Wie berechnet man eine Ursprungsgerade?

Um eine Ursprungsgerade zu berechnen, die durch einen Punkt P geht, muss zunächst die Steigung m berechnet werden. Dies funktioniert mithilfe des Steigungsdreiecks mit dem Punkt P und dem Ursprung. Die Steigung ergibt sich also, indem die y-Koordinate des Punktes P durch die x-Koordinate des Punktes P geteilt wird. Da der y-Achsenabschnitt t der Ursprungsgerade 0 ist, gilt dann f(x) = mx.

Welche Steigung hat die Ursprungsgerade?

Die Steigung einer Ursprungsgerade hängt von ihrem Verlauf ab. Durch zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, kann die Steigung analog zur Steigung einer allgemeinen Gerade berechnet werden. Dazu muss die Differenz der y-Werte der Punkte durch die Differenz der x-Werte geteilt werden.

Welche Graphen laufen durch den Ursprung?

Die Graphen vieler Funktionen verlaufen durch den Ursprung des Koordinatensystems. Ein Beispiel sind die Ursprungsgeraden, aber beispielsweise auch die Graphen von Potenzfunktionen, die nicht verschoben sind oder von Polynomen ohne konstanten Faktor.

Welche von den folgenden stellen Ursprungsgeraden dar?

Winkelhalbierende des Koordinatensystems

Ursprungsgerade: Funktion, Bestimmen, Berechnen & Beispiele

Ursprungsgerade

Vielleicht hast Du schon einmal etwas von Null Island gehört. Dabei handelt es sich um den Punkt auf der Erde, an dem sich der Äquator und der Nullmeridian kreuzen. Dieser Punkt besitzt die Koordinaten 0° Nord und 0° Ost. Auch das Koordinatensystem in der Mathematik besitzt diesen markanten Punkt, dieser wird Ursprung des Koordinatensystems bezeichnet.

Los geht’s

Ursprungsgerade Boje bei Null Island als Ursprung der Erdkoordinaten StudySmarter

Durch diesen Ursprung $(0 | 0)$ können wiederum Geraden verlaufen, die als sogenannte Ursprungsgeraden bezeichnet werden. Was es damit auf sich hat und wie die Geradengleichungen der Funktionen aufgestellt werden können, erfährst Du in dieser Erklärung.

Ursprungsgerade – Grundlagenwissen

Bevor es nun an die Ursprungsgerade sowie die Steigung und die Geradengleichung geht, werden in diesem Kapitel noch allgemein Geraden und linearen Funktionen wiederholt.

Lineare Funktionen

Eine Gerade ist eine der geläufigsten Funktionen in der Analysis. Diese verläuft mit einer konstanten Steigung, die aus den Funktionen über die Steigung m abgelesen und ermittelt werden kann.

Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion. Sie verläuft geradlinig. Der allgemeine Funktionsterm der linearen Funktion ist gegeben durch:

$y = m \cdot x + t$

Die Variable t entspricht dabei dem y-Achsenabschnitt der Gerade und die Variable m der Steigung der Geraden.

Der y-Achsenabschnitt t der Gerade verläuft durch den Punkt $(0 | t)$ , an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Die Steigung lässt sich mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

Steigungsdreieck einer linearen Funktion

Wie in der Definition beschrieben, ist m die konstante Steigung dieser Geraden entlang ihres gesamten Verlaufs. Betrachtest Du eine Gerade f, so kannst Du an jedem Punkt $(x | y) \in f$ auf der Geraden die Steigung ablesen.

Eine detailliertere Erklärung zu der Steigung einer Geraden findest Du in den Erklärungen

Lineare Funktionen und Geradengleichung aufstellen.

Verwende dazu zwei Punkte $P_{1} (x_{1} | y_{1})$ und $P_{2} (x_{2} | y_{2})$ , die sich auf der Geraden befinden. Nun kannst Du über die nachfolgende Formel die Steigung berechnen.

$m = \frac{△ y}{△ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Auch grafisch kann die Steigung mithilfe der Formel $m = \frac{∆ y}{∆ x}$ abgelesen werden. Dafür muss ein sogenanntes Steigungsdreieck eingezeichnet werden und seine Seitenlängen abgelesen werden (siehe Abbildung 1).

