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Funktionen Wiederholung
Bevor wir damit starten zu lernen, worum es sich bei einer Transformation von Funktionen handelt, wiederholen wir kurz ein paar wichtige Funktionen.
Schau dir dazu zunächst einmal die Abbildung 1 an. Dort erkennst du, dass es verschiedene Typen an Graphen von Funktionen gibt. Die einen sind etwas breiter, die anderen etwas schmaler. Sie können auch sich in Höhe oder in ihrer Position nach rechts oder links im Koordinatensystem unterscheiden.
Hier siehst du vier verschiedene Funktionsgraphen im Vergleich. Wie du erkennen kannst, hat jeder Funktionsgraph seinen eigenen speziellen Funktionsterm.
Abbildung 1: Verschiedene Funktionen im Vergleich
Bist du dir nicht mehr ganz sicher, was die verschiedenen Funktionstypen ausmacht? Kein Problem. Lies einfach im entsprechenden Kapitel auf StudySmarter nach.
Transformation von Funktionen
Okay, wir wissen, dass es unterschiedliche Funktionstypen gibt, die sich sowohl graphisch als auch im Funktionsterm voneinander unterscheiden. Und was können wir nun mit diesen Graphen machen? Wir können diese auch transformieren. Was genau das ist und wie das funktioniert, zeigen wir dir in den nächsten Abschnitten.
Transformation einer Funktion – Definition
Wollen wir beispielsweise eine Funktiontransformieren, dann verändern wir sie. Was bedeutet das?
Sehen wir uns zur Erklärung zusammen ein Beispiel an.
Gegeben ist der folgende Funktionsterm einer Funktion
Wir zeichnen die Funktionin ein Koordinatensystem ein.
Abbildung 2: Graph der Funktion f(x)
Nehmen wir nun an, dass wir den Graphen der Funktionim Koordinatensystem einfach packen und beliebig im Koordinatensystem verschieben könnten. Damit wäre es möglich, dass wir den Funktionsgraphen der Funktioneinfach um 2 LE (Längeneinheit) nach oben versetzen, so wie beispielsweise in der Abbildung 3 zu sehen ist.
Abbildung 3: Verschiebung der Funktion f(x)
Mathematisch gesehen haben wir damit die Funktiontransformiert, indem wir die Position des Graphen im Koordinatensystem verändert haben.
Wie du vorhin bei den verschiedenen Funktionen gesehen hast, hat aber jeder Graph einen speziellen Funktionsterm. Durch die Änderung der Position im Koordinatensystem hat sich nun auch der Funktionsterm verändert. Für die verschobene orange Funktion gilt nun nicht mehr die obige Gleichung. Daher müssen wir sie ebenfalls mit einem neuen Namen versehen. Es ergibt sich damit:
Das Beispiel hat gezeigt, dass wir eine beliebige Funktion f(x) transformieren können, indem wir den Funktionsgraphen im Koordinatensystem beispielsweise verschieben. Dadurch ändert sich sowohl ihre graphische Darstellung, als auch der Funktionsterm.
Wir können das Transformieren einer Funktionalso wie folgt definieren:
Die Transformation einer Funktionentspricht dem Verändern oder Umwandeln einer Funktionzu einer neuen Funktion.
Diese Definition hat unser Beispiel bestätigt. Wir haben durch die Verschiebung der ursprünglichen Funktioneine neue Funktionerhalten. Diese beide Funktionen unterscheiden sich im Funktionsterm und im Graphen.
Dadurch lassen sich Transformationen von Funktionen an unterschiedlichen Stellen durchführen:
Abbildung 4: Transformationsmöglichkeiten
Das können wir einmal direkt am Graphen machen oder wir verändern unsere Funktionsgleichung. Natürlich hängen Funktionsterm und Graph eng miteinander zusammen. Wenn wir also das eine ändern, dann ändert sich automatisch auch das andere.
Super, wir wissen damit bereits, was es bedeutet eine Funktion zu transformieren. Neben der Verschiebung gibt es aber noch mehr Möglichkeiten eine Funktionzu transformieren. Sehen wir uns dazu zunächst einmal an, welche Transformationen überhaupt möglich sind.
