion der ln-Funktion verwenden? Wenn Du Dich für die Herleitung der Formel interessierst, dann sieh Dir gerne die nachfolgende Vertiefung an.

Damit Du die Stammfunktionen der ln-Funktion bilden kannst, brauchst Du ein Hilfsmittel zur Integration: die sogenannte partielle Integration. Mehr dazu kannst Du im Artikel „Partielle Integration“ nachlesen.

Partielle Integration:

Formel der partiellen Integration: $\int_{}^{} f (x) d x = \int g (x) \cdot h' (x) d x = g (x) \cdot h (x) - \int g' (x) \cdot h (x) d x$

Was steckt hinter dieser Formel? Die Idee der partiellen Integration: Der Integrand $f (x)$ wird in ein Produkt aus einer Funktion $g (x)$ und einer Ableitung $h' (x)$ zerlegt und anschließend über die Formel integriert.

Du möchtest nun folgendes Integral bilden:

$\int \ln (x) d x$

Dieses Integral aus nur einer Funktion $f (x)$ wird zunächst mit einem kleinen Trick umgeformt. Du kannst eine weitere Funktion hinzufügen, indem Du $\ln (x)$ mit der Zahl 1 multiplizierst. Dies verändert den Ausdruck nicht, aber gibt Dir die Möglichkeit, ein Produkt aus zwei Funktionen zu erzeugen.

$\int l n (x) \cdot 1 d x$

Nun hast Du ein Integral mit zwei Funktionen und Du kannst die partielle Integration anwenden. Dafür musst Du zuerst die Funktionen $g (x)$ und $h' (x)$ definieren. Da Du in der Formel nur $h' (x)$ integrieren musst, bietet es sich an, die 1 als Ableitungsfunktion $h' (x)$ zu wählen.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & l n (x) \\ h' (x) & = & 1 \end{array}$

Als nächsten Schritt musst Du die Funktion $g (x)$ ableiten und die Funktion $h' (x)$ integrieren und erhältst dann folgende Ausdrücke.

$\begin{array}{rcl} g' (x) & = & \frac{1}{x} \\ h (x) & = & x \end{array}$

Setzt Du nun $g (x)$ , $h' (x)$ , $g' (x)$ und $h (x)$ in die Formel für die partielle Integration ein, erhältst Du folgenden Ausdruck.

$\begin{array}{rcl} \int l n (x) \cdot 1 d x & = & g (x) \cdot h (x) - \int g' (x) \cdot h (x) d x \\ = & \ln (x) \cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x \end{array}$

Mit Hilfe der partiellen Integration, kann die Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion wie folgt berechnet werden.

$\begin{array}{rclcl} \int \ln (x) d x & = & \begin{array}{rcl} \int l n (x) \cdot 1 d x \end{array} & | Partielle Integration \\ = & \begin{array}{rcl} \ln (x) \cdot x - \int \frac{x}{x} d x \end{array} \\ = & \begin{array}{rcl} \ln (x) \cdot x - \int 1 d x \end{array} & | Stammfunktion von f (x) = 1 \\ = & \begin{array}{rcl} \ln (x) \cdot x - x \end{array} \end{array}$

Manchmal kann es sein, dass Du verschiedene Parameter in der Logarithmusfunktion vorfindest. Dadurch entsteht die sogenannte erweiterte natürliche Logarithmusfunktion.

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Stammfunktion erweiterte natürliche Logarithmusfunktion

Die verschiedenen Parameter wirken sich auf die Bildung der Stammfunktion aus. Solltest Du eine Aufgabe mit Parametern vorliegen haben, so kannst Du die folgende Formel anwenden.

Stammfunktionen $F (x)$ der Funktion $f (x) = c \cdot \ln (a x) + d$ :

$F (x) = c \cdot (x \cdot \ln (a x) - x) + d x + C$

Wobei $c \neq 0$ und $a \neq 0$ ist.

Wenn $c = 1$ , $a = 1$ und $d = 0$ ist, erhältst Du aus der erweiterten natürlichen Logarithmusfunktion wieder die ln-Funktion $f (x) = \ln (x)$ .

Um die Formel der Stammfunktionen der ln-Funktion zu verinnerlichen, wende die Formel direkt einmal an:

Aufgabe 1

Bestimme die Stammfunktionen der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \ln (3 x) + π$ .

Lass Dich durch das π nicht verwirren. Es kann wie eine ganz normale Zahl behandelt werden.

Lösung

Zuerst musst Du die Parameter a und d identifizieren.

$a = 3 d = π$

Als Nächstes kannst Du alle Zahlen in die obige Formel einfügen und schon hast Du die fertigen Stammfunktionen.

$F (x) = x \cdot \ln (3 x) - x + π x + C$

Vergiss zum Schluss nicht, die Konstante C zu addieren.

Wozu wird die Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion überhaupt verwendet? Sieh Dir dazu die nachfolgende Anwendung an.

Integral der ln-Funktion berechnen

Die Stammfunktion $F (x)$ der natürlichen Logarithmusfunktion $f (x) = \ln (x)$ brauchst Du beispielsweise für das Lösen eines bestimmten Integrals. Dabei kannst Du die Stammfunktion beim Integral mit den Grenzen u und o wie folgt anwenden.

Bestimmtes Integral der natürlichen Logarithmusfunktion mit den Grenzen u und o:

$\int_{u}^{o} \ln (x) d x = {[x \cdot \ln (x) - x]}_{u}^{o}$

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird dazu benutzt, um so ein bestimmtes Integral zu lösen. Mehr dazu kannst Du im Artikel bestimmtes Integral nachlesen.