Ursprungsgerade Steigungsdreieck einer Geraden allgemein StudySmarter Abbildung 1: Steigungsdreieck einer Geraden

Da Beispiele oftmals die beste Wahl sind, kannst Du dieses Konzept nochmals selbst kurz anhand des nächsten Falls einer Geraden wiederholen.

Zu Beginn einer Aufgabe könnte genau diese blaue Gerade $f (x) = 4 x + 1$ angegeben sein (siehe auch Abbildung 2).

Rechnerisch

In diesem Fall liest Du zwei gute Punkte vom Funktionsgraph ab:

Punkt $P_{1} (0 | 1)$
Punkt $P_{2} (1 | 5)$

Versuche Punkte mit ganzzahligen Koordinaten zu verwenden, das erleichtert das Rechnen.

Nun nutzt Du die Formel und fügst die Koordinaten in diese ein. So kannst Du die Steigung der Funktion berechnen.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{△ y}{△ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \\ = & \frac{5 - 1}{1 - 0} \\ = & \frac{4}{1} \\ = & 4 \end{array}$

Für die Steigung gilt also $m = 4$ .

Graphisch

Die Steigung der Geraden kann auch als Steigungsdreieck zwischen den beiden Punkten aufgezeichnet werden. Somit kannst Du direkt aus der Grafik $∆ x u n d ∆ y$ ablesen/abmessen.

Ursprungsgerade Ursprungsgerade Steigungsdreieck einer Geraden StudySmarter Abbildung 2: Steigungsdreieck einer Geraden

Das bedeutet also, Du kannst sowohl rechnerisch als auch anhand einer Zeichnung die Steigung einer Geraden ermitteln.

Weitere Informationen zu den linearen Funktionen findest Du in der Erklärung Lineare Funktionen.

Möchtest Du Dich darüber hinaus über andere besondere lineare Funktionen informieren, sind die nachfolgenden Erklärungen empfehlenswert:

Konstante Funktionen
Normale
Besondere lineare Funktionen

Ursprungsgleichung – Geradengleichung

Wie der Name bereits andeutet, hat eine Ursprungsgerade mit dem Koordinatenursprung zu tun.

Ursprungsgerade – Definition

Wie auch Abbildung 3 andeutet, verlaufen Ursprungsgeraden ausschließlich durch den Koordinatenursprung, wobei sie sich nur durch ihre unterschiedlichen Steigungen unterscheiden.

Eine Ursprungsgerade ist eine Gerade, die durch den Punkt (0|0), den Ursprung des Koordinatensystems, verläuft. Der allgemeine Funktionsterm ihrer zugehörigen linearen Funktion ist gegeben durch

$y = m \cdot x$

Der Unterschied zu einer Geraden, die nicht die Ursprungsgerade ist, besteht darin, dass die Ursprungsgerade keinen y-Achsenabschnitt t besitzt.

Dieser gibt an, an welchem Punkt die Gerade die y-Achse schneidet. Das ist bei einer Ursprungsgerade jedoch der Wert 0. Daher fällt $t = 0$ in der allgemeinen Funktionsgleichung weg.

Ursprungsgerade Ursprungsgeraden durch den Koordinatenursprung StudySmarter Abbildung 3: Ursprungsgeraden

Ursprungsgerade – Parameterdarstellung

Du kannst eine Ursprungsgerade nicht nur als Funktionsterm angeben, sondern auch in der sogenannten Koordinatenform. Die Koordinatenform ist eine andere Art eine Gerade im zweidimensionalen Raum darzustellen.

Die Parameterdarstellung lässt sich in folgender Form angeben:

$a x + b y = c$

Hierbei soll gelten, dass niemals a und b gleichzeitig den Wert 0 annehmen.

Für eine Ursprungsgerade wird c immer Null.

Die Steigung der Geraden kannst Du wiederum mit der folgenden Formel über die Parameterdarstellung bestimmen:

$m = - \frac{a}{b}$

Die Variablen x und y beschreiben dabei die beiden Koordinaten $(x | y)$ für einen Punkt.

Du hast gegeben, dass eine Ursprungsgerade durch den Punkt $P (1 | 1)$ verläuft und der Parameter a den Wert $a = - 1$ besitzt.

Damit kannst Du die Parameterform der Geradengleichung aufstellen.

Du gibst also für die Werte x und y die Koordinaten des Punktes in die Parameterform ein und setzt den Wert für a ein.