Transformationen von Funktionen – Arten
Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, wie wir eine Funktiontransformieren (verändern oder manipulieren) können.
Transformationsmöglichkeiten einer Funktion :
1. Verschiebung einer Funktion
2. Spiegelung einer Funktion
3. Skalierung einer Funktion
4. Kombination der Transformationen
Hört sich jetzt erstmal kompliziert an, oder? Keine Sorge, wir gehen alle Transformationsmöglichkeiten Schritt für Schritt durch, damit du zukünftig ohne Probleme Funktionen transformieren kannst.
Da das Thema Transformation von Funktionen für dich im Mathematikunterricht besonders bei quadratischen Funktionen (Parabeln) eine Rolle spielt, zeigen wir dir für jeden Abschnitt die Transformation allgemein und ebenfalls an Parabeln.
Transformation, Veränderung und Manipulation sind alles drei die gleichen Begriffe!
Funktionen verschieben
Beginnen wir mit einer relativen einfachen Transformation von Funktionen: der Verschiebung. Dies haben wir uns oben in einem Beispiel bereits angesehen. Graphisch nehmen wir einfach unseren Funktionsgraphen und setzen ihn an eine andere Stelle im Koordinatensystem. Dadurch ändert sich natürlich auch der Funktionsterm.
Dabei müssen wir zwischen verschiedenen Verschiebungen unterscheiden:
- Verschiebung entlang der x-Achse
- Verschiebung entlang der y-Achse
Den Funktionsgraphen können wir sowohl entlang der x-Achse, als auch entlang der y-Achse verschieben. Zudem ist natürlich auch eine Kombination dieser beiden Positionsänderungen möglich. Dies ist besonders bei quadratischen Funktionen von Bedeutung.
Ganzrationale Funktionen verschieben
Einen Funktionsgraphen graphisch im Koordinatensystem entlang den Koordinatenachsen zu verschieben, sollte kein großes Problem darstellen. Aber was genau passiert am Funktionsterm? Und wie erkennt man die Verschiebung dort?
Sehen wir uns dazu zusammen ein paar Beispiele an.
Verschiebung entlang der x-Achse
Möchten wir eine Funktion f(x) algebraisch entlang der x-Achse verschieben, so muss zu der Variablen x ein Faktor c addiert werden. Wichtig ist dabei zu beachten, ob in die positive oder negative x-Richtung verschoben wird. Dies lässt sich durch den Faktor c steuern.
Verschiebung einer Funktionentlang der x-Achse:
Probieren wir es doch an einer beliebigen Funktion aus.
Gegeben ist eine Funktionmit:
Diese Funktion möchten wir nun um 1 LE nach links verschieben. Dazu müssen wir nun in die Formel zur Verschiebung einen positiven Faktor bei x einsetzen. Demnach wird x durchersetzt.
Diesen Funktionsterm der verschobenen Funktionkönnten wir noch weiter auflösen, wir verzichten aber an dieser Stelle darauf.
Beide Funktionsgraphen der Funktionenundzeichnen wir nun in ein Koordinatensystem ein. Dort lässt sich leicht erkennen, ob unser Funktionsgraph wie gewünscht um 1 LE nach links verschoben worden ist.
Abbildung 5: Verschiebung f(x) entlang x-Achse
Wie die Abbildung 5 zeigt, wurde durch die algebraische Transformation der Funktionsgraph dementsprechend nach links verschoben.
Ähnlich leicht lassen sich Funktionen entlang der y-Achse verschieben.
Entlang der y-Achse verschieben
Der Unterschied zur vorherigen Verschiebung zeigt sich in der Formel zur Berechnung der Transformation. Diese ist bei der Positionsänderung entlang der zweiten Koordinatenachse wie folgt definiert:
Verschiebung einer Funktionentlang der y-Achse:
Anders als bei der Verschiebung entlang der x-Achse wird nun zum Funktionswert der ursprünglichen Funktioneine Konstante dazuaddiert bzw. abgezogen.
Wir sehen uns dazu wieder die Funktionan.
Dieses Mal zeichnen wir den Graphen der Funktion direkt in ein Koordinatensystem ein und ebenfalls eine um 2 LE nach oben verschobene Funktion g(x).
