Unbestimmtes Integral

Die folgenden (Stamm-)Funktionen $F_1\left(x\right)$, $F_2\left(x\right)$ und $F_3\left(x\right)$ sollen abgeleitet werden.

$F_1\left(x\right)=2x+3F_2\left(x\right)=2x+5F_3\left(x\right)=2x-1$

Nach der Ableitung der drei Funktionen ergibt sich:

$f\left(x\right)=F_1\text{'}\left(x\right)=F_2\text{'}\left(x\right)=F_3\text{'}\left(x\right)=2$

Obwohl drei unterschiedliche (Stamm-)Funktionen abgeleitet wurden, so erhältst Du als Ergebnis jeweils dieselbe Ableitungsfunktion $f\left(x\right)$. Das liegt daran, dass die Konstante C bei der Ableitung wegfällt.

Abbildung 2 zeigt eine lineare Funktion $f\left(x\right)$, die zusammen mit der x-Achse eine Dreiecksfläche A einschließt, wenn für die Grenzen gilt:

$a=-4$ und $b=0$

Der Flächeninhalt A der eingeschlossenen Fläche kann hier beispielsweise über Dreiecksberechnungen ermittelt werden. Ebenso ist es möglich, die Fläche durch Integration der linearen Funktion $f\left(x\right)$ zu bestimmen, indem das bestimmte Integral berechnet wird.

$A={\int }_{-4}^{0}f\left(x\right)dx$

Abbildung 2: Bestimmtes Integral mit Integrationsgrenzen

Als Ergebnis der Integration erhältst Du einen konkreten Zahlenwert für die Fläche A.

Ermittelt werden soll das folgende unbestimmte Integral der Funktion $f\left(x\right)=2x+3$.

${\int }_{}^{}2x+3dx$

Zunächst kannst Du das unbestimmte Integral durch die Summenregel in zwei Integrale aufteilen.

Durch die Umformung erhältst Du:

${\int }_{}^{}2x+3dx={\int }_{}^{}2xdx+{\int }_{}^{}3dx$

Im nächsten Schritt kannst Du noch eine weitere Umformung vornehmen, indem Du die Faktorregel anwendest und konstante Faktoren vor das Integral ziehst.

${\int }_{}^{}2xdx+{\int }_{}^{}3dx=2·{\int }_{}^{}xdx+3·{\int }_{}^{}1dx$

Ein Blick in die Tabelle der Grund- oder Stammintegrale ergibt für die Integration:

$2·{\int }_{}^{}xdx+3·{\int }_{}^{}1dx=2·\frac{x^2}{2}+3·x+C$

Nicht zu vergessen ist die Konstante C. Damit erhältst Du als Ergebnis:

${\int }_{}^{}2x+3dx=x^2+3x+C$

In der Abbildung 3 siehst Du die Funktion $f\left(x\right)$ und zwei beispielhafte Stammfunktionen $F_1\left(x\right)$ für $C_1=2$ und $F_2\left(x\right)$ für $C_2=-1$.

Abbildung 3: Funktion und Stammfunktionen

Aufgabe 1

Gib das unbestimmte Integral zu der folgenden Funktion $f\left(x\right)$ an.

$f\left(x\right)=3x^6+2x^2+5$

Lösung

Zunächst kannst Du das gesamte Integral in Einzelintegrale aufteilen aufgrund der Summenregel.

${\int }_{}^{}3x^6+2x^2+5dx={\int }_{}^{}3x^{6}dx+{\int }_{}^{}2x^{2}dx+{\int }_{}^{}5dx$

Danach wendest Du die Faktorregel an, um konstante Faktoren vor das Integral zu ziehen.

${\int }_{}^{}3x^{6}dx+{\int }_{}^{}2x^{2}dx+{\int }_{}^{}5dx=3·{\int }_{}^{}{x}^{6}dx+2·{\int }_{}^{}{x}^{2}dx+5·{\int }_{}^{}1dx$

Hier kannst Du nun die Potenzregel anwenden oder in den Grund- oder Stammintegralen nachsehen.

$3·{\int }_{}^{}{x}^{6}dx+2·{\int }_{}^{}{x}^{2}dx+5·{\int }_{}^{}1dx=3·\frac{1}{6+1}{x}^{6+1}+2·\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+5·x+C$

Damit ergibt sich für das unbestimmte Integral der Funktion $f\left(x\right)$:

${\int }_{}^{}3x^6+2x^2+5dx=\frac{3}{7}{x}^7+\frac{2}{3}{x}^3+5x+C$

Aufgabe 2

Bestimme eine Stammfunktion der folgenden Funktion $f\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=2·e^x+e$

Lösung

Auch in diesem Fall lässt sich das unbestimmte Integral zunächst aufgrund der Summenregel aufteilen.

${\int }_{}^{}2·e^x+edx={\int }_{}^{}2·e^{x}dx+{\int }_{}^{}edx$

Konstante Faktoren kannst Du mit der Faktorregel vor das Integral ziehen. Beim zweiten Term ist die Zahl e lediglich eine Konstante, weshalb sie ebenfalls vorgezogen werden kann.

${\int }_{}^{}2·e^{x}dx+{\int }_{}^{}edx=2·{\int }_{}^{}{e}^{x}dx+e·{\int }_{}^{}1dx$

Jetzt kannst Du wieder in der Tabelle für Grund- oder Stammintegrale nachschlagen und erhältst:

$2·{\int }_{}^{}{e}^{x}dx+e·{\int }_{}^{}1dx=2·e^x+e·x+C$

Da in der Aufgabe nur nach einer Stammfunktion gefragt wurde, kannst Du für die Konstante C einen beliebigen Wert einsetzen, zum Beispiel $C=0$.