$\begin{array}{rcl} a x + b y & = & c \\ a \cdot 1 + b \cdot 1 & = & c \\ - 1 \cdot 1 + b \cdot 1 & = & c \end{array}$

Für eine Ursprungsgerade gilt immer $c = 0$ . Damit kannst Du den fehlenden Parameter b berechnen.

$\begin{array}{rcl} - 1 \cdot 1 + b \cdot 1 & = & 0 \\ - 1 + b & = & 0 \\ b & = & 1 \end{array}$

Somit erhältst Du für b den Wert $b = 1$ . Möchtest Du die Steigung berechnen, so verwendest Du die zweite Formel und kannst damit auch den Funktionsterm der Ursprungsgeraden angeben.

$\begin{array}{rcl} m & = & - \frac{a}{b} \\ = & - \frac{(- 1)}{1} \\ = & 1 \\ \to & y = x \end{array}$

Die Ursprungsgerade besitzt also die Steigung $m = 1$ .

Ursprungsgerade erkennen

Eine Ursprungsgerade kannst Du in zwei Schritten erkennen und sie von einer anderen Geraden unterscheiden.

Falls Du bestimmen sollst, ob es sich um eine Ursprungsgerade handelt, musst Du zwei Dinge überprüfen:

Ist die Funktion eine lineare Funktion?
Zuerst überprüfst Du, ob die gegebene Funktion eine lineare Funktion ist bzw. ihr Funktionsgraph eine Gerade ist. Geraden haben eine konstante Steigung m und eine Funktionsgleichung der Form $y = m \cdot x + t$ .
Geht die Gerade durch den Ursprung?Als Nächstes überprüfst Du, ob die Funktion auch durch den Ursprung läuft. Dafür setzt Du in die Funktionsgleichung der Geraden $x = 0$ ein, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln. Ergibt sich $y = 0$ , dann handelt es sich um eine Ursprungsgerade. Falls dies nicht der Fall sein sollte, verläuft die Gerade nicht durch den Punkt (0|0) und damit kann die Gerade auch keine Ursprungsgerade sein.
Außerdem erkennst Du direkt, dass eine Gerade keine Ursprungsgerade sein kann, wenn der y-Achsenabschnitt $t \neq 0$ ist.

Aufgabe 1

Überprüfe, ob es sich bei der Gerade $f (x) = 2 x$ um eine Ursprungsgerade handelt.

Lösung

Ist die Funktion eine lineare Funktion? Ja, die Steigung ist durch $m = 2$ gegeben. Es handelt sich bei der Funktion um eine konstante lineare Funktion.
Läuft die Funktion durch den Ursprung?Setze dazu $x = 0$ in die Geradengleichung ein.

$\begin{array}{rcl} y & = & 2 \cdot x \\ y & = & 2 \cdot 0 \\ y & = & 0 \end{array}$

Somit verläuft die Gerade direkt durch den Ursprung, weshalb es sich um eine Ursprungsgerade handelt.

Ursprungsgerade Ursprungsgerade Beispiel StudySmarter Abbildung 4: Ursprungsgerade Beispiel

Ursprungsgerade – Bestimmen und Berechnen

Du konntest bereits in Erfahrung bringen, wie eine Ursprungsgerade nun konkret definiert und was für sie gelten soll. Dieses Wissen kannst Du anwenden, um die Gleichung einer Ursprungsgeraden zu ermitteln.

Ursprungsgerade durch Punkt bestimmen

Die Null ist ein wichtiger Teil der Ursprungsgerade, da diese immer durch den Ursprung $P (0 | 0)$ verläuft. Somit benötigst Du nur noch einen weiteren Punkt, der in der Aufgabenstellung angegeben ist, um die Steigung zu ermitteln.

Durch die Steigung besitzt Du dann bereits das komplette Wissen, das Du für die Ursprungsgerade benötigst. Denn damit lässt sich bereits zeichnerisch (und auch rechnerisch) das Steigungsdreieck ermitteln.

Für einen weiteren gegebenen Punkt $P_{2} (- 4 | 3)$ einer Ursprungsgerade ergibt sich folgendes Steigungsdreieck und damit die Funktion $f (x) = - \frac{3}{4} x$ .

Ursprungsgerade Steigungsdreieck einer Ursprungsgeraden StudySmarter Abbildung 5: Steigungsdreieck einer Ursprungsgeraden

Auch rechnerisch kannst Du bei dieser Aufgabenstellung die Gleichung der Ursprungsgerade aufstellen.