Abbildung 6: Verschiebung f(x) entlang y-Achse
Wie lässt sich diese Verschiebung nach oben mathematisch am Funktionsterm beschreiben? Ganz einfach, indem wir zur ursprünglichen Funktioneinfach 2 LE dazu addieren.
Die Verschiebung mithilfe der Formeln funktioniert natürlich ebenfalls für andere Funktionen wie beispielsweise quadratische Funktionen. Sehen wir uns diese noch einmal genauer an.
Quadratische Funktionen verschieben
Quadratische Funktionen lassen sich im Koordinatensystem als Parabeln darstellen. Diese sollten dir bereits geläufig sein.
Am häufigsten begegnet uns die Normalparabel mit . Diese wollen wir nun entlang der Koordinatenachsen verschieben.
Entlang der x-Achse verschieben
Die Normalparabel ist eine nach oben geöffnete Parabel mit ihrem Scheitelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems. Wir wollen die Parabel um 2 LE nach rechts verschieben. Was müssen wir tun?
Graphisch lässt sich diese Frage relativ leicht beantworten. Wir setzen unseren Scheitelpunkt einfach um 2 LE nach rechts und zeichnen die Parabel erneut. So entsteht das Bild der folgenden Abbildung.
Abbildung 7: Verschiebung Parabel x-Achse
Was passiert am Funktionsterm? Laut der Formel müsste x in der Gleichung jetzt durchersetzt werden, da eine Verschiebung nach rechts über einen negativen Faktor erfolgen muss.
Und? Haben wir die Normalparabel richtig verschoben? Ja! Die Parabel wurde um 2 LE nach rechts verschoben.
Die quadratischen Funktionen können ebenfalls entlang der y-Achse verschoben werden.
Entlang der y-Achse verschieben
Zur Verschiebung an der y-Koordinatenachse benutzen wir gleich unsere neue Funktion g(x).
Die entlang der x-Achse verschobene Normalparabelwird noch ein weiteres Mal transformiert.
Sie soll um 1 LE nach oben positioniert werden. Laut unserer Formel muss dazu einfach zum Funktionswert der Funktiondie Konstante 1 addiert werden.
Kommt dir diese Darstellungsform bekannt vor? Genau, das ist die sogenannte Scheitelpunktform von quadratischen Funktionen.
Wir zeichnen unsere beiden Funktionsgraphen in das Koordinatensystem und erhalten folgendes Bild.
Abbildung 8: Verschiebung Parabel y-Achse
Super! Damit kannst du bereits verschiedene Funktionen entlang der Koordinatenachsen verschieben. Es gibt noch weitere Möglichkeiten Funktionen zu transformieren. Eine davon ist die Spiegelung einer Funktion.
Transformation einer Funktion – spiegeln
Spiegelungen kennst du sicher bereits aus der Geometrie, bei denen man verschiedene Figuren an Achsen und Punkten spiegelt. Auch das Spiegeln von Funktionen funktioniert fast identisch.
Dabei wird sozusagen jeder einzelne Punkt auf einer Funktionan einer Achse oder einem Punkt gespiegelt. Die neuen Punkte müssen demnach denselben Abstand zur Achse bzw. zum Punkt haben wie zuvor, nur auf der anderen Seite der Achse bzw. des Punktes.
Für uns relevant sind drei Spiegelungen:
Spiegelung an der x-Achse
Spiegelung an der y-Achse
Spiegelung am Koordinatenursprung
Sehen wir uns alle drei Möglichkeiten zusammen an.
Ganzrationale Funktionen spiegeln
Betrachten wir zunächst wieder eine ganzrationale Funktion. Diese soll an beiden Koordinatenachsen gespiegelt werden und danach noch am Koordinatenursprung. Wie sieht dabei der Funktionsterm aus?
An der x-Achse spiegeln
Für eine Spiegelung einer Funktion f(x) wird der komplette Funktionsterm mit einem negativen Vorzeichen versehen. Es gilt demnach:
Spiegelung einer Funktionan der x-Achse:
Überprüfen wir diese algebraische Definition anhand eines Beispiels.