$F_0\left(x\right)={\int }_{}^{}2·e^x+edx=2·e^x+e·x$

Aufgabe 3

Löse das unbestimmte Integral der Funktion $f\left(x\right)$.

${\int }_{}^{}f\left(x\right)dx={\int }_{}^{}\frac{3x^4}{2}dx$

Lösung

Bei der Funktion $f\left(x\right)$ steht die Variable x im Zähler. Demnach kann dies umgeschrieben werden zu:

${\int }_{}^{}\frac{3x^4}{2}dx={\int }_{}^{}\frac{3}{2}·x^{4}dx$

Nach Anwenden der Faktorregel und der Potenzregel erhältst Du:

$$\begin{gathered} {\int }_{}^{}\frac{3}{2}·x^{4}dx=\frac{3}{2}·{\int }_{}^{}{x}^{4}dx=\frac{3}{2}·\frac{1}{4+1}{x}^{4+1}+C \\ {\int }_{}^{}\frac{3}{2}·x^{4}dx=\frac{3}{10}{x}^5+C \end{gathered}$$

Aufgabe 4

Löse das unbestimmte Integral der Funktion $g\left(x\right)$.

${\int }_{}^{}g\left(x\right)dx={\int }_{}^{}\frac{7}{x}dx$

Lösung

Die Funktion $g\left(x\right)$ enthält die Variable x im Nenner. Auch hier wird zunächst eine Umformung vorgenommen.

${\int }_{}^{}\frac{7}{x}dx={\int }_{}^{}7·\frac{1}{x}dx$

Durch die Faktorregel wird hier ebenfalls der Faktor 7 vor das Integral gezogen.

${\int }_{}^{}7·\frac{1}{x}dx=7·{\int }_{}^{}\frac{1}{x}dx$

Ein Blick in die Tabelle der Grund- oder Stammintegrale zeigt, dass die Integration der Funktion $\frac{1}{x}$ die natürliche Logarithmusfunktion ergibt.

$7·{\int }_{}^{}\frac{1}{x}dx=7·\ln \left|\left(x\right)\right|+C$

Aufgabe 5

Bestimme die Stammfunktion $F_1\left(x\right)$ der Funktion $f\left(x\right)$ für $C_1=0,5$ und stelle diese grafisch dar.

$f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)$

Lösung

Zur Berechnung der Stammfunktion $F_1\left(x\right)$ wird zunächst das unbestimmte Integral gelöst und die entsprechende Konstante $C_1$ eingesetzt. Durch die Faktorregel kannst Du den Faktor 2 vor das Integral ziehen.

${\int }_{}^{}2\cos \left(x\right)dx=2·{\int }_{}^{}\cos \left(x\right)dx$

Aus der Tabelle der Grund- oder Stammintegrale lässt sich entnehmen:

$2·{\int }_{}^{}\cos \left(x\right)dx=2·\sin \left(x\right)+C$

Nach Einsetzen der gegebenen additiven Konstante $C_1$ erhältst Du:

$F_1\left(x\right)=2·\sin \left(x\right)+0,5$

In der folgenden Abbildung 4 siehst Du die Funktion $f\left(x\right)$ und die Stammfunktion $F_1\left(x\right)$ eingezeichnet.

Abbildung 4: Funktion und Stammfunktion

Aufgabe 7

Bilde das unbestimmte Integral zu ${\int }_{}^{}2\sqrt{x}dx$.

Lösung

Durch eine Umformung kann die Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion umgewandelt werden.

${\int }_{}^{}2\sqrt{x}dx={\int }_{}^{}2·x^{\frac{1}{2}}dx$

Nun nutzt Du wieder die Faktorregel und die Potenzregel. Zum Schluss kannst Du die Funktion wieder zurück in eine Wurzelfunktion umwandeln.

$\begin{array}{rcl}{\int }_{}^{}2·x^{\frac{1}{2}}dx& =& 2·{\int }_{}^{}{x}^{\frac{1}{2}}dx\\ & & \\ & =& 2·\frac{1}{\frac{1}{2}+1}{x}^{\frac{1}{2}+1}+C\\ & & \\ & =& 2·\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C\\ & & \\ & =& \frac{4}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C\\ & & \\ & =& \frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C\end{array}$

Aufgabe 8

Gegeben ist die Funktion $f\left(x\right)=4x^2+5x-2$.

a) Gib das unbestimmte Integral für diese Funktion $f\left(x\right)$ an.

b) Welche Stammfunktion $F_1\left(x\right)$ hat an der Stelle $x=1$ den Funktionswert $F_1\left(1\right)=2$ ?

Lösung

a) Für die Lösung ist hier die Summenregel, Faktorregel und Potenzregel entscheidend.

b) Für diese Aufgabe ist die Lösung aus a) wichtig. Du nutzt die Lösung für das unbestimmte Integral.

$F\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{4}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2-2x+C$

Nun fügst Du $x=1$ und $F_1\left(1\right)=2$ in die Gleichung ein.

$\begin{array}{rcl}{F}_1\left(1\right)& =& \frac{4}{3}·1^3+\frac{5}{2}·1^2-2·1+C\\ & & \\ 2& =& \frac{4}{3}+\frac{5}{2}-2+C\\ & & \\ 2& =& \frac{11}{6}+C\overline{)-\frac{11}{6}}\\ & & \\ \frac{1}{6}& =& C\end{array}$

Damit hast Du die entsprechende additive Konstante C ermittelt und kannst die Stammfunktion $F_1\left(x\right)$ vervollständigen.

$F_1\left(x\right)=\hspace{0.17em}\frac{4}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2-2x+\frac{1}{6}$