Ursprungsgerade - Gleichung aufstellen

Für die rechnerische Ermittlung der Geradengleichung wird nun wieder die Formel zur Berechnung der Steigung interessant: $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

Umfangreichere Aufgaben dazu findest Du unter den Erklärungen Lineare Funktionen und Geradengleichung aufstellen. Dort wird Dir das folgende Konzept nochmals ausführlicher beschrieben.

Um die Gleichung einer Ursprungsgerade aufzustellen, reicht Dir ein weiterer gegebener Punkt, durch den die Gerade läuft (abgesehen vom Ursprung). Das hat folgenden Grund:

Da die Gerade eine Ursprungsgerade ist, kannst Du schlussfolgern, dass sie durch den Punkt (0|0), den Ursprung des Koordinatensystems, verläuft. Damit ist ein Punkt der Gerade bereits vorgegeben.

Aus den beiden Punkten, dem gegebenem Punkt P(x|y) und dem Ursprung (0|0), kannst Du nun durch die folgende Gleichung die Steigung der Geraden berechnen und so ihre Geradengleichung aufstellen.

$m = \frac{△ y}{△ x} = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x}$

Du kannst so für jeden beliebigen Punkt des Koordinatensystems eine Ursprungsgerade angeben, die durch diesen Punkt läuft.

Hier noch mal anhand eines Beispiels Schritt für Schritt erläutert, wie Du vorgehen kannst.

Aufgabe 2

Stelle die Funktionsgleichung der linearen Funktion auf, deren Graph als Ursprungsgerade durch den Punkt $P (2 | 4)$ geht.

Lösung

Laut Angabe läuft die Gerade durch den Punkt P (2|4). Da die Gerade eine Ursprungsgerade ist, geht sie außerdem durch den Punkt (0|0). Damit hast Du zwei Punkte der Gerade gegeben und kannst so wie gewohnt ihre Steigung berechnen.

$m = \frac{△ y}{△ x} = \frac{y_{2} - 0}{x_{2} - 0} = \frac{y}{x} = \frac{4}{2} = 2$

Da es sich um eine Ursprungsgerade handelt, ist der Achsenabschnitt immer $t = 0$ .

Daher lautet die Funktionsgleichung der gesuchten linearen Funktion $f (x) = 2 x$ .

Besondere Ursprungsgeraden

Im Folgenden sollen Dir noch zwei Typen von Ursprungsgeraden gezeigt werden, die Dir im Matheunterricht bestimmt noch öfter begegnen werden.

Die Winkelhalbierenden

Ein typisches Beispiel für eine Ursprungsgerade ist der Funktionsgraph der linearen Funktion $f (x) = x$ . Diese Ursprungsgerade wird auch als Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten des Koordinatensystems bezeichnet.

Wenn Du sie an der y-Achse spiegelst, erhältst Du die Gerade mit der Geradengleichung $h (x) = - x$ als Winkelhalbierende für den zweiten und vierten Quadranten.

Die Winkelhalbierende spielt im Kontext der Umkehrfunktion eine wichtige Rolle.

Wenn eine Funktion umkehrbar ist, dann erhältst Du die Umkehrfunktion, indem Du diese Funktion an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten spiegelst.

Mehr dazu erfährst Du im Artikel Umkehrfunktionen.

Hier siehst Du die beiden Winkelhalbierenden.

Ursprungsgerade Winkelhalbierende als besondere Ursprungsgeraden StudySmarter Abbildung 6: Winkelhalbierende

Die Koordinatenachsen

Ein weiteres Beispiel für Ursprungsgeraden sind die Koordinatenachsen selbst. Auch sie können mithilfe von Geradengleichungen beschrieben werden.

Die x-Achse kann mithilfe der Geradengleichungen $f (x) = 0$ beschrieben werden. Die x-Achse ist genau die Menge der Punkte, deren y-Koordinaten null sind.

Die x-Achse ist eine Ursprungsgerade der Form $y = m x + t$ , wobei die Steigung m der Gerade 0 entspricht.

Auch die y-Achse verläuft durch den Ursprung, allerdings ist die y-Achse keine eigentliche Funktion und kann daher nur als Gleichung beschrieben werden: $x = 0$ .

Laut Definition dürfen bei einer Funktion jedem x-Wert nur genau ein y-Wert zugeordnet werden. Das ist an der y-Achse nicht der Fall (unendlich viele y-Werte für den x-Wert Null), deshalb kann sie nicht als Funktion beschrieben werden.