Die gegebene ganzrationale Funktionsoll an der x-Achse gespiegelt werden.
Geometrisch lässt sich das relativ einfach ausführen, indem die Punkte auf der Funktion auf die andere Seite übertragen werden. So entsteht folgende Abbildung, in der die Funktionenundeingezeichnet sind. Die Spiegelachse ist hier noch einmal farblich (türkis) hervorgehoben.
Abbildung 9: Spiegelung f(x) an x-Achse
Damit wir den zugehörigen Funktionsterm der neuen Funktionermitteln können, müssen wir ein Minus vor die Funktionsetzen.
Achte darauf, dass du Klammern setzt. Sonst erhältst du den falschen Funktionsterm zur Spiegelung.
Die Klammern können wir noch auflösen, indem wir die Vorzeichen des Funktionsterms ändern.
Ganz einfach, oder? Genauso einfach können wir ebenfalls noch die Spiegelung an der y-Achse vornehmen.
An der y-Achse spiegeln
Die Spiegelung einer Funktionan der y-Achse ist definiert durch:
Spiegelung einer Funktionan der y-Achse:
Demnach müssen wir im Funktionsterm x durch -x ersetzen. Auch das überprüfen wir an unserem Beispiel.
Für die Spiegelung an der y-Achse verwenden wir wieder unsere Funktionvon oben.
Mithilfe der Formel zur Berechnung des neuen Funktionsterms der Funktionerhalten wir:
Beide Funktionen undzeichnen wir in ein Koordinatensystem ein. Wenn wir richtig gerechnet haben, müsste sich so die Spiegelung an der y-Achse ergeben haben.
Abbildung 10: Spiegelung f(x) an y-Achse
Eine letzte wichtige Spiegelung einer Funktionfehlt noch: die Spiegelung am Koordinatenursprung.
Am Koordinatenursprung spiegeln
Die Spiegelungen einer Funktion an den Koordinatenachsen fällt unter die Kategorie der Achsenspieglung. Möchten wir eine Funktion am Koordinatenursprung spiegeln, so ist dies eine Punktspiegelung am Punkt.
Spiegelung einer Funktion f(x) am Koordinatenursprung:
Für diese Spiegelungsart werden die algebraischen Transformationen der Spiegelungen an den Koordinatenachsen kombiniert.
Wie sieht nach der Veränderung der Funktionsterm aus? Sehen wir uns das wieder an unserem Beispiel an.
Die Funktionwird am Koordinatenursprung gespiegelt. Gegeben ist:
Für die Transformation wird x durch -x ersetzt und ebenfalls der ganze Term mit einem negativen Vorzeichen versehen.
Zeichnen wir die neu entstandene Funktionzusammen mit der ursprünglichen Funktionins Koordinatensystem ein, so erhalten wir folgende Abbildung.
Abbildung 11: Spiegelung am Ursprung
Die Berechnung über die Formel war somit korrekt.
Für die Spiegelung von quadratischen Funktionen ergibt sich dieselbe Vorgehensweise.
Quadratische Funktionen spiegeln
Zur Veranschaulichung spiegeln wir die Normalparabel an der x-Achse, der y-Achse und am Koordinatenursprung.
Für die Spiegelungen erhalten wir:
| Spiegelung an x-Achse | Spiegelung an y-Achse | Spiegelung am Ursprung |
|
|
|
Transformation einer Funktion – skalieren
Erinnerst du dich noch an die zentrische Streckung von verschiedenen Figuren, wie beispielsweise einem Rechteck? Dabei wurden alle Seitenlängen entweder verlängert oder verkürzt, und zwar um den gleichen Faktor. Möglich ist es aber auch ein Rechteck in nur zwei Seiten zu skalieren, wie du in der Abbildung 15 erkennen kannst.
Abbildung 15: Skalierung eines Rechtecks
Ähnlich passiert das auch, wenn wir eine Funktion skalieren wollen. Wir unterteilen daher die Skalierung einer Funktion f(x) in:
Skalierung der Variable x (x-Richtung)
Skalierung des Funktionswert f(x) (y-Richtung)
Sehen wir uns die Veränderung an Beispielen an. Wir starten mit einer ganzrationalen Funktion.