Nun kannst Du überprüfen, ob Du das Integral der ln-Funktion bereits verstanden hast.

Aufgabe 2

Berechne exakt das Integral $\int_{1}^{3 e} \ln (x) d x$ .

Lösung

Du erhältst folgendes Integral, indem Du eine Stammfunktion bildest und die Grenzen jeweils für x einsetzt.

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{3 e} \ln (x) d x & = & {[x \cdot \ln (x) - x]}_{1}^{3 e} \\ = & 3 e \cdot \ln (3 e) - 3 e - (1 \cdot \ln (1) - 1) \\ = & 3 e \cdot (\ln (3) + \ln (e)) - 3 e - (1 \cdot 0 - 1) \\ = & 3 e \cdot \ln (3) + 3 e \cdot \ln (e) - 3 e - 0 + 1 \\ = & 3 e \cdot \ln (3) + 3 e \cdot 1 - 3 e + 1 \\ = & 3 e \cdot \ln (3) + 3 e - 3 e + 1 \\ = & 3 e \cdot \ln (3) + 1 \approx 9, 96 F E \end{array}$

Zum besseren Verständnis kannst Du Dir noch das Schaubild der Funktion $f (x) = \ln (x)$ und das berechnete Integral anschauen.

Stammfunktion ln, Schaubild der Aufgabe 2, StudySmarter Abbildung 2: Schaubild zur Aufgabe 2

Nun ist es an der Zeit, Dein Wissen über das Integral der natürlichen Logarithmusfunktion zu verinnerlichen.

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ln Funktion integrieren – Aufgaben mit Lösung

Bilde als erste Übung doch noch einmal eine Stammfunktion einer ln-Funktion.

Aufgabe 3

Bilde die Stammfunktion der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \ln (- π x) - e$ .

Lass Dich durch das e und das π nicht verwirren, diese kannst Du wie normale Konstanten betrachten.

Lösung

Identifiziere zuerst die Parameter c, a und d.

$c = 1 a = - π d = - e$

Setzt Du diese Werte nun in die Formel ein, erhältst Du folgende Stammfunktion für die Funktion $f (x) = \ln (- π x) - e$ .

$F (x) = x \cdot \ln (- π x) - x - e x + C$

Das Integral der Einleitung bei der Geburtstagsparty kannst Du nun ebenfalls lösen. Los geht's!

Aufgabe 4

Löse das folgende Integral.

$\int_{4}^{4 e} \ln (0, 25 x) d x$

Lösung

Zuerst musst Du den Parameter a identifizieren.

$a = 0, 25$

Damit erhältst Du folgendes Integral.

$\begin{array}{rcl} \int_{4}^{4 e} \ln (0, 25 x) d x & = & {[x \cdot \ln (0, 25 x) - x]}_{4}^{4 e} \\ = & 4 e \cdot \ln (0, 25 \cdot 4 e) - 4 e - (4 \cdot \ln (0, 25 \cdot 4) - 4) \\ = & 4 e \cdot \ln (e) - 4 e - 4 \cdot \ln (1) + 4 \\ = & 4 e \cdot 1 - 4 e - 4 \cdot 0 + 4 \\ = & 4 e - 4 e + 4 \\ = & 4 F E \end{array}$

Um die Funktion $f (x) = \ln (0, 25 x)$ und das berechnete Integral zu veranschaulichen, schau Dir die nachfolgende Abbildung 3 an.

Stammfunktion ln, Schaubild zur Eingangsaufgabe, StudySmarter Abbildung 3: Schaubild zur Eingangsaufgabe

Geschafft! Ihr seid bei der Geburtstagsfeier schneller als die andere Gruppe und habt das Spiel gewonnen.

Stammfunktion ln – Das Wichtigste

Die natürliche Logarithmusfunktion lautet: $f (x) = \ln (x)$
Die Stammfunktionen der natürlichen Logarithmusfunktion lauten: $F (x) = x \cdot \ln (x) - x + C$
Die Stammfunktionen der Funktion $f (x) = c \cdot \ln (a x) + d$ lauten: $F (x) = c \cdot (x \cdot \ln (a x) - x) + d x + C$
Das Integrieren der ln-Funktion benötigst Du, um bestimmte Integrale zu lösen.
Für das bestimmte Integral mit den Grenzen u und o gilt folgende Gleichung: $\int_{u}^{o} \ln (x) d x = {[x \cdot \ln (x) - x]}_{u}^{o}$

Nachweise

Papula (2018). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer Vieweg.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Stammfunktion ln

Wie wird ln aufgeleitet?

Integriert (umgangssprachlich auch „aufleiten“) wird die ln-Funktion, indem deren Stammfunktion gebildet wird. Die Stammfunktion der ln-Funktion f(x) = ln(x) ist:

F(x) = x ⋅ ln(x) – x + C

Was ist Stammfunktion von ln?

Die Stammfunktion der ln-Funktion f(x)=ln(x) ist:

F(x) = x ⋅ ln(x) – x + C

Wie sieht die ln Funktion aus?

Die ln-Funktion hat folgende Funktionsgleichung:

f(x) = ln(x)

Es ist eine Funktion, die lediglich für x > 0 definiert ist.

Was ist die Ableitung von ln x?

Die Ableitung der ln-Funktion f(x)=ln(x) ist:

f'(x) = 1/x

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