Orthogonale Ursprungsgeraden

Nicht nur die beiden Winkelhalbierenden des Koordinatensystems stehen aufeinander senkrecht. Es gibt auch für jede andere Ursprungsgerade eine Funktion, die senkrecht auf dieser steht und durch den Ursprung verläuft.

Stehen Geraden senkrecht aufeinander, werden sie in der Mathematik auch als orthogonal bezeichnet.

Für die Funktionsgleichung einer solchen orthogonalen Ursprungsgerade g(x) gilt:

$g (x) = - \frac{1}{m_{f (x)}} \cdot x$

Du nutzt also für diese orthogonale Funktion die Steigung der ursprünglichen Ursprungsgerade f(x) und setzt sie wie in der Formel gezeigt ein.

Ursprungsgerade Senkrechte Gerade g(x) der Gerade f(x) StudySmarter Abbildung 7: Orthogonale Ursprungsgeraden

Ursprungsgerade – Aufgaben

Nun bist Du an der Reihe, die Aufgaben praktisch zu lösen. Viel Spaß dabei!

Aufgabe 3

Entscheide, ob die Funktion $g (x) = - 3 x + 2$ eine Ursprungsgerade ist und nimm dazu Stellung.

Lösung

Ist die Funktion eine lineare Funktion? Ja, es handelt sich um eine lineare Funktion. Die Steigung ist $m = - 3$ und damit konstant. Daher ist der Graph der Funktion eine Gerade.
Läuft die Funktion durch den Ursprung?Setze dazu $x = 0$ in die Geradengleichung ein.

$\begin{array}{rcl} y & = & - 3 \cdot 0 + 2 \\ = & - 0 + 2 \\ = & 2 \neq 0 \end{array}$

Damit schneidet die Gerade im Punkt (0|2) die y-Achse. Die Gerade ist daher keine Ursprungsgerade!

Wegen $t = 2 \neq 0$ kannst Du alternativ direkt anhand der Funktionsgleichung g(x) begründen, dass es sich nicht um eine Ursprungsgerade handelt.

Ursprungsgerade Keine Ursprungsgerade StudySmarter Abbildung 8: Gerade (keine Ursprungsgerade)

Aufgabe 4

Eine Ursprungsgerade soll durch den Punkt P(2|5) gehen.

a) Ermittle die Gleichung der Ursprungsgerade.

[Lösung: $f (x) = \frac{5}{2} \cdot x$ ]

b) Ermittle die orthogonale Ursprungsgerade dazu.

Lösung

Zu a) Um die Steigung der Geraden zu ermitteln, benötigst Du die folgende Formel.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{△ y}{△ x} \\ = & \frac{y_{P} - 0}{x_{P} - 0} \\ = & \frac{y_{P}}{x_{P}} \\ = & \frac{5}{2} \end{array}$

Da bei einer Ursprungsgerade der y-Achsenabschnitt $t = 0$ ist, lautet die Ursprungsgerade insgesamt:

$f (x) = \frac{5}{2} \cdot x$

Zu b) Nun kannst Du eine orthogonale Ursprungsgerade g(x) ermitteln. Dazu soll gelten:

$\begin{array}{rcl} m_{g (x)} & = & - \frac{1}{m_{f (x)}} \end{array}$

Setze dazu den Wert der Steigung f(x) in die Formel ein und Du erhältst die folgende Steigung:

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{m_{g (x)}} & = & - \frac{1}{m_{f (x)}} \\ = & - \frac{1}{\frac{5}{2}} \\ = & - \frac{2}{5} \end{array}$

Die orthogonale Ursprungsgerade ist also:

g (x) = - \frac{2}{5} x

Ursprungsgerade - Das Wichtigste

Ursprungsgeraden sind spezielle Geraden (= Graphen linearer Funktionen).
Sie verlaufen immer durch den Punkt (0|0), den Ursprung des Koordinatensystems.
Der y-Achsenabschnitt t von linearen Funktionen, deren Graphen Ursprungsgeraden sind, ist immer 0.
Die Winkelhalbierenden und die Koordinatenachsen sind spezielle Ursprungsgeraden.
Die Berechnungen entsprechen denen bei allgemeinen linearen Funktionen/Geraden.

Ursprungsgerade

StudySmarter Redaktionsteam