Ganzrationale Funktionen skalieren
Es ist nicht immer ganz einfach am Funktionsgraphen ablesen zu können, welche Transformation durchgeführt wurde. Wir betrachten daher hauptsächlich den Funktionsterm einer Funktion f(x) und überprüfen graphisch, wie sich die Veränderung am Funktionsgraphen bemerkbar macht.
Wie bereits erwähnt, können wir Funktionen sowohl entlang der x-Achse als auch entlang der y-Richtung skalieren.
Variable x skalieren
Mathematisch müssen wir für eine Skalierung einer Funktiondie Variable x mit einem Faktor c multiplizieren. Wir können dementsprechend definieren:
Skalierung der Variablen x einer Funktion :
Und was genau müssen wir laut dieser Formel an einer Funktion f(x) machen? Sehen wir uns ein Beispiel an.
Gegeben haben wir eine ganzrationale Funktion :
Diese Funktion f(x) möchten wir nun mit einem Faktor skalieren. Dazu setzen wir den Faktor in die Gleichung von oben ein.
Um diese Multiplikation mit dem Faktor durchzuführen, setzen wir im Funktionsterm voneinfach überall vor dem x eine 2 dazu und erhalten unsere neue Funktionsgleichung .
Wir zeichnen beide Graphen der Funktionenundin ein Koordinatensystem ein, um zu beobachten, was die Skalierung in x-Richtung ausgelöst hat.
Abbildung 16: Skalierung der Variable x
Du kannst sehen, dass der Funktionsgraph der neuen Funktionum einiges schmaler als der ursprüngliche Funktionsgraph vonist. Als hätte jemand die Enden des Graphen in die Hand genommen und auseinander gezogen. Der Funktionsgraph wurde demnach gestreckt.
Wie du vielleicht schon vermutest, entscheidet die Größe des Faktors c darüber, wie der Funktionsgraph nach der Transformation aussieht. Daher können wir unsere Definition wie folgt erweitern:
Skalierung der Variablen x einer Funktion :
Toll, du kannst jetzt bereits eine Funktion in x-Richtung skalieren. Dies ist ebenfalls für die y-Richtung möglich.
Funktionswerts f(x)
Wollen wir eine Funktionam Funktionswert skalieren, so benötigen wir ebenfalls die Multiplikation mit dem Faktor c. Diesmal wird jedoch der ganze Funktionsterm mit dem Faktor multipliziert. Allgemein gilt daher:
Skalierung des Funktionswertseiner Funktion :
Dazu betrachten wir wieder ein Beispiel mit einer Funktion .
Gegeben ist wieder die Funktion :
Wieder wollen wir die Funktion mit einem Faktorskalieren. Laut der Formel müssen wir dazu den kompletten Funktionsterm mit dem Faktor c multiplizieren.
Dazu setzen wir die Funktionin Klammern und multiplizieren sie mit 1,5. Durch Auflösen der Klammer erhalten wir die neue skalierte Funktion.
Die ursprüngliche Funktionund die in y-Richtung skalierte Funktion zeichnen wir wieder in ein Koordinatensystem ein und sehen uns die Transformation an.
Abbildung 17: Skalierung des Funktionswerts f(x)
Die neue Funktionist leicht gestreckt (schmaler) und sogar um 1 LE nach oben verschoben worden.
Auch hier ist ebenfalls die Größe des Faktors c entscheidend, ob der Funktionsgraph gestreckt oder gestaucht wird. Wir erweitern daher die obige Definition.
Skalierung des Funktionswertseiner Funktion :
Anhand dieser beiden Formeln lassen sich Funktionen ganz leicht in x- und y-Richtung skalieren. Ihr behandelt in der Schule aber hauptsächlich Transformationen an Parabeln? Kein Problem. Wir sehen uns im folgenden Abschnitt gleich noch die Skalierung einer quadratischen Funktion an.
Quadratische Funktion
Wie du vorher bereits gesehen hast, lassen sich quadratische Funktionen in einem Koordinatensystem als Parabeln darstellen. Außerdem gibt es mehrere Darstellungen ihres Funktionsterms.
Allgemeine Form quadratischer Funktionen:
Scheitelpunktform quadratischer Funktionen:
Der Faktor a in den jeweiligen Formeln lässt uns eine Aussage darüber machen, wie diese quadratische Funktion skaliert ist. Wir überprüfen dies anhand der allgemeinen Formel zur Skalierung von Funktionen.
Skalierung der Variablen x
Wir betrachten die Skalierung in einem Beispiel.
Gegeben ist die quadratische Funktion. Dies entspricht einer verschobenen Normalparabel.
Unter einer Normalparabel versteht man die Parabel f(x) = x².
Möchten wir diese Funktionmit einem Faktorskalieren, so setzen wir den Faktor wieder vor jedes x.
Betrachten wir den Funktionsterm genauer, so fällt auf, dass die 4 jetzt vor dem steht. Und der Wert vor dem entspricht dem Koeffizienten a einer quadratischen Funktion.
Die in x-Richtung skalierte Funktion g(x) und die ursprüngliche Funktion zeichnen wir in ein Koordinatensystem. Welche Veränderung hat die Skalierung am Funktionsgraphen ausgelöst?
Abbildung 18: Skalierung Parabel
Wie du sehen kannst, wurde die Parabel ebenfalls gestreckt, das heißt, sie ist schmaler geworden.
Sehen wir uns noch die Skalierung in y-Richtung an.
Funktionswert f(x) skalieren
Wir verwenden für unser Beispiel wieder die obige quadratische Funktionsgleichung.
Die quadratische Funktion ist gegeben:
Wieder wollen wir eine Skalierung der Funktion vornehmen. Diesmal jedoch in y-Richtung, mit einem Faktor. Dazu benötigen wir die richtige Formel aus der Definition von oben.
An der entsprechenden Stelle setzen wir den Funktionsterm der Funktionein und berechnen damit die neue skalierte Funktion .
Graphisch lassen wieder beide Funktionen in einem Koordinatensystem darstellen. Wieder erhalten wir einen Koeffizienten a vor dem .
Abbildung 19: Skalierung Parabel
Der Funktionsgraph der neuen Funktionist wieder etwas gestreckt und sogar um 0,5 LE nach oben verschoben worden.
Zusammengefasst lässt die Skalierung in x- und y-Richtung für Funktionen wie folgt definieren:
Skalierung der Variablen x einer Funktion (x-Richtung):
Skalierung des Funktionswert einer Funktion (y-Richtung):
Transformation von Funktionen - Das Wichtigste
- Eine Transformation einer Funktion entspricht dem Verändern der Funktion zu einer neuen Funktion.
- Funktionen lassen sich wie folgt transformieren:
- Verschiebung
- Spiegelung
- Skalierung
- Kombination
- Die Transformation einer Funktion kann sowohl direkt am Funktionsgraph als auch am Funktionsterm vorgenommen werden. Verändert sich das eine, verändert sich auch das andere.
| Transformationen im Überblick | |
|---|---|
| Formel | Erklärung |
| Verschiebung entlang x-Achse | |
| Verschiebung entlang y-Achse | |
| Spiegelung an der y-Achse | |
| Spiegelung an der x-Achse | |
| Spiegelung am Koordinatenursprung | |
| Skalierung der Variablen x | |
| Skalierung des Funktionswerts f(x) | |
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Transformation von Funktionen
Was ist eine Transformation in Mathe?
Eine Transformation einer Funktion f(x) beschreibt das Verändern der Funktion f(x) zu einer neuen Funktion g(x).
Wie verändern sich Funktionen?
Veränderungen an Funktionen lassen sich sowohl am Funktionsgraphen als auch am Funktionsterm vornehmen. Verändert sich das eine, verändert sich das andere. Funktionen lassen sich verschieben, spiegeln, skalieren und ebenfalls kombiniert transformieren.
Wie staucht man eine Funktion?
Man staucht eine Funktion f(x), in dem man die Funktion f(x) skaliert. Skalierungen können an der Variablen x einer Funktion f(x) und ebenfalls auch an ihrem Funktionswert vorgenommen werden. Dazu wird mit einem Faktor c multipliziert.
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